高中数学破题致胜微方法（函数图象识别与简单变换）：10.平面直角坐标系的伸缩变换

之前的课程中，我们研究过函数图象的伸缩变换，今天我们来研究平面直角坐标系的伸缩变换，我们要注意变换过程，以及变换前后图形的形状，以及它与函数图象的伸缩变换有什么不同？ 先看例题 在平面直角坐标系中，求下列方程所对应的图形经过伸缩变换 后的图形 对于 ，在平面直角坐标系中，对应一条直线 直线过原点，且斜率为 对于 ，在平面直角坐标系中，对应一个圆 圆心为(0,0)，半径为1 接下来做伸缩变换， 首先改写 为 将x，y代入直线方程，则得到： 它也是一条直线，且仍过原点 同理，将x，y代入圆的方程 所以圆变为椭圆。 注意：直线变成直线，圆可以变成椭圆。 一般规律： 平面直角坐标系的伸缩变换 定义：设点P(x,y)是平面直角坐标系中的任意一点， 在变换 的作用下， 点P(x,y)对应点P'(x',y')，称 为平面直角坐标系中的坐标伸缩变换，简称伸缩变换 注意：一般取 。且参数可以 ，也可以在 之间。 接下来我们再看一个习题，加深印象。 练：设曲线2x2+2xy+y2=1在伸缩变换 (a>0)下得到的曲线为x2+y2=1. 求实数a,b的值; 解： 从我们熟悉的曲线出发，变换以后的曲线为一个圆 注意：此时应该是关于 的方程，因为书写方便，所以题干中写作x2+y2=1 将x，y代入圆的方程，得： 解得： 总结： 1.伸缩变换的特点 曲线上所有的点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍。 曲线上所有的点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍。 2.特殊情形的平面直角坐标系伸缩变化，是函数图象的坐标变换。 练习： 1.在一平面直角坐标系中，求满足下列图形变换的伸缩变换： 曲线 变成曲线 2.在平面直角坐标系中，经过伸缩变换 ，曲线C变为 ，求曲线C的 方程. 3.设曲线2x2+2xy+y2=1在矩阵 (a>0)对应的变换作用下得到的曲线为x2+y2=1. (Ⅰ)求实数a,b的值; (Ⅱ)求A2的逆矩阵. 答案： 2.解：将 代入 可得： 化简为 即为曲线C的方程。 1 $$