17 专项突破提升(二) 圆中的最值问题 圆与函数的综合-【学霸笔记·初中同步练习分层卷】2025-2026学年九年级下册数学同步练习分层卷（鲁教版五四制）

专项突破提升(二) 圆中的最值问题　圆与函数的综合 一、圆中的最值问题 1．(4分)如图，在平面直角坐标系中，已知点A(0，4)，B(－4，4)，C(－6，2)都在⊙M上，则原点O到⊙M上一点的最短距离为(　A　) A．2－2　 B．2 C．2 D．2＋2 解析：如图，分别作AB，BC的垂直平分线，其交点即为点M， 由图可知点M的坐标为(－2，0)， ∴OM＝2． ∵A(0，4)，∴AM＝＝2． ∴原点O到⊙M上一点的最短距离为2－2． 2．(4分)已知线段AB＝4，点C为平面上一点．若∠ACB＝30°，则线段AC的最大值是(　C　) A．4 B．4 C．8 D．2＋2 解析：如图，以AB为边作等边三角形OAB，作△ABC的外接圆⊙O． ∵△OAB为等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝4． ∵∠ACB＝30°， ∴当AC为外接圆⊙O的直径时，AC最大，最大值为8． 3．(4分)如图，在Rt△ABO中，∠AOB＝90°，∠B＝60°，OA＝6，⊙O的半径为1，点P是边AB上的动点，过点P作⊙O的一条切线PQ(点Q为切点)，则切线长PQ的最小值是(　A　) A．2 B．3　 C．2　 D．4 解析：如图，连接OQ． ∵PQ与⊙O相切于点Q， ∴半径OQ⊥PQ． ∴∠PQO＝90°． ∵圆的半径为1， ∴PQ＝＝． ∴当PO最小时，PQ最小，即当PO⊥AB时，PO最小． ∵∠B＝60°，∴∠A＝90°－∠B＝30°． ∴PO的最小值为OA＝×6＝3． ∴PQ的最小值是＝2． 4．(4分)如图，⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，C是⊙O上一点，AB＝12，CE的最大值为18，则EF的长为(　D　) A．8 B．6　 C．4　 D．2 解析：如图，连接OA． ∵⊙O的半径OF⊥弦AB于点E，AB＝12， ∴AE＝AB＝6． 当C，O，E在同一条直线上时CE最长，设半径为r，则OE＝18－r． 在Rt△AOE中，OE2＝OA2－AE2， 即(18－r)2＝r2－62，解得r＝10． ∴OE＝18－10＝8， ∴EF＝OF－OE＝10－8＝2． 5．(4分)如图，直线m是正五边形ABCDE的一条对称轴，点P是直线m上的动点，当BP＋CP的值最小时，∠BPC的度数是(　C　) 第5题图 A．36°　 B．54° C．72° D．108° 解析：如图．由直线m是正五边形ABCDE的对称轴可知，点C与点D关于直线m对称，连接BD交直线m于点P，连接PC，此时PB＋PC的值最小． ∵五边形ABCDE是正五边形， ∴BC＝CD，∠BCD＝＝108°． ∴∠BDC＝∠CBD＝＝36°． ∵PC＝PD，∴∠PCD＝∠PDC＝36°． ∴∠BPC＝2∠PDC＝72°． 6．(4分)如图，⊙M的半径为4，圆心M的坐标为(6，8)，P是⊙M上的任意一点，PA⊥PB，且PA，PB与x轴分别交于A，B两点．若点A，B关于原点O对称，则AB长的最小值为(　C　) 第6题图 A．6 B．8 C．12 D．16 解析：如图，连接OP． ∵PA⊥PB，∴∠APB＝90°． ∵AO＝BO，∴AB＝2PO． 若要使AB取得最小值，则PO需取得最小值，连接OM，交⊙M于点P′，当点P位于点P′位置时，OP′取得最小值，过点M作MQ⊥x轴于点Q，则OQ＝6，MQ＝8， ∴OM＝10． ∵MP′＝4，∴OP′＝6． ∴AB＝2OP′＝12． 7．(4分)定义：一个圆分别与一个三角形的三条边各有两个交点，且所截得的三条弦相等，我们把这个圆叫作“等弦圆”．现有一个斜边长为2的等腰直角三角形，当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为(　B　) A． B．2－ C．－1 D．2－2 解析：如图，当“等弦圆”⊙O最大时，⊙O经过等腰直角三角形的直角顶点C，连接CO并延长交AB于点F，连接OE，DK． ∵CD＝CK＝EQ，∠ACB＝90°， ∴∠COD＝∠COK＝90°，DK过圆心O，CF⊥AB． ∵AC＝BC，∠ACB＝90°，AB＝2， ∴AC＝BC＝，AF＝BF＝CF＝AB＝1． 设⊙O的半径为r， ∴CD＝＝r＝EQ，OF＝1－r，OE＝r． ∵CF⊥AB，∴EF＝QF＝r， ∴r2＝(1－r)2＋， 整理，得r2－4r＋2＝0， 解得r1＝2＋，r2＝2－． ∵OC＜CF， ∴r＝2＋不符合题意，舍去， ∴当“等弦圆”最大时，这个圆的半径为2－． 8．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝2，⊙C的半径为1，点P是斜边AB上的点，过点P作⊙C的一条切线PQ(点Q是切点)，则线段PQ的最小值为 ． 第8题图 解析：如图，连接CP，过点C作CP′⊥AB于点P′． ∵PQ是⊙C的切线，∴CQ⊥PQ， ∴PQ＝＝． 当CP⊥AB时，CP最小，则PQ最小． ∵∠ACB＝90°，∠A＝30°，∴∠B＝60°． ∴CP′＝BC·sin B＝2×＝． ∴PQ的最小值为＝． 9．(4分)如图，在正方形铁皮ABCD上，以点A为圆心剪下一个圆心角为90°的扇形，剩余部分剪一个半径为r的圆形，使之恰好围成一个圆锥．若AC＝5＋，则r的最大值是 1 ． 第9题图 解析：∵2πr＝， ∴AP＝4r． 当⊙O与和BC，DC都相切时，r最大，如图，过点O作OE⊥BC于点E，则OE＝r． ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠OCE＝45°，∴OC＝r． ∴4r＋r＋r＝5＋，解得r＝1， 即r的最大值是1． 10．(4分)如图，⊙O的半径为2 cm，弦AB＝2 cm，点C是弦AB所对的优弧上的一个动点，则图中阴影部分的面积之和的最小值是 (4π－3) cm2．(结果保留π) 第10题图 解析：设点P为优弧的中点．连接PO并延长交AB于点E，则PE⊥AB，点P到AB的距离最大，当点C与点P重合时阴影部分的面积之和最小， ∴AE＝BE＝ cm． 如图，连接OA． ∵⊙O的半径为2 cm，AE＝cm，∠AEO＝90°， ∴OE＝＝＝1(cm)． ∴PE＝2＋1＝3(cm)． ∴图中阴影部分的面积之和的最小值为π×22－×2×3＝(4π－3)cm2． 11．(4分)如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4，D是半径为4的⊙A上一动点，连接CD，E是CD的中点．当点D落在线段AC上时，BE的长度为 2 ；若点D在⊙A上运动，当BE取最大值时，BE的长度是 6 ． 第11题图 解析：如图，连接BD． 在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，∠BAC＝30°，BC＝4， ∴AC＝2BC＝8，∠C＝60°． ∵⊙A的半径为4，∴AD＝4． ∴CD＝4．∴CB＝CD． ∴△BCD是等边三角形． ∵E是CD的中点，∴BE⊥CD． ∵∠C＝60°，∴BE＝BC＝2． 如图2，取AC的中点N，连接AD，EN，BN． ∵AN＝NC，∴BN＝AC＝4． ∵AN＝NC，DE＝EC， ∴EN＝AD＝2． ∴BN－EN≤BE≤BN＋EN． ∴4－2≤BE≤4＋2． ∴2≤BE≤6． ∴BE的最大值为6． 12．(12分)(1)如图1，在平面直角坐标系中，A(4，0)，B(0，－3)，以点B为圆心、2为半径的⊙B上有一动点P，连接AP，C为AP的中点，连接OC，求OC的最小值； (2)如图2，点A，B的坐标分别为A(2，0)，B(0，2)，点C为坐标平面内一点，BC＝1，M为线段AC的中点，连接OM，求OM的最大值． 解：(1)如图，取点D(－4，0)，连接PD，连接BD交⊙B于点E． ∵C是AP的中点，O是AD的中点， ∴OC是△APD的中位线．∴OC＝PD． ∵OD＝4，OB＝3，∴BD＝5． 当点P与点E重合时，PD最小为5－2＝3， 故OC的最小值为1.5． (2)如图，以点B为圆心，1为半径作⊙B，在点O的左侧取OD＝OA＝2，连接CD． ∵BC＝1，∴点C在⊙B上． ∵AM＝CM，OD＝OA， ∴OM是△ACD的中位线． ∴OM＝CD． 当OM最大时，CD最大，当D，B，C三点共线时，OM最大． ∵OB＝OD＝2，∠BOD＝90°， ∴△BOD是等腰直角三角形． ∴BD＝BO＝2．∴CD＝2＋1． ∴OM的最大值是． 13．(8分)如图，AB是⊙O的直径，AB＝10，C，E为圆上的两点，过点C作CD⊥AB于点D，过点E作EF⊥AB于点F，CD＝3，EF＝4，H为AB上一动点，连接HC，HE，求HC＋HE的最小值． 解：如图，延长CD交⊙O于点N，连接NE交AB于点H，过点N作NM⊥EF交EF的延长线于点M，连接OC，OE． ∵直径AB⊥CD，∴AB垂直平分CN． ∴点C，N关于AB对称，NH＝CH． ∴此时CH＋EH的值最小． ∴CH＋EH＝NH＋EH＝NE． ∵AB＝10，∴OC＝OE＝5． ∵CD＝3，EF＝4， ∴OD＝＝4， OF＝＝3． ∴FD＝3＋4＝7． ∵CD⊥AB，EF⊥AB，NM⊥FM， ∴四边形MNDF是矩形． ∴MN＝FD＝7，FM＝DN． ∵直径AB⊥CN，∴DN＝CD＝3． ∴FM＝3．∴EM＝4＋3＝7． ∴△MNE是等腰直角三角形． ∴NE＝7． ∴HC＋HE的最小值为7． 14．(8分)如图，在扇形AOB中，∠AOB＝120°，OA＝2，F是的中点，D，E分别为线段OB，AB上的点，连接DE，EF，当EF＋ED的值最小时，求图中阴影部分的面积． 解：如图，当F，E，D三点共线且FD⊥OB时，EF＋ED的值最小，连接OF，BF． ∵点F是的中点，∠AOB＝120°， ∴∠BOF＝∠AOB＝×120°＝60°． ∵OF＝OB，∴△OBF是等边三角形． ∵FD⊥OB，∴OD＝BD＝OB＝1． ∴DF＝＝＝． ∵OA＝OB，∠AOB＝120°， ∴∠OBA＝∠OAB＝30°． ∴DE＝tan 30°·BD＝×1＝． ∴S扇形OFB＝＝＝， S△ODF＝OD·DF＝×1×＝， S△DEB＝DB·DE＝×1×＝． ∴S阴影＝S扇形OFB－S△ODF－S△DEB＝＝． 二、圆与函数的综合 15．(4分)如图，在平面直角坐标系中，点A，B在函数y＝(k＞0，x＞0)的图象上，分别以点A，B为圆心，1为半径作圆，当⊙A与x轴相切、⊙B与y轴相切时，连接AB，AB＝3，则k的值为(　C　) A．3 B．3 C．4 D．6 第15题图 解析：由题意可知A(k，1)，B(1，k)． ∵AB＝3，∴2(k－1)2＝18． ∴(k－1)2＝9，解得k＝－2或k＝4． ∵k＞0，∴k＝4． 16．(4分)如图，⊙M的圆心M在一次函数y＝x＋3位于第一象限中的图象上，⊙M与y轴交于C，D两点．若⊙M与x轴相切，且CD＝2，则⊙M的半径是(　C　) 第16题图 A．或5 B．5或6 C．或6　 D．5 解析：如图，设圆与x轴相切于点K，连接MK，MC，过点M作MH⊥CD于点H，则MK⊥OK． ∵∠KOH＝90°， ∴四边形OKMH是矩形，∴MH＝OK． ∵点M在一次函数y＝x＋3位于第一象限中的图象上， ∴设点M的坐标是， ∴MH＝OK＝a, CM＝MK＝a＋3． ∵MH⊥CD，CD＝2， ∴CH＝CD＝． ∵MC2＝MH2＋CH2， ∴＝a2＋()2， ∴a＝5或a＝． ∴MK＝6或MK＝． ∴⊙M的半径是6或． 17．(4分)如图，⊙C的圆心C的坐标为(1，1)，半径为1，直线l的表达式为y＝－x＋3，点P是直线l上的动点，点Q是⊙C上的动点，则PQ的最小值是(　C　) A．2 B． C．－1 D．－1 解析：如图，过点C作CP⊥直线l于点P，交⊙C于点Q，此时PQ的值最小． 设直线y＝－x＋3与x轴交于点A，与y轴交于点B，连接BC，AC，作CM⊥OA于点M，作CN⊥OB于点N． ∵y＝－x＋3， ∴A(6，0)，B(0，3)． ∴OA＝6，OB＝3． ∴AB＝＝3． ∵四边形OMCN是正方形， ∴OM＝ON＝1． ∴AM＝OA－OM＝6－1＝5，BN＝OB－ON＝3－1＝2． 设PC＝d，PB＝m，则AP＝AB－PB＝3－m． ∵BN2＋CN2＝BC2＝PB2＋PC2，AM2＋CM2＝AC2＝AP2＋PC2， ∴22＋12＝m2＋d2，52＋12＝(3－m)2＋d2， 解得m＝，d＝． ∵⊙C的半径为1， ∴PQ＝PC－CQ＝－1． 18．(4分)如图，在坐标平面内，矩形AOCD的顶点A(0，2)，C(4，0)，D(4，2)，抛物线y＝x2－1经过点Q(a，4)，P(b，4)，⊙P的半径为1．当圆心P在抛物线上从点P运动到点Q，则在整个运动过程中，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点的情况共出现 3 次． 解析：由题意知抛物线y＝x2－1与x轴的交点为(－1，0)，(1，0)，与y轴的交点为(0，－1)． 由图形可知当⊙P在AD上方与AD相切时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点． 当点P运动到(0，－1)时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点； 当点P运动到(－1，0)时，⊙P与矩形AOCD只有一个公共点． ∵OA＝2， ∴⊙P在AD与OC中间时，不存在满足条件的⊙P， 故⊙P与矩形AOCD只有一个公共点的情况共出现3次． 19．(12分)如图，⊙O的直径AB＝8，AM和BN是⊙O的两条切线，DE与⊙O相切于点E，并与AM，BN分别相交于D，C两点． (1)求∠DOC的度数； (2)设AD＝x，BC＝y，求y关于x的函数表达式． 解：(1)如图，连接OE． ∵AM，DC分别切圆于点A，E， ∴DA＝DE，OA⊥AD，OE⊥DC． ∴OD平分∠AOE．∴∠DOE＝∠AOE． 同理∠COE＝∠BOE． ∴∠DOE＋∠COE＝(∠AOE＋∠BOE)． ∴∠DOC＝∠AOB＝×180°＝90°． (2)如图，过点D作DH⊥BC于点H． ∵AM，BN分别切圆于点A，B， ∴直径AB⊥AM，直径AB⊥BC． ∴四边形ABHD是矩形． ∴BH＝AD＝x，DH＝AB＝8． ∵BC＝y，∴CH＝BC－BH＝y－x． 由切线长定理，得DE＝AD＝x，CE＝BC＝y， ∴CD＝x＋y． ∵CD2＝CH2＋DH2， ∴(x＋y)2＝(y－x)2＋82． ∴y关于x的函数表达式为y＝． 20．(10分)如图，抛物线y＝x2＋2x与x轴分别相交于点B，O，其顶点为A． (1)求抛物线顶点A的坐标； (2)若⊙I是△ABO的外接圆，试求⊙I的半径． 解：(1)令y＝x2＋2x＝0，则x＝0或x＝－4，即点B(－4，0)． 由抛物线的性质知点A在OB的中垂线上，则点A的横坐标为－2． 当x＝－2时，y＝x2＋2x＝－2， 即抛物线顶点A的坐标为(－2，－2)． (2)∵⊙I是△ABO的外接圆， ∴点I也在OB的中垂线上． 设点I的坐标为(－2，m)，圆的半径为r． 由IA＝IO，得r2＝4＋m2＝(m＋2)2， 解得m＝－，r＝(负值已舍去)， 即⊙I的半径为． 1/1 学科网（北京）股份有限公司 $