高中数学破题致胜微方法（函数图象识别与简单变换）：2.复杂函数的图象识别

当我们讨论遇到比较复杂的函数（基本初等函数的四则运算，复合函数）的图象时，往往很难想象出形状，所以研究时要从局部特征出发，排除一些错误的情况，再从整体出发，结合函数性质，确定函数变化的趋势，找到正确的答案。 先看例题： 例：函数 的图象大致是（ ） 根据函数特征，排除选项 首先 ，函数定义域为x≠0，所以排除A选项 其次，当x<0时，有 ，所以原函数在x<0时，函数值为正 所以排除B选项 最后，根据函数极限的性质， ，排除D选项 所以本题选C 注意：在讨论极限时，选择题中，我们只需做出判断，但是在解答题中，还是需要用求导，判断单调性的方法严格证明，同学们在平时练习时，也应该多去做一些相关的证明练习，要做到知其然而知其所以然，这对我们整个数学学习是很有帮助的。 在研究复杂函数图象时，我们需要综合观察函数的局部特征和变化趋势 常见的有效信息，整理如下： 函数：定义域 函数值：符号，看图象左、右、上、下分布范围 函数性质：单调性，对称性，周期性， 有界性等 特殊点：与坐标轴的交点等 极限：自变量趋于无穷 接下来再练习几个题目，希望同学们深入体会。 练1：函数 的图象时（ ） 由 为偶函数，即给定的定义域可知，原函数也为偶函数（请同学们自己用定义写一写），可知函数关于y轴对称，由此可以排除B，D选项 再由， ，可知 ，所以函数应在第四象限，可排除C选项。 由函数关于y轴对称，可知A选项符合题意。故选A。 练2：函数 的图象大致是（ ） 由解析式知，x=0时，y=0，即函数图象过原点，可排除A选项 再观察图象形状，结合解析式可知 ，即函数图象在 时恒正，所以排除D选项。 最后根据导数 ，可知函数不会在某个定值以后恒单调递增（减），所以排除B选项。 所以本题选C 总结： 当我们无法判断图象形状时，先要抓住局部特征； 当局部特征不足以排除选项时，再回到整体观察变化趋势。 即为数学中整体与部分的思想。 练习： 1.函数 的图象可能为（ ） 2.函数 的图象大致是（ ） 答案： 2.由函数解析式知，当x<0时， 均单调递增，所以 单调递增。所以可以排除C、D选项 由注意到， ，可知函数在x>0时至少有两个零点，所以排除B选项 所以A符合题意。 1 $$