2026年广东广州中考数学圆专项训练

**基本信息** 以圆的核心定理为纲，通过7选择+4填空+7解答的梯度设计，系统覆盖从基础性质到动态综合问题，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础性质|选择1-5、填空8-10|垂径定理+勾股定理、圆周角转化、弧长公式|从圆心角/圆周角概念出发，构建"性质-计算"逻辑链| |切线综合|选择6-7、解答13-15|切线判定三部曲、对称化动为静|以切线性质为核心，串联全等/相似证明体系| |动态与应用|解答16-18|参数化建模、分类讨论思想|从静态计算过渡到动态几何，培养空间观念与创新意识|

2025-2026年广州中考数学圆专项训练 一、选择题 1.如图，点，，在上，若，则(    ) A. B. C. D. 2.如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 3.如图是博物馆屋顶的图片，屋顶由图中的瓦片构成，瓦片横截面如图所示，是以点为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是(    ) A. B. C. D. 4.习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条竹条宽度忽略不计的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为． A. B. C. D. 5.如图，正三角形内接于，其边长为，则的内接正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 6.如图，的外接的半径为，，点为的中点，以点为圆心作，若与相切，则的半径为(    ) A. B. C. 或 D. 或 7.如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 二、填空题 8.一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点经过的路径长至少为          结果保留 9. 如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为          ． 10.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径为          ． 11.如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切，点在轴正半轴上，与相切于点若，则点的坐标为          ． 三、解答题 12.如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连接，使． 若，为直径，求的度数． 求证：；．   13.如图，在中，，的平分线交于点，为上的一点，，以点为圆心，长为半径作，，． 求证：是的切线； 求线段的长． 14.如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连接交于点． 求证：； 延长至点，使，连接． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 15.如图，是圆被直径分成的半圆上一点，过点的圆的切线交的延长线于点，连接，，． 求证：； 若，求的度数； 在的条件下，若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号．   16.如图，内接于，且为的直径，外的点在射线上，过点作垂直的延长线于点，且平分． 求证：； 若，，求的长； 过点作的切线，交于点，是否存在常数，使成立？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 17.如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点．是上任意一点，连接，，，． 若，求的度数； 找出图中所有与相等的线段，并证明； 若，，求的周长． 18.如图，在中，为直径，为上一点，，为常数，且过点的弦，为上一动点与点不重合，，垂足为连接、 若 求证：； 求的值； 用含的代数式表示，请直接写出结果； 存在一个大小确定的，对于点的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的度数． 2025-2026年广州中考数学圆专项训练参考答案 一、选择题：本题共7小题，每小题3分，共21分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.如图，点，，在上，若，则(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：， ． 故选：． 由圆周角定理推出． 本题考查圆周角定理，关键是掌握一条弧所对的圆周角等于这条弧所对圆心角的一半． 2.如图，圆形拱门最下端在地面上，为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，若，，则拱门所在圆的半径为(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查的是垂径定理的实际应用。勾股定理的应用，如图，连接，先证明，，再进一步的利用勾股定理计算即可； 【详解】解：如图，连接， 为的中点，为拱门最高点，线段经过拱门所在圆的圆心，， ，， 设拱门所在圆的半径为， ，而， ， ， 解得：， 拱门所在圆的半径为； 故选B 3.如图是博物馆屋顶的图片，屋顶由图中的瓦片构成，瓦片横截面如图所示，是以点为圆心，为半径的弧，弦的长为，则的长是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】解：由题知，  因为，且，  所以是等边三角形，  所以，  所以的长为：  故选：． 根据弧长公式进行计算即可． 本题主要考查了弧长的计算，熟知弧长的计算公式是解题的关键． 4.习近平总书记强调，中华优秀传统文化是中华民族的根和魂．东营市某学校组织开展中华优秀传统文化成果展示活动，小慧同学制作了一把扇形纸扇．如图，，，纸扇完全打开后，外侧两竹条竹条宽度忽略不计的夹角，现需在扇面一侧绘制山水画，则山水画所在纸面的面积为． A. B. C. D. 【答案】C  【解析】【分析】 本题主要考查了扇形面积的计算，熟知扇形面积的计算公式是解题的关键． 将山水画所在纸面的面积转化为大小两个扇形的面积之差即可解决问题． 【解答】 解：由题知，，， 则山水画所在纸面的面积为： 5.如图，正三角形内接于，其边长为，则的内接正方形的边长为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】解；连接、、，作于， 四边形是正方形， ，， 是直径，， ． 是等边三角形，点是正三角形的外接圆圆心， ， ， ． 即的内接正方形的边长为． 故选：． 连接、、，作于，由正方形和圆的性质求得，结合正三角形的外接圆的性质得到，由此得到关于的方程，易得． 本题考查正多边形与圆、等腰直角三角形的性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是熟练应用这些知识解决问题，属于中考常考题型． 6.如图，的外接的半径为，，点为的中点，以点为圆心作，若与相切，则的半径为(    ) A. B. C. 或 D. 或 【答案】C  【解析】解：连接，，， ，， ， ，， ， 当在内部时，两圆相切于，如图， ， 此时的半径为， 当在外部时，两圆相切于，如图， ， 此时的半径为， 的半径为或． 故选：． 分两种情况，由相切两圆的性质：如果两圆相切，那么连心线必经过切点，即可求解． 本题考查相切两圆的性质，关键是掌握相切两圆的性质，并分两种情况讨论． 7.如图，是的直径，于点，交于点，于点，交于点，为弧的中点，为线段上一动点，若，则的最小值是(    ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：如图，延长交于点，连接，，， 于点，交于点，为弧的中点， ， ， ， ， ， 点关于的对称点为点， ， ， 当，，三点共线时，最小，最小值为的长， ，， ， ， ， ，即， ， ，， ， ， 的最小值． 故选：． 如图，延长交于点，连接，，，由垂径定理得，进而得，，点关于的对称点为点，根据两点之间线段最短得当，，三点共线时，最小，最小值为的长，再利用直角三角形的性质即可求解． 本题主要考查了弧、圆心角的关系，垂径定理，直角三角形的性质，两点之间线段最短，熟练掌握弧、圆心角的关系，垂径定理是解题的关键． 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 8.一块含角的直角三角板按如图所示的方式摆放，边与直线重合，现将该三角板绕点顺时针旋转，使点的对应点落在直线上，则点经过的路径长至少为          结果保留 【答案】  【解析】由题可知点经过的轨迹是以为圆心的弧． ，，， ，． 9.如图，在中，，，以为直径作半圆，交于点，交于点，则弧的长为          ． 【答案】  【解析】解析： 如图，连接，． ，，，， ，． ，，． ，的长故答案为． 10.如图，沿一条母线将圆锥侧面剪开并展平，得到一个扇形．若母线长为，扇形的圆心角为，则圆锥的底面圆的半径为          ． 【答案】  【解析】略 11.如图，平面直角坐标系中，点的坐标为，与轴相切，点在轴正半轴上，与相切于点若，则点的坐标为          ． 【答案】  【解析】解：过点分别作轴于点、轴于点，连接，如图， 轴，轴， 四边形为矩形， ，， 与轴相切， 为的半径， 点坐标为， ，， 是切线， ， ， ， 在中，根据勾股定理得， ， ， 点在轴上， 点坐标为 故答案为： 连接，过点分别作轴、轴，利用根据圆的切线性质可知、为直角三角形，，利用直角三角形中角的性质和勾股定理分别求出、、的长度，进而求出、的长度即可求得答案． 本题考查了圆的切线的性质、矩形的判定和性质、勾股定理等知识，解题关键是把所求的线段放在直角三角形中利用勾股定理求解和已知圆的切线作半径． 三、解答题：本题共7小题，共56分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 12.本小题分 如图，在圆内接四边形中，，，延长至点，使，延长至点，连接，使． 若，为直径，求的度数． 求证：；． 【答案】(1)解：是直径，， ，四边形是圆内接四边形， ， ；   (2)证明：①四边形是圆的内接四边形， ，， ，； ②如图，将绕点顺时针旋转使得点和点重合，得到， 则，，， ，， 即点在该圆上. 由圆内接四边形性质可知，， ，， ，， ，即.   【解析】 略  略 13.本小题分 如图，在中，，的平分线交于点，为上的一点，，以点为圆心，长为半径作，，． 求证：是的切线； 求线段的长． 【答案】(1)解：证明：如图，过点作于点. ，.平分，，.是的切线.   (2)在和中，（ H.L.）..，.  【解析】 略  略 14.本小题分 如图，是的直径，是一条弦，点是的中点，于点，交于点，连接交于点． 求证：； 延长至点，使，连接． 求证：是的切线； 若，，求的半径． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是的中点，，， ，为的直径， ，， ，；   (2)①证明：如图，为的直径， ，， ，是的垂直平分线， ，，， ， ，为的直径， 是的切线； ②解：，，， ，，， ，， ，，， ，即，解得， 的半径为.   【解析】 略  略 15.本小题分 如图，是圆被直径分成的半圆上一点，过点的圆的切线交的延长线于点，连接，，． 求证：； 若，求的度数； 在的条件下，若，求图中阴影部分的面积结果保留和根号． 【答案】(1)证明：∵AB是半圆O的直径，∴∠ACB＝90°． ∵CP是半圆O的切线，∴∠OCP＝90°，∴∠ACB＝∠OCP， 即∠ACO＋∠OCB＝∠BCP＋∠OCB，∴∠ACO＝∠BCP．   (2)解：由（1）知∠ACO＝∠BCP．∵∠ABC＝2∠BCP，∴∠ABC＝2∠ACO． ∵OA＝OC，∴∠ACO＝∠OAC，∴∠ABC＝2∠OAC． ∵∠ABC＋∠OAC＝90°，∴∠OAC＝30°，∠ABC＝60°， ∴∠ACO＝∠BCP＝30°，∴∠P＝∠ABC-∠BCP＝60°-30°＝30°．   (3)解：由（2）知∠OAC＝30°．∵∠ACB＝90°，∴，， ∴， ∴阴影部分的面积是．   【解析】 略  略  略 16.本小题分 如图，内接于，且为的直径，外的点在射线上，过点作垂直的延长线于点，且平分． 求证：； 若，，求的长； 过点作的切线，交于点，是否存在常数，使成立？若存在，求常数的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)证明：是的直径， ，. ，， 平分，；   (2)解：在Rt和 Rt中， ，， ，； 一题多解 在Rt中，，，， . 设，则， ，， 又，， ，，， ；   (3)解：存在常数，使成立. 理由如下： ，， ，. 为的切线，，. ，. ，，. 假设， 则. 存在常数，使成立. 一题多解 存在常数，使成立. 理由如下： 切于点，， .， ，， ，，， . ，，，， ，， ， 要使成立，只需令， 存在常数，使成立.   【解析】 略  略  略 17.本小题分 如图，是的直径，内接于，点为的内心，连接并延长交于点．是上任意一点，连接，，，． 若，求的度数； 找出图中所有与相等的线段，并证明； 若，，求的周长． 【答案】(1)解：是的直径，， ，， 四边形为的内接四边形， ，；   (2)， 证明：如图，连接，， 点为的内心， 平分，平分， ，， ，， 为的外角，， ，，. 同理可得，，；   (3)解：如图，过点分别作，，的垂线，垂足分别为，，， 由（2）得，， 在 Rt中，， 点是的内心，平分， ，， ，，同理，， ，平分且， 为等腰直角三角形，， 同理，， 的周长为.   【解析】 略  略  略 18.本小题分 如图，在中，为直径，为上一点，，为常数，且过点的弦，为上一动点与点不重合，，垂足为连接、 若 求证：； 求的值； 用含的代数式表示，请直接写出结果； 存在一个大小确定的，对于点的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的度数． 【答案】(1)解：①连接OD，如图： 即，， ， ， ， 是OA中点， 又， 是OA的垂直平分线， ，即是等边三角形， ； ②连接AQ，如图： 是直径， ， ， ， ， ， ， ∽， ， 由①知：，， ；   (2)连接AQ、BD，如图： 是直径， ， ， 又， ∽， ， ，， ，， ， 与中②同理，可得：， ；   (3)由得， ，即， ， 若是定值，则的值与DH无关， 当时，的定值为1，此时P与O重合，如图： ，， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故存在半径为1的，对Q的任意位置，都有是定值1，此时的度数为    【解析】  连接，由可得，从而是的垂直平分线，可得是等边三角形，故； 连接，证明∽，可得，即得；   连接、，证明∽，得，由，，即得，而，故；   由，得，是定值，需的值与无关，即当时，的定值为，此时与重合，即可得 本题考查圆的综合应用，涉及等边三角形性质及判定、线段的垂直平分线、三角形相似的判定及性质、代数式定值等知识，解题的关键是适当添加辅助线，构造相似三角形，求得的值，难点是掌握代数式为定值需满足的条件：与哪个量无关，那个量的系数即为 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $