精品解析：山东省德州市德城区2026年九年级第二次练兵 数学试题

2026年九年级第二次模拟检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 3. 如图所示几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 5. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日洛阳市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角度数为（　　） A. B. C. D. 6. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（ ） A. ， B. m应满足 C. 当时，， D. 当时， 8. 如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 9. 已知，则下列代数式的值最大的是（ ） A. B. C. D. m 10. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 已知一次函数中，随的增大而增大．请写出一个符合要求的值：_______． 12. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有1，2，3的卡片在甲手中，标有4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为___． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“>”“=”或“<”） 14. 如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 15. 如图1，四边形中，，平分，，（a为常数）且．记长为x，的值为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2） 17. 某地为了把草莓产业从“规模扩张”向“品质升级”转型，同时为农户提供更科学的种植技术指导，研究人员针对某核心草莓种植基地的试验棚开展专项抽样调查．科研人员从试验棚中随机选取颗草莓并测量其单果质量，数据如下（单位：克）： 通过对以上数据的分析整理，绘制了如下统计表： 组别 草莓单果质量（克） 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）求这个数据的中位数和众数； （3）已知单颗质量满足的草莓为长势良好的草莓，若该试验棚里一共可以收获草莓约颗，估计长势良好的草莓的总质量为多少千克？ 18. 已知，如图，，． （1）用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，，，求的长． 19. 如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） （1）求点C到书架底部距离的长度； （2）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 20. 如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． （1）__________米； （2）记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； （3）若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 21. 如图，中，是的弦，过点交于点，是的切线． （1）写出与的数量关系，并证明； （2）射线于点，交于点． ①依题意补全图形； ②若，，求的半径． 22. 二次函数的图象的对称轴为直线，点在二次函数的图像上． （1）求二次函数的表达式． （2）若该二次函数图象上的点向左平移8个单位长度后，所得的点也在该二次函数的图象上，求点的坐标． （3）将该二次函数的图象平移，使其顶点始终在直线上，则平移后所得二次函数的图象与轴交点的纵坐标是否存在最大值或者最小值？若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由． 23. （1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年九年级第二次模拟检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 下列数学符号中，是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心；据此逐项判断即可． 【详解】解：A．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， B．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， C．不是中心对称图形，故该选项不符合题意， D．是中心对称图形，故该选项符合题意． 2. 在学校足球比赛中，如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数的意义，正数和负数是一组具有相反意义的量，已知进球数记为正，则失球数应记为负，据此求解即可． 【详解】解：如果某班足球队进4个球记作个，那么该队失3个球记作个， 故选：B． 3. 如图所示几何体中，主视图是三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了主视图的定义，掌握三视图的相关知识点是解题关键．另两个概念是：俯视图和左视图，这是常考知识点，需掌握．找到从正面看所得到的图形，得出主视图是三角形的即可． 【详解】主视图是含虚线的两个矩形；故不符合题意； 主视图是圆；故不符合题意； 主视图是三角形；故符合题意； 主视图是矩形；故不符合题意； 故选：C． 4. 估计的值在（ ） A. 1和2之间 B. 2和3之间 C. 3和4之间 D. 4和5之间 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数估算，熟记夹逼法估计无理数的范围方法步骤是解决问题的关键． 先估算，进而得到的范围即可得到答案． 【详解】解：， ， 则， 故选：C． 5. 如图是集热板示意图，集热板与太阳光线垂直时，光能利用率最高．春分日洛阳市正午太阳光线与水平面的夹角为，若光能利用率最高，则集热板与水平面的夹角度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直，平角的定义求解即可． 【详解】解：由题意，得 ． 6. 若关于的不等式组的解集是，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先解第一个不等式得到解集，再根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，结合已知的不等式组解集，推导出a的取值范围． 【详解】解不等式组 ， 解不等式①，移项得 ，即 ， ∵ 该不等式组的解集为 ，符合“同大取大”的解集规律 ∴ ． 7. 若关于x的一元二次方程的两根为，（），下列判断正确的是（ ） A. ， B. m应满足 C. 当时，， D. 当时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据一元二次方程的解的定义、根的判别式、二次函数的图象与一元二次方程的关系逐个选项进行判断即可． 【详解】解：将，代入一元二次方程得原方程左边为0， 则当时，方程成立， 则A选项错误，不符合题意； 方程化简得：， 由题意得，方程有两个不相等的实数根， 则， 解得：， 则B选项错误，不符合题意； 令， 这是开口向上的抛物线，与轴交于和，顶点, 当时，直线与抛物线交于两点， 其横坐标满足，， 则C选项错误，不符合题意； 由C选项可知，顶点, 当时，直线与抛物线有两个交点， 满足， 则D选项正确，符合题意． 8. 如图，正方形的边长为4，将其无重叠、无空隙地剪拼成菱形，其中，分别为，的中点，则菱形的边长为（ ） A. 5 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作出如图的辅助线，得到，利用勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】解：如图， 根据题意知， ， ， ， ∴，即菱形的边长为． 9. 已知，则下列代数式的值最大的是（ ） A. B. C. D. m 【答案】C 【解析】 【分析】根据等式分析的取值范围，进而代入即可判断式子的大小． 【详解】解：由可得， ， 当时，等式不成立， 当时，左边，右边，则等式不成立， 当时，左边，右边，则等式不成立， 当时，左边，右边，则等式成立， ∴， ∴， 则，，， 则C满足条件． 10. 平面直角坐标系中，我们把横、纵坐标都是整数，且横、纵坐标之和大于0的点称为“和点”．将某“和点”平移，每次平移的方向取决于该点横、纵坐标之和除以3所得的余数（当余数为0时，向右平移；当余数为1时，向上平移；当余数为2时，向左平移），每次平移1个单位长度． 例：“和点”按上述规则连续平移3次后，到达点，其平移过程如下： 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则点Q的坐标为（ ） A. 或 B. 或 C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了坐标内点的平移运动，熟练掌握知识点，利用反向运动理解是解决本题的关键． 先找出规律若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移，按照的反向运动理解去分类讨论：①先向右1个单位，不符合题意；②先向下1个单位，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为． 【详解】解：由点可知横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，继而向上平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为2，继而向左平移1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，又要向上平移1个单位，因此发现规律为若“和点”横、纵坐标之和除以3所得的余数为0时，先向右平移1个单位，之后按照向上、向左，向上、向左不断重复的规律平移， 若“和点”Q按上述规则连续平移16次后，到达点，则按照“和点”反向运动16次求点Q坐标理解，可以分为两种情况： ①先向右1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为0，应该是向右平移1个单位得到，故矛盾，不成立； ②先向下1个单位得到，此时横、纵坐标之和除以3所得的余数为1，则应该向上平移1个单位得到，故符合题意，那么点先向下平移，再向右平移，当平移到第15次时，共计向下平移了8次，向右平移了7次，此时坐标为，即，那么最后一次若向右平移则为，若向左平移则为， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 已知一次函数中，随的增大而增大．请写出一个符合要求的值：_______． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大，据此写出一个满足条件的的值即可. 【详解】解： 一次函数中，随的增大而增大， ， 故可取. 12. 现有六张分别标有数字1，2，3，4，5，6的卡片，其中标有1，2，3的卡片在甲手中，标有4，5，6的卡片在乙手中．两人各随机出一张卡片，两张卡片的数字之和大于6的概率为___． 【答案】 【解析】 【分析】先画出树状图得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意的结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】解：画树状图，如下： 由树状图可知一共有9种等可能性的结果，其中两张卡片上的数字和大于6的结果有6种， 两张卡片上的数字和大于6的概率是． 13. 在平面直角坐标系中，若函数的图象经过点和，则______0（填“>”“=”或“<”） 【答案】 【解析】 【分析】根据反比例函数的解析式，分别将两点横坐标代入，表示出和，再计算，结合的条件判断其与的大小关系即可求解． 【详解】解：将点代入， 得将点 代入，得 计算： ，即． 14. 如图，四边形是边长为6的正方形，点E在边上，，过点E作，分别交于点G、F，点H、M、N、P分别是的中点，则的长是________． 【答案】 【解析】 【分析】先证四边形和都是矩形，由是等腰直角三角形，M是的中点，可得．由“矩形的对角线相等且互相平分”可得，且N是的中点．根据勾股定理求出的长，即可求出的长． 【详解】解：如图，连接、， ∵四边形是正方形， ． 又， ， ， ∴四边形和都是矩形， ． ． ， 是等腰直角三角形． ∵M是的中点， ， ． ∵四边形是矩形， ． 又∵N是的中点， ∴N是的中点， ． 15. 如图1，四边形中，，平分，，（a为常数）且．记长为x，的值为y，y关于x的函数图象如图2所示，最高点E的纵坐标为16，当时，四边形的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】先证明，得到，进而可得，结合图2知，，求出（负值舍去），当时，求出或，根据得到，．过点作于点，利用等腰三角形三线合一及勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵（a为常数），长为x，长为y， ∴， ∵， ∴当时，有最大值， 由图2知，， ∴（负值舍去）， ∴， 当时，则，即， 解得或， 当时，，，符合； 当时，，，不符合，舍去． 过点作于点， ∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴四边形的面积为． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据零次幂，绝对值，特殊角三角函数值计算，再计算加减即可； （2）根据分式的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 某地为了把草莓产业从“规模扩张”向“品质升级”转型，同时为农户提供更科学的种植技术指导，研究人员针对某核心草莓种植基地的试验棚开展专项抽样调查．科研人员从试验棚中随机选取颗草莓并测量其单果质量，数据如下（单位：克）： 通过对以上数据的分析整理，绘制了如下统计表： 组别 草莓单果质量（克） 频数 根据以上信息，解答下列问题： （1）________，________； （2）求这个数据的中位数和众数； （3）已知单颗质量满足的草莓为长势良好的草莓，若该试验棚里一共可以收获草莓约颗，估计长势良好的草莓的总质量为多少千克？ 【答案】（1）， （2）中位数为，众数为 （3）估计长势良好的草莓的总质量为千克 【解析】 【分析】（1）找出B组和E组的频数，即可求解； （2）根据中位数和众数的定义即可求解． （3）先求得的数据的平均数，再根据样本估计总体进行计算即可求解． 【小问1详解】 解： 组有： ，共个，故 组有： ，共个，故 【小问2详解】 解：将个数据从小到大排序后第，个数据分别为，6， 中位数为， 个数据中，出现了次，出现的次数最多， 众数为23； 【小问3详解】 解：颗草莓中质量在之间的数据有：，，，，，，，，，， 满足的数据的平均数为（克）， （千克）， 答：估计长势良好的草莓的总质量为千克 18. 已知，如图，，． （1）用尺规求作点P，点P在上，且．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接，若，，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质以及作垂线，直角三角形两个锐角互余，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）作线段的垂直平分线，根据垂直平分线上的点到线段的端点的距离相等，据此即可作答． （2）先根据直角三角形两个锐角互余，得，结合等边对等角，得，列式，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：如图，连接 在中，∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ 19. 如图，一个书架上放着8个完全一样的长方体档案盒，其中左边7个档案盒紧贴书架内侧竖放，右边一个档案盒自然向左斜放，档案盒的顶点D在书架底部，顶点F靠在书架右侧，顶点C靠在档案盒上，若书架内侧长为，，档案盒长度．（参考数据：，，） （1）求点C到书架底部距离的长度； （2）求出该书架中最多能放几个这样的档案盒． 【答案】（1） （2）个 【解析】 【分析】（1）在中，通过解直角三角形求解即可； （2）根据同角的余角相等得到，设每个档案盒厚度为，通过解直角三角形在中，得到，在中得到，根据列出方程，求出每个档案盒厚度为，进而即可求解． 【小问1详解】 解：，， 在中，． 【小问2详解】 解：如图， ， ， ， 设每个档案盒厚度为， 则在中，， 在中，． ∵， ∴ 解得， ∴每个档案盒厚度为， 该书架中最多能放这样的档案盒数量为（个）． 20. 如图1，公路上有A、B、C三地，小红、小芳两人分别从A、C两地同时出发，沿公路匀速相向而行．如图2，线段、分别表示小红、小芳两人距离地的距离（米）与跑步时间（分钟）的函数图象． （1）__________米； （2）记线段、的交点为，求点坐标，并解释该点的实际意义； （3）若小红到达地后，3分钟后小芳也到达地，求、两地间的距离． 【答案】（1）1200 （2）；小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米 （3）600米 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据函数图象获得信息，一元一次方程的应用． （1）根据函数图象直接得出答案即可； （2）根据图象求出两个人的速度，然后求出他们相遇的时间，再求出相遇时小红距离出发点的距离，即可求出点Q的坐标； （3）设A、B两地的距离为s米，利用时间关系可得，再解方程即可． 【小问1详解】 解：根据函数图象可得：米； 【小问2详解】 解：根据函数图象可得：小红的速度为：（米/分）， 小芳的速度为：（米/分）， 相遇时小红用的时间为：（分钟）， 相遇时小红跑的路程为：（米） ∴点Q的坐标为，点Q表示小红、小芳跑了4分钟相遇，此时距离A点800米． 【小问3详解】 解：设A、B两地的距离为s米． 由题意得， 解得， 答：A、B两地的距离为600米． 21. 如图，中，是的弦，过点交于点，是的切线． （1）写出与的数量关系，并证明； （2）射线于点，交于点． ①依题意补全图形； ②若，，求的半径． 【答案】（1）， 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ； （2）①补全图形，如图所示： ② 【解析】 【分析】（1）连接，根据切线的性质可知，根据直角三角形的两个锐角互余，可得：，根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，可得：，等量代换可得； （2）①按照要求作出图形即可； ②连接，设，，根据勾股定理可得：，可证，根据相似三角形的性质可得，从而可知，根据勾股定理可得，解方程求出的值即为圆的半径． 【小问1详解】 解：， 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 ①略 ②如下图所示，连接， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）可知，， ， ， ， ， ， ， ，即， ， ，， ， 解得：， ，，， 即圆的半径为． 22. 二次函数的图象的对称轴为直线，点在二次函数的图像上． （1）求二次函数的表达式． （2）若该二次函数图象上的点向左平移8个单位长度后，所得的点也在该二次函数的图象上，求点的坐标． （3）将该二次函数的图象平移，使其顶点始终在直线上，则平移后所得二次函数的图象与轴交点的纵坐标是否存在最大值或者最小值？若存在，请求出该值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在最小值，最小值为 【解析】 【分析】（1）利用二次函数对称轴公式和点A的坐标，列出关于a，b的方程组，求解得到二次函数表达式． （2）设点P的坐标为，则点，根据点P和都在二次函数的图象上，则列出关于m，n的方程组求解即可得出点P的坐标． （3）则平移后二次函数表达式为，令，则，再根据二次函数的图象和性质求解即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知， 解得， 则二次函数的解析式为：． 【小问2详解】 解：设点P的坐标为， 则点， ∵点P和都在二次函数的图象上， ∴， 解得， ∴． 【小问3详解】 解：∵，平移后的二次函数顶点始终在直线上， ∴设平移后的顶点坐标为， 则平移后二次函数表达式为， 令，则， ∵， ∴抛物线开口向上，有最小值， ∴当时，． 23. （1）如图1，在与中，与相交于点，，求证：； （2）如图2，将图1中的绕点逆时针旋转得到，当点的对应点在线段的延长线上时，与相交于点：若，求的长； （3）如图3，在（2）的条件下，连接并延长，与的延长线相交于点，连接，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）利用等边对等角求得，再利用证明即可； （2）由题意得，得到，，，作于点，利用直角三角形的性质结合勾股定理求得，，证明，推出，利用相似三角形的性质列式计算即可求解； （3）设，由旋转的性质得，则，利用三角形内角和定理以及平角的性质求得，，推出，求得，作于点，求得，再求得，据此求解即可． 【详解】解：（1）∵， ∴，即， ∵，， ∴； （2）∵，即， ∴，，， 作于点， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴； （3）设， 由旋转的性质得，则， ∵，，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 作于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，即， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $