江苏苏州市2025-2026学年数学八年级下册期末考试练习卷

**基本信息** 苏州市八年级下册数学期末练习卷，120分钟120分，涵盖几何（特殊四边形）、代数（分式方程）、统计与概率，以文化情境（宋韵点茶）、生活应用（电热毯销售）为载体，融合抽象能力、推理意识与数据意识，梯度分明。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/16|平行四边形性质、函数自变量范围|结合图形辨析，基础巩固| |填空题|8/16|因式分解、统计频率、几何最值|小切口考查核心概念| |解答题|11/88|分式方程应用（电热毯进价）、统计图表（游园项目）、几何证明（菱形判定）|分层设计，如26题因式分解生成密码，体现创新应用；23题结合销售情境，培养模型意识|

苏州市2025-2026学年数学八年级下册期末考试练习卷 (考试时间：120分钟试卷满分：120分) 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符 合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上) 题号 1 3 5 b 答案 D D 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分.不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题 卡相应位置上) 9.0.2 10.12 11.5-2/-2+5 12.(a-5)(a+2) 13.要 14.22 15.￥ 16.2 三、解答题（本大题共11小题，共88分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证 明过程或演算步骤) 17.(本题6分)1)解：号×6+盾-⑧ -9+9-35 =29+9-35 =V5-32: 2)解：(32+V3)(3反-5)-(1-V5)2 =(32)2-(3)-(1-25+5) =18-3-1+2W5-5 =9+25. 18.(本题6分)1)解：景-高=1-x, 1/11 方程可变形为兰会+六=1-x, 方程两边同乘以2-x,得x2-2+x=(1-x)(2-x), 解得x=1, 检验：当x=1时，2一x≠0， 所以原分式方程的解是x=1: (2)解：=是-， 方程可化为=各-是， 方程两边同乘以x(x-1),得5=4x-3(x-1),， 解得x=2, 检验：当x=2时x(x-1)≠0， 所以原分式方程的解是x=2 19.（本题6分)(1)观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； (2)黑球的个数约为50×0.6=30个， 则估计袋子中有白球50一30=20个， 故答案为：20； (3)想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同， 即再添加10个相同的白球. 20.(本题6分)(1)证明：四边形ABCD是正方形， ÷AD=DC,∠ADC=90°， ·∠ADE+∠CDF=90°， :AE⊥DG,CF⊥DG, ·∠AED=∠DFC=90°， ·∠DAE+∠ADE=90°， ·∠DAE=∠CDF, 在△AED和△DFC中， I∠AED=∠DFC ∠DAE=∠CDF AD-DC 2/11 ·△AED≌△DFC(AAS); (2)证明：：△AED兰△DFC, ·AE=DF,ED=FC, DF=ED+EF=FC+EF, ·AE=FC+EF 21.（本题6分)(1)解：m=5÷10%=50, :器×100%=30%， .n=30, 故答案为：50,30： (2)解：“A”所对应的扇形的圆心角度数是360°×品=72°， 故答案为：72； (3)解：“B”所对应的人数为50-10-15-5=20（人）， 补全条形统计图如下： 人数个 25 20 20 15 15 10 10 5 5 0 C D游园项目 (4)解：500×品=100（人） 该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生有100人. 22.(本题8分)(1)证明：：四边形ABCD为矩形，对角线AC和BD相交于点O, ∴AE‖CF,OA=0C,∠ADC=90°， .∠DAC=∠ACB, ,EF⊥AC, ∴.∠A0E=∠C0F=90°， 在△A0E和△C0F中， 3/11 I∠EAO=∠FCO 0A=0C .∠A0E=∠C0F .△A0E≌△COF(ASA), ..0E=0F, .四边形AFCE是平行四边形. 'FE⊥AC, ∴.四边形AFCE是菱形； (2)解：设AE=X, ,四边形AFCE是菱形， ..CE=AE=X ,矩形ABCD中，AB=3,BC=4, ∴.DC=AB=3,AD=BC=4, ..DE=AD-AE=4-x 在Rt△EDC中，DC2+DE2=CE2, ∴32+(4-x)2=x2, 解得：x=晋， “4AE=晋×4=空， ∴菱形AECP的周长号 23.(本题8分)(1)解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床(1+青)x=号x元， 8400-4509=20, 根据题意，得x 解得：x=90, 经检验，x=90是所列分式方程的解， 号×90=120（元）. 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元. (2)解：根据题意，得：120a+90(100-a)≤10000， 解得：a≤9， A款电热毯的售价为120×(1+20%)=144（元）， 4/11 B款电热毯的售价为90×(1+20%)=108（元）， 则W=(144-120)a+(108-90)(100-a)=6a+1800, ∵6>0， ∴.W随a的增大而增大， :a≤9且x为正整数， ∴当a=33时，W的值最大，W最大=6×33+1800=1998. 答：最大利润为1998元. 24.(本题8分)(1)证明：，四边形ABCD为平行四边形， ∴.∠BAD+∠B=180°，AD=BC, ∠B=60°， .∠BAD=120o 由作图可知，AF平分∠BAD, ∴.∠BAF=∠DAF=∠BAD=60°， ∴.△ABF是等边三角形， ..AB=BF=AF, .AD =2AB, ∴.BC=2AB=2BF, ∴.BF=CF=AF, :CE‖AF,AE‖CF, .四边形AECF为菱形. (2)解：如图，菱形BGDH即为所求， 图2 .GH垂直平分BD, .BG=DG,B0=D0,∠D0G=∠BOH=90°， ,四边形ABCD为平行四边形， 5/11 ∴.AD‖BC, ∠BDG=∠HBD, ∴.△D0G≌△BOH(AAS), .0G=0H, ∴.四边形BGDH为平行四边形， .BG=DG .四边形BGDH为菱形. 25.(本题10分)(1)解：如图1，：△ABC是等边三角形，BE=AC, ÷AB=BC=AC=BE,∠ABC=∠ACB=∠CAB=60°， :∠BCE=∠E, ·∠ABC=∠E+∠BCE=2∠BCE=60· ·∠BCE=∠E=30o, ·∠ACE=∠BCE+∠ACB=60°十30°=90°， :D是BC的中点， :AD⊥BC,∠BAD=∠CAD=∠CAB=30°， ·∠ADB=90o, ÷BD=吉AB, AD=3. :AB2-(3AB)=AD2=3, ·AB=2 ·AC=BE=AB=2, ·AE=AB+BE=4, ：CE=VAE2-AC2=2V5: (2)①证明：如图2， :BE‖AC, ·∠FBE=∠CAB=60o,∠DFB=∠DAC, 在△DFB和△DAC中， 6/11 ∠DFB=∠DAC ∠FDB=∠ADC BD=CD ·△DFB≌△DAC(AAS), ·FB=AC,FD=AD, ·FB=BE, .△BEF是等边三角形； ②证明：如图2， :∠FEA=60°，∠CAE=60°， ·∠CAE=∠FEA, EF=BE,BE=AC, AC=EF, 在△ACE和△EFA中， AC-EF ∠CAE=∠FEA AE-EA ·△ACE≌△EFA(SAS), ·CE=FA=2AD 26.(本题12分)(1)解：16-n4 =(4m习2-(n习2 =(4m2+n2)(4m2-n2) =(4m2+n2)(2m+n)(2m-n), 当m=6,n=4时， 4m2+n2=4×62+42=144+16=160,2m+n=2×6+4=16,2m-n=2×6-4=8, 将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160. 故答案为：816160： (2)解：x3+px2+qx=x(x2+Px+9), ,生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数， .三个因式码为24、25、26， 即三个因式的值分别为24、25、26， 分三种情况： 7/11 ①当x=24时，另外两个因式的值为25、26，即x+1=25,x+2=26, 则x2+px+q=(x+1)(x+2)=x2+3x+2, 可知p=3,q=2; ②当x=25时，另外两个因式的值为24、26，即x-1=24,x十1=26， 则x2+px+9=(x-1)(x+1)=x2-1, 可知p=0,q=-1; ③当x=26时，另外两个因式的值为24、25，即x-2=24,x-1=25, 则x2+Px+9=(x-2)(x-1)=x2-3x+2, 可知p=-3,9=2: 综上所述，p=3,q=2或p=0,9=-1或p=-3,9=2; (3)解：设此时汽车仪表盘上的里程数为x(x为正整数，且x>100) （x=a2+1 根据题意得x+90=b2(a,b为正整数，且b>a》 将x=a2+1代入x+90=b2得a2+1+90=b2 即b2-a2=91 因式分解得(b-a)(b+a)=91 将91分解为正整数因数对：(1,91)、(7,13)， 当b-a=1,b+a=91时， 解得a=45,b=46, 此时里程数x=452+1=2026,符合题意； 当b-a=7,b+a=13时， 解得a=3,b=10, 此时里程数x=32+1=10,不符合题意，舍去. 故此时汽车仪表盘上的里程数是2026km 27.(本题12分)(1)解：如图，过点F作FH⊥AB于点H,设EF与AA交于点0， A D H B A 根据折叠的性质可得EF垂直平分AA, 8/11 ,四边形ABCD是正方形， ∴∠BAD=∠D=∠AHF=90°，AD=AB, ∴.四边形AHFD是矩形， ∴HF=AD ∴.HF=AB :EF垂直平分AA, ∴.AA⊥EF .∠AE0+∠EA0=90°， 又，∠AE0+∠HFE=90°， ·∠EAO=∠HFE 又：∠ABA=∠FHE=90°， ∴.△ABA≌△FHE(ASA), ·AA=EF 故答案为：EF=AA,EF⊥AA: (2)证明：如图，连接GA,GC,GA, D 、G F ,四边形ABCD是正方形， .BA=BC,∠ABD=∠CBD=45°， 在△ABG和△CBG中， BA=BC ∠ABG=∠CBG BG-BG ∴.△ABG≌△CBG(SAS) .GA=GC,∠GCB=∠GAB. EF垂直平分AA, .GA=GA .GA=GC 9/11 ∴.∠GAC=∠GCA, ∴.∠GAC=∠GAB, 又：∠GAC+∠GAB=180o, ∴∠GAB+∠GAB=180°， .在四边形ABAG中，∠ABA+∠AGA=180°， :∠ABA=90°， ∴.∠AGA=90°， 又：0A=0A, ∴0G=AA, EF-AA .0G=EF, 又：EF=OE+GF+OG, ∴EF=OE+GF+EF, ∴OE+GF=专EF, .0G=0E+GF (3)解：线段AM的长为2或8 连接MQ,设AM=x' .AB=BC=AD=CD=9,CN=4, ..DN=QN=5,BM=9-x, 在Rt△CQN中，CQ=VQN2-CN2=3, 当点Q落在线段BC上时，如图， A OC 此时BQ=BC-CQ=6, 在Rt△BMQ中，MQ2=BM2+BQ=(9-x)2+36, 在Rt△PMQ中，MQ2=PM2+PQ2=81+x2, 10/11 则(9-x)2+36=81+x2, 解得x=2, AM=2; 当点Q在BC延长线上时，如图， D M B 此时BQ=BC+CQ=12, 在Rt△BMQ中，MQ2=BM2+BQ2=(9-x)2+144, 在Rt△PMQ中，MQ2=PM2+PQ2=81+x2, 则(9-x)2+144=81+x2, 解得x=8, .AM=8; 综上，线段AM的长为2或8. 11/11 苏州市2025-2026学年数学八年级下册期末考试练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 2．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 3．如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 4．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（     ） A． B． C．1 D． 5．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 6．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 7．如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 8．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 10．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 11．计算：______． 12．因式分解：______． 13．如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，且，是上的动点，连接，，则的最小值为______． 14．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．则一片国槐树叶一年的平均滞尘量为______． 15．如图，边长为7的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连接并延长交于点M．若，则的长为__________________ ． 16．若关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是___________． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 18．（本题6分）解方程： (1)； (2)． 19．（本题6分）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有白球________个： (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，可以怎样调整白球或黑球的个数？请给出合理的方案. 20．（本题6分）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 21．（本题6分）为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年  月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（    ）（单选）． （A）漆扇摇香    （B）花漾手作    （C）宋韵点茶    （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，________，________； (2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； (3)请补全条形统计图； (4)已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 22．（本题8分）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 23．（本题8分）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 24．（本题8分）在图1和图2中，四边形为平行四边形，且． (1)如图1，当，时，用尺规按如下步骤作图：①以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G；③连接，交于点F；④作，交于点E．求证：四边形为菱形． (2)如图2，连接四边形的对角线．用尺规作图的方法求作菱形，且顶点G、H分别在上．（保留作图痕迹，不要求写作法） 25．（本题10分）已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，，则的长等于 ； (2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接． ①求证：是等边三角形； ②求证：． 26．（本题12分）【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 27．（本题12分）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 苏州市2025-2026学年数学八年级下册期末考试练习卷 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1．如图，在四边形中，对角线与互相垂直平分，，则四边形的周长为（    ） A．6 B．9 C．12 D．16 【答案】C 【详解】解：对角线互相垂直平分的四边形为菱形， ∴四边形为菱形， ∴四边形的周长为． 2．函数中自变量的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式被开方数为非负数的性质，列不等式求解自变量取值范围即可． 【详解】∵ 二次根式中，被开方数必须是非负数， ∴， 解得． 3．如图，将平行四边形的边延长，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，根据平行四边形两组对角分别相等可得，再根据邻补角互补可得的度数． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ， ， ， 故选：A． 4．如图，在矩形中，，过对角线交点O作，交于点E，交于点F，的长是（     ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】连接，由矩形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，设，则，在中，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【详解】解：连接，如图所示： ∵四边形是矩形， ， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 即． 5．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义及平方差公式、十字相乘法的应用，需逐一验证每个选项是否符合因式分解的要求及运算规则． 【详解】解：对于选项A：，而选项中右边为，与左边不相等，故A错误． 对于选项B：，而选项中右边，与左边不相等，故B错误． 对于选项C： ∵ 又∵ ∴，与选项一致，故C正确． 对于选项D：因式分解需将多项式化为几个整式乘积的形式，而选项右边仍含加法运算，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 6．若关于x的分式方程的解为非正数，则m的取值范围是（   ） A． B． C．且 D．且 【答案】D 【分析】本题主要考查了根据分式方程解的情况求参数，先解方程得到，再根据分式方程的解为非正数且分母不为0得到不等式组，解之可得答案． 【详解】解: 去分母得：， 整理得， 解得， ∵关于x的分式方程的解为非正数， ∴， 解得： 又∵ ∴ ∴且 ∴且 故选：D． 7．如图，在等腰中，，点在线段上，过点作，交延长线于点，过点作交于点，连接．若，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理、二次根式的应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．过点作于点，先利用勾股定理可得，利用三角形的面积公式可得，再利用勾股定理可得的长，则可得的长，然后利用的面积计算即可得． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∵， ∴在中，， ∴， ∵，， ∴， ∴； 故选：A． 8．如图，正方形的边长为4，G是对角线上一动点，于点E，于点F，连接，给出四种情况：①若G为的中点，则四边形是正方形；②若G为上任意一点，则；③点G在运动过程中，的值为定值4；④点G在运动过程中，线段的最小值为．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题主要考查了正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判断和性质，解题的关键是熟练掌握以上性质，并灵活应用． 连接，利用正方形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， ∵于点E，于点F， ∴， ∴四边形是矩形，， ∴由勾股定理得，， ∵G为的中点， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， 故①正确； 连接， ∵四边形是矩形， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∴， 故②正确； ∵， ∴， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 即的值为定值4，故③正确； ∵， ∴当最小时，最小， ∴当时，最小， 在中，， ∵， ∴， ∴， ∴线段的最小值为， 故④正确； ∴正确的有①②③④，共4个， 故选：D． 第Ⅱ卷 二、填空题（本大题共8小题，每小题2分，共16分．不需写出解答过程，请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 9．一次数学测试后，某班50名学生的成绩被分为5组，第组的频数分别为12、9、11、8，则第5组的频率是______（用小数表示）． 【答案】 【分析】先根据各组频数之和等于数据总数求出第5组的频数，再利用频率频数数据总数计算第5组的频率． 【详解】解：第5组的频数为： ， 第5组的频率为：． 10．在一个不透明的口袋中，装有红球和黄球共20个，它们除颜色外没有任何区别．摇匀后从口袋中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验，发现摸到黄球的频率是0.4，则口袋中大约有红球_______个． 【答案】12 【分析】本题主要考查用频率估计概率，根据大量反复试验下频率的稳定值即为概率值得到摸到黄球的概率是0.4，据此求出黄球的数量，进而求解即可． 【详解】解：∵通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是0.4， ∴摸到黄球的概率是0.4， ∴黄球的个数为（个）， ∴口袋中大约有红球（个）， 故答案为：12． 11．计算：______． 【答案】/ 【详解】解：． 12．因式分解：______． 【答案】 【详解】解：∵，且， ∴． 13．如图，在矩形中，，过对角线的中点作的垂线交于点，交于点，且，是上的动点，连接，，则的最小值为______． 【答案】 【分析】连接，由四边形为矩形，则，，故有，然后证明，则，从而得垂直平分，得到，要使有最小值，则需三点共线，最后通过勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴， ∵为中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵垂直平分， ∴， ∴要使有最小值，则需三点共线， 如图， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了垂直平分线性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，矩形的性质，平行线的性质，两点之间线段最短等知识，掌握知识点的应用是解题的关键． 14．科学研究表明：树叶在光合作用后产生的分泌物能够吸附空气中的悬浮颗粒物，具有滞尘、净化空气的作用．已知一片银杏树叶一年的平均滞尘量比一片国槐树叶一年的平均滞尘量的2倍少，一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同．则一片国槐树叶一年的平均滞尘量为______． 【答案】22 【分析】本题考查列分式方程解决实际问题．设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为，再根据“一年滞尘所需的银杏树叶的片数与一年滞尘所需的国槐树叶的片数相同”，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设一片国槐树叶一年的平均滞尘量为，则一片银杏树叶一年的平均滞尘量为． 由题意得：． 方程两边同时乘以，得： ． 化简得：． 移项得：． 即． 解得：． 经检验，是原方程的解，且符合题意． 即一片国槐树叶一年的平均滞尘量为． 故答案为：22． 15．如图，边长为7的大正方形是由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成，连接并延长交于点M．若，则的长为__________________ ． 【答案】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的性质，以及勾股定理等知识，依据题意恰当的添加辅助线是解题的关键． 过点M作于点N，设与交于点K，如图，根据正方形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，．求得，根据等腰三角形的性质得到，根据平行线的性质得到，求得，设，则，，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：过点M作于点N，设与交于点K，如图， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 由题意得：， ∴，． ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得： ， 解得：， ∴． 故答案为：． 16．若关于的不等式组有解且最多有3个偶数解，且关于的分式方程的解为非负整数，则所有满足条件的整数的和是___________． 【答案】2 【分析】本题主要考查了根据不等式组的解集情况求参数，根据分式方程的解的情况求参数，首先解不等式组中的两个不等式，利用最多有3个偶数解的条件确定a的取值范围；然后解分式方程，得到分式方程的解，并利用非负整数解的条件确定a的取值；最后综合两个条件得到满足条件的整数a并求和． 【详解】解：解不等式， 不等式的两边同时乘以6得， 解得， 解不等式得， ∵关于的不等式组有解且最多有3个偶数解， ∴ ∴， 解分式方程： 方程两边同时乘以得， 解得， ∵关于的分式方程的解为非负整数， ∴是非负整数， ∴，且a是偶数， ∴，且a是偶数， 又∵原分式方程不能有增根， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，满足条件的整数a的值可以为0和2， ∴所有满足条件的整数的和是， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共11小题，共88分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题6分）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）先计算乘法并化简，再进行加减计算； （2）先利用平方差公式和完全平方公式计算，再进行加减计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（本题6分）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解分式方程： （1）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解； （2）先去分母，把分式方程化为整式方程，再解出整式方程，然后检验，即可求解． 【详解】（1）解：， 方程可变形为， 方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时，， 所以原分式方程的解是； （2）解：， 方程可化为， 方程两边同乘以，得， 解得， 检验：当时， 所以原分式方程的解是． 19．（本题6分）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共50个（除颜色不同外其它都一样），某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，下表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 100 200 300 500 800 1000 摸到黑球的次数 65 118 189 310 482 602 摸到黑球的频率 0.65 0.59 0.63 0.62 0.603 0.602 (1)请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近________（精确到0.1）； (2)试估计袋子中有白球________个： (3)若学习小组通过试验结果，想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，可以怎样调整白球或黑球的个数？请给出合理的方案. 【答案】(1)0.6 (2)20 (3)再添加10个相同的白球（答案不唯一） 【分析】（1）观察表格即可得到答案； （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，然后用球的总数乘以黑球的概率即可求得黑球的个数，再求出白球的个数即可； （3）使得黑球和白球的数量相等即可． 【详解】（1）观察表格得：当n很大时，摸到黑球的频率将会接近0.6， 故答案为：0.6； （2）黑球的个数约为个， 则估计袋子中有白球个， 故答案为：20； （3）想使得在这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为50%，则可以使得黑球和白球的个数相同，即再添加10个相同的白球． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，掌握这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 20．（本题6分）如图，四边形是正方形，G是上任意一点（点G与B、C不重合），于E，于F． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】（1）由题意得，，，由互余得，故； （2）由（1）得，，故． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ； （2）证明：， ，， ， ． 21．（本题6分）为庆祝新年佳节，某校开展了多姿多彩的艺术节游园活动，其中包含了四个游园项目：A《漆扇摇香》、B《花漾手作》、C《宋韵点茶》、D《解忧杂货铺》．为了了解八年级学生对以上游园项目的喜爱情况，李老师抽取了八年级m名学生进行如下问卷调查： 调查问卷 年  月 在下面四个游园项目中，你最喜爱的是（    ）（单选）． （A）漆扇摇香    （B）花漾手作    （C）宋韵点茶    （D）解忧杂货铺 将收集到的数据整理后绘制成两幅统计图，下面给出了部分信息： 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，________，________； (2)在扇形统计图中，“A”所对应的扇形的圆心角度数是________度； (3)请补全条形统计图； (4)已知该校八年级共有500名学生，请估计该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生约有多少人？ 【答案】(1)50，30 (2)72 (3)见解析 (4)100 【分析】本题主要考查了扇形统计图和条形统计图，根据部分求总体，扇形圆心角度数，补全条形统计图，根据样本频数估计总体频数，解题的关键是掌握数形结合的思想． （1）根据部分的实际数据和占比求总数即可，根据部分实际数据和总数求占比即可； （2）用周角度数乘其占比即可求出圆心角度数； （3）求出“B”所对应的人数，再补全条形统计图即可； （4）根据样本频数求出总体频数即可． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， 故答案为：50，30； （2）解：“A”所对应的扇形的圆心角度数是， 故答案为：72； （3）解：“B”所对应的人数为（人）， 补全条形统计图如下： （4）解：（人） 该校八年级学生最喜欢A《漆扇摇香》这个游园项目的学生有100人． 22．（本题8分）如图，在矩形中，对角线和相交于点，过作，交于，交于，连接、． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求菱形的周长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）利用已知条件和矩形的性质易证，进而可得四边形是平行四边形，又因为，从而结论得证； （2）设，由已知和矩形的性质可得，在中，利用勾股定理可求出的值，进而可求出菱形的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形为矩形，对角线和相交于点， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴四边形是菱形； （2）解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ∵矩形中，，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 解得：， ∴， ∴菱形的周长． 23．（本题8分）随着气温的逐步降低，电热毯成为了许多家庭的必需品，某商场最新购进的A、B两款电热毯凭借智能定时，排潮除湿，双温双控等便捷操控功能，迅速赢得了消费者们的青睐．已知A款电热毯的进价比B款电热毯的进价高，且商场用8400元购进的A款电热毯的床数比用4500元购进的B款电热毯的床数多20床． (1)A、B两款电热毯的进价分别为每床多少元？ (2)若商场购进A、B两款电热毯共100床（两款电热毯均要购买），且花费的总价不高于10000元，购进后，A、B两款电热毯均按高于进价的定价出售．若电热毯全部售完，设商场购进A款电热毯a床，总利润为W元，求W与a之间的函数关系式，并利用一次函数的知识，求出最大利润． 【答案】(1)A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元 (2)最大利润为1998元 【分析】（1）设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价用含x的代数式表示出来，根据题意列关于x的分式方程并求解即可； （2）列出关于a的一元一次不等式并求其解集；分别计算A、B两款电热毯的售价，再根据“总利润款电热毯的总利润款电热毯的总利润”写出W与a之间的函数关系式，由一次函数的增减性和a的取值范围，确定当a取何值时W最大，求出其最大值即可． 【详解】（1）解：设B款电热毯的进价为每床x元，则A款电热毯的进价为每床元， 根据题意，得， 解得：， 经检验，是所列分式方程的解， （元）． 答：A款电热毯的进价为每床120元，B款电热毯的进价为每床90元． （2）解：根据题意，得：， 解得：， A款电热毯的售价为（元）， B款电热毯的售价为（元）， 则， ∵， ∴W随a的增大而增大， ∵且x为正整数， ∴当时，W的值最大，． 答：最大利润为1998元． 24．（本题8分）在图1和图2中，四边形为平行四边形，且． (1)如图1，当，时，用尺规按如下步骤作图：①以A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M、N；②分别以M、N为圆心，以大于为半径画弧，两弧交于点G；③连接，交于点F；④作，交于点E．求证：四边形为菱形． (2)如图2，连接四边形的对角线．用尺规作图的方法求作菱形，且顶点G、H分别在上．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题考查了菱形的判定和基本作图，平行四边形的性质等知识，熟练掌握菱形的判定是解题的关键． （1）证明，又由，，即可证明四边形为菱形； （2）作的垂直平分线分别交于点G、H，连接即可． 【详解】（1）证明：∵四边形为平行四边形， ∴，， ∵， ∴ 由作图可知，平分， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴四边形为菱形． （2）解：如图，菱形即为所求， ∵垂直平分， ∴，，， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵ ∴四边形为菱形． 25．（本题10分）已知：中，，D是的中点，延长到点E，使，连接，． (1)如图1，若是等边三角形，，则的长等于 ； (2)如图2，过点B作的平行线交的延长线于点F，连接． ①求证：是等边三角形； ②求证：． 【答案】(1) (2)①见解析；②见解析 【分析】（1）根据已知条件，利用等边三角形的性质，证，然后解直角三角形和即可； （2）①结合已知条件证，然后证，即可求证；②证，将线段转换即可证明结论． 【详解】（1）解：如图1， 是等边三角形，， ，， ， ， ， D是的中点， ，， ， ， ∵， ， ， ， ， ； （2）①证明：如图2， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ∴是等边三角形； ②证明：如图2， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 26．（本题12分）【阅读发现】 人类使用密码的历史悠久，利用因式分解可以生成密码：先将确定的多项式分解因式，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，然后将因式码按从小到大的顺序排列，就可以形成密码．例如，多项式，将其分解因式为，取，则有．其中，12，17，13分别为因式码，将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码121317．当然，也可取另外一些适当的数字，得出其它的密码． 【问题解决】 （1）已知多项式，当取时，用上述方法生成的密码是__________； （2）已知多项式，用上述方法生成的密码是242526，若密码的每个因式码都是两位数，求的值； 【拓展延伸】 （3）国庆假期，小亮全家外出自驾游，在行驶途中小亮发现此时汽车仪表盘上的里程数比一个完全平方数大1，若再行驶后的里程数还是完全平方数，问此时汽车仪表盘上的里程数是多少？ 【答案】（1）816160；（2），或，或，；（3）此时汽车仪表盘上的里程数是． 【分析】本题考查了因式分解的应用． （1）先利用平方差公式对多项式逐步分解因式，再代入数值计算各因式的值，最后排序得到密码； （2）先对多项式提取公因式，结合密码的三个因式码分析x的可能取值，再通过因式分解与多项式展开对比系数求出p和q的值； （3）设里程数为x，根据题意列方程，利用因式分解转化为因数对问题，进而求出x的值，判断是否符合题意即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， ，，， 将160、16、8按从小到大排列得8、16、160，故生成的密码是816160． 故答案为：816160； （2）解：， ∵生成的密码是242526，密码的每个因式码都是两位数， ∴三个因式码为24、25、26， 即三个因式的值分别为24、25、26， 分三种情况： ①当时，另外两个因式的值为25、26，即，， 则， 可知，； ②当时，另外两个因式的值为24、26，即，， 则， 可知，； ③当时，另外两个因式的值为24、25，即，， 则， 可知，； 综上所述，，或，或，； （3）解：设此时汽车仪表盘上的里程数为（为正整数，且） 根据题意得（，为正整数，且） 将代入得 即 因式分解得 将91分解为正整数因数对：、， 当时， 解得， 此时里程数，符合题意； 当时， 解得， 此时里程数，不符合题意，舍去． 故此时汽车仪表盘上的里程数是． 27．（本题12分）在数学学习中，要善于运用整体的、联系的、发展的眼光看问题，形成科学的思维习惯． (1)观察发现 如图1，将正方形折叠，使点的对应点落在边上，折痕分别与，交于点，，则折痕和的数量和位置关系分别是_________； (2)类比探究 在（1）的条件下，设与交于点，连接交于点，如图2．求证：； (3)拓展应用 如图3，正方形的边长为9，点是边上的一动点，点在边上，且．连接，将正方形沿折叠，使点，分别落在点，处，当点落在直线上时，请直接写出线段的长． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)2或8 【分析】本题主要考查了正方形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． （1）根据折叠的性质可得垂直平分，证明即可； （2）连接，证明，可得，，再证，可得，进而即可得证； （3）分两种情况讨论，点Q在线段上或延长线上，设，由题易得，，，则或12，进而分别在中，，在中，，建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，过点F作于点H，设与交于点O， 根据折叠的性质可得垂直平分， ∵四边形是正方形， ∴，， ∴四边形是矩形， ∴， ∴ ∵垂直平分， ∴， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴， ∴ 故答案为：，； （2）证明：如图，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴， ∴． ∴， ∴． 又∵， ∴， ∴在四边形中，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． （3）解：线段的长为2或8． 连接，设， ∵， ∴，， 在中，， 当点Q落在线段上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 当点Q在延长线上时，如图， 此时， 在中，， 在中，， 则， 解得， ∴； 综上，线段的长为2或8． 1 / 2 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $