2026年中年数学复习圆解答题专项练习

**基本信息** 聚焦中考圆解答题，通过24道各地真题构建"性质应用-辅助线构造-综合计算"的递进训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |切线证明|8题（如3、9题）|连半径证垂直、用全等/相似转化角关系|切线性质→直角三角形→三角函数/勾股定理| |弦长与角度计算|7题（如2、5题）|构造垂径定理模型、圆周角与圆心角转化|垂径定理→勾股定理→方程思想| |阴影面积与动态问题|5题（如7、12题）|扇形面积公式、分割法求不规则图形|圆的对称性→图形转化→面积公式应用| |综合应用|4题（如17、22题）|多辅助线综合（连直径、作垂线等）|圆与三角形/四边形性质融合→综合推理|

中考复习 圆解答题专项练习 1．（2025•无锡）如图，AB是⊙O的直径，D是弦AC延长线上的一点，且CD＝CA，DB的延长线交⊙O于点E．（1）求证：AB＝BD；（2）若AB＝3，cos∠ABE，求AD的长． 2．（2025•安徽）如图，四边形ABCD的顶点都在半圆O上，AB是半圆O的直径，连接OC，∠DAB+2∠ABC＝180°．（1）求证：OC∥AD；（2）若AD＝2，BC＝2，求AB的长． 3．（2025•南通）如图，PA与⊙O相切于点A，AC为⊙O的直径，点B在⊙O上，连接PB，PC，且PA＝PB．（1）连接OB，求证：OB⊥PB；（2）若∠APB＝60°，PA＝2，求图中阴影部分的面积． 4．（2025•广元）如图，AB是⊙O的直径，点D是线段BA延长线上一点，过点D的直线与⊙O相切于点C，过线段OB上一点E作AB的垂线交DC的延长线于点F，交BC于点G． （1）求证：∠F＝2∠B；（2）若AO＝4，AD＝OE＝1，求FG的长． 5．（2025•兰州）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，过点B的切线交AC的延长线于点D，连接DO并延长，交⊙O于点E，连接AE，CE． （1）求证：∠ADB＝∠AEC；（2）若AB＝4，cos∠AEC，求OD的长． 6．（2025•浙江）如图，在△ABC中，AB＝AC，点O在边AB上，以点O为圆心，OB长为半径的半圆，交BC于点D，与AC相切于点E，连接OD，OE． （1）求证：OD⊥OE．（2）若AB＝BC，OB，求四边形ODCE的面积． 7．（2025•北京）如图，过点P作⊙O的两条切线，切点分别为A，B，连接OA，OB，OP，取OP的中点C，连接AC并延长，交⊙O于点D，连接BD． （1）求证：∠ADB＝∠AOP； （2）延长OP交DB的延长线于点E．若AP＝10，tan∠AOP，求DE的长． 8．（2025•湖北）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠BAC＝45°．过点O作DF⊥AB，垂足为E，交AC于点D，交⊙O于点F．过点F作⊙O的切线，交CA的延长线于点G． （1）求证：FD＝FG；（2）若AB＝12，FG＝10，求⊙O的半径． 9．（2025•东营）如图，AB是⊙O的直径，C，D是⊙O上的两点，，DF⊥BC于点F，延长FD交BA的延长线于点E，连接BD． （1）求证：DF是⊙O的切线；（2）若⊙O的半径为1，求图中阴影部分的面积． 10．（2025•南充）如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，交AC于点F，M为线段DB上一点，ME＝MD． （1）求证：ME是⊙O的切线；（2）若CF＝3，sinB，求OM的长． 11．（2025•济南）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，P为⊙O外一点，OP∥AC，且∠OBP＝90°，连接PC．（1）求证：PC与⊙O相切；（2）若AO＝3，OP＝5，求AC的长． 12．（2025•武汉）如图，点A，B，C，D在⊙O上，BD是直径，∠BAC＝45°，过点C作CE∥BD交AB的延长线于点E． （1）求证：CE是⊙O的切线．（2）若BD＝4，tan∠ABD＝2，求图中阴影部分的面积． 13．（2025•资阳）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB是⊙O的直径，∠BAC的平分线交⊙O于点D，过点D作BC的平行线交AC的延长线于点E． （1）求证：DE是⊙O的切线；（2）若∠BAC＝60°，，求⊙O的半径． 14．（2025•齐齐哈尔）如图，△ABC内接于⊙O，AB为⊙O的直径，点D在AB的延长线上，连接CD，∠BCD＝∠A，过点B作BE⊥AD，交CD于点E． （1）求证：CD是⊙O的切线； （2）若点B是AD的中点，且BE＝3，求⊙O的半径． 15．（2025•苏州）如图，在四边形ABCD中，BD＝CD，∠C＝∠BAD．以AB为直径的⊙O经过点D，且与边CD交于点E，连接AE，BE． （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）若AB，sin∠AED，求BE的长． 16．（2025•盐城）如图，AB是⊙O的弦，过点B作直线EF，以O为顶点作∠AOC＝90°，分别交EF，AB于点C，D，若CB＝CD． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由． （2）若⊙O的半径为3，，求BC的长． 17．（2025•大庆）如图，DE为△ADE外接圆⊙O的直径，点C为线段DO上一点（不与D，O重合），点B为OD的延长线上一点，连接BA并延长至点M，满足∠CAE＝∠MAE． （1）求证：AD平分∠BAC；（2）证明：OE2＝OB•OC； （3）若射线BM与⊙O相切于点A，DC＝3，BD：OC＝10：9，求tan∠AED的值． 18．（2025•乐山）如图，⊙O为△ABD的外接圆，直径AB垂直于弦DE，垂足为点F．点C为圆外一点，连结BE、BC、CD，∠DBC＝∠DEB． （1）求证：BC为⊙O的切线； （2）若BE∥CD，tanC，CD＝5，求OF的长． 19．（2025•威海）如图，PA是⊙O的切线，点A为切点．点B为⊙O上一点，射线PB，AO交于点C，连接AB，点D在AB上，过点D作DF⊥AB，交AP于点F，作DE⊥BP，垂足为点E．AD＝BE，BD＝AF．（1）求证：PB是⊙O的切线；（2）若AP＝4，sin∠C，求⊙O的半径． 20．（2025•陕西）如图，点O在△ABC的边AC上，以OC为半径的⊙O与AB相切于点D，与BC相交于点E，EF为⊙O的直径，FD与AC相交于点G，∠F＝45°． （1）求证：AB＝AC；（2）若，AB＝8，求DG的长． 21．（2025•烟台）如图，△ABC内接于⊙O，∠ABC＝2∠C，点D在线段CB的延长线上，且BD＝AB，连接AD． （1）求证：AD是⊙O的切线；（2）当AB＝5，AC＝8时，求BC的长及⊙O的半径． 22．（2025•雅安）如图，△ABC中，∠B＝90°，AM是角平分线，O是AC上一点，经过点A、点M的⊙O分别交AB，AC于点E，点F． （1）判断BC与⊙O的位置关系，并说明理由；（2）求证：CM2＝CF•CA； （3）若，求AE的长． 23．（2025•辽宁）如图，在△ABC中，AC＝BC，以AB为直径作⊙O，与AC相交于点D．连接OC，与⊙O相交于点E． （1）如图1，连接DE，求∠ADE的度数；（2）如图2，若点D为AC的中点，且AC＝6，求的长． 24．（2025•天津）已知AB与⊙O相切于点C，OA＝OB，∠AOB＝80°，OB与⊙O相交于点D，E为⊙O上一点． （Ⅰ）如图①，求∠CED的大小； （Ⅱ）如图②，当EC∥OA时，EC与OB相交于点F，延长BO与⊙O相交于点G，若⊙O的半径为3，求ED和EG的长． 参考答案与试题解析 1．【解答】（1）证明：连接BC， ∵AB是圆的直径， ∴∠ACB＝90°， ∴BC⊥AD， ∵CD＝CA， ∴BC垂直平分AD， ∴AB＝BD； （2）解：连接AE， ∵AB是圆的直径， ∴∠E＝90°， ∴cos∠ABE， ∴BE＝1， ∴AE2＝AB2﹣BE2＝8， 由（1）知BD＝AB＝3， ∴DE＝BD+BE＝4， ∴AD2． 2．【解答】（1）证明：∵∠AOC＝2∠ABC，∠DAB+2∠ABC＝180°． ∴∠DAB+∠AOC＝180°， ∴OC∥AD． （2）解：连接BD，交OC于点E， ∵AB是半圆O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵OC∥AD， ∴， ∵OA＝OB， ∴EB＝DE， ∴OC⊥BD，且OE是△ABD的中位线， ∴， 设半圆的半径为r，则CE＝r﹣1， 在Rt△OEB中，BE2＝OB2﹣OE2＝r2﹣1， 在Rt△CEB中，BE2＝BC2﹣CE2＝12﹣（r﹣1）2， 即r2﹣1＝12﹣（r﹣1）2， 解得r1＝3，r2＝﹣2（舍去）， 故AB＝2r＝6． 3．【解答】（1）证明：如图，连接OP， ∵PA与⊙O相切， ∴OA⊥PA， ∴∠OAP＝90°， 在△AOP和△BOP中， ， ∴△AOP≌△BOP（SSS）， ∴∠OBP＝∠OAP＝90°， ∴OB⊥PB； （2）解：如图，连接BC， ∵∠OBP＝∠OAP＝90°，∠APB＝60°， ∴∠AOB＝120°， ∴∠COB＝60°， ∵OB＝OC， ∴△BOC为等边三角形， ∴∠OCB＝60°， 由（1）可知：∠AOP＝∠BOP＝60°， ∴∠AOP＝∠OCB，OA2， ∴OP∥BC， ∴S△PCB＝S△OCB， ∴S阴影部分＝S扇形OCB． 4．【解答】（1）证明：连接OC，如图， ∵点D的直线与⊙O相切于点C， ∴OC⊥CD， ∴∠OCF＝90°， ∵FE⊥AB， ∴∠OEF＝90°， ∴∠F+∠COE＝180°， ∵∠AOC+∠COE＝180°， ∴∠AOC＝∠F， ∵∠AOC＝2∠B， ∴∠F＝2∠B； （2）解：在Rt△OCD中，∵OC＝OA＝4，OD＝OA+AD＝4+1＝5， ∴CD3， ∵∠ODC＝∠FDE，∠OCD＝∠FED， ∴△DOC∽△DFE， ∴， 即， 解得DF＝10， ∴FC＝DF﹣CD＝10﹣3＝7， ∵OB＝OC， ∴∠B＝∠OCB， ∵∠OCB+∠FCG＝90°，∠B+∠BGE＝90°， ∴∠FCG＝∠BGE， 而∠BGE＝∠FGC， ∴∠FCG＝∠FGC， ∴FG＝FC＝7． 5．【解答】（1）证明：∵BD为⊙O的切线， ∴AB⊥BD， ∴∠ABD＝90°， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°， ∵∠ADB+∠BAD＝90°，∠ABC+∠BAD＝90°， ∴∠ADB＝∠ABC， ∵∠ABC＝∠AEC， ∴∠ADB＝∠AEC； （2）解：∵∠ADB＝∠AEC， ∴cos∠ADB＝cos∠AEC， 在Rt△ABD中，∵cos∠ADB， ∴设BDx，AD＝3x， ∴AB2x， 即2x＝4， 解得x＝2， ∴BD＝2， 在Rt△OBD中，∵OB＝2，BD＝2， ∴OD2． 6．【解答】（1）证明：∵AB＝AC， ∴∠B＝∠C， 由作图可知：OB＝OD， ∴∠B＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠C， ∴OD∥AC， ∵以点O为圆心，OB长为半径的半圆与AC相切于点E， ∴OE⊥AC， ∴OD⊥OE； （2）解：∵AB＝AC，AB＝BC， ∴△ABC为等边三角形， ∴∠A＝60°， 在Rt△AEO中，OE＝OD＝OB， 则OA2，AE1， ∴AB＝2， ∴EC＝AC﹣AE＝21＝1， 则四边形ODCE的面积为：（1）3． 7．【解答】（1）证明：∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点， ∴OP平分∠AOB， ∴， 又∵， ∴， ∴∠ADB＝∠AOP； （2）解：延长AO交⊙O于点F，连接DF，则∠ADF＝90°， ∵AP，BP分别切⊙O于A点，B点， ∴PA⊥OA， ∵C为OP的中点， ∴PC＝OC， ∴， 又∵AP＝10，， ∴，，，AF＝2AO＝40， ∵AC＝OC， ∴∠CAO＝∠AOC， 又∵∠PAO＝∠ADF＝90°， ∴△AOP∽△DAF， ∴， ∴，， ∵∠AOP＝∠ADB，∠ACO＝∠ECD， ∴△ACO∽△ECD， ∴， ∴． 8．【解答】（1）证明：∵DF⊥AB，GF是⊙O的切线，即DF⊥GF， ∴AB∥GF， ∴∠BAC＝∠G＝45°， ∴∠FDG＝90°﹣45°＝45°，即△DFG是等腰直角三角形， ∴FD＝FG； （2）解：∵DF⊥AB， ∴， ∵∠BAC＝45°， ∴∠ADE＝90°﹣45°＝45°，即△ADE是等腰直角三角形， ∴EA＝ED＝6． 由（1）得FD＝FG＝10， ∴EF＝DF﹣DE＝10﹣6＝4， 如图所示，连接OA，设OE＝x，则OF＝OE+EF＝x+4＝OA， ∴在Rt△AOE中，OA2＝AE2+OE2， ∴（x+4）2＝62+x2， 解得，， ∴， ∴⊙O的半径为． 9．【解答】（1）证明：如图，连接OD， ∵， ∴∠ABD＝∠FBD， ∵OB＝OD， ∴∠ABD＝∠ODB， ∴∠ODB＝∠FBD， ∴OD∥BF， ∵DF⊥BC， ∴DF⊥OD， ∵OD是⊙O的半径， ∴DF是⊙O的切线； （2）解：∵， ∴∠DOE＝180°60°， ∴DE＝OD•tan∠DOE， ∴S阴影部分＝S△EOD﹣S扇形AOD1． 10．【解答】（1）证明：连接OE，DF，如图所示： ∵CD为⊙O的直径，点E在⊙O上， ∴OD＝OE＝OC， 在△OME和△OMD中， ， ∴△OME≌△OMD（SSS）， ∴∠OEM＝∠ODM， ∵CD⊥AB， ∴∠ODM＝90°， ∴∠OEM＝90°， 即OE⊥ME， 又∵OE是⊙O的半径， ∴ME是⊙O的切线； （2）解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB， ∴∠A+∠B＝90°，∠A+∠DCF＝90°， ∴∠B＝∠DCF， ∵sinB， ∴sin∠DCF， ∵CD为⊙O的直径， ∴∠DCF＝90°， 在Rt△DCF中，sin∠DCF， 设DF＝4x，CD＝5x， 由勾股定理得：CF3x， ∵CF＝3， ∴3x＝3， 解得：x＝1， ∴CD＝5x＝5， ∴ODCD＝2.5， 由（1）可知：△OME≌△OMD， ∴∠EOM＝∠DOM， ∴∠DOE＝∠EOM+∠DOM＝2∠DOM， ∵OE＝OC， ∴∠OEC＝∠OCE， ∵∠DOE是△OCE的外角， ∴∠DOE＝∠OEC+∠OCE＝2∠OCE， ∴2∠DOM＝2∠OCE， ∴∠DOM＝∠OCE， ∴OM∥BC， ∴∠OMD＝∠B， ∴sin∠OMD＝sin∠B， 在Rt△ODM中，sin∠OMD， ∴， ∴OM． 11．【解答】（1）证明：连接OC， ∵OC＝OA， ∴∠OAC＝∠OCA， ∵OP∥AC， ∴∠OAC＝∠BOP，∠OCA＝∠COP， ∴∠COP＝∠BOP， ∵OP＝OP，OC＝OB， ∴△COP≌△BOP（SAS）， ∴∠OCP＝∠OBP＝90°， ∴OC⊥PC， ∴PC与⊙O相切； （2）解：连接BC交OP于点D， ∵△COP≌△BOP， ∴PC＝PB，OB＝OC， ∴OP垂直平分BC， ∵AO＝BO＝3，OP＝5，∠OBP＝90°， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵AB是⊙O的直径， ∴AB＝2OA＝6，∠ACB＝90°， ∴． 12．【解答】（1）证明：连接OC， ∵∠BAC＝45°， ∴∠BOC＝2∠BAC＝90°， ∵CE∥BD， ∴∠OCE＝180°﹣∠BOC＝90°， ∵OC是⊙O的半径，且CE⊥OC， ∴CE是⊙O的切线． （2）解：作BF⊥CE于点F，则∠BFE＝∠BFC＝90°， ∵∠BFC＝∠OCF＝∠BOC＝90°， ∴四边形BOCF是矩形， ∵BD是⊙O的直径，且BD＝4， ∴OC＝OBAB＝2， ∴四边形BOCF是正方形， ∴BF＝OB＝2， ∵∠E＝∠ABD，tan∠ABD＝2， ∴tanE＝tan∠ABD＝2， ∴EFBF＝1， ∴S阴影＝S△BEF+S正方形BOCF﹣S扇形BOC1×2+225﹣π， ∴阴影部分的面积为5﹣π． 13．【解答】（1）证明：连接OD，则OD＝OA， ∴∠ODA＝∠BAD， ∵∠BAC的平分线交⊙O于点D， ∴∠CAD＝∠BAD， ∴∠ODA＝∠CAD， ∴OD∥AC， ∵AB是⊙O的直径，DE∥BC， ∴∠E＝∠ACB＝90°， ∴∠ODE＝180°﹣∠E＝90°， ∵OD是⊙O的半径，且DE⊥OD， ∴DE是⊙O的切线． （2）解：设OD交BC于点F， ∵∠ACB＝90°， ∴∠FCE＝90°， ∵∠FDE＝∠E＝90°， ∴四边形CEDF是矩形， ∴DF＝CE，∠CFD＝90°， ∵OD∥AC， ∴∠BOD＝∠BAC＝60°， ∵OD＝OB， ∴△DOB是等边三角形， ∵BC⊥OD于点F， ∴OF＝DF， ∴OD＝2DF＝2， ∴⊙O的半径是2． 14．【解答】（1）证明：连接OC， ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ACB＝90°． ∴∠A+∠ABC＝90°． ∵OB＝OC， ∴∠ABC＝∠OCB， ∵∠BCD＝∠A， ∴∠BCD+∠OCB＝90°， 即∠OCD＝90°， ∴OC⊥CD， ∵OC为⊙O的半径， ∴CD是⊙O的切线； （2）解：∵点B是AD的中点， ∴BD＝AB＝2OC． ∵OB＝OC， ∴OD＝OB+BD＝3OC， ∴， ∵BE⊥AD， ∴∠DBE＝90°， 又∵∠OCD＝90°， ∴． ∴DE＝3BE＝9， 在Rt△DBE中， ， ∴， 即⊙O半径为． 15．【解答】（1）证明：∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB＝90°， ∵BD＝CD， ∴∠C＝∠DBC， ∵∠C＝∠BAD， ∴∠DBC＝∠BAD， ∴∠OBC＝∠ABD+∠DBC＝∠ABD+∠BAD＝90°， ∵OB是⊙O的半径，且BC⊥OB， ∴BC为⊙O的切线． （2）解：作DF⊥BC于点F，则∠BFD＝∠CFD＝∠ABC＝90°，BF＝CF， ∴DF∥AB， ∵∠ABD＝∠AED，AB， ∴sin∠ABD＝sin∠AED， ∴ADAB1， ∴BD3， ∵∠BDF＝∠ABD， ∴sin∠BDF＝sin∠ABD， ∴BFBD3， ∵∠BEC＝∠BAD＝180°﹣∠BED，∠C＝∠BAD， ∴∠BEC＝∠C， ∴BE＝BC＝2BF＝2， ∴BE的长是． 16．【解答】解：（1）直线EF与⊙O相切， 理由：∵OA＝OB， ∴∠A＝∠OBA， ∵CB＝CD， ∴∠CBD＝∠CDB， ∵∠ADO＝∠CDB， ∴∠CBD＝∠ADO， ∵∠AOC＝90°， ∴∠A+∠ADO＝90°， ∴∠OBD+∠CBD＝90°， ∴∠CBO＝90°， ∴OB⊥EF， ∵OB是⊙O的直径， ∴直线EF与⊙O相切； （2）∵∠AOC＝90°，， ∴， ∵⊙O的半径为3， ∴OA＝3， ∴OD＝1， 设CB＝CD＝x， ∴OC＝x+1， ∵∠OBC＝90°， ∴CB2+OB2＝OC2， ∴x2+32＝（x+1）2， ∴x＝4， ∴BC＝4． 17．【解答】（1）证明：∵DE为△ADE外接圆⊙O的直径， ∴∠DAE＝90°， ∴∠EAM+∠BAD＝∠EAC+∠DAC＝90°， ∵∠CAE＝∠MAE， ∴∠BAD＝∠CAD， ∴AD平分∠BAC； （2）证明：连接AO， ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA， ∵∠ADC＝∠B+∠BAD，OAD＝∠OAC+∠DAC， ∴∠B＝∠OAC， ∵∠AOB＝∠COA， ∴△AOC∽△BOA， ∴， ∴OA2＝OB•OC， ∵OE＝OA， ∴OE2＝OB•OC； （3）解：∵射线BM与⊙O相切于点A， ∴∠OAB＝90°， 由（2）知，△AOC∽△BOA， ∴∠ACO＝∠OAB＝90°， ∵BD：OC＝10：9， ∴设BD＝10x，OC＝9x， ∴OD＝OA＝9x+3，OB＝19x+3， ∵OA2＝OB•OC， ∴（9x+3）2＝（19x+3）×9x， ∴x， ∴AO，OC， ∴AC6， ∵∠ACD＝∠DAE＝90°， ∴∠ADC+∠DAC＝∠ADC+∠E＝90°， ∴∠DAC＝∠AED， ∴tan∠AED＝tan∠DAC． 18．【解答】（1）证明：∵直径AB垂直于弦DE， ∴AB⊥DE，EF＝DF， ∴BE＝DB， ∴∠BED＝∠BDE， ∵∠CBD＝∠DEB， ∴∠BDE＝∠CBD， ∴BC∥DE， ∴AB⊥BC， ∴BC为⊙O的切线； （2）解：∵BC∥DE，BE∥CD， ∴四边形BCDE是平行四边形， ∴BE＝CD＝BD＝5，∠E＝∠C， ∵tanC＝tanE， ∴设BF＝3x，EF＝4x， ∴BE5x＝5， ∴x＝1， ∴EF＝4，BF＝3， 连接OE， 在Rt△OEF中，∵OE2＝OF2+EF2， ∴OE2＝（OE﹣3）2+42， ∴OE， ∴OF3． 19．【解答】（1）证明：连接OB， ∵DF⊥AB，作DE⊥BP， ∴∠ADF＝∠DEB＝90°， 在Rt△BDE与Rt△AFD中， ， ∴Rt△BDE≌Rt△AFD（HL）， ∴∠DBE＝∠FAD， ∵PA是⊙O的切线，点A为切点， ∴∠CAP＝90°， ∴∠CAB+∠PAB＝90°， ∵OA＝OB， ∴∠OAB＝∠OBA， ∴∠OBA+∠ABE＝90°， ∴∠OBE＝90°， ∵OB是⊙O的半径， ∴PB是⊙O的切线； （2）解：∵∠CAP＝90°，AP＝4，sin∠C， ∴PC＝6， ∴AC2， ∵∠CBO＝∠CAP＝90°，∠C＝∠C， ∴△CBO∽△CAP， ∴， ∴， ∴OB， 即⊙O的半径为． 20．【解答】（1）证明：连接OD， ∵∠F＝45°， ∴∠DOE＝2∠F＝90°， ∵⊙O与AB相切于点D， ∴AB⊥OD于点D， ∴∠ODA＝∠DOE＝90°， ∴AB∥OE， ∵OC＝OE， ∴∠B＝∠OEC＝∠C， ∴AB＝AC． （2）解：∵sinA， ∴OAOD， ∵OF＝OC＝OD，OA+OC＝AC＝AB＝8，∠DOF＝90°， ∴OD+OD＝8， ∴OF＝OD＝3， ∴OA3＝5，DFOF＝3， ∴AD4， ∵AD∥OF， ∴△AGD∽△OGF， ∴， ∴DGDFDF3， ∴DG的长是． 21．【解答】（1）证明：作直径AE，连接BE，如图， ∵BD＝AB， ∴∠D＝∠BAD， ∴∠ABC＝∠D+∠BAD＝2∠BAD， ∵∠ABC＝2∠C， ∴∠C＝∠BAD， ∵∠E＝∠C， ∴∠E＝∠BAD， ∵AE为直径， ∴∠ABE＝90°， ∴∠E+∠BAE＝90°， ∴∠BAD+∠BAE＝90°， 即∠DAE＝90°， ∴AE⊥AD， ∵AE为直径， ∴AD是⊙O的切线； （2）解：∵∠D＝∠C， ∴AD＝AC＝8， ∵∠BAD＝∠C，∠ADB＝∠CDA， ∴△DAB∽△DCA， ∴DB：DA＝DA：DC， 即5：8＝8：DC， 解得DC， ∴BC5； ∵AD＝AC，AH⊥CD， ∴CHCD， 在Rt△ACH中，∵AC＝8，CH， ∴AH， ∵AE为直径， ∴∠ABE＝90°， ∵∠E＝∠C，∠ABE＝AHC， ∴△ABE∽△AHC， ∴AE：AC＝AB：AH， 即AE：8＝5：， 解得AE ∴⊙O的半径为． 22．【解答】（1）解：BC与⊙O的位置关系为BC与⊙O相切，理由： 连接OM，如图， ∵AM是角平分线， ∴∠BAM＝∠CAM， ∵OA＝OM， ∴∠CAM＝∠OMA， ∴∠OMA＝∠BAM， ∴AB∥OM， ∴∠B+∠OMB＝180°， ∵∠B＝90°， ∴∠OMB＝90°， ∴OM⊥BC， ∵OM为⊙O的半径， ∴BC与⊙O相切； （2）证明：连接OM，MF，如图， 由（1）知：OM⊥BC， ∴∠OMC＝90°， ∴∠CMA＝∠OMC+∠OMA＝90°+∠OMA． ∵AF为⊙O的直径， ∴∠AMF＝90°， ∴∠CFM＝∠AMF+∠OAM＝90°+∠OAM． ∵OA＝OM， ∴∠OAM＝∠OMA， ∴∠CFM＝∠CMA， ∵∠C＝∠C， ∴△CFM∽△CMA， ∴， ∴CM2＝CF•CA； （3）解：连接EF，OM，如图， 设⊙O的半径为r，则OF＝OM＝r，AF＝2r，OC＝OF+FC＝r+2， 由（1）知：OM⊥BC， ∴sinC， ∴， ∴r＝3， ∴AF＝6． ∵AF为⊙O的直径， ∴∠AEF＝90°， ∴∠AEF＝∠B＝90°， ∴EF∥BC， ∴∠AFE＝∠C， ∴sin∠AFE＝sinC， ∵sin∠AFE， ∴， ∴AE． 23．【解答】解：（1）连接OD， 在△OAC和△OBC中， ， ∴△OAC≌△OBC（SSS）， ∴∠AOC＝∠BOC， ∵∠AOC+∠BOC＝180°， ∴∠AOC＝∠BOC＝90°， ∵OA＝OD＝OE， ∴∠OAD＝∠ODA，∠ODE＝∠OED， 设∠OAD＝∠ODA＝x，∠ODE＝∠OED＝y， 在四边形OADE中，∵∠OAD+∠ADE+∠OED+∠AOC＝360° ∴x+x+y+y+90°＝360°， ∴∠ADE＝∠ADO+∠ODE＝x+y＝135°； （2）连接OD， ∵∠AOC＝90°，D为AC中点， ∴， ∴OD＝OA＝AD＝3， ∴△ADO为等边三角形， ∴∠AOD＝60°， ∴∠DOE＝90°﹣60°＝30°， ∴的长为：． 24．【解答】解：（I）如图①，连接OC， ∵AB与⊙O相切于点C， ∴OC⊥AB， ∵OA＝OB，∠AOB＝80°， ∴∠COB＝∠COA∠AOB＝40°， ∴∠CED∠COB＝20°， ∴∠CED的度数为20°． （Ⅱ）如图②，连接OC， ∵DG是⊙O的直径，⊙O的半径为3， ∴∠DEG＝90°，DG＝6， ∵EC∥OA， ∴∠EFG＝∠AOB＝80°， 由（I）得∠CED＝20°， ∴∠EDG＝∠EFG﹣∠CED＝60°， ∴∠G＝90°﹣∠EDG＝30°， ∴EDDG＝3， ∴EG3， ∴ED的长是3，EG的长是3． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/3 11:19:57；用户：微信用户；邮箱：orFmNt1uy85bWa1Uz1u8NnBbvqyQ@weixin.jyeoo.com；学号：427860 学科网（北京）股份有限公司 $