精品解析：2026年山东临沂市沂水县四十里堡镇初级中学等校中考数学模拟卷一

九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 下列四个图形中，一定是中心对称图形的是（ ） A. 角 B. 三角形 C. 菱形 D. 扇形 3. 红色圣地醉美遵义，令人陶醉向往遵义的负氧离子含量最高达个/，把数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 4. 如图是某个部件的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ） A. B. C. D. 7. 、两地相距，小江和小渝沿同一条路线骑自行车从地匀速驶向地，两人离开地的距离与小渝出发时间之间的关系如下图所示，根据图中信息，下列说法不正确的是（ ） A. 小江比小渝晚出发1小时 B. 小渝的速度是 C. 当小渝和小江的距离是时， D. 小江出发40分钟后追上小渝 8. 护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 该护眼台灯的电压为 C. 若，则 D. 当时， 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线与y轴交点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 12. 若关于的一元一次不等式的解集相同，则实数满足的关系是______． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 14. 已知正比例函数，将此函数的图像向下平移后经过点，则此函数的图像向下平移了___________个单位． 15. 如图，在中，．动点M，N分别在边上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为_____ ． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若点O是的中点，求的长． 18. 经过实验获得两个变量的一组对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 6 2.9 2 1.5 1.2 1 （1）在如图的直角坐标系中，画出相应函数的图象． （2）当时，求y的取值范围是 ． 19. 【阅读理解】 三角形两个内角的角平分线相交所形成的钝角，称为该三角形第三个内角的“好望角”． 【探究发现】 （1）如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． 【实践应用】 （2）如图2，在中，的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且．求证：是中的好望角． 【拓展提升】 （3）如图3，在图2条件下，若，，则线段的最大值为 ． 20. 如图①，河南省驻马店市泌阳县盘古山被誉为“中国盘古圣地”，盘古山拜祖广场中央矗立着一尊汉白玉盘古始祖像．某数学兴趣小组把“测量盘古始祖像高度”作为一项课题活动，制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量盘古始祖像高度 测量示意图 测量方案 盘古始祖像垂直于地面，基座及像高为，在地面点两处分别测得和的度数及两点间的距离．（在同一直线上，所有点均在同一平面内） 测量数据 ，，米 参考数据 ，， 解决问题 （1）请你帮助该兴趣小组同学根据表中的测量数据，求盘古始祖像的高度；（结果精确到0.1米） （2）该数学兴趣小组通过查阅资料，发现盘古始祖像高度约为9.51米，寓意“九五至尊，九九归一”，请计算本次测量值与真实值的偏差，并提出一条减小误差的合理化建议． 21. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表和频数分布直方图如下所示： 分数 频率 2 1 4 4 b．甲款红茶分数在85≤x＜90这一组的数据如下：86 86 86 86 86 87 87 88 88 89 c．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 86.6 m n 乙 87.5 90 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图． （2）表格中m的值为 ，n的值为 ． （3）根据消费者对这两款红茶的评分，从平均数、众数、中位数的角度分析，你认为哪款红茶的质量较好，并说明理由． （4）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合测评，评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪款红茶的最终成绩更高． 22. 已知二次函数． （1）证明该二次函数过一定点． （2）当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． （3）过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 23. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，于点H，其中，． （1）求证：． （2）连接，交于点O，求的长． （3）过点O作，交于点I．求证：四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学试题 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分）在每小题所给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 的绝对值是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵， ∴． 2. 下列四个图形中，一定是中心对称图形的是（ ） A. 角 B. 三角形 C. 菱形 D. 扇形 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做对称中心． 【详解】解：角、三角形、扇形均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 菱形能找到这样的一个点，使图形绕其对角线的交点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 3. 红色圣地醉美遵义，令人陶醉向往遵义的负氧离子含量最高达个/，把数用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．利用科学记数法的定义解决．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数的绝对值时，n是负整数． 【详解】解：． 故选：B． 4. 如图是某个部件的实物图，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据俯视图的意义，判断解答即可，熟练掌握俯视图的意义是解题的关键． 【详解】解：部件的实物图的俯视图是： ． 故选：B． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式的运算，熟练掌握相关运算法则和运算公式是解题关键．根据同底数幂的乘法，平方差公式，积的乘方，合并同类项的法则，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、，原选项计算错误，不符合题意； B、，原选项计算正确，符合题意； C、，原选项计算错误，不符合题意； D、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 6. 某博物馆开展“文化讲解员”招募活动．两位同学分别从“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅中随机选择一个进行讲解，则两位同学选择同一个展厅的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了概率的计算，熟练掌握画树状图法求概率是解题的关键． 画树状图得到所有种等可能的情况，其中两位同学选择同一个展厅的情况有种，用概率公式计算即可． 【详解】解：设“恐龙化石展”、“矿物世界展”、“海洋贝类展”、“动物迁徙展”四个展厅分别为， 画树状图如下： 共有种等可能的情况，其中两位同学选择同一个展厅的情况有种， 两位同学选择同一个展厅的概率为， 故选：B． 7. 、两地相距，小江和小渝沿同一条路线骑自行车从地匀速驶向地，两人离开地的距离与小渝出发时间之间的关系如下图所示，根据图中信息，下列说法不正确的是（ ） A. 小江比小渝晚出发1小时 B. 小渝的速度是 C. 当小渝和小江的距离是时， D. 小江出发40分钟后追上小渝 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象获取知识，一元一次方程的应用等知识，根据函数图象即可判断A、B选项；分两种情况讨论：分别列方程求解，即可判断C选项．设小江出发a小时追上小渝，列方程求解，即可判断D选项； 【详解】解：．根据图中信息可知小江比小渝晚出发1小时，说法正确，故该选项不符合题意； ．小渝的速度是，说法正确，故该选项不符合题意； ．小江的速度为，相遇之前小渝和小江的距离是时，或，解得，相遇之后，，解得，原说法错误，故该选项符合题意； ．设小江出发a小时追上小渝，，解得，小时分钟，原说法正确，故该选项不符合题意； 故选：C． 8. 护眼台灯亮度调节的原理是台灯内电路的电压为定值，通过控制可变电阻从而调节台灯的亮度，已知台灯的电流是电阻的反比例函数，其函数图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 反比例函数的解析式为 B. 该护眼台灯的电压为 C. 若，则 D. 当时， 【答案】C 【解析】 【分析】设电流关于电阻的表达式为，利用待定系数法求出，然后逐项求解判断即可． 【详解】解：设电流关于电阻的表达式为 将代入得， 解得 ∴该护眼台灯的电压为，故B错误； ∴反比例函数的解析式为，故A错误； 当时， 解得 由图象得，I随R的增大而减小 ∴若，则，故C正确； 当时，，故D错误． 9. 如图，将绕点顺时针旋转得到．若，，则图中阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由旋转的性质可得，，，然后可证得，和为等腰直角三角形，进而可求得，，，的长，然后根据图中阴影部分的面积即可求得答案． 【详解】解： ，， ， ， 绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 图中阴影部分的面积 ， 故选：． 【点睛】本题主要考查了等边对等角，三角形的内角和定理，勾股定理，旋转的性质，等角对等边，等式的性质，对顶角相等，垂线的定义，三线合一，三角形的面积公式，二次根式的混合运算，完全平方公式等知识点，熟练掌握上述知识点并能加以综合运用是解题的关键． 10. 抛物线与y轴交点的坐标为（ ）． A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数与坐标轴的交点问题，解答该题的关键是熟悉二次函数的基本性质．令，求出与y轴交点的纵坐标，即可得解； 【详解】解：当时，， 抛物线与y轴交点的坐标为， 故选：． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若m、n为正整数，且满足，当时，m的值有______个． 【答案】6 【解析】 【详解】解：∵， ∴， ∴正整数m的值有10，11，12，13，14，15共6个． 12. 若关于的一元一次不等式的解集相同，则实数满足的关系是______． 【答案】且 【解析】 【分析】根据a和b的符号，结合不等式的性质，分类讨论求解即可． 【详解】解：由题意，，， 当，时，不等式的解集为，不等式的解集为， ∵不等号的方向相反， ∴一元一次不等式的解集不可能相同，故舍去； 当，时，不等式的解集为，不等式的解集为， ∵不等号的方向相反， ∴一元一次不等式的解集不可能相同，故舍去； 当，即时，不等式的解集为，不等式的解集为， ∵一元一次不等式的解集相同， ∴，整理得， ∵，， ∴，即 ∴，即； 当，即时，不等式的解集为，不等式的解集为， ∵一元一次不等式的解集相同， ∴，整理得， ∵，， ∴，即 ∴，即； 综上，满足条件的实数满足的关系是且． 13. 关于x的一元二次方程有两个实数根，则m的取值范围是______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查根的判别式，根据一元二次方程的定义结合方程有2个实数根得到且，进行求解即可． 【详解】解：关于的一元二次方程 有两个实数根， ∴ 二次项系数，即， 且判别式，解得； 综上：且； 故答案为：且 14. 已知正比例函数，将此函数的图像向下平移后经过点，则此函数的图像向下平移了___________个单位． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的平移问题，熟练掌握一次函数平移的性质是解题关键．设正比例函数图像向下平移后的函数解析式为，将点代入并求得的值，即可获得答案． 【详解】解：设正比例函数图像向下平移后的函数解析式为， 将点代入， 可得，解得， 即平移后的函数解析式为， 所以，此函数的图像向下平移了5个单位． 故答案为：5． 15. 如图，在中，．动点M，N分别在边上，且，以为边作等边，当的面积最大时，的长为_____ ． 【答案】1 【解析】 【分析】先推导出图形变化规律可知：当增大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大，进而求出，即可解答． 【详解】解：在平行四边形中， ， ∴， 由图形变化规律可知：由，，得为等腰三角形， ∴当变大时，的长度随之变大，而等边的面积随着边长变长而增大， ∵动点，分别在边，上， ∴时，取得最大值，此时的面积最大 ∵，， 此时， ∴． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 计算、化简求值 （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2）化简结果为，值为 【解析】 【分析】（1）分别化简二次根式、计算零指数幂和绝对值，再依次加减即可； （2）先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，对多项式因式分解后约分得到最简式，最后代入x的值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ． 【小问2详解】 解：原式 ， 当时，原式． 17. 如图，在中，． （1）尺规作图：请在图中的左侧作．（保留作图痕迹，不作写法） （2）在（1）的条件下，在射线上取点D，连结交于点O，若点O是的中点，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作一个角等于已知角，全等三角形性质和判定，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据作一个角等于已知角的作图步骤，作出即可； （2）根据题意画出图形，证明，再利用全等三角形性质求解，即可解题． 【小问1详解】 解：如图即为所作； 【小问2详解】 解：在射线上取点D，连结交于点O，且点O是的中点， ， ，， ， ， ． 18. 经过实验获得两个变量的一组对应值如表： x 1 2 3 4 5 6 y 6 2.9 2 1.5 1.2 1 （1）在如图的直角坐标系中，画出相应函数的图象． （2）当时，求y的取值范围是 ． 【答案】（1）解：函数图象如图所示： （2） 【解析】 【分析】（1）利用描点法即可解决问题； （2）由图象可知，y近似的看作是x的反比例函数，设，利用待定系数法求出函数解析式；把代入解析式中，求出y的值，再结合函数图象可得答案． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：由图象可知，y可近似看作是x的反比例函数， 设， 把代入得到，， ∴y关于x的函数解析式为． 把代入，得， 由函数图象得时，y的取值范围是． 19. 【阅读理解】 三角形两个内角的角平分线相交所形成的钝角，称为该三角形第三个内角的“好望角”． 【探究发现】 （1）如图1，是中的好望角，，请用含的代数式表示． 【实践应用】 （2）如图2，在中，的平分线与经过B，C两点的圆交于点D，E，且．求证：是中的好望角． 【拓展提升】 （3）如图3，在图2条件下，若，，则线段的最大值为 ． 【答案】（1） （2）证明：平分， ， ，， ， ， ， ， ， ， 平分， 又平分， 是中的好望角； （3） 【解析】 【分析】（1）根据“好望角”的定义，确定分别为的角平分线，利用三角形的内角和定理，表示出两个底角之和，结合角平分线性质，求出的两个底角之和，最后利用三角形内角和定理用表示出； （2）利用平分和题目给出的角度互补关系推导出和的数量关系，在中利用内角和定理，将用和表示出来，利用三角形外角性质进行代换，最终证得，即平分，最后根据“好望角”定义可证是中的好望角； （3）由“好望角”性质及角平分线推导出，进而求出圆心角，由固定，故为定形的等腰直角三角形，半径，证明对角互补，结合角度计算出三点共线，从而将线段和转化为，将问题转化为求的最大值，又由，点A在以为直径的圆上运动，当为该圆直径时最长，由此即可求得线段的最大值． 【小问1详解】 解：是中的好望角， ，是的角平分线， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，设圆心为O，连接，，， 平分，平分， 是的好望角， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， 四边形是圆内接四边形， ， ， 与重合，即点O一定在上， ， ， ， ，， ， 当最大时，的值最大， ，， ， ，B，O，C在以为直径的圆上， 为直径时最大，此时， 的最大值为． 20. 如图①，河南省驻马店市泌阳县盘古山被誉为“中国盘古圣地”，盘古山拜祖广场中央矗立着一尊汉白玉盘古始祖像．某数学兴趣小组把“测量盘古始祖像高度”作为一项课题活动，制定了测量方案，利用课余时间完成了实地测量，测量结果如下表： 课题 测量盘古始祖像高度 测量示意图 测量方案 盘古始祖像垂直于地面，基座及像高为，在地面点两处分别测得和的度数及两点间的距离．（在同一直线上，所有点均在同一平面内） 测量数据 ，，米 参考数据 ，， 解决问题 （1）请你帮助该兴趣小组同学根据表中的测量数据，求盘古始祖像的高度；（结果精确到0.1米） （2）该数学兴趣小组通过查阅资料，发现盘古始祖像高度约为9.51米，寓意“九五至尊，九九归一”，请计算本次测量值与真实值的偏差，并提出一条减小误差的合理化建议． 【答案】（1）米 （2）本次测量值与真实值的偏差为米；建议：多次测量取平均值 【解析】 【分析】（1）首先求出，设，则，然后在中解直角三角形即可； （2）用测量值与真实值作差，然后提出建议即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴ ∴设，则 ∴在中， ∴ 解得 ∴盘古始祖像的高度为米； 【小问2详解】 解：（米） ∴本次测量值与真实值的偏差为米； 建议：多次测量取平均值． 21. 某企业生产甲、乙两款红茶，为了解两款红茶的质量，请消费者和专业机构分别测评．随机抽取25名消费者对两款红茶评分，并对数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息． a．甲款红茶分数（百分制）的频数分布表和频数分布直方图如下所示： 分数 频率 2 1 4 4 b．甲款红茶分数在85≤x＜90这一组的数据如下：86 86 86 86 86 87 87 88 88 89 c．甲、乙两款红茶分数的平均数、众数、中位数如表所示： 品种 平均数 众数 中位数 甲 86.6 m n 乙 87.5 90 86 根据以上信息，回答下列问题： （1）补全甲款红茶分数的频数分布直方图． （2）表格中m的值为 ，n的值为 ． （3）根据消费者对这两款红茶的评分，从平均数、众数、中位数的角度分析，你认为哪款红茶的质量较好，并说明理由． （4）专业机构对两款红茶的条索、色泽、整碎、净度、内质、香气、滋味醇厚度、汤色、叶底来进行综合测评，评分如下：甲款红茶93分，乙款红茶87分．若以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩，请通过计算说明哪款红茶的最终成绩更高． 【答案】（1）图见解析 （2）86，87； （3）从中位数来看，甲的质量比较好； （4）甲 【解析】 【分析】本题考查频数分布直方图，频数分布表，中位数，众数，同时还要掌握加权平均数的计算方法，解题的关键是有较强的识图能力和计算能力． （1）求出甲款红茶分数在这一组的频数，即可补全频数分布直方图； （2）分别根据众数和中位数定义即可求出答案； （3）根据平均数，众数，中位数的值一一判断即可； （4）根据加权平均数公式分别求得两款红茶的得分，即可得出结论． 【小问1详解】 解：甲款红茶分数在的频数为10， 分数在这一组的频数为， 补全频数分布直方图： ； 【小问2详解】 解：根据所给数据可得众数为86，中位数为从小到大排列的第13个数据为87， 故答案为：86，87； 【小问3详解】 解：从平均数，众数来看，乙的质量比较好． 从中位数来看，甲的质量比较好； 【小问4详解】 解：以这25名消费者评分的平均数和专业机构的评分按照的比例确定最终成绩为： 甲的成绩：（分， 乙的成绩：（分， ， 可以认定甲款红茶最终成绩更高． 22. 已知二次函数． （1）证明该二次函数过一定点． （2）当时，有最小值，请直接写出此时的取值范围． （3）过，的直线与二次函数图象的另一个交点为，若，，中，当其中一个点是另两点连线的中点时，求的值． 【答案】（1）见解析； （2）的范围为； （3）的值为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图像及性质，一元二次方程与二次函数的关系，熟练掌握二次函数的图像及性质是解题的关键． （1）把二次函数变形为，得函数与轴的交点为，，从而即可得证； （2）由函数与轴的交点为，得抛物线的对称轴为直线再把代入得，从而有，求解即可得解； （3）分当为中点， 为中点和为中点，利用一元二次方程求解即可． 【小问1详解】 解： 函数与轴的交点为， ∴函数必过点 【小问2详解】 解： 函数与轴的交点为， 抛物线的对称轴为直线 把代入得 解得 ∵，即 ∴ ∴的范围为． 【小问3详解】 解：由题意得：，， 当为中点，则， 把代入得， ∴， ∴ ∴方程无解 当为中点，则， 把代入， 又， 解得 当为中点，则， 把代入，又， 解得 综上所述的值为或． 23. 如图，将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形，点B与点E对应，点E恰好落在边上，于点H，其中，． （1）求证：． （2）连接，交于点O，求的长． （3）过点O作，交于点I．求证：四边形是正方形． 【答案】（1）见解析 （2） （3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形性质和旋转性质得到相等的边和角，利用证明； （2）根据得到，再根据勾股定理求出长，即可得到的长； （3）根据有一个角是直角的平行四边形是矩形证明四边形是矩形，再找一组邻边相等，即可证明结论． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∴． ∵， ∴． ∵将矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，． ∵，， ∴， 在中，， 由勾股定理得：． ∵， ∴． 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴； 【小问3详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∵， ∴四边形是矩形． ∵矩形绕着点C按顺时针方向旋转，得到矩形， ∴，， ∵， ∴， ∴四边形是正方形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $