精品解析：山东省德州市德城区2025年九年级第二次练兵考试数学试题

2025年九年级第二次模拟检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，若数轴上点A表示数是，则点B表示的数为（ ） A B. 0 C. 2 D. 4 3. 清代乾隆款雯红瓷瓶，藏于开封市博物馆．该瓶呈玉壶春形，喇叭口，削肩，鼓腹，圈足，器口呈白色，圈足内无釉，有“大清乾隆年制”三行六字篆书款．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图均不相同 4. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 5. 若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 6. 某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A. B. C. D. 7. 如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与 8. 对于抛物线和抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 两条抛物线开口方向相反 B. 两条抛物线对称轴相同 C. 两条抛物线一定有两个不同的交点 D. 两条抛物线关于直线对称 9. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A. 或 B. 且， C 或 D. 且， 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 计算：__________． 12. 点在一次函数图象上，则该直线不经过第__________象限． 13. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 14. 如图是将五本同规格书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为，高度为，现测得的长为，若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书______________本． 15. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，点，，连接，，，当最小时，的值为_______． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 为了解中考体育科目训练情况．某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次抽样测试的学生人数； （2）求图1中的度数，并把图2条形统计图补充完整； （3）测试老师想从4位同学（分别记为、、、，其中为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选不中小明的概率． 18. 如图，菱形的边长为5，顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点． （1）求点的坐标； （2）求的值． 19. 时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． （1）为保证斜坡倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ （2）如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 20. 如图，内接于，直径，点在上．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，连接，． （1）求证：； （2）如图，连接，已知，为了求，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求． 小明的研究思路 小丽的研究思路 连接并延长交于点，连接，求出即可． 记交于点，连接，求出即可． 21. 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下： A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买A车还是B车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 元 元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车 B车 保险 6500元/年 保险 2900元/年 车机服务 1230元/年 保养 元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线 过点 （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． （3）当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 23. 在中，，，点D在边上（点D不与点A，点C重合），连接，并将绕点D逆时针旋转得到. （1）如图，连接. ①与的位置关系为 ， ； ②请用等式表示和的数量关系，并说明理由； （2）如图，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年九年级第二次模拟检测 数学试题 一、选择题（本大题共10小题，共40分） 1. 中华文化源远流长，不论是玉器、漆器还是服饰都具有特色纹样．下列中国传统纹样图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形，中心对称图形的识别，掌握其定义，找出对称轴，对称中心是解题的关键． 轴对称图形，是指在平面内沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形，这条直线就叫做对称轴；中心对称：在平面内，把一个图形绕着某个点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么就说明这两个图形的形状关于这个点成中心对称，这个点叫做它的对称中心；根据定义，结合图形找出对称轴和对称中心即可求解． 【详解】解：A、没有对称轴，不是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，不符合题意； B、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； C、有对称轴，是轴对称图形，有对称中心，是中心对称图形，符合题意； D、有对称轴，是轴对称图形，没有对称中心，不是中心对称图形，不符合题意； 故选：C ． 2. 如图，若数轴上点A表示的数是，则点B表示的数为（ ） A. B. 0 C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】该题考查了数轴和有理数减法，根据两点的距离是4个单位长度解答即可． 【详解】解：若数轴上点A表示的数是， 则点B表示的数为， 故选：A． 3. 清代乾隆款雯红瓷瓶，藏于开封市博物馆．该瓶呈玉壶春形，喇叭口，削肩，鼓腹，圈足，器口呈白色，圈足内无釉，有“大清乾隆年制”三行六字篆书款．如图所示，关于它的三视图，下列说法正确的是（ ） A. 主视图和左视图相同 B. 主视图和俯视图相同 C. 左视图和俯视图相同 D. 三视图均不相同 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三种视图，熟知三视图的观察方向是解题的关键．在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图，在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图；在侧面内得到由左向右观察物体的视图，叫做左视图．熟知三视图的观察方向是解题的关键． 仔细观察图中几何体摆放的位置，根据三种视角观察到的图形判定则可． 【详解】解：根据雯红瓷瓶的实物特征及几何体三视图的概念，可知其主视图和左视图相同，俯视图与它们均不相同， 故选：A． 4. 如图，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，在此过程中绿化带上植物高度的平均数与方差均发生变化．关于这两个统计量的变化情况，描述正确的是（ ） A. 平均数变小，方差变小 B. 平均数变小，方差变大 C. 平均数变大，方差变大 D. 平均数变大，方差变小 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了方差和平均数，方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定，熟练掌握方差性质是解题关键．根据题意得出现有的高度一定小于等于原先的高度，即平均数变小，平整即波动变小了，方差就变小． 【详解】解：根据题意得，园林工人将绿化带上参差不齐的植物修剪平整，即现有的高度一定小于等于原先的高度，波动变小了，方差就变小， ∴平均数变小，方差变小， 故选：A． 5. 若是正整数，且满足，则与的关系正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂的乘法、幂的乘方及合并同类项，熟练掌握同底数幂的乘法及合并同类项是解题的关键；由题意易得，进而问题可求解． 【详解】解：由可知：， ∴； 故选B． 6. 某种商品，原来每盒售价为p元，现在每盒的售价降低了2元，同样用500元钱购买这种商品，现在比原来可多买（ ）盒 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式的运算的应用，根据“现在购买的数量原来购买的数量”和“购买数量总价单价”列出代数式． 【详解】解：依题意， 故选：A． 7. 如图，一块圆形钟表竖直放到一个长方体盒子中，钟表上刻度“2”和“10”恰好和盒子上边沿重合于，两点，若，的长为，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 无法比较与 【答案】A 【解析】 【分析】设的半径为r，则，根据题意可得：，算出，，比较即可． 【详解】解：如图，O为圆形钟表圆心，连接，则点为切点， 设的半径为r，则， 根据题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：A． 【点睛】该题主要考查了弧长公式、切线的性质、等腰三角形的性质、垂径定理、直角三角形的性质等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． 8. 对于抛物线和抛物线，下列结论错误的是（ ） A. 两条抛物线开口方向相反 B. 两条抛物线对称轴相同 C. 两条抛物线一定有两个不同的交点 D. 两条抛物线关于直线对称 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查抛物线图像的性质，根据二次项系数即可判断A，根据对称轴公式即可判断B，联立两式求解即可判断C，根据轴对称的性质求解即可判断D； 【详解】解：∵与互为相反数， ∴两条抛物线开口方向相反，故A正确， ∵抛物线的对称轴为直线，抛物线的对称轴为直线， ∴两条抛物线对称轴相同，故B正确， 联立两个抛物线得：， 整理得：， ∴， 当有两个相等的实数根，当有两个不相等的实数根，故C不正确， ∵抛物线和，开口方向相同，大小相同，两条抛物线交点， ∴两条抛物线关于直线对称，故D正确， 故选：C． 9. 如图，在中，相交于点O，．过点A作的垂线交于点E，记长为x，长为y．当x，y的值发生变化时，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识，过点D作交的延长线于点F，证明，得到，由勾股定理可得，，，则，整理后即可得到答案． 【详解】解：过点D作交的延长线于点F， ∵的垂线交于点E， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴ ∴， 由勾股定理可得，， ， ∴， ∴ ∴ 即，解得， ∴当x，y的值发生变化时，代数式的值不变的是， 故选：C 10. 已知反比例函数，点和是反比例函数图象上的两点．若对于，，都有，则的取值范围是（　　） A. 或 B. 且， C. 或 D. 且， 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质．由题意得，反比例函数的图象在二、四象限或一、三象限，分两种情况讨论，即可求得的取值范围． 【详解】解：对于，未知，需分类讨论， 当时，反比例函数的图象在一、三象限，此时， ∴， ∵， ∴点和都在第一象限的图象上，且和都大于0， ∴，即， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，反比例函数的图象在二、四象限，此时， 由图象可知，时，， ∴点在第四象限的图象上， 对于分类讨论， 当时，，此时点在第四象限的图象上，随的增大而增大， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得，即； 当时，，此时点在第二象限的图象上， 则，， ∴，， ∵，， 取点关于原点的中心对称点，则点， ∵， ∴，此时点和点都在第二象限的图象上，随的增大而增大， ∵， ∴， ∴， 解得，即； 当时， ∴，此时点不在反比例函数的图象上，舍去， 综上，且，， 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，共20分） 11. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次根式的乘法运算，直接根据乘法公式进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 点在一次函数图象上，则该直线不经过第__________象限． 【答案】三 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数点的坐标特点以及一次函数的图象， 以及一次函数经过的象限，把点代入，求出k的值，再根据，可得出该直线经过一，二，四象限即可得到答案． 【详解】解：把点代入， 得出：， 解得：， ∴一次函数的解析式为：， ∵，， ∴该直线经过一，二，四象限， ∴该直线不经过第三象限 故答案为：三． 13. 如图，D，E分别是边，的中点，连接，．若，则的长为__________ 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查三角形中位线定理和等腰三角形的判定，由三角形中位线定理得得出得出 【详解】解：∵D，E分别是边，的中点， ∴是的中位线， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 故答案为：4 14. 如图是将五本同规格的书放入一层书架后的主视图，已知四本书摆放整齐，一本书侧倒，书的厚度为，高度为，现测得的长为，若将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书______________本． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，相似三角形的判定与性质，由勾股定理可求得的值，再证明，得到，可求出的值，进而可求出的值，进一步即可求出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， 在中，， ，， ， 又， ， ， ， ， ， ， 将侧倒的书摆正，则最多还能再放入厚度为的书4本， 故答案为：4． 15. 如图，在平面直角坐标系中，是等腰直角三角形，点，点，，连接，，，当最小时，的值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可知，点可以看成是点向右平移2个单位，向下平移1个单位，将向右平移2个单位，向下平移1个单位，得，连接，，得，作关于直线的对称点，连接，，则，得，而，当点在上时，取等号，此时有最小值，利用待定系数法求得直线的解析式为，将代入求解即可． 【详解】解：∵是等腰直角三角形，点，则，， ∴，则 ∴，即， ∵点，， ∴点可以看成是点向右平移2个单位，向下平移1个单位， 将向右平移2个单位，向下平移1个单位，得，连接，， ∴， ∵，则在直线上， 作关于直线的对称点，连接，，则， ∴， 而，当点在上时，取等号，此时有最小值， 设直线的解析式为，将，代入， 可得：，解得， ∴直线的解析式为， 将代入可得：， 解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查图形与坐标，路径最短问题，待定系数法求一次函数解析式，等腰直角三角形的性质，平移，轴对称等知识点，推到得出，当点在上时，取等号，此时有最小值，是解决问题的关键． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查整式混合运算，解一元一次不等式组，熟练掌握整式运算法则和确定不等式组解集是解题的关键． （1）根据单项式乘以多项式法则计算，再合并同类项即可； （2）先分别 求出不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无处找”确定出不等式组解集即可． 【详解】解：（1）原式 ； （2）， 解不等式①，得 解不等式②，得 不等式组的解集为 ． 17. 为了解中考体育科目训练情况．某校从九年级学生中随机抽取了部分学生进行了一次中考体育科目测试（把测试结果分为四个等级：A级：优秀；B级：良好；C级：及格；D级：不及格），并将测试结果绘成了两幅不完整的统计图，请根据统计图中的信息解答下列问题： （1）求本次抽样测试的学生人数； （2）求图1中的度数，并把图2条形统计图补充完整； （3）测试老师想从4位同学（分别记为、、、，其中为小明）中随机选择两位同学了解平时训练情况，请用列表或画树状图的方法求出选不中小明的概率． 【答案】（1） （2），图见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由条形统计图可知级人数为人，由扇形统计图可知级人数占比为，由此即可求出本次抽样测试的学生人数； （2）用乘以级人数占比即可求出的度数，用总人数减去其他各级人数即可求出级人数，然后把条形统计图补充完整即可； （3）先画出树状图，展示从位同学中随机选择两位同学所有等可能的结果，再找出选不中小明的结果数，然后根据概率公式计算概率即可． 【小问1详解】 解：由条形统计图可知：级人数为人， 由扇形统计图可知：级人数占比为， （人）， 本次抽样测试的学生人数是40人； 【小问2详解】 解：的度数是：， 级人数为：（人）， 把条形统计图补充完整如下： 【小问3详解】 解：根据题意画树状图如下： 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中选不中小明的结果有种， （选不中小明）． 【点睛】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图信息关联，由扇形统计图求总量，求扇形统计图的圆心角，求条形统计图的相关数据，画条形统计图，列表法或树状图法求概率，根据概率公式计算概率等知识点，熟练掌握条形统计图和扇形统计图信息关联及列表法或树状图法求概率是解题的关键． 18. 如图，菱形的边长为5，顶点的坐标为，顶点在轴的正半轴上，反比例函数的图像经过顶点． （1）求点的坐标； （2）求的值． 【答案】（1） （2）32 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质、勾股定理、求反比例函数解析式，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）延长交轴于点，利用菱形的性质得到求出的长，利用勾股定理求出的长，即可求出点的坐标； （2）利用菱形的性质求出点的坐标，再利用待定系数法即可求出的值． 【小问1详解】 解：如图，延长交轴于点， 四边形是菱形， ，即轴， 轴， ， 顶点的坐标为， ， ， 点的坐标为． 【小问2详解】 解：菱形的边长为5， ， 由（1）得，， ， 代入到，得， 的值为32． 19. 时代购物广场要修建一个地下停车场，停车场的人口设计示意图如图所示，其中斜坡的倾斜角为，一楼到地下停车场地面的垂直高度，一楼到地平线的距离． （1）为保证斜坡的倾斜角为，应在地面上距点多远的处开始斜坡的施工？ （2）如果给该购物广场送货的货车高度为，那么按这样的设计能否保证货车顺利进入地下停车场？并说明理由．（参考数据：，，） 【答案】（1）应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工 （2）能，理由见解析 【解析】 【分析】本题考查锐角三角函数的实际应用．灵活应用锐角三角函数解直角三角形是解题的关键． （1）根据坡度的概念，由，即可解答； （2）过点作于点，由，求出，再与货车高度比较即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：，，， ． 在中，， ． 答：应在地面上距点约远的处开始斜坡的施工； 【小问2详解】 能，理由如下： 如图，过点作于点， 则， 在中，， ， ， ∴能保证货车顺利进入地下停车场． 20. 如图，内接于，直径，点在上．以点A为圆心，以长为半径作弧，交于点D，连接，． （1）求证：； （2）如图，连接，已知，为了求，小明和小丽提出了各自的研究思路．请选择一种研究思路，求． 小明的研究思路 小丽的研究思路 连接并延长交于点，连接，求出即可． 记交于点，连接，求出即可． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，垂径定理，弦的定义等知识，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握相关的判定和性质． （1）连接，根据同弧或等弧所对的圆周角相等，得出，根据圆周角定理得出； （2）小明的研究思路：在中，求出，根据圆周角定理得出，即可求解； 小丽的研究思路：由（1）可得，根据垂径定理得出．在中，求出，根据等边对等角、三角形的外角的性质以及圆周角定理可得，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，连接， 根据作图可知：， ∴， ∴； 小问2详解】 解∶①选择小明研究思路，如图2， 是直径， ． 在中，． ， ． ②选择小丽的研究思路，如图3， 由（1）可得， ． 中，． ， ． 21. 项目化学习——家庭购车计划分析单 项目背景 近年来，新能源汽车受到越来越多消费者的关注、小明家里计划购置一辆新车，看中了售价相同的A款纯电动汽车（记为A车）和B款燃油车（记为B车）．经过家庭会议之后分析如下： A车：保险等费用高，但用电便宜，行驶费用低． B车：保险等费用较低，但油费、保养等费用高． 项目问题 是购买A车还是B车？ 项目目的 经历数据的调查、整理、分析的过程，感受数学思维对现实生活的指导意义． 数据收集1（行驶费用） 通过查阅相关资料，两车在相同路段且行驶里程相同时，获得以下数据： A车 B车 每千米行驶费用 a元 元 总行驶费用 元 元 数据收集2（其它费用） 设：小明一家年平均行驶里程为千米． A车 B车 保险 6500元/年 保险 2900元/年 车机服务 1230元/年 保养 元 项目任务1 求A车、B车的每千米行驶费用； 项目任务2 请综合考虑行驶费用和其它费用，根据年平均行驶里程千米，帮小明家确定购车方案． 【答案】任务1：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元；任务2：见解析 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一次函数的应用； 任务1：根据题意得，解分式方程，即可求解； 任务2：设纯电动汽车的行驶费用为元、燃油车的行驶费用为元；求得，分三种情况讨论，即可求解． 【详解】解：任务1：由题意得， 解得， 经检验，是分式方程的解，且符合题意， （元）， 答：纯电动汽车每千米元；燃油车每千米元； 任务2：设A车的行驶费用为元，B车的行驶费用为元； 由题意得， ， ①当时，， 解得， ∴当时，B车的行驶费用更低； ②当时，， 解得， ∴当时，两种车的行驶费用相同； ③当时，， 解得， ∴当时，A车的行驶费用更低． 22. 在平面直角坐标系中，抛物线 过点 （1）请用含 的代数式表示 ． （2）若该抛物线关于 轴对称后的图象经过点，求该抛物线的函数表达式． （3）当 时，对于每一个 的值， 始终成立，试求 的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数关系式，二次函数图像的性质， （1）将两个点的坐标代入关系式，整理可得答案； （2）先求出对称前该抛物线经过点，再设抛物线的关系式为，然后将点代入可得答案； （3）由（1）可得，进而得出 ，接下来求出抛物线的对称轴，再分两种情况：当 时，当 时，随的增大而增大，再将时代入关系式，可得答案；当时，当时，随的增大而减小，将代入关系式，可得答案. 【小问1详解】 解：由题意得 ， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：该抛物线关于y轴对称后的图象经过，则对称前该抛物线经过点． 设 ， 将代入，得 ， 解得, 该抛物线的函数表达式为； 【小问3详解】 解：由（1），得， ∴． 由，得，记作 ， 抛物线的对称轴为直线 . 当 时，如图 1，当 时，随的增大而增大． 当时，，则 成立， 即 ， 解得， 所以． 当时，如图2，当时，随的增大而减小， 当时，，则成立， 即 恒成立． 所以或时，始终成立． 23. 在中，，，点D在边上（点D不与点A，点C重合），连接，并将绕点D逆时针旋转得到. （1）如图，连接. ①与的位置关系为 ， ； ②请用等式表示和的数量关系，并说明理由； （2）如图，将沿翻折，得到，连接，若的最小值为2，求的长. 【答案】（1）①，；②，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）①连接，证明，即可得出结论；②由，得到，再根据，即可得出结论； （2）连接，将沿着翻折得到，连接，作，得到，推出四边形为正方形，进而得到点为定点，当点与重合时，最小，此时，进而求出的长，即可． 【小问1详解】 解：①连接， ∵，， ∴， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴； 故答案为：，； ②，理由如下： 由①知：， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 连接，将沿着翻折得到，连接，作，如图，则：，，， ∵将沿翻折，得到， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∵， ∴四边形正方形， ∴为定点，，； 由（1）知，， ∴点在射线上运动，， ∴当点与点重合时，，值最小，此时最小， ∴， 在中，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质，相似三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$