专题07因式分解期末复习讲义(20大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年苏科版八年级数学下册

专题07因式分解期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解定义：把多项式化成几个整式积的形式，分清因式分解与整式乘法的互逆关系。 2.熟记两种基本方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式），牢记公式结构特征。 3.掌握因式分解解题步骤：一提、二套、三检查，知道分解要彻底，不能再继续分解。 4.了解简单分组分解题型思路，清楚常见易错公式变形。 1.快速找准多项式各项公因式（系数、相同字母最低次幂），熟练提取公因式。 2.能观察多项式形式，准确选用平方差或完全平方公式分解因式。 3.能综合 “提公因式 + 套公式” 两步分解复合型多项式。 4.会利用因式分解进行简便计算、代数式求值。 1.选择填空：区分整式乘法与因式分解，公式不混用，基础分解零失误。 2.基础解答：严格按照分解步骤做题，分解结果务必彻底。 3.中档题型：综合题型先提公因式再套用公式，熟练解决化简求值、简便运算考题。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.整体换元法分解多项式 题型17.因式分解判定三角形形状题 题型18.因式分解中配方法应用 题型19.因式分解整除性相关证明 题型20.因式分解中最值问题. 知识点01:因式分解概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式。 2.互逆关系 整式乘法：几个整式相乘→多项式（由积化和差） 因式分解：多项式→几个整式相乘（由和差化积） 3.三大判定标准 ①左边是多项式；②右边全是整式相乘，不含加减；③分解彻底，因式不能再拆分。 知识点02:两大基本分解方法 （一）提公因式法 1. 公因式确定方法 三步法：系数取最大公约数，字母取公共字母，指数取最低次幂 2. 公式与典型形式 基本公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 常见题型 示例 注意事项 首项为负 -2x+4y=-2(x-2y) 提出负号，括号内全变号 提公后补 1 x2+x=x(x+1) 单独一项提出后，括号里别漏写 1 互为相反数因式 (a-b)2=(b-a)2 (a-b)=-(b-a) 偶数次幂不变号，奇数次幂变号 解题步骤：找公因式 → 提公因式 → 检查 (二）公式法（两个必考公式） 公式名称 公式形式 多项式结构特征 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 二项式、两项异号、两项都能写成平方 完全平方和 a2+2ab+b2=(a+b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为2ab 完全平方差 a2-2ab+b2=(a-b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为-2ab 补充：公式里的a、b可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）。 知识点03:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点04:四大必考题型 1.单纯提公因式型：侧重符号、不漏常数 1； 2.先提公因式再平方差：最常考中档计算题； 3.先提公因式再完全平方：解答题高频； 4.整体换元型：把代数式整体代换，期末难点。 知识点05:易错汇总 错误做法 正确做法 出错原因 不提公因式直接套用公式 先提公因式，再套用公式 解题顺序混乱，分解不彻底 两项同号套用平方差公式 平方差必须两项异号 公式特征记混 完全平方中间项缺少系数 2 中间项必须是两倍乘积 公式记忆不全 首项为负不提负号 首项负，先提取负号 书写格式不规范 提取公因式后空位不写 1 全部提完剩余项补 1 细节疏漏 分解结果还有加减算式 结果必须全部写成乘积形式 概念理解错误 参数题只写单一答案 分类讨论，正负双解 考虑问题不全面 题型01.因式分解的判断 1．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据因式分解是将多项式化为几个整式的积的形式，且变形需正确，据此对各选项逐一判断即可． 【详解】解：A选项，式子左边是整式的积，右边是多项式，是整式乘法，不是因式分解； B选项，变形错误，，不是正确的因式分解； C选项，式子右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不是因式分解； D选项，式子左边是多项式，右边是整式的积的形式，且变形正确，属于因式分解． 2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、，左边是多项式，右边是两个整式的乘积，符合因式分解的定义，本选项符合题意； B、 是整式乘法，是从积到多项式的变形，不属于因式分解，本选项不符合题意； C、 ，等式右边不是几个整式的积的形式，不属于因式分解，本选项不符合题意； D、是整式乘法，不属于因式分解，本选项不符合题意； 3．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 【答案】B 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式的定义判断即可． 【详解】解：、该变形是整式的乘法，是因式分解的逆运算，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、，是因式分解，故本选项符合题意； 、等式右边不是整式积的形式，不属于分解因式，故本选项不符合题意； 、本选项不符合题意． 题型02.因式分解的参数问题 4．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 【答案】B 【详解】解：∵， ∴． 5．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 【答案】 【分析】设另一个因式为，可得，根据整式的乘法运算法则即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，可得， 则， ∴，解得， ∴另一个因式为，m的值为． 6．要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 【答案】D 【分析】本题考查因式分解，掌握知识点是解题的关键． 根据因式分解的条件，设二次三项式可分解为，其中a和b为整数，则，,由于a可取任意整数，p随之有无数个取值,即可解答． 【详解】解：∵二次三项式在整数范围内能因式分解， ∴可设，其中a，b为整数． 即， ∴． 令a为任意整数，则，亦为整数， ∴． 由于a可取无数个整数值，故p也有无数个可能取值． 故选D． 7．已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 【答案】 【分析】本题考查的是利用待定系数法分解因式，设 ，再整理可得，从而可得答案. 【详解】解：， 且 ， 设 ， 整理得：， 由对应项系数得： ， 解得 ，， ， 的值为 题型03.公因式 8．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据最大公因式的定义，先求各项系数的最大公约数，再确定各项共有的字母的最低次幂，即可得到结果． 【详解】解：多项式的各项系数为，其绝对值的最大公约数是， 各项都含有的字母为，只出现在第二项，因此公因式不含， 的最低次幂是，的最低次幂是， ∴ 该多项式各项的最大公因式为． 9．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】A 【分析】先对各多项式分解因式，然后利用公因式的定义对各选项进行判断即可． 【详解】、与，没有公因式，此选项符合题意； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 、与有公因数，此选项不符合题意，排除； 、，，有公因式，此选项不符合题意，排除； 故选：． 【点睛】此题考查了公因式，解题的关键是先确定各项系数的最大公约数，再确定各项的相同字母因式(或相同多项式因式)，然后确定各项相同字母因式(或相同多项式因式)的指数的最低次幂． 10．（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 【答案】 ； ； ； ． 【分析】本题主要考查了公因式，根据当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公因数；字母取各项的相同的字母，各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的，进而得出答案，掌握公因式的定义是解题的关键． 【详解】（）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； （）根据公因式的概念可得：公因式是； 故答案为：（）；（）；（）；（）． 题型04.提公因式法分解因式 11．分解因式：____________． 【答案】 【详解】解：． 12．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据矩形的周长公式和面积公式分别求出与的值，再代入计算即可． 【详解】解：矩形的周长为，面积为， ，， ， ∴． 13．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】运用提公因式法分解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 14．已知，，利用因式分解求的值． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，代数式求值，掌握提取公因式将代数式转化为含已知条件的形式是解题的关键． 观察代数式结构，提取公因式，化简后转化为含和的形式，再代入已知条件求值． 【详解】解：原式． ，， 原式． 题型05.公式法分解因式判断 15．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】能够运用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都能写成平方的形式，且符号相反． 【详解】解：根据平方差公式的特点可得到只有选项A可以运用平方差公式分解， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了平方差公式分解因式，关键是正确把握平方差公式的特点． 16．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】利用平方差公式与完全平方公式逐一把各因式分解因式，从而可得答案. 【详解】解：不能分解因式，故①不符合题意； 故②符合题意； 不能分解因式，故③不符合题意； 故④符合题意； 故⑤符合题意； 故选C 【点睛】本题考查的是利用公式法分解因式，掌握“平方差公式与完全平方公式分解因式”是解本题的关键. 17．下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查公式法因式分解，关键是熟练应用知识点解题；需判断各选项是否符合平方差公式或完全平方公式的形式． 【详解】解：∵公式法因式分解常用平方差公式和完全平方公式， ∴对各选项分析如下： A选项：，可用平方差公式因式分解， B选项：，可用完全平方公式因式分解， C选项：不符合平方差公式或完全平方公式的形式，不能用公式法因式分解， D选项：，可用完全平方公式因式分解， 故答案为：C． 题型06.平方差公式分解因式 18．分解因式：_______． 【答案】 【分析】原式为两个整式的平方差，符合平方差公式的特征，可利用平方差公式进行因式分解． 【详解】解： ． 19．若是整数，则下列选项的值一定为偶数的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据整数分为奇数和偶数，结合奇偶数的运算性质，分情况讨论每个选项，即可得到一定为偶数的结果． 【详解】解：由于是整数，则分为奇数、为偶数两种情况讨论： 选项A、当是奇数时，取，则是奇数，因此A错误； 选项B、，当是偶数时，取，则是奇数，因此B错误； 选项C、当是偶数时，取，则是奇数，因此C错误； 选项D、，若是偶数，偶数乘任意整数结果为偶数，因此原式是偶数；若是奇数，奇数奇数偶数，奇数乘偶数结果为偶数，因此原式是偶数； 无论是奇数还是偶数，一定为偶数，因此D正确． 20．分解因式：（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先分为两组，各自提取公因式后，再进行因式分解． 【详解】解：． 21．分解因式 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】采用公式法进行因式分解即可． 【详解】（1）解： （2）解： 22．分解因式：． 【答案】． 【分析】先将原式整理为平方差的形式，先利用平方差公式分解，再利用完全平方公式继续分解，直至分解彻底即可． 【详解】解： ． 题型07.完全平方公式分解因式 23．分解因式：________． 【答案】 【详解】解：． 24．若实数，，满足，，则的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查因式分解的应用，代数式求值，将原式进行正确的变形是解题的关键．由可得，将其代入中并整理后利用偶次幂的非负性求得的值，然后求得的值，将其代入中计算即可． 【详解】解：， ， ， ， 整理得：， 则， 那么，， 因此， 则， 故选：A． 25．把下列各式因式分解： (1)． (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了完全平方公式因式分解，掌握识别完全平方公式的结构特征，直接套用公式分解是解题的关键． （1）将看作，看作，式子符合完全平方和公式的结构，直接用公式分解； （2）先整理成标准二次三项式，再将其看作完全平方差形式，用公式分解． 【详解】（1）解： （2）解： 26．因式分解： 【答案】 【分析】本题主要考查换元法、十字相乘法和完全平方公式，利用换元法进行化简是解题的关键． 首先将用t进行表示并结合十字相乘法进行化简，化简结束后将再代入并结合完全平方公式进行化简即可． 【详解】解：令，则， ∴． 题型08.综合运用公式法分解因式 27．把因式分解的结果是________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，将原式视为平方差形式，应用平方差公式分解，再对所得式子分别应用完全平方公式进行因式分解． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 28．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】将看作一个整体，然后对原式变形后，利用完全平方公式和平方差公式因式分解即可． 【详解】解： ． 故选D． 【点睛】本题主要考查了因式分解，灵活运用公式法进行因式分解是解答本题的关键． 29．因式分解：． 【答案】 【分析】先利用平方差公式展开，再利用完全平方公式以及平方差公式分解即可． 【详解】解： ． 30．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握因式分解是解题的关键． （1）根据题中所给方法可进行因式分解； （2）根据题中所给方法可进行因式分解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 题型09.综合法分解因式 31．因式分解：________． 【答案】 【分析】先提取公因式，再利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解：． 32．下列各因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】A、，因式分解正确，A符合题意； B、不能分解为，故B错误，不符合题意； C、是整式乘法，不是因式分解，因式分解是将多项式化为几个整式乘积的形式，故C错误，不符合题意； D、，原分解没有分解彻底，故D错误，不符合题意． 33．分解因式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2） ． 34．因式分解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】综合提公因式法以及公式法分解因式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 题型10.实数范围内分解因式 35．将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查在实数范围内利用平方差公式进行因式分解，先将常数项转化为实数的平方形式，再进一步求解即可． 【详解】解： 故选：B． 36．在实数范围内分解因式：______． 【答案】 【分析】本题考查在实数范围内分解因式，通过令二次表达式等于零，解关于x的二次方程，利用求根公式得到根，然后写出因式分解形式． 【详解】解：令， ∴， 则， 当时，， 当时，， 所以根为，， 因此，． 故答案为：． 37．在实数范围内分解因式： ______________． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解． 利用配方法将二次三项式配方，再利用平方差公式分解因式． 【详解】解：原式 ． 故答案为：． 38．在实数范围内分解因式：__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了在实数范围内因式分解，利用配方法将原式变形，再利用平方差公式进行因式分解，由此求解即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 题型11.因式分解与有理数简算 39．分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了最简公分母．先把分母分解因式，再根据最简公分母定义即可求出． 【详解】解：∵，，， ∴最简公分母是． 故选：C 40．利用平方差公式计算，结果为______． 【答案】600 【分析】本题考查因式分解在有理数混合运算的应用．正确使用因式分解使运算简便是解题的关键． 先提公因式15，得，再将因式用平方差公式分解，然后再计算即可． 【详解】解：原式 ． 41．已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，代数式求值，根据，可得，进而得出，再根据，可得，最后根据得出答案． 【详解】解：∵， ∴， 即， 则． ∵， ∴， 可得． ∵， ∴， ∴， 即． ∴． 故答案为：． 42．利用公式简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1)1 (2)900 【分析】本题考查平方差公式，完全平方公式，掌握公式的逆用是解题的关键． （1）根据平方差公式进行计算，即可求解； （2）根据完全平方公式进行计算即可求解． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 题型12.十字相乘法 43．因式分解：_______． 【答案】 【分析】本题考查因式分解，掌握十字相乘法是解题的关键； 使用十字相乘法因式分解二次三项式，寻找满足条件的数对即可． 【详解】解： ， 分解为 和 ， 将 分解为 和 ， 交叉相乘后相加得 ， 因此因式分解结果为 ， 验证：， 故答案为 ． 44．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查因式分解的定义及平方差公式、十字相乘法的应用，需逐一验证每个选项是否符合因式分解的要求及运算规则． 【详解】解：对于选项A：，而选项中右边为，与左边不相等，故A错误． 对于选项B：，而选项中右边，与左边不相等，故B错误． 对于选项C： ∵ 又∵ ∴，与选项一致，故C正确． 对于选项D：因式分解需将多项式化为几个整式乘积的形式，而选项右边仍含加法运算，不符合因式分解的定义，故D错误． 故选：C． 45．因式分解：． 【答案】 【分析】使用十字相乘法因式分解即可． 【详解】解：原式． 46．分解因式：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键．根据题意，把作为一个整体，则原式可分解为，再继续分解，可得到结果． 【详解】解： ． 题型13.分组分解法 47．分解因式：___________． 【答案】 【详解】解： ． 48．若，则______． 【答案】12 【分析】本题考查了代数式求值，分组分解法分解因式，把化简为，再求出的值，代入求解即可，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ， ∵， ∴， ∴原式， 故答案为：12． 49．因式分解：． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解，采用分组分解法分解因式即可得出结果，熟练掌握因式分解的方法是解此题的关键． 【详解】解： ． 50．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分组分解法； （1）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解； （2）将多项式分组为，再进行因式分解，即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 题型14.因式分解的应用 51．若，，则______． 【答案】 【分析】先对所求多项式因式分解，再将已知条件整体代入计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 52．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 【答案】A 【分析】先设两个连续偶数，利用平方差公式推导出“豫数”的一般形式，再结合各选项判断正误． 【详解】解：设两个连续偶数分别为和（为整数，）， ∵ “豫数”可表示为两个连续偶数的平方差， ∴ 豫数 豫数是乘以奇数． 对选项逐一判断： A、，是奇数，且，符合“豫数”定义，选项正确； B、，是偶数，不符合“豫数”定义，选项错误； C、当时，得到最小豫数为，不是的倍数，选项错误； D、最小豫数为，选项错误． 53．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题采用作差法比较大小，对作差的算式利用完全平方公式化简，再根据平方数的非负性即可判断与的大小关系． 【详解】解： ∵任何实数的平方都满足， ∴ ， 即． 54．（1）实数a，b，c满足且，则的值为________． （2）已知a为实数，且，则的值是________． 【答案】 0 1 【分析】（1）利用得到，，，代入所求式子，结合已知条件即可求值； （2）对因式分解为，因此，得到或，求出的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解∶（1）∵， ∴，，， ∵ ∴ ． （2）∵ ， 又， ∴， ∴或， 当时，，， 当时，， ∴，此方程无实数解， ∴． 55．人类使用密码的历史悠久，特别是在当前信息化时代，密码为保护我们的个人隐私，起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学原理生成一组既容易记忆又难以破解的密码，十分有必要．利用因式分解可以生成密码，其原理是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某同学在读九年级，可以用年级生成密码，取，则有，，，其中，81，26，28分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码262881．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出生成的密码为 ． (2)某同学根据上述方法用年龄生成手机锁屏密码，选取的多项式为，已知该同学手机的锁屏密码是6位数字111519，则该同学当前年龄是多少岁？并说明理由． (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，请求出其他两个因式码． 【答案】(1)1426 (2)该同学的年龄是15岁，理由如下： ， ∵该同学手机的锁屏密码是6位数字111519， 又∵， ∴，，， 故该同学的年龄是15岁 (3)其他两个因式码为17和64 【分析】（1）先将因式分解，再将分别代入分解后的因式计算即可； （2）先将因式分解，再确定分解后的因式的大小关系，即可得x的值，即为该同学当前的年龄； （3）先将因式分解，再确定最小的因式，根据最小的因式码为15，即可得关于的方程，解方程求出，再代入另外两个因式求值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴当时，，， ∴密码为1426； （2）略 （3）解：， ∵取正整数，且由最小因式码为15知， ∴，即， 又∵， ∴为最小的因式， ∴， 解得， ∴，． 故其他两个因式码为17和64． 题型15.因式分解与新定义运算 56．定义新运算：对于任意实数，规定（，为常数），若，，将因式分解的结果为____________． 【答案】 【分析】根据新运算定义，将已知条件代入得到关于，的二元一次方程组，解方程组求出，的值，再得到的多项式，最后对多项式进行因式分解即可． 【详解】解：根据题意可得： ， 解得， ∴． 57．定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是______；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为______． 【答案】 5 1023669 【分析】本题考查数的规律探究，因式分解的应用，解题关键是通过推导得出“好数”为正奇数，再利用规律计算． 由变形得，代入，通过整式运算化简，结合，推出．因为a、b、不全为0，所以其中只有一个数为0，不妨设，则．将，代入，分析得出满足恒成立的正整数n是奇数，即“好数”为所有正奇数．按正奇数从小到大排列，找到第3个“好数”是5；确定大于100且不超过2025的正奇数，通过数的个数和首尾数，利用（首数尾数）个数的方法，算出这些“好数”的和． 【详解】解：由，得， 则 , ∵， ， 、b、c不全为零， 、b、c中只有一个数为零， 不妨设，从而， 恒成立即恒成立， 显然满足条件的正整数n为奇数， 即不超过2025的正整数中“好数”有1、3、5、、2025共1013个， 大于100且不超过2025的正整数中“好数”有963个， 第3个“好数”是5，大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为． 故答案为：5，． 58．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是__________． 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，平方差公式和解一元一次方程，根据新定义得到方程，再根据完全平方公式，平方差公式去括号，然后合并同类项，进而解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得 故答案为：． 59．定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___． 【答案】13 【分析】本题考查了新定义——“完美数”，熟练掌握完全平方公式的应用，是解题的关键． 利用完全平方公式分别把含x和y的项写成一个代数式的平方的形式，根据“完美数”的定义得，从而得到k的值． 【详解】解： ， ∵S为“完美数”， ∴， ∴， 故答案为：13． 60．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 【答案】(1)40，13，11 (2)见解析 (3)960是神秘数， (4)阴影部分面积的和为5000 【分析】（1）计算：用平方差公式；求48对应的两个连续奇数：设为和，则，得，对应； （2） 设两个连续奇数为和，则，是8的倍数，故神秘数一定是8的倍数； （3） 判断是否是8的倍数即可； （4）阴影面积和为，用平方差公式展开得，计算求解即可． 【详解】（1）解：． 设， 则，解得， 则，， 即． （2）解：设两个连续奇数为和，则 ， 是8的倍数， ∴“神秘数”一定是8的倍数． （3）解：设，解得， 则， ∴，960是神秘数． （4）解：阴影面积和 ． 答：阴影面积为5000． 题型16.整体换元法分解多项式 61．已知，，求的值_____． 【答案】 【分析】由题意可得，，，再将所求式子进行因式分解，最后整体代入计算即可得出结果． 【详解】解：∵，， ∴，，， ∴ ． 62．已知：，，则______． 【答案】 【分析】先提取公因式，然后用完全平方公式分解因式，将数据代入求出结果即可． 【详解】解： ， 因为， 原式 故答案为： 63．若，则的值是（） A．3 B．2 C．1 D．－1 【答案】A 【分析】此题考查了代数式求值，熟练掌握完全平方公式提公因式分解因式，整体代入求值，是解题的关键． 所求表达式通过因式分解变形简化，将已知条件代入计算即得． 【详解】解：∵ ∴当时，代入得，原式， 故选：A． 64．已知：，，求代数式的值． 【答案】 【分析】首先分母有理化得到，，从而计算出，，，把因式分解为，整体代入即可求解． 【详解】解：， ， ∴，，， ∴ ． 65．已知 ，，求： (1)； (2)． 【答案】(1)12 (2)48 【详解】（1）解：， 把 ，代入， 可得原式； （2）解：， 把 ，代入， 可得原式． 题型17.因式分解判定三角形形状题 66．已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是___________三角形． 【答案】等腰 【分析】本题考查了等腰三角形的判定，三角形的三边关系及因式分解，合理利用因式分解进行计算是解决本题的关键． 对，通过分组因式分解进行形式变形，再根据三角形中的三边关系，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴①， 又∵a，b，c是的三边， ∴， ∴①式中只能，即， ∴一定是等腰三角形． 故答案为：等腰． 67．已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是______． 【答案】等边三角形 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，利用平方差公式对原式正确的因式分解是解题的关键． 先分组因式分解，然后再根据非负数的性质求得a、b、c的关系即可解答． 【详解】解：， ， ， ，， ，， ， 是等边三角形． 故答案为：等边三角形． 68．的三边、、满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 【答案】A 【分析】此题考查了因式分解的应用；等式左边因式分解得，因为，所以，从而判定是等腰三角形． 【详解】解： ∵ ∴ 即：， ∴是等腰三角形， 故选：A． 69．（1）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集； （2）已知的三边、、满足，判断的形状并说明理由． 【答案】（1）；数轴表示见解析；（2）是等腰三角形，理由见解析 【分析】（1）分别解两个不等式，求出解集，然后取两个不等式解集的公共部分，求出不等式组的解集即可； （2）对题中的等式分组因式分解，然后根据三角形的三边关系求出，据此判断三角形的形状． 【详解】解：（1）， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 在数轴上表示如下： 不等式组的解集是； （2）是等腰三角形，理由如下： ， ， ， 的三边、、， ，即， ， ， 是等腰三角形． 题型18.因式分解中配方法应用 70．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； (3)当________，多项式有最小值，且最小值为________． 【答案】(1) (2)见解析 (3)； 【分析】本题主要考查因式分解的应用，灵活运用配方法、平方差公式、完全平方公式是解答本题的关键． （1）先仿照例子进行即可解答； （2）先仿照例子把原式变形为，然后根据平方的非负性即可解答； （3）先仿照例子把原式变形为，然后根据平方的非负性即可解答． 【详解】（1）解： （2）解： ， 即多项式的值总是一个正数； （3）解： ∵，且当时，取得最小值，为0， ∴当，多项式有最小值，且最小值为． 故答案为：； 71．［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 【答案】(1) 9 (2) (3) 最小值为6 (4) 【分析】（1）利用完全平方公式求解； （2）先凑成局部完全平方形式，再利用平方差公式进行因式分解； （3）将变形为完全平方加有理数的形式即可； （4）利用完全平方公式将变形为，求出x和y即可． 【详解】（1）解：， 故横线上添加9； （2）解： ； （3）解：； 由于，所以， 即的最小值为6； （4）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，， ∴，， ∴，， ∴． 72．阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)若，求的值； (3)若、、分别是的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 【答案】(1) (2)2 (3)为等边三角形，见解析 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，解题的关键是熟知完全平方公式的特点与非负性的应用； （1）根据完全平方公式因式分解即可； （2）先因式分解，再根据非负性即可求解； （3）先把原式化成几个平方和的形式，再根据非负性求解即可． 【详解】（1）解：∵， 故答案为：； （2）解：， ， ，， ，， ， ∴的值为； （3）解：， ， ， ， ，，， ，，， ， 为等边三角形． 题型19.因式分解整除性相关证明 73．方程的整数解为______． 【答案】或或或 【分析】对原方程整理变形，通过因式分解转化为两个整数因式乘积为定值的形式，再根据整数的性质分类讨论，得到方程所有的整数解． 【详解】解：对原方程移项整理得：， 等式两边同时加对左边因式分解得：，即 ， 因为，为整数， 所以，均为的整数因数， 因为的所有整数因数为，， 所以分情况计算得：当，时，解得，； 当，时，解得，； 当，时，解得，； 当，时，解得，． 74．已知关于的方程有三个互不相等的正整数解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，多项式与多项式相乘，熟练掌握因式分解的应用是解题的关键；根据方程有三个互不相等的正整数解，利用根与系数的关系，由常数项确定三个根的值，再代入求系数． 【详解】解：∵ ∴ 设方程的三个互不相等的正整数解为 、、， 则方程可因式分解为 ， 展开得： 与原方程 比较系数， 得：， 即：由于 、、 是互不相等的正整数， 因此 、、 分别为 1、2、3； 代入得： 所以： 故答案为：． 75．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 【答案】B 【分析】根据平方差公式，将进行因式分解，即可得出结论． 【详解】解： ， ∴能被65和63整除， ∴这两个整数是63和65． 76．能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除． 【详解】解：对原式变形提取公因式， ∵，是8的整数倍， ∴原式能被8整除． 77．求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂．因此，可以对底数或者指数变形、转化后，从而解决问题． (1)已知，，，求的值； (2)若，，判断a，b的大小关系，并说明理由； (3)判断能否被9整除，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)见详解 【分析】（1）逆用同底数幂的乘除法运算法则即可解答； （2）将化为底数为3的数字，再比较即可； （3）将原式各项化为含底数7的幂的表达式，提取公因式后，判断所得结果是否含有因数9，即可证明． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． （2）解：∵，，， ∴， ∴． （3）证明： ， 即能被9整除． 题型20.因式分解中最值问题. 78．多项式的最小值为________． 【答案】 【分析】根据完全平方公式将多项式分组配方，再利用偶次方的非负性，即可求出多项式的最小值． 【详解】解： ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 79．小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 【答案】 大 9 【分析】仿照小李同学的思路，由表示，代入 ，然后运用完全平方公式以及非负数的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∴ ， ， ∴， ∴有最大值9． 80．一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则______；若已知数m为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为______． 【答案】 162 4114 【分析】本题考查了因式分解的应用，涉及完全平方数的概念，新定义的实数运算，根据代入代数式计算即可；设，则，由题意得．由是一个完全平方数，结合，的取值范围，可得，从而得到的最小值，充分理解题意是解题的关键． 【详解】解：当时，． 设，则， ， ， ． 是一个完全平方数， 是一个完全平方数， ，， ， ，即， 当时，有最小值4， 此时的最小值为4114． 故答案为：162，4114． 81．已知实数满足，若，则的最大值是___________． 【答案】 【分析】本题考查因式分解应用，分式基本性质，解决本题关键是应用基本不等式求变量取值范围．根据条件即可得到，且，从而得到，再讨论，，情况，继而得到本题答案． 【详解】解：∵， ∴ ∴， ∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 当时，，此时不会是最大值， 当时，， ∵， ∴，即：， ∴的最大值为， 故答案为：． 82．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法．记为集合的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①，；②，则的最大值是（    ） A．1 B．2025 C．2024 D．2023 【答案】C 【分析】本题考查集合元素个数与子集个数的关系，熟练掌握集合的相关性质是解题的关键． 先利用集合元素个数与子集个数的关系，将等式转化为2的幂次方程，求出和的值，再结合集合交集、并集的容斥关系，求的最大值． 【详解】解：设，， ∵若集合有个元素，则其子集个数为， ∴，，，， 由题意得， 化简左边：，故， 分情况讨论： 1. 若，提取得，括号内为奇数（偶数+1），无法等于偶数，矛盾， 2. 若，提取得，括号内为奇数（奇数+偶数），无法等于偶数，矛盾， ∴，此时左边，故， 即，， 要使最大，需让的元素尽可能多， ∵， 由上述信息得，结合，若的元素尽可能多， 则考虑的情况，，此时，故， 由容斥原理：， ∴， 若假设，因为 ，则且，此时，由容斥原理，即，解得，又因为且，则，即，产生矛盾，故假设不成立； 故的最大值为． 83．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A．16 B．22 C．34 D．36 【答案】D 【分析】由得.由于，据此列出关于m、n的方程组，求出每一组m、n的值，再求出相应的的值，即可找到的最大值. 【详解】由得 ∵m，n均为正整数 或或或 或或或    或 解得或或或或或或或 ∴或22或18或16 ∴的最大值是36 故选：D 【点睛】本题主要考查了因式分解的应用，解题的关键是将变形为. 84．在整数中，很多整数都能表示成（是整数）的形式．例如可以表示成的形式． (1)请将写成（是整数）的形式； (2)已知（其中是整数，是一个确定的数），若能表示成（是整数）的形式，请找出一个符合条件的的值，并说明理由． (3)已知整数满足，求的最小值． 【答案】(1) (2)，此时满足的形式；理由见解析 (3)的最小值为 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，完全平方公式的应用． （）找到两个平方数之和等于的组合，即可得到的形式； （）先对的表达式进行配方，将其整理为两个完全平方式加常数项的形式，再让常数项为，即可确定的值，使符合的形式； （）先从已知等式中用含的代数式表示，再代入得到关于的表达式，再通过配方得到，再由完全平方的非负性求解最值． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：，此时满足的形式， 理由如下： ∵若能表示成（是整数）的形式，需要消去常数项， ∴，即， 此时满足的形式； （3）解：， 整理得： 则 将其配方： . ∵， ∴当，即时， ∴取得最小值：． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题07因式分解期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.理解因式分解定义：把多项式化成几个整式积的形式，分清因式分解与整式乘法的互逆关系。 2.熟记两种基本方法：提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式），牢记公式结构特征。 3.掌握因式分解解题步骤：一提、二套、三检查，知道分解要彻底，不能再继续分解。 4.了解简单分组分解题型思路，清楚常见易错公式变形。 1.快速找准多项式各项公因式（系数、相同字母最低次幂），熟练提取公因式。 2.能观察多项式形式，准确选用平方差或完全平方公式分解因式。 3.能综合 “提公因式 + 套公式” 两步分解复合型多项式。 4.会利用因式分解进行简便计算、代数式求值。 1.选择填空：区分整式乘法与因式分解，公式不混用，基础分解零失误。 2.基础解答：严格按照分解步骤做题，分解结果务必彻底。 3.中档题型：综合题型先提公因式再套用公式，熟练解决化简求值、简便运算考题。 题型01.因式分解的判断 题型02.因式分解的参数问题 题型03.公因式 题型04.提公因式法分解因式 题型05.公式法分解因式判断 题型06.平方差公式分解因式 题型07.完全平方公式分解因式 题型08.综合运用公式法分解因式 题型09.综合法分解因式 题型10.实数范围内分解因式 题型11.因式分解与有理数简算 题型12.十字相乘法 题型13.分组分解法 题型14.因式分解的应用 题型15.因式分解与新定义运算 题型16.整体换元法分解多项式 题型17.因式分解判定三角形形状题 题型18.因式分解中配方法应用 题型19.因式分解整除性相关证明 题型20.因式分解中最值问题. 知识点01:因式分解概念 1.定义：把一个多项式化成几个整式乘积的形式。 2.互逆关系 整式乘法：几个整式相乘→多项式（由积化和差） 因式分解：多项式→几个整式相乘（由和差化积） 3.三大判定标准 ①左边是多项式；②右边全是整式相乘，不含加减；③分解彻底，因式不能再拆分。 知识点02:两大基本分解方法 （一）提公因式法 1. 公因式确定方法 三步法：系数取最大公约数，字母取公共字母，指数取最低次幂 2. 公式与典型形式 基本公式：ma+mb+mc=m(a+b+c) 常见题型 示例 注意事项 首项为负 -2x+4y=-2(x-2y) 提出负号，括号内全变号 提公后补 1 x2+x=x(x+1) 单独一项提出后，括号里别漏写 1 互为相反数因式 (a-b)2=(b-a)2 (a-b)=-(b-a) 偶数次幂不变号，奇数次幂变号 解题步骤：找公因式 → 提公因式 → 检查 (二）公式法（两个必考公式） 公式名称 公式形式 多项式结构特征 平方差公式 a2-b2=(a+b)(a-b) 二项式、两项异号、两项都能写成平方 完全平方和 a2+2ab+b2=(a+b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为2ab 完全平方差 a2-2ab+b2=(a-b)2 三项式、首尾平方同正、中间项为-2ab 补充：公式里的a、b可以是单项式，也可以是多项式（整体思想）。 知识点03:因式分解通用四步骤 步骤 操作要求 一提 优先提取公因式（含负号），解题第一步必做 二套 两项套平方差公式，三项套完全平方公式 三查 检查每个因式能否继续分解 四整理 化简符号，规范书写结果 知识点04:四大必考题型 1.单纯提公因式型：侧重符号、不漏常数 1； 2.先提公因式再平方差：最常考中档计算题； 3.先提公因式再完全平方：解答题高频； 4.整体换元型：把代数式整体代换，期末难点。 知识点05:易错汇总 错误做法 正确做法 出错原因 不提公因式直接套用公式 先提公因式，再套用公式 解题顺序混乱，分解不彻底 两项同号套用平方差公式 平方差必须两项异号 公式特征记混 完全平方中间项缺少系数 2 中间项必须是两倍乘积 公式记忆不全 首项为负不提负号 首项负，先提取负号 书写格式不规范 提取公因式后空位不写 1 全部提完剩余项补 1 细节疏漏 分解结果还有加减算式 结果必须全部写成乘积形式 概念理解错误 参数题只写单一答案 分类讨论，正负双解 考虑问题不全面 题型01.因式分解的判断 1．下列式子从左到右的变形，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列从左到右的变形，是因式分解的是（     ） A． B． C． D． 3．下列各式由左到右的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D．前三个都是 题型02.因式分解的参数问题 4．已知，则a的值为（    ） A．1 B．3 C． D． 5．已知二次三项式有一个因式是，则m的值为____________． 6．要使二次三项式在整数范围内能进行因式分解，那么整数的取值可以有（） A．4个 B．5个 C．8个 D．无数个 7．已知关于，的二次式可分解为两个一次因式的乘积，求的值． 题型03.公因式 8．多项式中，各项的最大公因式是（　　） A． B． C． D． 9．下列各组式子中，没有公因式的是（    ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．（1）多项式的公因式是_____； （2）多项式的公因式是_____； （3）多项式的公因式是_____； （4）多项式的公因式是_____． 题型04.提公因式法分解因式 11．分解因式：____________． 12．如图，边长为，的矩形的周长为，面积为，则的值是（    ） A． B． C． D． 13．把下列各式因式分解： (1)； (2)； (3)； (4)． 14．已知，，利用因式分解求的值． 题型05.公式法分解因式判断 15．下列多项式能用平方差公式分解因式的是（    ） A． B． C． D． 16．下列各式：①；②；③；④；⑤，可以用公式法分解因式的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 17．下列不能用公式法因式分解的多项式是（    ） A． B． C． D． 题型06.平方差公式分解因式 18．分解因式：_______． 19．若是整数，则下列选项的值一定为偶数的是（     ） A． B． C． D． 20．分解因式：（     ） A． B． C． D． 21．分解因式 (1) (2) 22．分解因式：． 题型07.完全平方公式分解因式 23．分解因式：________． 24．若实数，，满足，，则的值为(   ) A．0 B．1 C．2 D．3 25．把下列各式因式分解： (1)． (2)． 26．因式分解： 题型08.综合运用公式法分解因式 27．把因式分解的结果是________． 28．将分解因式，所得结果正确的是（    ） A． B． C． D． 29．因式分解：． 30．阅读下列解题的过程． 分解因式： 解： 请按照上述解题思路完成下列因式分解： (1)； (2)． 题型09.综合法分解因式 31．因式分解：________． 32．下列各因式分解正确的是（     ） A． B． C． D． 33．分解因式： (1)； (2)． 34．因式分解： (1)； (2)． 题型10.实数范围内分解因式 35．将代数式在实数范围内进行因式分解的结果是（    ） A． B． C． D． 36．在实数范围内分解因式：______． 37．在实数范围内分解因式： ______________． 38．在实数范围内分解因式：__________． 题型11.因式分解与有理数简算 39．分式，，的最简公分母是（    ） A． B． C． D． 40．利用平方差公式计算，结果为______． 41．已知 为互不相等的非零实数，满足 ，则 __________． 42．利用公式简便运算： (1)； (2)． 题型12.十字相乘法 43．因式分解：_______． 44．下列因式分解正确的是（    ） A． B． C． D． 45．因式分解：． 46．分解因式：． 题型13.分组分解法 47．分解因式：___________． 48．若，则______． 49．因式分解：． 50．阅读材料：因式分解有多种方法，除了提公因式法、公式法，还有分组分解法．例如：分解因式，我们可以把它分组为，然后提公因式，得． 请根据材料，解决下列问题： (1)因式分解：； (2)因式分解：． 题型14.因式分解的应用 51．若，，则______． 52．定义如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“豫数”．如，，，因此4、12、20都是“豫数”，有关“豫数”说法正确的是（　　） A．28是“豫数” B．32是“豫数” C．所有“豫数”都是6的倍数 D．最小的“豫数”是2 53．已知a，b满足等式，，，则x，y的大小关系是（   ） A． B． C． D． 54．（1）实数a，b，c满足且，则的值为________． （2）已知a为实数，且，则的值是________． 55．人类使用密码的历史悠久，特别是在当前信息化时代，密码为保护我们的个人隐私，起到了不可或缺的作用．诸如“1234”或生日等简单密码非常容易被破解，因此利用数学原理生成一组既容易记忆又难以破解的密码，十分有必要．利用因式分解可以生成密码，其原理是：将多项式分解因式，如多项式就可以分解成，再对因式赋值生成正整数或0的因式码，比如某同学在读九年级，可以用年级生成密码，取，则有，，，其中，81，26，28分别为因式码．将这三个因式码按从小到大的顺序排列就形成密码262881．当然也可以取另外一些适当的数字，得出新的密码． (1)根据上述方法，若多项式为，当时，请直接写出生成的密码为 ． (2)某同学根据上述方法用年龄生成手机锁屏密码，选取的多项式为，已知该同学手机的锁屏密码是6位数字111519，则该同学当前年龄是多少岁？并说明理由． (3)已知多项式，当x取正整数时，用上述方法生成密码，若密码中最小的因式码为15，请求出其他两个因式码． 题型15.因式分解与新定义运算 56．定义新运算：对于任意实数，规定（，为常数），若，，将因式分解的结果为____________． 57．定义：若a，b，c不全为0，且满足，，如果正整数n使得恒成立，那么正整数n称为“好数”．例如，当时，恒成立，所以1是“好数”．把所有“好数”按从小到大的顺序排列，则第3个“好数”是______；大于100且不超过2025的正整数中所有“好数”的和为______． 58．将个数，，，排成两行、两列，两边各加一条竖直线记成，定义上述式子叫做阶行列式．若，则的值是__________． 59．定义：一个整数能表示成、是整数）的形式，则称这个数为“完美数”．已知、是整数，是常数），要使为“完美数”，试写出符合条件的一个值___． 60．【新定义】一个正整数能表示为两个连续奇数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”． 例如：，，，，… 因此8，16，24，32都是“神秘数”． (1)【数学理解】根据“神秘数”规律填空： （__________）；（__________）（__________）； (2)【深入探究】设两个连续的奇数中，较小的奇数为（其中n取正整数），试说明“神秘数”一定是8的倍数； (3)【知识技能】我国的国土面积为960万平方公里，960是神秘数吗？如果是，请把这个神秘数分成两个连续的正奇数的平方差；如果不是，请说明理由； (4)【知识拓展】如图所示，拼叠的正方形边长是从1开始的连续奇数，最小的正方形边长为1，第2个正方形边长为3，第3个正方形边长为5…，按此规律拼接到正方形，正方形的边长为99，求阴影部分面积的和． 题型16.整体换元法分解多项式 61．已知，，求的值_____． 62．已知：，，则______． 63．若，则的值是（） A．3 B．2 C．1 D．－1 64．已知：，，求代数式的值． 65．已知 ，，求： (1)； (2)． 题型17.因式分解判定三角形形状题 66．已知的三条边的长度依次为a，b，c，且满足，则一定是___________三角形． 67．已知a，b，c为三边的长，当时，则的形状是______． 68．的三边、、满足，则是（   ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等边三角形 D．锐角三角形 69．（1）解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集； （2）已知的三边、、满足，判断的形状并说明理由． 题型18.因式分解中配方法应用 70．“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的形式，巧妙地运用“配方法”能对一些多项式进行因式分解． 例如：． (1)运用配方法将多项式进行因式分解：； (2)试说明多项式的值总是一个正数； (3)当________，多项式有最小值，且最小值为________． 71．［阅读材料］：把代数式通过配方等手段，得到局部完全平方式，再进行有关运算和解题，这种解题方法叫做配方法．配方法在因式分解、解方程、求最值问题等中都有着广泛的应用． 例1：用配方法因式分解：． 原式 例2：求的最小值． 解：； 由于，所以， 即的最小值为5． (1)［类比应用］：在横线上添上一个常数项使之成为完全平方式：______； (2)仿照例1的步骤，用配方法因式分解：； (3)仿照例2的步骤，求的最小值； (4)若，则______． 72．阅读材料：把形如的二次三项式（或其中一部分）配成完全平方式的方法叫配方法．配方法的基本形式是完全平方公式的逆写，即．请根据阅读材料解决下列问题： (1)分解因式：________； (2)若，求的值； (3)若、、分别是的三边长，且，试判断的形状，并说明理由． 题型19.因式分解整除性相关证明 73．方程的整数解为______． 74．已知关于的方程有三个互不相等的正整数解，则的值为______． 75．已知可以被60到70之间的某两个整数整除，则这两个数是（     ） A．61，63 B．63，65 C．65，67 D．63，64 76．能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 77．求相同因数的积的运算叫作乘方，相同因数叫作底数，相同因数的个数叫作指数，乘方运算的结果叫作幂．因此，可以对底数或者指数变形、转化后，从而解决问题． (1)已知，，，求的值； (2)若，，判断a，b的大小关系，并说明理由； (3)判断能否被9整除，并说明理由． 题型20.因式分解中最值问题. 78．多项式的最小值为________． 79．小李同学在解决问题“已知，求的最小值”时，给出框图中的思路： ∵， ∴， 则， ∵， ∴， ∴的最小值为． 结合以上小李同学的思路探究：若，则式子有最________（填大或小）为________． 80．一个各位数字都不为0的四位正整数m，若千位与个位数字相同，百位与十位数字相同，则称这个数m为“双胞蛋数”，将千位与百位数字交换，十位与个位数字交换，得到一个新的“双胞蛋数”，并规定，则______；若已知数m为“双胞蛋数”，且千位与百位数字互不相同，是一个完全平方数，则满足条件的m的最小值为______． 81．已知实数满足，若，则的最大值是___________． 82．数学家康托尔创立了集合论，集合论的产生丰富了现代计数方法．记为集合的元素个数，为集合S的子集个数，若集合A，B，C满足：①，；②，则的最大值是（    ） A．1 B．2025 C．2024 D．2023 83．已知m，n均为正整数且满足，则的最大值是（    ） A．16 B．22 C．34 D．36 84．在整数中，很多整数都能表示成（是整数）的形式．例如可以表示成的形式． (1)请将写成（是整数）的形式； (2)已知（其中是整数，是一个确定的数），若能表示成（是整数）的形式，请找出一个符合条件的的值，并说明理由． (3)已知整数满足，求的最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $