专题02期末复习易错题45个易错点 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦人教版七年级下册6章核心内容，精选45个期末高频易错点，通过各地期中真题实例，强化概念辨析与解题规范，培养推理意识与抽象能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |相交线与平行线|8个易错点|概念识别、判定性质综合|从角的位置关系到平行判定与性质应用| |实数|11个易错点|概念辨析、运算应用|平方根/立方根概念到实数分类与运算| |平面直角坐标系|6个易错点|坐标特征、面积计算|点的坐标规律到图形平移与面积求解| |二元一次方程组|9个易错点|定义、解法及应用|方程定义到含参问题与实际应用| |不等式与不等式组|7个易错点|性质应用、含参问题|不等式性质到组的解集与实际应用| |数据描述|4个易错点|调查方式、图表分析|数据收集到图表解读与数据分析|

专题02 期末复习易错题45个易错点 【新教材人教版】 第7章 相交线与平行线 【易错1 对顶角、邻补角的识别】............................................................................................................2 【易错2 相交线与平行线的相关概念】....................................................................................................4 【易错3 同位角、内错角、同旁内角的识别】........................................................................................5 【易错4 两个角的两边分别平行或垂直】................................................................................................7 【易错5 平行线的判定】..........................................................................................................................10 【易错6 平行线的性质探究角的数量关系】..........................................................................................12 【易错7 平行线的判定与性质】..............................................................................................................15 【易错8 平移】..........................................................................................................................................17 第8章 实数 【易错9 平方根、算术平方根、立方根的概念】..................................................................................21 【易错10 平方根的性质】.......................................................................................................................22 【易错11 算术平方根的性质】...............................................................................................................23 【易错12 估计算术平方根的范围】.......................................................................................................25 【易错13 算术平方根、立方根的规律探索】.......................................................................................26 【易错14 算术平方根与立方根的综合应用】.......................................................................................28 【易错15 利用平方根、立方根解方程】...............................................................................................29 【易错16 无理数的识别】.......................................................................................................................32 【易错17 无理数的整数部分、小数部分】...........................................................................................33 【易错18 实数的分类】...........................................................................................................................36 【易错19 实数的混合运算】...................................................................................................................39 第9章 平面直角坐标系 【易错20 坐标系中点的坐标特点记不清】...........................................................................................40 【易错21 点到坐标轴的距离与坐标的关系不熟悉】...........................................................................41 【易错22 坐标中分类问题漏解】...........................................................................................................43 【易错23 求面积中的易错题】...............................................................................................................45 【易错24 坐标表示平移】.......................................................................................................................50 【易错25 点的坐标规律探索】...............................................................................................................52 第10章 二元一次方程组 【易错26 二元一次方程（组）的定义】...............................................................................................55 【易错27 二元一次方程（组）的解】...................................................................................................56 【易错28 消元法解二元一次方程组】...................................................................................................58 【易错29 二元一次方程组的错解问题】...............................................................................................60 【易错30 二元一次方程组的同解问题】...............................................................................................63 【易错31 已知二元一次方程组的解的情况求参数】...........................................................................66 【易错32 实际问题与二元一次方程组】...............................................................................................68 【易错33 三元一次方程组的定义及解】...............................................................................................71 【易错34 三元一次方程组的应用】.......................................................................................................73 第11章 不等式与不等式组 【易错35 不等式的性质】......................................................................................................................76 【易错36 解一元一次不等式（组）】....................................................................................................77 【易错37 已知不等式（组）求参数问题】..........................................................................................79 【易错38 不等式组有解、无解求参数问题】......................................................................................81 【易错39 不等式组的整数解问题】......................................................................................................82 【易错40 不等式组与方程组结合问题】..............................................................................................83 【易错41 实际问题与一元一次不等式（组）】....................................................................................85 第12章 数据的收集、整理与描述 【易错42 判断全面调查与抽样调查】.................................................................................................88 【易错43 总体、个体、样本、样本容量】.........................................................................................93 【易错44 扇形统计图、条形统计图、折线统计图】.........................................................................95 【易错45 频数分布直方图】................................................................................................................99 易错1 对顶角、邻补角的识别 1．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，根据定义逐一判断即可． 【详解】解：A、与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角，不符合题意； B、与没有公共顶点，故不是对顶角，不符合题意； C、与有公共顶点，且两边互为反向延长线，故是对顶角，符合题意； D、与的两边不互为反向延长线，故不是对顶角，不符合题意． 2．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】邻补角的条件：两个角需有公共顶点、一条公共边，且另一边互为反向延长线，根据邻补角的定义逐个分析即可． 【详解】解：A．与有公共顶点、公共边，且另一边互为反向延长线，符合邻补角定义，符合题意； B．与有公共顶点，无公共边，不符合邻补角定义，不符合题意； C．与无公共顶点，不符合邻补角定义，不符合题意； D．与有公共顶点、无公共边，不符合邻补角定义，不符合题意． 3．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）在下列的图中，与是对顶角的是（     ） A．B． C． D． 【答案】C 【详解】解：根据对顶角的定义，两个角有一个公共顶点，一个角的两边是另一个角的两边的反向延长线， 选项A，两角没有公共顶点，角的两边也不是反向延长线，与不是对顶角，不符合题意； 选项B，角的两边不是另一个角两边的反向延长线，与不是对顶角，不符合题意； 选项C，与是对顶角，符合题意； 选项D，角的两边不是另一个角两边的反向延长线，与不是对顶角，不符合题意． 4．（25-26七年级下·四川内江·期中）如图，和是邻补角的图形是（   ） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】两个角有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，叫做邻补角，由此即可求解． 【详解】解：根据邻补角的概念可得，与有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线， 只有选项D符合题意． 易错2 相交线与平行线的相关概念 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】A 【分析】利用平行线的性质和平行公理以及垂线的性质和定义等，逐项进行判断． 【详解】解：选项A：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，是真命题； 选项B：一个角的两边与另一个角的两边分别平行，这两个角相等或互补，原命题错误，是假命题； 选项C：只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，原命题未说明两条直线平行，错误，是假命题； 选项D：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，则不存在符合要求的直线，原命题错误，是假命题． 2．（25-26七年级下·重庆开州·期中）下列四个命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 【答案】C 【分析】本题考查真假命题的判断，牢记初中几何相关定义与定理即可解题，根据相关概念逐项判断即可． 【详解】解：A、相等的角不一定是对顶角，因此A是假命题，不符合要求； B、直线外一点到这条直线的垂线段的长度才叫作点到直线的距离，原命题描述错误，因此B是假命题，不符合要求； C、平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂线的基本性质，因此C是真命题，符合要求； D、只有两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角才互补，原命题缺少前提条件，因此D是假命题，不符合要求． 3．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．两点之间，直线最短 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 【答案】D 【详解】解：选项A中，只有两条平行直线被第三条直线所截，内错角才相等，原命题缺少“两直线平行”的条件，A是假命题，不符合题意； 选项B中，两点之间，线段最短，不是直线最短，B是假命题，不符合题意； 选项C中，直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，不是垂线段本身，C是假命题，不符合题意； 选项D中，在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合同一平面内垂直的基本性质，D是真命题，符合题意． 4．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列语句中真命题有（   ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】根据点到直线的距离，平行公理，平行线的判定与性质等，逐个判断真假即可． 【详解】解：①点到直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，因此①是假命题； ②只有两直线平行时，内错角才相等，本题缺少“两直线平行”的前提，因此②是假命题； ③只有过直线外一点，才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上，不存在这样的平行线，因此③是假命题； ④在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行，因此④是真命题； 综上，真命题只有1个，A选项符合题意． 易错3 同位角、内错角、同旁内角的识别 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）下列图形中，与属于同位角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据同位角的特征：两条直线被第三条直线所截形成的角中，两个角都在两条被截直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，由此判断即可． 【详解】解：选项A是同位角，选项B、C、D不是同位角． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据内错角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角进行解答即可． 【详解】解：．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与是内错角，故该选项符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； ．与不是内错角，故该选项不符合题意； 3．（25-26七年级下·江西吉安·期中）下列各图中，与不是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此可得答案． 【详解】解：由同旁内角的定义可知，B、C、D这三个选项中的与是同旁内角， A选项中的与不是同旁内角． 4．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）同位角、内错角和同旁内角是根据两个角的位置关系定义的角．如图，下列结论不正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 【答案】D 【分析】根据同位角、同旁内角、内错角的定义逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、与是同位角，故A选项正确，不符合题意； B、与是同旁内角，故B选项正确，不符合题意； C、与是内错角, 故C选项正确，不符合题意； D、与不是同位角，故D选项错误，符合题意． 易错4 两个角的两边分别平行或垂直 1．（25-26七年级下·上海宝山·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角是，则另一个角是（　  　） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线的性质，根据题意可分两种情况，进而画出图形，然后根据平行线的性质可进行求解． 【详解】解：由题意得： ①如图， ∵，，， ∴； ②如图， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 2．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如果两个角的两边分别垂直，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（    ） A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、 【答案】B 【分析】首先由两个角的两边分别垂直，可得这两个角相等或互补．然后设其中一角为x°，由其中一个角的比另一个角少20°得另一个角为，然后分别从两个角相等与互补去分析，即可求得答案，注意别漏解． 【详解】解：设其中一角为x°， ∵其中一个角的比另一个角少20° ∴另一个角为（x+20）°， ∵两个角的两边分别垂直， ∴这两个角相等或互补． ①若这两个角相等，如下图， 则x=x+20， 解得：x=30， ∴这两个角的度数是30°和30°； ②若这两个角互补， 如下图， 则180-x=x+20， 解得：x=120， ∴这两个角的度数是60°和120°． ∴这两个角的度数是30°和30°或60°和120°． 故选：B． 【点睛】此题考查了角度计算与一元一次方程的解法．此题难度适中，解题的关键是掌握如果两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，注意方程思想的应用． 3．（25-26七年级下·全国·期中）两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，这两个角是____． 【答案】或． 【分析】根据条件可知这两个角相等或互补，利用方程思想可求得其大小． 【详解】解：如下图所示， 若两个角的两边分别平行说明这两个角要么相等，要么互补，设其中一个角为x，另一个角就是： ①当两个角相等时，列式，得， 此时两个角是； ②当两个角互补时，列式，得， 此时两个角是 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查平行线的性质，掌握两个角的两边互相平行则这两个角相等或互补是解题的关键． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·周测）已知两个角的两边分别垂直，且这两个角的度数分别为和，则______． 【答案】80°或40° 【分析】由两角的两边互相垂直可得出两角相等或互补，然后再根据这两个角的度数，得到方程，解之即可． 【详解】解：∵两个角的两边分别垂直， ∴这两个角相等或互补， 若两角互补，则2x-10+110-x=180°，解得x=80°； 若两角相等，则2x-10=110-x，解得x=40°， 故答案为：80°或40°． 【点睛】本题主要考查的是垂线的定义，根据题意得到这两个角相等或互补是解题的关键． 易错5 平行线的判定 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、∵， ∴，故符合题意； B、∵， ∴，故不符合题意； C、∵， ∴，故不符合题意； D、∵， ∴，故不符合题意． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】C 【分析】根据平行线的判定定理：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行，对各个条件进行逐一分析即可． 【详解】解： 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的内错角， 若 ，则 ，故①符合题意； 与 分别是直线 、 被两条不同的直线所截形成的角，无法判断 ，故②不符合题意； ③ 与 是直线 、 被第三条直线所截形成的同位角， 若 ，则 ，故③符合题意； 综上所述，能判断 的有①③，共2个． 3．（25-26七年级下·云南怒江·期中）如图，点在的延长线上，下列四个条件：；；；．其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：由可以得到，符合题意； 由可以得到，不能得到，不符合题意； 由可以得到，符合题意； 由可以得到，符合题意． 综上所述，能判定的是． 易错6 平行线的性质探究角的数量关系 1．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点作，结合两直线平行内错角相等、两直线平行同旁内角相等即可得解． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ， 即，选项符合题意． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的顶点为，分别过作，，根据平行线的性质可得，，，进而得出，即可求解． 【详解】如图，设的顶点为，分别过作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过作的平行线和，根据两直线平行内错角相等以及角的和差关系得到，根据垂直的定义得到． 【详解】解：如图，分别过作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 易错7 平行线的判定与性质 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，，交于点，点在上，，垂足为，．试说明．请将下面的解答过程补充完整． 解：因为（已知）， 所以______（______） 因为（已知），所以______（______）， 所以______（______），所以（______） 因为（已知），所以， 所以，所以_____． 【答案】A；两直线平行，内错角相等；2；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等） 因为（已知）， 所以， 所以， 所以． 2．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）已知：如图，在中，于点，点在的延长线上，于点，．试说明：是的平分线．请你完成下列说理过程： 解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（___________________）， ∴___________________（___________________）， ___________________（___________________）， ∵（已知）， ∴___________________（___________________）， ∴是的平分线． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴是的平分线． 3．（25-26七年级下·吉林松原·期中）填写推理根据． 如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，请填写的理由． 证明：，， ，， ， （_____）， （_____）， ， _____（_____）， _____（_____）， （_____）． 【答案】同位角相等，两直线平行；3；两直线平行，同旁内角互补；3；同角的补角相等；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等 【分析】根据同位角相等，两直线平行，即可得到，再由平行线的性质可得，结合已知条件由同角的补角相等可得，再由内错角相等，两直线平行，可得，由此可证明． 【详解】证明：，， ，， ， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， ， （同角的补角相等）， （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同位角相等）． 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，已知．求证：． (1)请将下面证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． (2)若平分于点C，，求的度数 【答案】(1)两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；内错角相等，两直线平行； (2) 【分析】（1）根据平行线的判定和性质以及补角定理进行证明； （2）根据垂直得出直角，利用角平分线得出，根据平行线的性质得出内错角相等，然后根据角的和差求解． 【详解】（1）证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）， 又∵（已知）， ∴（同角的补角相等）， ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等） （2）解：∵， ∴， ∵，且平分， ∴， 由（1）得， ∴， ∴． 易错8 平移 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的图案分别是大众、奥迪、本田、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：观察可知，只有选项B可以看作由“基本图案”经过平移得到，其它选项的图案都不能看作由“基本图案”经过平移得到. 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，平移的距离等于，且结合三角形的周长和四边形的周长，通过周长差求出的长度，即为平移的距离． 【详解】解：设平移的距离为，则 ∵平移得到， ∴ ∵的周长为， ∴ ∵四边形的周长为， ∴ ∴ ∴ 解得 ∴这次平移的距离为 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用平移的性质，得出阴影部分为长为，宽为的长方形，然后根据长方形面积公式进行计算即可． 【详解】解：根据平移得出图中阴影部分可以看作一个长为，宽为， ∴图中阴影部分的面积为： ． 4．（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位得到，请作出； (2)连接，，则线段和线段的关系为________； (3)在平移的过程中，求线段扫过的面积． 【答案】(1)见解析 (2)平行且相等 (3)6 【分析】（1）根据平移的性质得到点A，B，C的对应点，即可； （2）根据平移的性质解答即可； （3）根据平移的性质解答即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：线段和线段的关系为平行且相等； （3）解：线段扫过的面积为． 易错9 平方根、算术平方根、立方根的概念 1．（25-26七年级下·江西上饶·期中）的算术平方根为________． 【答案】10 【详解】解：， 的算术平方根为． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）7的算术平方根________；的平方根是________． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义求出7的算术平方根，化简后，再根据平方根的定义求出的平方根即可． 【详解】解： 7的算术平方根为． ．故的平方根为． 3．（25-26七年级下·广东肇庆·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查平方根、算术平方根与立方根的定义和性质，根据相关定义逐一判断选项即可． 【详解】解：A、，原选项错误，不符合题意； B、，原选项错误，不符合题意； C、，原选项错误，不符合题意； D、，原选项正确，符合题意． 4．（25-26七年级下·天津·阶段检测）下列各式正确的为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据平方根、算术平方根、立方根的定义计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A选项：∵表示25的算术平方根，结果为非负数，∴，A错误； B选项：∵，∴B错误； C选项：∵表示81的平方根，∴，∴C错误； D选项：∵，计算正确，∴D正确． 易错10 平方根的性质 1．（25-26七年级下·河南三门峡·期中）若一个正数的平方根分别是与，则为________． 【答案】 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数即可列方程求得的值． 【详解】解：一个正数的平方根分别是与， ， 解得． 2．（23-24七年级下·山东日照·阶段检测）如果和是一个数m的平方根，则________． 【答案】9或81 【分析】本题考查了平方根的定义，解题的关键是求出a的值，注意：一个正数有两个平方根，它们互为相反数． 分情况根据一个非负数的两个平方根互为相反数可得关于a的方程，解出即可得出a的值，继而可得m的值． 【详解】解：当和表示同一个数时， ， 解得：， ∴，； 当和表示不同数时， ∵和是一个数m的平方根， ∴， 解得：， ∴，； 故答案为：9或81． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果的平方根是a和b，那么_______． 【答案】600 【分析】根据一个正数的两个平方根互为相反数得到，整体代入求值即可． 【详解】解：∵的平方根是a和b， ∴， ∴． 易错11 算术平方根的性质 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 【答案】 【分析】根据非负数的性质求得，然后求出的值，最后求平方根即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的平方根为． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 【答案】 【分析】先根据算术平方根的非负性求出的值，再代入求出的值，最后计算幂得到结果． 【详解】解：根据算术平方根的非负性可得，，， 解得且， ， ， ． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 【答案】 【分析】根据相反数的定义得到等式，再利用非负数的性质求出和的值，最后代入所求代数式计算即可． 【详解】解：与互为相反数， ， ∵， ，， 解得，， 将，代入得． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 【答案】/ 【分析】首先根据数轴确定的大小关系，然后根据绝对值的性质：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，即可去掉绝对值符号，从而进行化简． 【详解】解：由数轴可知，， ∴，， ∴ ． 5．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是______． 【答案】 【分析】根据数轴上对应点的位置，确定式子正负，再根据算术平方根和绝对值的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知，，且， ，， ． 易错12 估计算术平方根的范围 1．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）估计的大小应在（   ） A．8与9之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 【答案】A 【详解】∵ ，， 又∵ ， ∴ ，即， 因此的大小在8与9之间． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列整数，在与之间的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】通过比较被开方数大小确定和的取值范围，即可求解． 【详解】解：∵  ， ∴ ∴． 3．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 【答案】A 【分析】本题考查无理数的估算，解题的关键是先求出． 先估算的取值范围，然后即可判断的近似值． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选A． 4．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）与最接近的整数是______． 【答案】8 【分析】本题考查了算术平方根的估算，利用“夹逼法”估算出的范围即可． 【详解】解：∵，即 ∴， ∴与最接近的整数是8． 故答案为：8． 易错13 算术平方根、立方根的规律探索 1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）若，，则（     ） A．38.1 B．381 C．12 D．120 【答案】A 【分析】根据被开方数的小数点向左（或向右）每移动两位，其算术平方根的小数点就向左（或向右）移动一位即可得． 【详解】解：∵， ∴． 2．（25-26七年级下·山西大同·期中）已知，则_____． 【答案】 【分析】根据被开方数的小数点每向左移动2位，算术平方根的小数点向左移动1位求解即可． 【详解】解： ∴． 3．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 【答案】A 【分析】将所求被开方数变形为已知立方根的数与的乘积，再利用立方根的性质计算即可． 【详解】， ， 又 ， ． 4．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知，，则______；已知，，则______． 【答案】 【分析】算术平方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动两位，它的算术平方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 立方根的小数点移动规律：被开方数的小数点每向右（或向左）移动三位，它的立方根的小数点就相应地向右（或向左）移动一位． 【详解】解：； ． 易错14 算术平方根与立方根的综合应用 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是4，的立方根是3，求的平方根． 【答案】 【分析】根据立方根，算术平方根的定义求出a，b的值，即可计算出答案． 【详解】解：∵的算术平方根是4，的立方根是3， ∴，且， 解得：，， ∴， ∴的平方根为． 2．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 【答案】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数列方程可求得a，进而求得x；再利用立方根的定义求得b，然后求得的值，最后求算术平方根即可． 【详解】解：∵正数x的两个平方根是和， ∴，即，解得， ∴， ∴， 又∵b的立方根是， ∴， ∴， ∵2的算术平方根是， ∴的算术平方根是． 3．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据算术平方根和立方根的定义知、，据此求解可得； （2）将、的值代入，再根据平方根的定义计算可得． 【详解】（1）解：∵的算术平方根是，的立方根是4， ∴， 解得：； （2）解：， 则的平方根为． 4．（25-26七年级下·广西百色·期中）已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2)± 【分析】（）根据平方根和立方根的定义可得，解方程即可得到答案； （）根据（）所求求出的值，再根据平方根的定义求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可知，， ； （2）解： ， ， 的平方根为． 易错15 利用平方根、立方根解方程 1．（25-26七年级下·新疆喀什·期中）求下列各式中x的值． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：系数化为1得， 开平方得，； （2）解：系数化为1得， 开立方得， 移项合并得， 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 【答案】(1) 或 (2) 【详解】（1）解： 开平方，得． 当时，解得 ； 当时，解得． 所以或； （2） 解： 整理，得． 开立方，得 ． 解得． 3．（25-26七年级下·北京·期中）解方程 (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）先移项，再开平方，若 ，则 ，从而进一步求出方程的解； （2）先将系数化为1，再开立方，，从而进一步求出方程的解． 【详解】（1）解：， ， ， 或． （2）解： ， ， ． 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： (1)； (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 解得：或 （2）解： 解得： 易错16 无理数的识别 1．（25-26七年级下·河南信阳·期中）在，，，，，这个数中，无理数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个化简判断每个数的类型，统计无理数的个数即可． 【详解】解： 是整数，属于有理数； 是整数，属于有理数；   ，是无限不循环小数， ∴是无理数； 是有限小数，属于有理数； ，开次方开不尽，是无限不循环小数， ∴是无理数； 中是无限不循环小数， ∴是无理数； ∴ 无理数共有个． 2．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）在实数，，，0.101001000100001⋯，中，无理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】解：， ∴无理数有，，0.101001000100001⋯，共3个． 3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）下列各数，，1.020020002…，3.1415926，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，逐个判断各数即可得到答案． 【详解】解：是分数，属于有理数， 是有限小数，属于有理数， 是整数，属于有理数， 是开方开不尽的无限不循环小数，是无理数， 1.020020002…是无限不循环小数，是无理数， 是无限不循环小数，是无理数， ∴ 无理数共有个． 4．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据无理数是无限不循环小数，逐个判断各数即可得到答案． 【详解】解：，是整数，属于有理数；，是有限小数，是分数，都属于有理数； 根据无理数的定义得：无理数为，，，共个． 易错17 无理数的整数部分、小数部分 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）的整数部分为________． 【答案】6 【分析】先确定介于哪两个连续整数之间，即可得到它的整数部分． 【详解】解：∵， ∴，即， 因此的整数部分为6． 2．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 【答案】 【分析】本题考查无理数的估算．先估算无理数的取值范围，由此得到的整数部分，再根据小数部分等于原数减去整数部分得到，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分， 小数部分 ， 将，代入得： 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知是的整数部分，是它的小数部分． (1) ， (2)求的值． 【答案】(1) ； (2) 【分析】（1）先用估值法找到整数部分，再根据无理数的小数部分 = 原数 - 整数部分即可求出小数部分； （2）把求出的的值代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分，小数部分； （2）解：把，代入，得 ． 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用夹逼法估算无理数的大小即可； （2）夹逼法求出，再进行计算即可； （3）夹逼法求出，再进行计算即可. 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是6，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， 即， ∵，其中是整数，， ∴，， ∴. 易错18 实数的分类 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 【答案】有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 【分析】根据有理数包括整数和分数，有理数和无理数统称为实数，整数包括正整数，负整数和0，负实数包括负有理数和负无理数解答． 【详解】解：有理数：； 无理数：； 整数： 负实数：． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 【答案】(1)，，，（两个1之间依次增加一个7） (2)， (3)，， (4)，，（两个1之间依次增加一个7） 【分析】（1）根据正实数的定义确定，正实数包括正有理数和正无理数； （2）根据负实数的定义确定，负实数包括负有理数和负无理数； （3）根据有理数的定义确定，有理数包括整数和分数； （4）根据无理数的定义确定，无理数是无限不循环小数． 【详解】（1）正实数：{，，，（两个1之间依次增加一个7）}； （2）负实数：{，}； （3） 有理数：{，，}； （4）无理数：{，，（两个1之间依次增加一个7）}． 3．（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 【答案】(1)，， ， ，， (2)，； (3)， ， ，，； (4)， ，． 【分析】首先实数可以分为有理数和无理数，无限不循环小数称之为无理数，除了无限不循环小数以外的数统称有理数；正整数、0、负整数统称为整数；正实数是大于0的所有实数，负实数是小于0的所有实数；结合，，由此即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴有理数集合：｛，，，，，｝ （2）解：无理数集合：｛，｝ （3）解：正实数集合：｛，，，，｝ （4）解：负实数集合：｛，，｝ 4．（25-26七年级下·天津·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），． （1）整数集合                                  …； （2）分数集合                                  …； （3）有理数集合                                  …； （4）无理数集合                                 …； 【答案】（1），， （2），， （3），，，，， （4），，， （相邻两个之间依次多个） 【分析】先计算和，然后再根据实数的定义分类即可． 【详解】解：，， （1）整数集合，，…； （2）分数集合，，…； （3）有理数集合，，，，，…； （4）无理数集合，，， （相邻两个之间依次多个）…； 易错19 实数的混合运算 1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）计算： 【答案】 【分析】根据算术平方根，立方根以及绝对值的化简计算即可． 【详解】解： ． 2．（25-26七年级下·吉林白山·期中）计算：． 【答案】 【详解】解： ． 3．（25-26七年级下·云南昆明·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 4．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）计算：． 【答案】 【分析】根据算术平方根的定义、立方根的定义和绝对值和指数幂的性质计算即可． 【详解】解：原式． 易错20 坐标系中点的坐标特点记不清 1．（25-26七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据x轴上点的坐标特征，x轴上的点纵坐标为0，先求出m的值，再计算点M的横坐标，即可得到点M的坐标． 【详解】解：∵点在轴上， ∴点M的纵坐标为，即， 解得， 将代入横坐标得， ∴点M的坐标为． 2．（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）已知点，，且轴，则的值为（   ） A．-3 B．3 C．2 D．-2 【答案】B 【分析】本题考查平面直角坐标系中直线与坐标轴垂直的性质，轴时，直线平行于轴，直线上所有点的纵坐标相等，据此列方程求解即可． 【详解】∵ 轴， ∴直线平行于轴， ∴ 点与点的纵坐标相等， ∵ 点，， ∴ ， 解得 ． 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）已知轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：∵轴， ∴点的纵坐标与点的纵坐标相等. ∵点的坐标为，点的纵坐标为， ∴， 解得， ∴点的坐标为． 4．（25-26七年级下·山东德州·期中）若点在轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先根据y轴上点的坐标特征求出n的值，再计算出点B的横纵坐标，最后根据象限内点的坐标符号特征判断点B所在象限. 【详解】解：∵点在轴上，轴上所有点的横坐标为， ∴， 解得， 将代入点， 得点的横坐标为，纵坐标为，即， ∵第一象限内点的横纵坐标都为正， ∴点B在第一象限， 易错21 点到坐标轴的距离与坐标的关系不熟悉 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）点P在第四象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据点到轴的距离等于纵坐标的绝对值，点到轴的距离等于横坐标的绝对值，结合第四象限点的坐标符号特征即可求解． 【详解】解：设点坐标为 ∵点到轴的距离为，到轴的距离为 ∴， ∴， ∵点在第四象限 ∴， ∴，， 即点的坐标为． 2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）点到轴的距离是_____． 【答案】 【详解】解：已知点的坐标为，其纵坐标为， 因此点到轴的距离为， 故答案为：． 3．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期中）若，则点到y轴的距离是_______． 【答案】5 【分析】先根据算术平方根和绝对值的非负性求出的值，再根据点到轴距离的定义求解即可． 【详解】解：算术平方根和绝对值都是非负数，且， ， ， ∴，． 平面直角坐标系中，点到轴的距离为横坐标的绝对值，即． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________． 【答案】或 【分析】根据点到轴的距离等于点纵坐标的绝对值，解绝对值方程即可得到的值． 【详解】解：∵点到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得：或． ∴的值为或． 易错22 坐标中分类问题漏解 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点的坐标，，且轴，则点的坐标是____． 【答案】或 【分析】由平行于轴的直线上点的纵坐标相等，分情况讨论点的位置求解即可． 【详解】解：轴，点坐标为， 点的纵坐标为， 设点的横坐标为，由可得， 或， 点的坐标为或． 2．（25-26七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________． 【答案】或 【分析】根据点到两坐标轴的距离相等，即横坐标与纵坐标的绝对值相等，列出方程求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等， ∴， ∴或， 解得或， 代入得点坐标为或． 3．（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为_______． 【答案】或 【分析】根据轴，可确定点B的纵坐标，再根据列绝对值方程求解点B的横坐标． 【详解】解：设点的坐标为， ∵轴，， ∴， ∵， ∴ ， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 4．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点的坐标为． (1)求； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）由题意易得，然后根据三角形面积公式可进行求解； （2）设，则有，由题意易得，然后可得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，，点的坐标为． ∴， ∴； （2）解：设，则有， ∵，， ∴， ∴以为底，高为点到轴的距离， ∴．即， 化简得． 则或． 当时，； 当时，． ∴的坐标为或． 易错23 求面积中的易错题 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)求点，点的坐标； (2)点为轴上一点，若三角形的面积是三角形面积的一半，求出点的坐标． 【答案】(1)， (2)点的坐标为或 【分析】（1）根据平方和绝对值的非负性进行解答即可； （2）先得出，再设，根据题意列方程，最后解方程即可． 【详解】（1）解：，且，， ，， ，， 点的坐标为，点的坐标为． （2）解：，， ． 又，即点到轴的距离为， ． 设， 三角形的面积是三角形面积的一半， ， 解得或， 点的坐标为或． 2．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)直接写出点C到线段的距离是_________ (2)求a，b的值； (3)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 【答案】(1)3 (2)， (3)或． 【分析】（1）根据点坐标即可求解； （2）根据非负性即可求解； （3）设点，根据面积公式构造方程即可求解． 【详解】（1）解：∵点C的坐标为， ∴C到线段的距离是3； （2）解：∵ ∴，， ∴，； （3）解：∵，，， ∴，， ∴, ∵， ∴， 设点， 则， ∴， 解得：或， 则点的坐标为：或． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，； (2)； (3)，，，． 【分析】本题考查了平面直角坐标系，绝对值和算术平方根的非负性，三角形面积的求解，解题的关键是理解平面直角坐标系，分类讨论的思想求解． （1）根据绝对值和算术平方根的非负性，得到，的值，即可求解； （2）根据题意，求得，利用三角形面积求解即可； （3）分两种情况，当在轴上和当在轴上，设点的坐标，表示出的面积，求解即可． 【详解】（1）解：由可得，， 解得，， ∴，； （2）解：由题意可得，，， ∴； （3）解：∵， ∴， 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 当点在轴上时，设，则， 则，解得， 即，； 综上，，，，． 4．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：___，__； (2)在第一象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴的负半轴上存在点N，使得三角形的面积与四边形的面积相等，求出点N的坐标． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（1）利用绝对值与算术平方根的非负性求解即可； （2）利用四边形的面积等于两个三角形的面积和可得答案； （3）利用的面积与四边形的面积相等建立方程求解即可. 【详解】（1）解：∵， ∴，， 解得：，. （2）解：∵，， ∴，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为. （3）解：∵， ∴四边形的面积为， ∵三角形的面积与四边形的面积相等， ∴三角形的面积为， 设， ∴， ∴， 解得：， ∴． 易错24 坐标表示平移 1．（25-26七年级下·广西崇左·期中）将点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】平移的坐标变化规则：左右平移时横坐标左减右加，上下平移时纵坐标上加下减，根据规则计算即可得到结果． 【详解】解：∵点坐标为，平移规则为向左平移横坐标减，向上平移纵坐标加， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴点的坐标为， 故选：A． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）将先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，则点的坐标为________． 【答案】 【分析】根据坐标平移规律：向左平移横坐标减，向下平移纵坐标减求解． 【详解】解：已知点的坐标为，将点向左平移个单位长度，横坐标变为， 再向下平移个单位长度，纵坐标变为， 因此点的坐标为． 3．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点A先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得点，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用坐标平移规则：横坐标左减右加，纵坐标上加下减，列等式求解即可． 【详解】解：设点的坐标为， ∵点向左平移个单位长度，再向上平移个单位长度后得到点， ∴横坐标：，解得， 纵坐标：，解得， ∴点的坐标为． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知点，点，将线段平移至．若点，点，则的值为（　 　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用平移的性质可得，点到点的坐标变化规律与点到点的坐标变化规律相同，从而求出与的值． 【详解】解：∵，， ∴点向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点， ∵线段由线段平移得到， ∴点向右平移1个单位，向下平移4个单位得到点， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 易错25 点的坐标规律探索 1．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】按照题中的跳动规律，通过前面几个点的坐标，归纳出坐标的变化规律，再由，找准规律计算即可求解． 【详解】解：根据题中规律可得： ； 、、、； 、、、； 、、、； 、、、，其中为正整数； ， 点第2026次跳动至点的坐标满足，即． 2．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查点的坐标规律探索，根据速度和时间求出点运动的总路程，结合半圆的周长确定点运动到的位置是解题关键；先求出半圆的弧长，再求出点运动一个半圆所需的时间，进而得出点的坐标变化规律． 【详解】半圆的弧长为：， 点运动一个半圆所需时间为：（秒）， 所以第秒时，点运动的半圆个数为：（个）， 由于每个半圆在轴上的跨度为直径，且点刚好走完第个半圆， 所以点的横坐标为：，纵坐标为， 即点的坐标为． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，从点，，依次扩展下去，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】通过观察图形中点的坐标变化，找出下标 与4 的倍数关系所对应的象限及坐标数值规律是解题关键． 【详解】解：观察图形及已知点的坐标可知：，， ，， ⋯⋯ 可以发现规律： 当下标 是4的倍数时，即 （为正整数） ，点在第一象限，坐标为； 当下标除以4余1时，即，点在第二象限，坐标为； 当下标除以余 时，即，点 在第三象限，坐标为； 当下标除以余时，即 ，点 在第四象限，坐标为． ∵， ∴点符合的规律，且， ∴点 的横坐标为，纵坐标为， 即 ． 4．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意得到当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1，进而求解即可． 【详解】解：∵，，，，，， ∴当序号为偶数时，横坐标为序号的一半；当序号为偶数但不是4的倍数时，纵坐标为1 ∴点的坐标为． 易错26 二元一次方程（组）的定义 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二元一次方程的定义判断，二元一次方程需满足三个条件：是整式方程，共含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1． 【详解】解：选项A，，含有两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，且为整式方程，符合二元一次方程的定义，故本选项符合题意； 选项B，，项的次数为2，不符合定义，故本选项不符合题意； 选项C，，只含有1个未知数，不符合定义，故本选项不符合题意； 选项D，，该方程不是整式方程，不符合定义，故本选项不符合题意； 2．（25-26七年级下·山东东营·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二元一次方程组需要满足：一共含两个未知数，所有含未知数的项的次数都是1，每个方程都是整式方程，逐一判断即可． 【详解】解：A、 方程中，项的次数为2，不符合定义，不是二元一次方程组； B、 方程不是整式方程，不符合定义，不是二元一次方程组； C 、方程组共含有三个未知数，不符合定义，不是二元一次方程组； D 、方程组一共含两个未知数，所有含未知数的项次数都是1，且都是整式方程，符合二元一次方程组的定义． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则________，________． 【答案】 1 3 【分析】根据二元一次方程的定义可得，，据此求解即可． 【详解】解：∵是关于，的二元一次方程， ∴，， ∴，． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则n的值为______． 【答案】 【分析】根据二元一次方程的定义，确定满足的条件，求解得到的值． 【详解】解：根据二元一次方程的定义可得：， 由得， 解得或， 由得． 因此． 易错27 二元一次方程（组）的解 1．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据方程的解得到的值，再代入代数式即可求解． 【详解】解：∵ 是二元一次方程 的一个解， ∴ 将， 代入， 得 ， ∴ ． 2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）小明求得方程组的解为，则表示的数为__________． 【答案】 【分析】已知方程组解中的的值，先将代入第一个方程求出的值，再将和代入第二个方程即可求出表示的数． 【详解】解：将代入得， 解得， 将，代入第二个方程得． 3．（25-26七年级下·河南信阳·期中）已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程的解，求代数式的值，解题的关键是利用整体思想代入求解，将已知的方程的解代入原方程，得到与的关系式，再整体代入所求代数式计算即可． 【详解】解：把代入二元一次方程中， ∴， ∴； ∴． 4．（25-26七年级下·北京顺义·期中）要使方程组有正整数解，求整数的值． 【答案】 【分析】先通过消元用含的代数式表示出，再根据方程组有正整数解的要求，得到为正整数，从而推出是的正约数，即可求出整数的值. 【详解】解：， 由②得 ， 把代入①得， 整理得 ， ∴， ∵方程组有正整数解，为整数，， 是正整数时，即可满足题意， ∴是的正约数， ∴， ∴. 易错28 消元法解二元一次方程组 1．（25-26七年级下·河北沧州·期中）用代入消元法解方程组时，把①代入②，得（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：把①代入②，得． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组，正确的是(  ) A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的加减消元法，解题思路是利用加减消元法，将方程组中同一个未知数的系数化为相同或互为相反数，再消去该未知数，据此判断各选项即可． 【详解】解：∵方程组 中，的系数分别为和，最小公倍数为， ∴ 将①得 ，将②得 ， ∴ ①②可消去未知数，符合选项D． 其余选项均无法消去任一未知数，因此D正确． 3．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）解方程组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：得，， 解得， 把代入①得，， 解得． 方程组的解为． （2）解：整理得 ， ④得 ⑤， ③+⑤得， 解得， 把代入④得， 解得． 方程组的解为． 4．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）二元一次方程计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， ∴方程组的解为； （2）解：原方程组化简为， ，得， 解得， 把代入④，得， 解得， ∴方程组的解为 . 易错29 二元一次方程组的错解问题 1．（25-26七年级下·海南海口·期中）在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】甲看错了a，则甲的结果满足②，乙看错了b，则乙的结果满足①，由此建立关于a、b的方程求解即可． 【详解】解：将代入得，， 解得； 将代入得，， 解得； ∴正确的方程组是． 2．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】根据甲看错了方程①中的a，将代入②中可求得b的值，根据乙看错了②中的b，将代入①中可求得a的值，由此可求得的值． 【详解】解：甲看错了①中的a，但②是正确的，所以满足方程②： ∴，解得； 乙看错了②中的b，但①是正确的，所以满足方程①： ∴，解得． ∴． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为． (1)求a，b的正确值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)a的值为1，b的值为2 (2) 【分析】（1）将甲的解代入方程，将乙的解代入方程，分别求解即可； （2）将a，b的正确值代入原方程组求解即可． 【详解】（1）解：将甲的解代入方程， 可得：， 解得：． 将乙的解代入方程， 可得：， 解得：． ∴a的值为1，b的值为2； （2）解：将，代入原方程组可得， 解方程组得． 4．（25-26七年级下·山东烟台·期中）解答下列问题： (1)定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； (2)甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据新定义得出方程组，求得的值，然后根据新定义列式计算即可求解； （2）把代入②，把代入①，分别求得的值，再代入原方程组解方程组，即可求解． 【详解】（1）解：根据题意得：， 解得：， ． （2）把代入②得： ， 解得：， 把代入①得： ， 解得：； 把，代入方程组得：， ③④得：，即， 把代入③得：， ∴原方程组的解为． 易错30 二元一次方程组的同解问题 1．（25-26七年级下·山东日照·期中）已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 【答案】D 【分析】先根据两个方程组解相同，得出新的方程组，求解得到、的值，再将、的值代入含、的方程组，求出、的值，最后代入计算的值． 【详解】解：∵关于x，y的方程组的解和的解相同， ∴可得新方程组：， 得：，解得：， 将代入①得：， 将，，代入可得， 解得， ∴ ． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）如关于的方程组和有相同的解，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D．0 【答案】D 【分析】根据两个方程组有相同解，说明该解满足所有方程，先联立不含参数的方程求出，再代入含参数的方程求出，即可计算的值． 【详解】解：∵两个方程组有相同的解， ∴该解满足所有方程， 先联立不含的方程得， 由①②，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 把代入含的方程，得， 由④得 ，代入③得 ， 整理得， 解得， 把代入 ， 得， ． 3．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将两个方程组中不含参数的两个方程联立形成新的方程组，求出的值，进而求出m，n的值即可． 【详解】解：由题意得，两个方程组的解同样满足方程组， 解得：， 把代入和，得： ，， ∴． 4．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 【答案】81 【分析】先根据两个方程组的解相同重新组成方程组，并求出解，再将解代入求出a，b的值，进而求出代数式的值． 【详解】解：∵方程组与方程组同解， ∴， ，得， 将代入①，得， ∴方程组的解是． ∵两个方程组的解相同， ∴， 解得， ∴． 易错31 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）若方程组的解也是方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先利用消元法解出给定二元一次方程组的解，再根据方程解的定义，将解代入含的方程，即可求出的值． 【详解】解：， 得：，解得：， 把代入得，，解得：， ∴原方程组的解为， 把代入得，， 解得：． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】由可得，再由，即可求解． 【详解】解：， 由得：， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的值为_______． 【答案】 【详解】解： 得， 根据题意得， ∴． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 【答案】 【分析】根据相反数的定义，可得，即，先将代入第一个方程求出与的值，再代入第二个方程求解即可． 【详解】解：∵方程组的解，互为相反数， ，即， 将代入方程得，， 解得， ∴ ， 把，代入方程，得， 化简得， ， 解得． 易错32 实际问题与二元一次方程组 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱；会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵每人出7钱，会多2钱，即所有人出的总钱数比物价多2钱， ∴，整理得； ∵每人出6钱，差3钱，即所有人出的总钱数比物价少3钱， ∴，整理得； 因此可得方程组． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 【答案】B 【分析】设小长方形的长为a，宽为b，观察图形，根据各边之间的关系，可得出关于a，b的二元一次方程组，解之可求出a，b的值，再利用阴影部分的面积等于大长方形的面积减去7个小长方形的面积求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为a，宽为b， 根据题意得：， 解得：， ∴阴影部分面积为． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 【答案】 【详解】解∶根据题意，得， 解得． 4．（25-26七年级下·吉林白山·期中）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，计划恰好用6000元购买A、B型器材（两种均购买）．该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 【答案】(1)1套A型器材300元，1套B型器材250元 (2)有三种购买方案，方案一：购买A型器材15套，B型器材6套；方案二：购买A型器材10套，B型器材12套；方案三：购买A型器材5套，B型器材18套 【分析】（1）设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设购买A型器材套，购买B型器材为套，根据题意列出二元一次方程，然后根据为正整数求解即可． 【详解】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元， 由题意，得 解得 答：购买1套A型器材和1套B型器材各需300元、250元． （2）解：设购买A型器材套，购买B型器材为套， 由题意，得， 解得． 为正整数， 的取值为6，12，18， ∴的值为15，10，5， ∴有三种购买方案，方案一：购买A型器材15套，B型器材6套；方案二：购买A型器材10套，B型器材12套；方案三：购买A型器材5套，B型器材18套． 易错33 三元一次方程组的定义及解 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了三元一次方程组的相关知识点，掌握三元一次方程组的定义是解题的关键． 本题对每个选项中的方程组从未知数的个数有个、含未知数的项的次数是次以及是否为整式方程这几个方面去分析，即可解决问题． 【详解】解：A、方程中，未知数的次数是次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； B、方程中含有，不是整式方程，不符合题意； C、方程中，的次数是2次，不满足“含有未知数的项的次数是”的条件，不符合题意； D、方程组满足 “含有三个未知数，并且含有未知数的项的次数都是的整式方程”，符合题意． 故选：D． 2．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】运用加减消元法，将三元一次方程组逐步降元，先消去一个未知数转化为二元一次方程组，再逐步求解即可得到结果． 【详解】解：， ∵得， 得，解得， 将代入①得，解得， 将代入②得，解得， ∴原方程组的解为． 3．（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【详解】解：A．，得，，符合题意； B．，得，，不符合题意； C．，得，，不符合题意； D．，得，，不符合题意． 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 【答案】 【分析】用，消去z得出关于x，y的方程组，再消去y求出x，然后求出方程组的解． 【详解】解：， ，得， ，得， ，得， 解得：， 把代入④，得，解得：， 把代入③，得，解得：， ∴原方程组的解为． 易错34 三元一次方程组的应用 1．（25-26七年级下·四川内江·期中）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 【答案】 180 【详解】解：设1只鸡1只兔1只鸭的单价分别为元，元和元，由题意，得： ， ，得， ∴；即他买1只鸡1只兔1只鸭需要180元. 2．（25-26七年级下·四川眉山·期中）小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 【答案】 【分析】设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元，根据题意列出两个方程，得到三元一次方程组，整理求出的值，即可求解． 【详解】解：设玫瑰、康乃馨、百合花的单价分别为元，元，元， 根据已知条件，列出方程组， ，得 ， ∴， ∴． 所以小莹应付元． 3．（25-26七年级下·四川乐山·期中）小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 【答案】 【分析】设三种学习用具的单价，根据两人的花费列出方程组，通过对方程组变形，整体计算得到三种学习用具各买一件的总费用． 【详解】设1支笔的价格为元，1支改正液的价格为元，1个文件袋的价格为元. 根据题意列方程组得： 将得： ， 将得： ， 得： ， ∴他共需元． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 【答案】(1) 康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元. (2) 满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支. 【分析】（1）设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支，根据购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元，列出方程组进行求解即可； （2）根据购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），购买康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，购买鲜花的总费用为118.8元，列出三元一次方程组，得到，求解即可． 【详解】（1）解：设康乃馨的单价为x元一支，玫瑰花的单价为y元一支， 根据题意得， 解得， 答：康乃馨单价为3.6元，玫瑰单价为5.4元； （2）解：根据题意得， 消去c，并整理得，即， ∴， ∵为正整数，且， ∴或， 当时，， 当时，， 答：满足条件的购买方案为：方案一，康乃馨22支，玫瑰4支，额外购买百合3支；方案二，康乃馨11支，玫瑰8支，额外购买百合6支． 易错35 不等式的性质 1．（25-26七年级下·北京·期中）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可，用到的性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵ ， 对于A选项，不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得 ，故A错误，不符合题意． 对于B选项，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，可得 ，故B错误，不符合题意． 对于C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得 ，故C错误，不符合题意． 对于D选项，不等式两边同时乘正数5，不等号方向不变，得，再两边同时减2，不等号方向不变，可得 ，故D正确，符合题意． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）若，则下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到结果．不等式两边同时加或减同一个数，不等号方向不变；同时乘同一个正数，不等号方向不变；同时乘同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：A．不等式两边同时减5，得，故A成立，不符合题意； B．不等式两边同时乘正数5，得，故B成立，不符合题意； C．不等式两边先乘正数2得，再两边同时加，得，故C成立，不符合题意； D．不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，得，再两边同时加1，得，因此原式不成立，符合题意． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】C 【分析】根据一元一次方程变形与不等式的基本性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．方程两边同除以得，与选项中结果不符，故A错误； B．不等式两边同乘，不等号方向改变，得，与选项中结果不符，故B错误； C．给两边同时加c可得 又，则，，即，故C正确； D．举反例：若，满足，但，，不满足 ，故D错误． 4．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断各选项，即可找出错误说法． 【详解】解：A、∵不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， ∴若，可得，A正确； B、∵不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变， ∴若，可得，B正确； C、该选项未说明的取值范围，若，不等式两边同乘后不等号方向改变，可得，原结论不恒成立，C错误； D、若，两边同乘正数3得，再两边同时加5，不等号方向不变，可得，D正确． 易错36 解一元一次不等式（组） 1．（2026·浙江嘉兴·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：, 移项：， 合并同类项：， ∵是“”， ∴是实心原点， ∵是小于等于， ∴数轴上的线向左画． 2．（2026·山西运城·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 解①得，， 解②得，， ∴不等式组的解集是， 在数轴上表示为： ． 3．（25-26七年级下·安徽六安·期中）解下列不等式（组）： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 两边同乘去分母得 去括号得 移项合并同类项得 （2）解： 解不等式①得 解不等式②得 ∴不等式组的解集为 4．（2026·宁夏银川·二模）解不等式组，将解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为；； 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为； ∴所有整数解有， ∴所有整数解的和为． 数轴见答案 易错37 已知不等式（组）求参数问题 1．（25-26七年级下·海南海口·期中）若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知解集对应端点，建立关于的方程，求出的值后即可计算． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集是， ∴，解得， ∴． 2．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2026 【答案】B 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，得到含a、b的解集，结合已知解集求出a、b的值，再代入所求代数式计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得 ， 解不等式②得 ，不等号两边同除以，得， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得，， ∴． 3．（25-26七年级下·山西临汾·期中）若的解集为，则的取值范围为__________． 【答案】 【分析】根据解集可得关于的一元一次不等式，即可得的取值范围． 【详解】解：∵的解集为， ∴， 解得． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期中）不等式组的解集为，则的取值范围为________ ． 【答案】 【详解】解：解不等式 ，得 ． ∵ 不等式组的解集为， 根据一元一次不等式组“同大取大”的解集确定规则，可得． 易错38 不等式组有解、无解求参数问题 1．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出不等式组中每个不等式的解集，再根据不等式组有解，得到关于的不等式，求解即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组有解， ， 解得：． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中两个不等式的解集，再根据不等式组无解的条件列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：， 解不等式①：， 解不等式②：， ∵不等式组无解， ∴， 则． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 【答案】 【分析】解不等式组得到不等式组的解集，再根据不等式组有解列出关于的不等式式子求解即可． 【详解】解：由解得：， 由解得：， ∵关于x的不等式组有解， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·上海·期中）关于的不等式组无解，应满足的条件________． 【答案】 【分析】已知不等式组无解，根据不等式组解集的规律列出关于的不等式，求解即可． 【详解】解：不等式组无解， ， 移项得 ， 合并同类项得． 易错39 不等式组的整数解问题 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，从而确定个整数解，再求出的取值范围． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组共有个整数解， ∴整数解为，，， ∴． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解出不等式组的解集，再根据奇数的特点确定符合条件的奇数，进而求出参数的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个奇数解，小于的奇数从大到小依次为，符合条件的两个奇数为和， ∴． 3．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 【答案】 【分析】根据新运算定义化简不等式组，得到不等式组的解集后，再根据整数解的个数确定参数的取值范围即可． 【详解】解：为正数，， 对于， ，即， ， 由得，解得， 对于， ，即， ， 由得，解得． 因此不等式组的解集为． 不等式组恰有三个整数解，三个整数解为， ， 不等式两边同时加，得． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为34，则a的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别解两个不等式得到不等式组的解集，再根据所有整数解的和为34确定整数解的范围，进而得到关于的不等式组，求解即可得到的取值范围． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， 因此不等式组的解集为 若不等式组有整数解，需满足 ，即 已知所有整数解的和为，计算得， 若包含整数，和为 ，因此不等式组的整数解为 ∴ 解得 易错40 不等式组与方程组结合问题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先解一元一次不等式组，根据整数解的个数确定的取值范围，再解二元一次方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数，最后计算这些整数的和即可． 【详解】解：解不等式，解得， 解不等式，解得 ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有5个整数解，5个整数解为 ∴， 解得，可得整数的可能取值为， 解二元一次方程组 将第二个方程乘2得，与第一个方程相加解得： 代入第二个方程得， ∵方程组有整数解，即均为整数，逐个验证： ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，均为整数，符合； ，不是整数，不符合； 符合条件的所有整数的和为：． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据方程组的解的情况，以及不等式组的解集情况，求出的取值范围，再进行求解即可． 【详解】解：， 得：， ， ， ，解得， 解不等式得：， 解不等式得：， 不等式组的解集是， 不等式组只有个整数解， ，解得， ， 符合条件的整数的值的和为． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和__________． 【答案】 【分析】先由一元一次方程的解法以及一元一次不等式的解法求解y的值与x的范围，再结合条件确定的取值范围，由此求解即可． 【详解】解：∵关于的方程有非负整数解， ∴且为整数， 即，可得，且为偶数，即为奇数； ∵关于的不等式组， ∴解可得，，解可得，， ∵不等式组的解集为， ∴，解得， ∴，且为奇数， ∴符合条件的整数为，， 它们的和为． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用加减消元法解方程组，进而用含的式子表示，得到关于的不等式组，求解即可； （2）根据已知等式得到代入，再结合（1）所得的取值范围求解即可． 【详解】（1）解：将原方程组整理为， 由得，解得：， 由得，解得：， ， ， ， 解得：； （2）解：， ， ， 由（1）可知，， ， 即的取值范围是． 易错41 实际问题与一元一次不等式（组） 1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 【答案】19 【分析】设出答对题目的数量，根据得分不低于及格分列出一元一次不等式，求解后取符合题意的最小整数即可． 【详解】解：设飞飞答对道题，则不答或答错的题数为道，根据题意得 解得： ∵为正整数， ∴的最小值为， 故她至少要答对19道题． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 设小朋友人数为，则苹果总数为，当每个小朋友分个苹果时，前个小朋友分得个苹果，最后一个小朋友分得的苹果数为，该值大于且小于，由此可列不等式组． 【详解】解：∵苹果总数为， 前个小朋友分得个苹果， ∴最后一个小朋友分得的苹果数为， 由题意，， 即不等式组为 故选：C． 3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】(1)一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元 (2)共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． （2）解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 4．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 【答案】(1)； (2)，； (3)3月份用水立方米，4月份用水立方米． 【分析】本题主要考查了分段计费问题，涉及有理数运算、列代数式及一元一次方程的应用．熟练掌握分段计算费用的方法，根据不同用水量范围准确列出算式或方程是解题的关键． （1）根据价目表，将12.5立方米的用水量按不同单价分段计算，分别算出各段水费再求和． （2）当时，水费由6立方米按2元/立方米和超出6立方米部分按4元/立方米计算；当时，水费由6立方米按2元/立方米、4立方米（6到10立方米）按4元/立方米、超出10立方米部分按8元/立方米计算，据此列代数式． （3）分情况讨论3月用水量的范围，根据不同范围的水费计算方式列方程求解． 【详解】（1）解：应交水费：（元）， 故答案为：； （2）解：当时， 水费为（元） 当时， 水费为（元） 故答案为：，； （3）解：设3月份用水立方米，则4月份用水立方米，由题意得， ，即． 当，即时， 水费为． 令， 解得（舍去）． 若，即， 水费为． 令， 解得． ∴3月份用水立方米，4月份用水立方米． 易错42 判断全面调查与抽样调查 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列调查中，最适合采用普查的是（    ） A．调查江苏省中学生的睡眠时间 B．调查溱湖的水质情况 C．调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况 D．调查全班同学的视力情况 【答案】D 【详解】解：A中调查江苏省中学生的睡眠时间，调查范围过大，不适合普查； B中调查溱湖的水质情况，无法开展全面普查，适合抽样调查； C中调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况，调查具有破坏性，不适合普查； D中调查全班同学的视力情况，范围小，易操作，最适合采用普查． 2．（2026·重庆巴南·模拟预测）下列调查中，适用抽样调查的是（    ） A．乘坐高铁时，对旅客进行安检 B．调查某种蓝莓的甜度情况 C．检查载人航天飞船的零部件安全性能 D．学校定制校服，测量每位学生的身高 【答案】B 【分析】调查具有破坏性或范围广难以全面调查时，适用抽样调查；调查要求精度高、事关安全或需要准确个体数据时，适用全面普查． 【详解】解：A．乘坐高铁安检事关公共安全，需要对所有旅客检查，适用普查，不符合要求． B．调查蓝莓甜度会破坏蓝莓，且蓝莓数量大，适用抽样调查，符合要求． C．载人航天飞船零部件对安全性要求极高，必须逐个检查，适用普查，不符合要求． D．学校定制校服需要得到每位学生的准确身高，适用普查，不符合要求． 3．（2026·贵州遵义·二模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（     ） A．了解某品牌节能灯管的使用寿命 B．了解赤水河水质情况 C．审核人教九上新教材中的错别字 D．了解贵州省中学生的睡眠时间 【答案】C 【详解】解：∵全面调查普查适合调查范围较小、要求结果精确、调查不具有破坏性的场景， ∴A选项了解节能灯管使用寿命具有破坏性，不适合普查； B选项赤水河水质调查范围大，不适合普查； C选项审核新教材错别字需要结果准确，调查范围小，最适合采用普查； D选项了解贵州省中学生睡眠时间调查范围大，不适合普查． 4．（2026·重庆綦江·二模）下列调查中，调查方式不正确的是（    ） A．为了解我市全部初中学生的近视情况，选择抽样调查 B．为了解巴川河的水质情况，选择抽样调查 C．为了解生产的500枚高超音速导弹的命中率，选择抽样调查 D．为了解一批袋装牛奶（总体）的细菌超标情况，选择普查 【答案】D 【详解】解：A选项中我市初中学生数量多，适合抽样调查，调查方式正确； B选项中巴川河水量大，水质调查无法全面开展，适合抽样调查，调查方式正确； C选项中测试导弹命中率具有破坏性，无法对所有导弹全面测试，适合抽样调查，调查方式正确； D选项中检查袋装牛奶的细菌超标情况，调查具有破坏性且总体数量大，适合抽样调查，不适合普查，因此调查方式不正确． 易错43 总体、个体、样本、样本容量 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）为了解我校八年级480名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（   ） A．被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B．被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C．被抽取的100名学生是总体的一个样本 D．样本容量是100 【答案】D 【分析】先根据总体、个体、样本、样本容量的定义确定考查对象，再逐一对应概念判断选项． 【详解】解：A、总体是我校八年级480名学生的期中数学考试成绩，故本选项错误； B、个体是我校八年级每一名学生的期中数学考试成绩，故本选项错误； C、抽取的100名学生的期中数学考试成绩是总体的一个样本，不是100名学生本身，故本选项错误； D、样本容量是100，故本选项正确． 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）为了解某县年参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．名学生是总体 B．从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 【答案】B 【分析】根据总体、个体、样本、普查、抽样调查的概念，逐项判断即可求解． 【详解】解：、总体是名学生的身高情况，不是名学生，故选项错误； 、从总体中抽取的名学生的身高是总体的一个样本，故选项正确； 、总体的一个个体是每名学生的身高，不是每名学生，故选项错误； 、本次调查只抽查了部分学生，属于抽样调查，不是普查，故选项错误． 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）为了解某市八年级学生的数学考试情况，评卷人从该市八年级考生中随机抽取了800名考生的数学成绩进行调查．下列说法正确的是（   ） A．这种调查方式属于普查 B．调查的总体是八年级学生 C．样本是随机抽取的800名考生的数学成绩 D．样本容量是800名学生 【答案】C 【分析】本题考查统计基础概念，需区分调查方式，明确总体、样本、样本容量的定义，根据定义逐一判断即可。 【详解】解：∵ 本次调查仅从总体中抽取部分对象进行研究，属于抽样调查，不属于普查， ∴A错误； ∵ 本次研究的内容是该市八年级学生的数学考试成绩， ∴总体是该市八年级全体学生的数学考试成绩，不是八年级学生， ∴B错误； ∵ 样本是总体中抽取的用于调查的研究对象， ∴本题样本是随机抽取的800名考生的数学成绩， ∴C正确； ∵ 样本容量是样本中包含的个体数目，是一个纯数值，没有单位， ∴样本容量为800，不是800名学生， ∴D错误. 4．（2026·江西上饶·一模）年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是（    ） A．这种调查方式是抽样调查 B．万名考生是总体 C．是样本容量 D．名考生的数学成绩是总体的一个样本 【答案】B 【分析】根据抽样调查、总体、样本、样本容量的定义，逐项分析即可求解． 【详解】解：本次调查从全体考生中抽取部分考生成绩分析，调查方式为抽样调查，故A选项说法正确； 本次调查的对象是考生的数学成绩，因此总体是万名考生的数学成绩，故B选项说法错误； 样本容量是样本中个体的数量，因此是样本容量，故C选项说法正确； 抽取的名考生的数学成绩是总体的一个样本，故D选项说法正确． 易错44 扇形统计图、条形统计图、折线统计图 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活、服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．如图是从全校学生中随机抽取部分学生进行社会实践活动意向调查的相关统计图，根据图中信息，下列说法错误的是（   ） A．共抽取了200名学生 B．选B的有70人 C．选A的占比34% D．选C的占比20% 【答案】B 【分析】结合条形统计图中D类的人数和扇形统计图中D类的占比，利用“总人数=部分人数÷对应占比”计算抽取的总人数．用总人数减去A、C、D类的人数，得到B类的人数． 用A类人数除以总人数，计算A类的占比．用C类人数除以总人数，计算C类的占比．逐一对比选项判断正误． 【详解】选项A：已知D类人数为12，对应占比，总抽取人数为 名， 该说法正确． 选项B：B类人数 :人，不是70人, 该说法错误． 选项C：选A的占比为 ， 该说法正确． 选项D：选C的占比为 ， 该说法正确． 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，并绘制了折线统计图．其中1至7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多（   ） A．39 B．44 C．45 D．50 【答案】D 【详解】解：由折线统计图可得每月阅读课外书本数的最大值为，最小值为， ∴每月阅读课外书本数的最大值比最小值多， 3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）某校为开展“营造书香校园，倡导读书人生”的主题活动，准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，问卷设置了五种选项：A．体育类，B．科普类，C．文学类，D．艺术类，E．其他类，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生人数为 名； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，求“艺术类”所对应圆心角的度数； (4)如果该校准备购买图书共16000册，求购买“文学类”图书多少册合适？ 【答案】(1)100 (2)见解析 (3)90° (4)6400册 【分析】（1）由B组的人数除以占比即可求解； （2）先求出D组的人数，即可补全条形统计图； （3）用乘以占比即可； （4）用16000乘以占比即可． 【详解】（1）解：此次被调查的学生人数为：（名）； （2）解：D类的人数为：（名）， 补全条形统计图如下： （3）解：在扇形统计图中，“艺术类”所对应的圆心角度数是：； （4）解：（册）， 答：购买“文学类”图书6400册合适． 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）某科技公司为了了解用户对最新款“智能扫地机器人”的使用体验，随机抽取了部分用户进行回访调查，分为四个类别： A．体验极佳（清扫彻底，智能化程度高）    B．体验良好（能完成清扫，偶尔卡顿） C．体验一般（功能基本可用，需人工辅助）    D．体验较差（故障率高，清扫不干净） 依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的用户共有______人； (2)扇形统计图中，扇形C的圆心角是______； (3)请补全条形统计图； (4)若这款机器人已售出4000台，请估计认为该产品体验满意（A、B、C类视为满意）的用户人数． 【答案】(1) (2) (3)补全图形如下： (4)人 【分析】（1）用A类别的人数除以其百分比，即可解题； （2）先算出类别人数，再利用乘以类别人数所占比，即可解题； （3）根据第（2）问数据，补全条形统计图即可； （4）利用乘以A、B、C三个类别的人数所占比，即可解题． 从统计图中有效地获取信息，是解题的关键． 【详解】（1）解：（人）； （2）解：（人）， ； （3）解：略； （4）解：（人）， 答：该产品体验满意（A、B、C类视为满意）的用户人数为人． 易错45 频数分布直方图 1．（2026·浙江温州·二模）某学校九年级女生仰卧起坐的测试成绩频数直方图如图所示，其中不低于35次的人数为（     ） A．60 B．84 C．96 D．144 【答案】D 【详解】解：由图可知，不低于次的人数为（人）． 2．（2026·云南西双版纳·一模）某校九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生的成绩（单位：米）进行整理，绘制成如下频数分布直方图（第一组，第二组，依此类推至第五组），将成绩不低于8米的评为A等级，若该校共有300名男生参加了测试，则可评为A等级的男生大约有_______人． 【答案】90 【分析】先根据频数分布直方图求出抽取的学生人数，再利用样本估计总体思想求解． 【详解】解：由图可知，抽取的学生人数为， 300名男生可评为A等级的男生人数约为：． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）为培养学生的阅读习惯，某中学在学校开展了“品读中国古典名著，传承中华优秀传统文化”读书竞答活动．学校团委为了解此次活动效果，随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） 抽取学生成绩的扇形统计图    抽取学生成绩的频数分布直方图 (1)表中 ，并补全频数分布直方图； (2)抽取的这部分学生成绩的中位数位于 组； (3)在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数； (4)该校有名学生参加此次活动，请估计参加此次活动的学生中成绩优秀（）的人数． 【答案】(1)，频数分布直方图见详解 (2) (3) (4)人 【分析】（1）利用扇形统计图中组的频数与对应百分比求出抽取的总人数，再用总人数减去其他组的频数，求出的值，进而补全频数分布直方图； （2）根据中位数的定义，结合总人数确定中位数所在的位置，再根据各组频数累加判断中位数所在的组； （3）利用组的频数除以总人数，再乘以，求出组所对应的扇形圆心角的度数；（4）用该校总人数乘以样本中成绩优秀（）的人数所占的比例，估计出总体中成绩优秀的人数． 【详解】（1）解：由表格和扇形统计图得，本次抽取学生的总人数为（人）， ， 频数分布直方图如图所示； （2）解：本次共抽取学生人，中位数应为第个学生和第个学生成绩的平均值， ，， 抽取的这部分学生成绩的中位数位于组； （3）解：组有名学生，， 组所对应的扇形圆心角的度数为； （4）解：（人）， 参加此次活动的学生中成绩优秀（）的人数为人． 4．（25-26七年级下·北京·期中）随着共享单车的普及，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具．为了解某社区居民每周使用共享单车的时间情况，随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间（单位：小时）的数据，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布表如下： 组别 使用时间（小时） 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 20 第5组 15 b．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布直方图及扇形图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调研，随机抽取______名社区居民进行调查； (2)表中的值为______； (3)第3组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是______； (4)请补全频数分布直方图； (5)若该社区共有500位居民选择使用共享单车出行，请你估计使用共享单车的时间小于10小时的居民约有______人． 【答案】(1)100 (2)25 (3) (4)见解析 (5)325 【分析】（1）用第五组的人数除以所占的百分比，即可求出抽取的总人数； （2）由抽取的总人数减去其他四组的人数，求出的值即可； （3）用第3组的频数35除以总人数，再乘以，即可求出对应的圆心角； （4）补全频数分布直方图即可； （5）总人数乘以样本中第1、2、3组人数和所占比例即可． 【详解】（1）解：（人）， 即本次调研，随机抽取100名社区居民进行调查； （2）解：由频数分布表可知，； （3）解：第3组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是； （4）解：补全频数分布直方图如下： （5）解：（人）， ∴估计使用共享单车的时间小于10小时的居民约有325人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 期末复习易错题45个易错点 【新教材人教版】 第7章 相交线与平行线 【易错1 对顶角、邻补角的识别】............................................................................................................2 【易错2 相交线与平行线的相关概念】....................................................................................................3 【易错3 同位角、内错角、同旁内角的识别】........................................................................................3 【易错4 两个角的两边分别平行或垂直】................................................................................................4 【易错5 平行线的判定】............................................................................................................................5 【易错6 平行线的性质探究角的数量关系】............................................................................................5 【易错7 平行线的判定与性质】...............................................................................................................6 【易错8 平移】...........................................................................................................................................8 第8章 实数 【易错9 平方根、算术平方根、立方根的概念】...................................................................................9 【易错10 平方根的性质】.........................................................................................................................9 【易错11 算术平方根的性质】...............................................................................................................10 【易错12 估计算术平方根的范围】.......................................................................................................10 【易错13 算术平方根、立方根的规律探索】.......................................................................................10 【易错14 算术平方根与立方根的综合应用】.......................................................................................11 【易错15 利用平方根、立方根解方程】...............................................................................................11 【易错16 无理数的识别】.......................................................................................................................12 【易错17 无理数的整数部分、小数部分】...........................................................................................12 【易错18 实数的分类】...........................................................................................................................13 【易错19 实数的混合运算】...................................................................................................................14 第9章 平面直角坐标系 【易错20 坐标系中点的坐标特点记不清】...........................................................................................14 【易错21 点到坐标轴的距离与坐标的关系不熟悉】...........................................................................14 【易错22 坐标中分类问题漏解】...........................................................................................................15 【易错23 求面积中的易错题】...............................................................................................................15 【易错24 坐标表示平移】.......................................................................................................................17 【易错25 点的坐标规律探索】...............................................................................................................17 第10章 二元一次方程组 【易错26 二元一次方程（组）的定义】...............................................................................................18 【易错27 二元一次方程（组）的解】...................................................................................................19 【易错28 消元法解二元一次方程组】...................................................................................................19 【易错29 二元一次方程组的错解问题】...............................................................................................20 【易错30 二元一次方程组的同解问题】...............................................................................................21 【易错31 已知二元一次方程组的解的情况求参数】...........................................................................21 【易错32 实际问题与二元一次方程组】...............................................................................................22 【易错33 三元一次方程组的定义及解】...............................................................................................23 【易错34 三元一次方程组的应用】.......................................................................................................23 第11章 不等式与不等式组 【易错35 不等式的性质】......................................................................................................................24 【易错36 解一元一次不等式（组）】....................................................................................................24 【易错37 已知不等式（组）求参数问题】..........................................................................................25 【易错38 不等式组有解、无解求参数问题】......................................................................................25 【易错39 不等式组的整数解问题】......................................................................................................26 【易错40 不等式组与方程组结合问题】..............................................................................................26 【易错41 实际问题与一元一次不等式（组）】....................................................................................27 第12章 数据的收集、整理与描述 【易错42 判断全面调查与抽样调查】.................................................................................................28 【易错43 总体、个体、样本、样本容量】.........................................................................................29 【易错44 扇形统计图、条形统计图、折线统计图】.........................................................................29 【易错45 频数分布直方图】.................................................................................................................31 易错1 对顶角、邻补角的识别 1．（25-26七年级下·广东东莞·期中）下列各图中，与是对顶角的是（   ） A．B．C． D． 2．（25-26七年级下·河北保定·阶段检测）下列图形中，与是邻补角的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）在下列的图中，与是对顶角的是（     ） A．B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川内江·期中）如图，和是邻补角的图形是（   ） A．B．C． D． 易错2 相交线与平行线的相关概念 1．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）下列命题是真命题的是（　　） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．一个角的两边与另一个角的两边分别平行，则这两个角相等 C．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 2．（25-26七年级下·重庆开州·期中）下列四个命题中，是真命题的是（     ） A．相等的角是对顶角 B．直线外一点到这条直线的垂线段，叫作点到直线的距离 C．平面内过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D．两条直线被第三条直线所截，同旁内角互补 3．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）下列命题是真命题的是（    ） A．两条直线被第三条直线所截，内错角相等 B．两点之间，直线最短 C．直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离 D．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 4．（25-26七年级下·天津滨海新区·期中）下列语句中真命题有（   ） ①点到直线的垂线段叫做点到直线的距离； ②内错角相等； ③过一点有且只有一条直线与已知直线平行； ④在同一平面内，若两条直线都与第三条直线垂直，则这两条直线互相平行． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错3 同位角、内错角、同旁内角的识别 1．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）下列图形中，与属于同位角的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级上·福建厦门·期末）下列图形中，与是内错角的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·江西吉安·期中）下列各图中，与不是同旁内角的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南平顶山·期中）同位角、内错角和同旁内角是根据两个角的位置关系定义的角．如图，下列结论不正确的是（   ） A．与是同位角 B．与是同旁内角 C．与是内错角 D．与是同位角 易错4 两个角的两边分别平行或垂直 1．（25-26七年级下·上海宝山·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角是，则另一个角是（　  　） A． B． C．或 D．或 2．（25-26七年级下·江苏南通·阶段检测）如果两个角的两边分别垂直，而其中一个角的比另一个角少，那么这两个角的度数是（    ） A．和 B．、或、 C．都是 D．、或、 3．（25-26七年级下·全国·期中）两个角的两边分别平行，其中一个角比另一个角的3倍少，这两个角是____． 4．（25-26七年级上·浙江杭州·周测）已知两个角的两边分别垂直，且这两个角的度数分别为和，则______． 易错5 平行线的判定 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）如图，下列条件中能判断的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川绵阳·阶段检测）如图，下列条件：①；②；③中，能判断直线的有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 3．（25-26七年级下·云南怒江·期中）如图，点在的延长线上，下列四个条件：；；；．其中能判定的是（    ） A． B． C． D． 易错6 平行线的性质探究角的数量关系 1．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·海南海口·阶段检测）如图，已知直线，则、、之间的关系是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 易错7 平行线的判定与性质 1．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，，交于点，点在上，，垂足为，．试说明．请将下面的解答过程补充完整． 解：因为（已知）， 所以______（______） 因为（已知），所以______（______）， 所以______（______），所以（______） 因为（已知），所以， 所以，所以_____． 2．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）已知：如图，在中，于点，点在的延长线上，于点，．试说明：是的平分线．请你完成下列说理过程： 解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（___________________）， ∴___________________（___________________）， ___________________（___________________）， ∵（已知）， ∴___________________（___________________）， ∴是的平分线． 3．（25-26七年级下·吉林松原·期中）填写推理根据． 如图，已知，垂足为点，，垂足为点，，请填写的理由． 证明：，， ，， ， （_____）， （_____）， ， _____（_____）， _____（_____）， （_____）． 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）如图，已知．求证：． (1)请将下面证明过程补充完整： 证明：∵（已知）， ∴（ ）， 又∵（已知）， ∴ （ ）， ∴（ ）， ∴（两直线平行，同位角相等）． (2)若平分于点C，，求的度数 易错8 平移 1．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的图案分别是大众、奥迪、本田、三菱汽车的车标，其中，可以看作由“基本图案”经过平移得到的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）如图，将三角形沿方向向右平移到三角形的位置，连接．已知三角形的周长为，四边形的周长为，则这次平移的距离为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图是某公园里一处矩形草地，长，宽，为方便游人行走，公园特意修建了如图所示的小路（图中非阴影部分），小路的宽均为，那么这块草地青草覆盖的面积（图中阴影部分）为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川德阳·阶段检测）如图，在每个小正方形的边长为1个单位长度的网格中，点A、B、C都在格点上． (1)将向右平移3个单位得到，请作出； (2)连接，，则线段和线段的关系为________； (3)在平移的过程中，求线段扫过的面积． 易错9 平方根、算术平方根、立方根的概念 1．（25-26七年级下·江西上饶·期中）的算术平方根为________． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）7的算术平方根________；的平方根是________． 3．（25-26七年级下·广东肇庆·期中）下列各式正确的是（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·天津·阶段检测）下列各式正确的为（    ） A． B． C． D． 易错10 平方根的性质 1．（25-26七年级下·河南三门峡·期中）若一个正数的平方根分别是与，则为________． 2．（23-24七年级下·山东日照·阶段检测）如果和是一个数m的平方根，则________． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果的平方根是a和b，那么_______． 易错11 算术平方根的性质 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知实数满足：，则的平方根__________． 2．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知实数，满足 ，则 __________． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）若x，y为实数，且与互为相反数，则的值为________． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）已知实数在数轴上对应的点如图所示，化简______． 5．（25-26七年级下·黑龙江佳木斯·期中）已知实数、在数轴上对应点的位置如图所示，化简的值是______． 易错12 估计算术平方根的范围 1．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）估计的大小应在（   ） A．8与9之间 B．6与7之间 C．7与8之间 D．9与10之间 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）下列整数，在与之间的是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 3．（25-26七年级上·浙江·阶段检测）估算，其值在（    ） A．4到5之间 B．到之间 C．5到6之间 D．3到4之间 4．（25-26八年级上·山东枣庄·阶段检测）与最接近的整数是______． 易错13 算术平方根、立方根的规律探索 1．（25-26七年级下·云南昆明·期中）若，，则（     ） A．38.1 B．381 C．12 D．120 2．（25-26七年级下·山西大同·期中）已知，则_____． 3．（25-26七年级下·福建南平·期中）若，，则（    ） A．12.89 B．27.76 C．128.9 D．277.6 4．（25-26七年级下·青海西宁·期中）已知，，则______；已知，，则______． 易错14 算术平方根与立方根的综合应用 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）已知的算术平方根是4，的立方根是3，求的平方根． 2．（25-26七年级下·广东汕头·阶段检测）若正数x的两个平方根是和，b的立方根是，求的算术平方根． 3．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）已知的算术平方根是，的立方根是4. (1)求，的值. (2)求的平方根. 4．（25-26七年级下·广西百色·期中）已知正数的算术平方根是，的立方根是． (1)求，的值； (2)求的平方根． 易错15 利用平方根、立方根解方程 1．（25-26七年级下·新疆喀什·期中）求下列各式中x的值． (1) (2) 2．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）求下列各式中x的值： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·北京·期中）解方程 (1)； (2) 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）解方程： (1)； (2) 易错16 无理数的识别 1．（25-26七年级下·河南信阳·期中）在，，，，，这个数中，无理数共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级下·内蒙古巴彦淖尔·期中）在实数，，，0.101001000100001⋯，中，无理数的个数为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）下列各数，，1.020020002…，3.1415926，，中，无理数有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）下列各数，，，，，，中，无理数有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 易错17 无理数的整数部分、小数部分 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·期中）的整数部分为________． 2．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）实数的整数部分为，小数部分为，则_______． 3．（25-26七年级下·山东临沂·期中）已知是的整数部分，是它的小数部分． (1) ， (2)求的值． 4．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）【阅读材料】，即，，的整数部分是，的小数部分是． 【解决问题】 (1)的整数部分是__________，小数部分是__________； (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． (3)已知，其中是整数，且，求的值． 易错18 实数的分类 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）把下列各数填入相应的大括号内： ，，，0.5，，3.14159265，，1.3030030003…（两个3之间依次增加一个0）． 有理数：｛                                ｝； 无理数：｛                                ｝； 整数：｛                                  ｝； 负实数：｛                                ｝． 2．（25-26七年级下·安徽合肥·期中）把下列各数写入相应的括号中：、、、、、（两个1之间依次增加一个7）． (1)正实数：{ }； (2)负实数：{ }； (3)有理数：{ }； (4)无理数：{ }． 3．（25-26七年级下·四川泸州·期中）把下列各数填入相应的集合内： ， ，，， ，，， (1)有理数集合：｛               ｝ (2)无理数集合：｛               ｝ (3)正实数集合：｛               ｝ (4)负实数集合：｛               ｝ 4．（25-26七年级下·天津·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，3.1415926，，，，0.15，0.13030030003．．．（相邻两个3之间依次多1个0），． （1）整数集合                                  …； （2）分数集合                                  …； （3）有理数集合                                  …； （4）无理数集合                                 …； 易错19 实数的混合运算 1．（25-26七年级下·吉林松原·期中）计算： 2．（25-26七年级下·吉林白山·期中）计算：． 3．（25-26七年级下·云南昆明·期中）计算：． 4．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）计算：． 易错20 坐标系中点的坐标特点记不清 1．（25-26七年级下·广东江门·期中）在平面直角坐标系中，点在轴上，则点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）已知点，，且轴，则的值为（   ） A．-3 B．3 C．2 D．-2 3．（25-26八年级下·河北秦皇岛·期中）已知轴，且点A的坐标为，点B的坐标为，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·山东德州·期中）若点在轴上，则点在（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 易错21 点到坐标轴的距离与坐标的关系不熟悉 1．（25-26七年级下·青海西宁·期中）点P在第四象限，到x轴的距离为3，到y轴的距离为4，则点P的坐标（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）点到轴的距离是_____． 3．（25-26七年级下·内蒙古通辽·期中）若，则点到y轴的距离是_______． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）已知点的坐标为，且点到轴的距离为，则的值为________． 易错22 坐标中分类问题漏解 1．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）已知点的坐标，，且轴，则点的坐标是____． 2．（25-26七年级下·山东日照·期中）在平面直角坐标系中，已知点，且点P到两坐标轴的距离相等，则点P的坐标是________． 3．（25-26七年级下·北京·期中）平面直角坐标系中，已知点，直线轴，且，则点B坐标为_______． 4．（25-26七年级下·福建莆田·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，点的坐标为． (1)求； (2)若点在轴上，且，试求点的坐标． 易错23 求面积中的易错题 1．（25-26七年级下·河南新乡·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且满足． (1)求点，点的坐标； (2)点为轴上一点，若三角形的面积是三角形面积的一半，求出点的坐标． 2．（25-26七年级下·宁夏吴忠·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为，，且a，b满足，点C的坐标为． (1)直接写出点C到线段的距离是_________ (2)求a，b的值； (3)若点M在x轴上，且，试求点M的坐标． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，，，，且a，b满足． (1)如图1，求点A，B的坐标； (2)如图1，求的面积； (3)如图2，连接，在坐标轴上是否存在点M，使，若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 4．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，在平面直角坐标系中，已知，，其中a，b满足． (1)填空：___，__； (2)在第一象限内有一点，请用含的式子表示四边形的面积； (3)在（2）的条件下，当时，在y轴的负半轴上存在点N，使得三角形的面积与四边形的面积相等，求出点N的坐标． 易错24 坐标表示平移 1．（25-26七年级下·广西崇左·期中）将点向左平移2个单位，再向上平移3个单位后得到点Q，则点Q的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）将先向左平移4个单位长度，再向下平移3个单位长度得到，则点的坐标为________． 3．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）在平面直角坐标系中，将点A先向左平移3个单位长度，再向上平移2个单位长度后得点，则点A的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知点，点，将线段平移至．若点，点，则的值为（　 　） A． B． C． D． 易错25 点的坐标规律探索 1．（25-26七年级下·山东日照·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律跳动下去，点第2026次跳动至点的坐标是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川南充·期中）如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆，，…组成一条平滑的曲线，点从原点出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2026秒时，点的坐标是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，在平面直角坐标系中，从点，，依次扩展下去，则的坐标为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·贵州黔南·期中）如图，在平面直角坐标系中，一动点从原点出发，按向上，向右，向下，向右的方向不断地移动，每移动一个单位，得到点，，，，那么点的坐标为（    ） A． B． C． D． 易错26 二元一次方程（组）的定义 1．（25-26七年级下·河南周口·期中）下列方程中，是二元一次方程的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东东营·期中）下列方程组中是二元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则________，________． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）若是关于x，y的二元一次方程，则n的值为______． 易错27 二元一次方程（组）的解 1．（25-26七年级下·湖北黄冈·期中）若是二元一次方程的一个解，则的值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林松原·期中）小明求得方程组的解为，则表示的数为__________． 3．（25-26七年级下·河南信阳·期中）已知二元一次方程的一个解是，的值为______． 4．（25-26七年级下·北京顺义·期中）要使方程组有正整数解，求整数的值． 易错28 消元法解二元一次方程组 1．（25-26七年级下·河北沧州·期中）用代入消元法解方程组时，把①代入②，得（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·河南鹤壁·期中）已知二元一次方程组，用加减消元法解方程组，正确的是(  ) A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）解方程组： (1)； (2)． 4．（25-26七年级下·山东德州·阶段检测）二元一次方程计算 (1) (2) 易错29 二元一次方程组的错解问题 1．（25-26七年级下·海南海口·期中）在解关于，的方程组时，甲看错了①中的，解得；乙看错了②中的，解得．则正确的方程组是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东东莞·阶段检测）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的a，解得，乙看错了②中的b，解得，则的值为（    ） A．0 B． C．2 D． 3．（25-26七年级下·福建漳州·期中）甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母a看错了得到方程组的解为，乙把字母b看错了得到方程组的解为． (1)求a，b的正确值； (2)求原方程组的解． 4．（25-26七年级下·山东烟台·期中）解答下列问题： (1)定义运算“*”，规定 ，其中，为常数，且 ，，请求出的值； (2)甲、乙两人同时解方程组，甲解题时看错了①中的，解得，乙解题时看错②中的，解得，试求原方程组的解． 易错30 二元一次方程组的同解问题 1．（25-26七年级下·山东日照·期中）已知关于x，y的方程组的解和方程组的解相同，则的值为（    ） A． B． C．2026 D．1 2．（25-26七年级下·广东江门·期中）如关于的方程组和有相同的解，则的值是（    ） A．2 B． C．1 D．0 3．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）已知方程组与有相同的解，则m，n的值为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26七年级下·山东聊城·阶段检测）已知关于x，y的方程组与方程组同解，则_______． 易错31 已知二元一次方程组的解的情况求参数 1．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）若方程组的解也是方程的解，则的值是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）若关于x，y的二元一次方程组的解也是方程的解，则k的值为（   ） A． B． C．1 D．2 3．（25-26七年级下·广东东莞·期中）已知关于、的方程组的解满足，则的值为_______． 4．（25-26七年级下·重庆·期中）若关于和的方程组的解互为相反数，则______． 易错32 实际问题与二元一次方程组 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）我国古代数学经典著作《九章算术》中有这样一题，原文是：今有共买物，人出七，盈二；人出六，不足三．问人数、物价各几何？”意思是：今有人合伙购物，每人出七钱；会多二钱；每人出六钱，又差三钱，问人数、货物总价各多少？设人数为人，货物总价为钱，可列方程组（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，在大长方形中不重叠地放入七个长、宽都相同的小长方形，根据图中给出的数据，可得出阴影部分面积为（   ） A．48 B．52 C．58 D．6 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·阶段检测）如图，的格子内填写了一些数和代数式．为了使格子的各行、各列及对角线上的三个数之和均相等，则___________． 4．（25-26七年级下·吉林白山·期中）某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元． (1)购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？ (2)根据景区的实际情况，计划恰好用6000元购买A、B型器材（两种均购买）．该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案． 易错33 三元一次方程组的定义及解 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下列是三元一次方程组的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川内江·阶段检测）三元一次方程组的解是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·海南海口·期中）解三元一次方程组，若先消去，组成关于、的二元一次方程组，则应对方程组进行的变形为（    ） A．， B．， C．， D．， 4．（25-26七年级下·全国·课后作业）解方程组：． 易错34 三元一次方程组的应用 1．（25-26七年级下·四川内江·期中）某人上午先到市场购买1只鸡2只兔3只鸭共382元，又去市场购买3只鸡2只兔1只鸭共338元，如果单价不变，他买1只鸡1只兔1只鸭需要________元 2．（25-26七年级下·四川眉山·期中）小红、小莉去花店买花．小红买了3枝玫瑰、7枝康乃馨、1枝百合，花了28元；小莉买了4枝玫瑰、10枝康乃馨、1枝百合，花了32元．小莹看到后表示自己准备三种花各买2枝，则她要付多少钱______． 3．（25-26七年级下·四川乐山·期中）小丽、小红去文具店买学习用具，小丽买了3支笔、7支改正液、1个文件袋花了64元，小红买了4支笔、10支改正液、1个文件袋花了79元，小明看到后表示自己也准备三种学习用具各买1个，则他共需___________元． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）母亲节到了，小明计划为妈妈准备康乃馨、玫瑰、百合三种鲜花．已知购买2支康乃馨和1支玫瑰共需12.6元；购买3支康乃馨和2支玫瑰共需21.6元． (1)求康乃馨和玫瑰的单价． (2)若百合的单价为6元，花店推出活动：每购买1支玫瑰，赠送1支百合．小明计划购买三种鲜花共33支（含赠送的鲜花，且三种鲜花均至少有1支），其中康乃馨支，玫瑰支，除赠送的百合外，还需额外购买百合支，若购买鲜花的总费用为118.8元，求所有满足条件的购买方案． 易错35 不等式的性质 1．（25-26七年级下·北京·期中）若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）若，则下列式子不成立的是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期中）下列变形中，正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（25-26八年级下·辽宁锦州·期中）下列说法不正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 易错36 解一元一次不等式（组） 1．（2026·浙江嘉兴·二模）不等式的解在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·山西运城·三模）不等式组的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽六安·期中）解下列不等式（组）： (1) (2) 4．（2026·宁夏银川·二模）解不等式组，将解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 易错37 已知不等式（组）求参数问题 1．（25-26七年级下·海南海口·期中）若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·甘肃天水·期中）已知不等式组的解集为，则的值为（   ） A． B．1 C． D．2026 3．（25-26七年级下·山西临汾·期中）若的解集为，则的取值范围为__________． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期中）不等式组的解集为，则的取值范围为________ ． 易错38 不等式组有解、无解求参数问题 1．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若关于的一元一次不等式组有解，则应满足的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）若关于x的不等式组无解，则a的取值范围是________． 3．（25-26九年级下·山东烟台·期中）已知关于x的不等式组有解，则实数m的取值范围是___________． 4．（25-26七年级下·上海·期中）关于的不等式组无解，应满足的条件________． 易错39 不等式组的整数解问题 1．（25-26七年级下·江苏南通·期中）关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 2．（25-26八年级下·河南郑州·期中）关于x的不等式组有且仅有2个奇数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川宜宾·期中）定义新运算：，若关于正数的不等式组恰有三个整数解，则的取值范围_____． 4．（25-26七年级下·河南新乡·期中）若关于x的不等式组的所有整数解的和为34，则a的取值范围是______． 易错40 不等式组与方程组结合问题 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如果关于的不等式组有且只有5个整数解，且关于x，y的二元一次方程组有整数解，那么符合条件的所有整数的和为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）若存在一个整数，使得关于，的方程组的解满足，且让不等式只有个整数解，则满足条件的所有整数的和是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川绵阳·期中）如果关于的方程有非负整数解，且关于的不等式组的解集为，则所有符合条件的整数的和__________． 4．（25-26八年级下·全国·课后作业）关于的方程组，且满足． (1)求的取值范围； (2)已知，求的取值范围． 易错41 实际问题与一元一次不等式（组） 1．（25-26七年级下·安徽马鞍山·期中）在某次航空航天知识竞赛中，共有25道单项选择题，答对一题得4分，不答或答错一题，扣2分．若飞飞同学要想达到及格分（满分100分，60分为及格线），则她至少要答对________题． 2．（25-26八年级下·全国·课后作业）将一箱苹果分给若干个小朋友，若每个小朋友分5个苹果，则还剩12个苹果；若每个小朋友分8个苹果，则有1个小朋友分到的苹果不足8个．求这一箱苹果的个数与小朋友的人数．若设小朋友的人数为，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 4．（24-25七年级下·重庆·期中）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，重庆市采用价格调控的方式达到节水的目的．重庆市自来水的收费价格见价目表．注：水费按月结算．若某户居民1月份用水8立方米，则应交水费：（元）． 价目表 每月用水量 单价 不超出6立方米的部分 2元/立方米 超出6立方米不超出10立方米的部分 4元/立方米 超出10立方米的部分 8元/立方米 (1)若小明家2月份用水立方米，则应交水费________元； (2)若小明家3月用水量为立方米，当时，小明家应交水费______元，当时，小明家应交水费_______元；（请用含的代数式表示） (3)若小明家3月份，4月份共用水12立方米（4月份用水量多于3月份），共交水费38元，则小明家3，4月份各用水多少立方米？ 易错42 判断全面调查与抽样调查 1．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）下列调查中，最适合采用普查的是（    ） A．调查江苏省中学生的睡眠时间 B．调查溱湖的水质情况 C．调查某批次新能源汽车的智能驾驶状况 D．调查全班同学的视力情况 2．（2026·重庆巴南·模拟预测）下列调查中，适用抽样调查的是（    ） A．乘坐高铁时，对旅客进行安检 B．调查某种蓝莓的甜度情况 C．检查载人航天飞船的零部件安全性能 D．学校定制校服，测量每位学生的身高 3．（2026·贵州遵义·二模）下列调查中，最适合采用全面调查（普查）方式的是（     ） A．了解某品牌节能灯管的使用寿命 B．了解赤水河水质情况 C．审核人教九上新教材中的错别字 D．了解贵州省中学生的睡眠时间 4．（2026·重庆綦江·二模）下列调查中，调查方式不正确的是（    ） A．为了解我市全部初中学生的近视情况，选择抽样调查 B．为了解巴川河的水质情况，选择抽样调查 C．为了解生产的500枚高超音速导弹的命中率，选择抽样调查 D．为了解一批袋装牛奶（总体）的细菌超标情况，选择普查 易错43 总体、个体、样本、样本容量 1．（25-26八年级下·江苏无锡·期中）为了解我校八年级480名学生期中数学考试成绩，从中抽取了100名学生的数学成绩进行统计．下列判断正确的是（   ） A．被抽取的100名学生的数学成绩是总体 B．被抽取的100名学生的数学成绩是个体 C．被抽取的100名学生是总体的一个样本 D．样本容量是100 2．（25-26八年级下·江苏连云港·期中）为了解某县年参加中考的名学生的身高情况，抽查了其中名学生的身高进行统计分析．下列叙述正确的是（    ） A．名学生是总体 B．从中抽取的名学生的身高是总体的一个样本 C．每名学生是总体的一个个体 D．以上调查是普查 3．（25-26八年级下·江苏南京·期中）为了解某市八年级学生的数学考试情况，评卷人从该市八年级考生中随机抽取了800名考生的数学成绩进行调查．下列说法正确的是（   ） A．这种调查方式属于普查 B．调查的总体是八年级学生 C．样本是随机抽取的800名考生的数学成绩 D．样本容量是800名学生 4．（2026·江西上饶·一模）年南昌市第一次模拟考试中，全市共有约万名考生参加数学科目考试．为了解本次模考考生数学成绩的整体分布情况，市教研部门从中随机抽取了名考生的数学成绩进行统计分析．下列说法错误的是（    ） A．这种调查方式是抽样调查 B．万名考生是总体 C．是样本容量 D．名考生的数学成绩是总体的一个样本 易错44 扇形统计图、条形统计图、折线统计图 1．（2026·浙江丽水·模拟预测）丰富的社会实践活动不仅能让同学们理解生活、服务社会，更能帮助同学们树立正确的劳动态度与价值观．如图是从全校学生中随机抽取部分学生进行社会实践活动意向调查的相关统计图，根据图中信息，下列说法错误的是（   ） A．共抽取了200名学生 B．选B的有70人 C．选A的占比34% D．选C的占比20% 2．（2026七年级下·浙江·专题练习）某班级开展“好书伴成长”读书活动，统计了1至7月份该班同学每月阅读课外书的数量，并绘制了折线统计图．其中1至7月份每月阅读课外书本数的最大值比最小值多（   ） A．39 B．44 C．45 D．50 3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）某校为开展“营造书香校园，倡导读书人生”的主题活动，准备购进一批图书供学生阅读，为了合理配备各类图书，从全体学生中随机抽取了部分学生进行了问卷调查，问卷设置了五种选项：A．体育类，B．科普类，C．文学类，D．艺术类，E．其他类，每名学生必须且只能选择其中最喜爱的一类图书，将调查结果整理绘制成如下两幅不完整的统计图． 根据以上信息，解答下列问题： (1)此次被调查的学生人数为 名； (2)请补全条形统计图； (3)在扇形统计图中，求“艺术类”所对应圆心角的度数； (4)如果该校准备购买图书共16000册，求购买“文学类”图书多少册合适？ 4．（2026·湖北武汉·模拟预测）某科技公司为了了解用户对最新款“智能扫地机器人”的使用体验，随机抽取了部分用户进行回访调查，分为四个类别： A．体验极佳（清扫彻底，智能化程度高）    B．体验良好（能完成清扫，偶尔卡顿） C．体验一般（功能基本可用，需人工辅助）    D．体验较差（故障率高，清扫不干净） 依据调查数据绘制成图1和图2的统计图（不完整）．根据以上信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的用户共有______人； (2)扇形统计图中，扇形C的圆心角是______； (3)请补全条形统计图； (4)若这款机器人已售出4000台，请估计认为该产品体验满意（A、B、C类视为满意）的用户人数． 易错45 频数分布直方图 1．（2026·浙江温州·二模）某学校九年级女生仰卧起坐的测试成绩频数直方图如图所示，其中不低于35次的人数为（     ） A．60 B．84 C．96 D．144 2．（2026·云南西双版纳·一模）某校九年级男生进行掷实心球测试，并随机抽取了部分男生的成绩（单位：米）进行整理，绘制成如下频数分布直方图（第一组，第二组，依此类推至第五组），将成绩不低于8米的评为A等级，若该校共有300名男生参加了测试，则可评为A等级的男生大约有_______人． 3．（2026·福建漳州·模拟预测）为培养学生的阅读习惯，某中学在学校开展了“品读中国古典名著，传承中华优秀传统文化”读书竞答活动．学校团委为了解此次活动效果，随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成如下不完整的统计图表．根据所给信息，解答下列问题： 成绩x（分） 频数（人） 抽取学生成绩的扇形统计图    抽取学生成绩的频数分布直方图 (1)表中 ，并补全频数分布直方图； (2)抽取的这部分学生成绩的中位数位于 组； (3)在扇形统计图中，求组所对应的扇形圆心角的度数； (4)该校有名学生参加此次活动，请估计参加此次活动的学生中成绩优秀（）的人数． 4．（25-26七年级下·北京·期中）随着共享单车的普及，越来越多的居民选择共享单车作为出行的交通工具．为了解某社区居民每周使用共享单车的时间情况，随机对该社区选择共享单车出行的部分居民进行了调研，获得了他们每周使用共享单车时间（单位：小时）的数据，并将收集到的数据进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息． a．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布表如下： 组别 使用时间（小时） 频数（人数） 第1组 5 第2组 第3组 35 第4组 20 第5组 15 b．该社区居民每周使用共享单车的时间数据的频数分布直方图及扇形图如下： 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次调研，随机抽取______名社区居民进行调查； (2)表中的值为______； (3)第3组居民人数在扇形图中所对应的扇形的圆心角度数是______； (4)请补全频数分布直方图； (5)若该社区共有500位居民选择使用共享单车出行，请你估计使用共享单车的时间小于10小时的居民约有______人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $