精品解析：2026年黑龙江省大庆市萨尔图区中考 二模数学试题

数学学科模拟试题 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 2. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 命题“同旁内角互补”是假命题 C. 两点可以确定无数条直线 D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 7. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 9. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（ ） A. 点在的图象上 B. 当时，随的增大而减小 C. 最多有三个实数根 D. 若，则 10. 如图，在四边形中，，，，，点 为边上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是______． 12. 因式分解：_______________． 13. 关于的一元一次不等式组的所有整数解的积是______． 14. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示），现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为__________． 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点落在轴的正半轴上，点落在第一象限内．根据尺规作图的痕迹可知，点 的坐标为_____． 16. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 17. 如图①，、是上的两定点，点是圆上一动点，点从点出发，按逆时针方向匀速运动到点．设动点运动的时间是（），线段的长度是（），图②是随变化的关系图象，则动点的运动速度为______． 18. “明德启智”以明德立品，以启智赋能，彰显了当代教育德才兼备的育人追求．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“明德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“启智点”．把函数图象至少经过一个“明德点”和一个“启智点”的函数称为“明德启智函数”．下列说法正确的序号为______． ①已知函数是一个“明德启智函数”，则该函数图象上的“明德点”为； ②二次函数的顶点是一个“明德点”，并且该函数图象还经过一个“启智点”，则该二次函数的解析式为； ③二次函数（，为常数，）图象的顶点为点，与轴交于点，若经过点，的直线上存在无数个“明德点”，则该函数图象上的所有“启智点”为，， 三、解答题（本大题共10题，共66分） 19. 计算：． 20. 先化简，再求值：，其中，． 21. 2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 22. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 23. 甲、乙两名学生参加数学素质测试（有四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如表 学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩 方差 甲 87 93 85 91 89 乙 89 96 80 91 33.5 （1）请计算甲的四项成绩的方差和乙的平均成绩； （2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按计算，哪个学生数学综合素质测试成绩更好？请说明理由． 24. 【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进行折叠探究． 操作一：如图，点 为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）求证： 操作二：如图，将矩形纸片先沿对角线对折，再展开，折痕为．点为边上一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在对角线上． （2）若，，当点为的三等分点时，求的长． 25. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点，，点为反比例函数图象上位于A点上方的一点，直线与轴，轴分别交于， 两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，求点 的坐标． （3）在（2）的条件下，根据图象，直接写出的解集． 26. 某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点正上方米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中，为原点，在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度，（米）是球与原点的水平距离． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米） （3）鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？ 27. 如图，在中，，点D和点E分别在和边上（不与端点重合），且，延长和射线交于点F，作，与边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． （1）若，，求的长． （2）求证：是的切线． （3）若，，直接写出的值． 28. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且． （1）求的值． （2）如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． （3）设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于轴，与图象交于两点，如图3． ①过的最高点 作直线交于点（点在点左侧），求的值； ②是图象上一个动点，当点与直线的距离小于4时，直接写出点横坐标的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学学科模拟试题 考试时间：120分钟 满分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 月球表面的白天平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据正负数表示相反意义的量，平均温度零上表示正，平均温度零下表示负即可求解． 【详解】解：平均温度零上，记作，夜间平均温度零下，应记作， 故选：B． 【点睛】本题主要考查正负数与实际问题的综合，掌握正负数表示相反意义的量是解题的关键． 2. 中华文明，源远流长；中华汉字，寓意深广．下列四个选项中，是轴对称图形的为（ ） A. 爱 B. 我 C. 中 D. 华 【答案】C 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：若一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，则这个图形是轴对称图形，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：∵选项A“爱”找不到满足条件的直线，折叠后直线两旁部分不能重合，不是轴对称图形，不符合题意； ∵选项B“我”找不到满足条件的直线，折叠后直线两旁部分不能重合，不是轴对称图形，不符合题意； ∵选项C“中”沿过中点的竖直线折叠，直线两旁的部分可以互相重合，是轴对称图形，符合题意； ∵选项D“华”找不到满足条件的直线，折叠后直线两旁部分不能重合，不是轴对称图形，不符合题意． 3. 通电瞬间，导线中的电流以接近光速形成，但其中自由电子定向移动的平均速度大约只有，比蜗牛爬行的速度还慢．数据“”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法表示绝对值小于1的正数的一般形式为，其中，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．n的值由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定． 【详解】解：， 故选：C． 4. 下列几何体中，主视图和俯视图相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图．熟练掌握主视图和俯视图，是解决问题的关键． 在正面内得到的由前向后观察物体的视图，叫做主视图；在水平面内得到的由上向下观察物体的视图，叫做俯视图．根据主视图，俯视图定义逐一判断，即得． 【详解】A、圆柱的主视图是矩形，俯视图是圆，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； B、三棱柱的主视图是矩形（中间有一条竖线 ），俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同主视图是长方形，俯视图是三角形，主视图和俯视图不相同，故该选项不符合题意； C、球的主视图和俯视图都是圆，主视图和俯视图相同，故该选项符合题意；； D、四棱锥的主视图是三角形，俯视图是带对角线的四边形，主视图和俯视图不相同． 故选：C． 5. 如图， 绕点逆时针旋转得到，且经过点C，已知，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先根据旋转的性质得到，，，然后根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理计算出，从而得到的度数． 【详解】解：∵ 绕点逆时针旋转得到， ∴，，， ∴， ∴． 6. 下列说法正确的是（ ） A. 如果，那么 B. 命题“同旁内角互补”是假命题 C. 两点可以确定无数条直线 D. 相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A，当时，可得或，A错误； 对于选项B，只有两直线平行时，同旁内角才互补，命题“同旁内角互补”未加前提条件，本身不成立，该命题是假命题，B正确； 对于选项C，两点确定一条直线，C错误； 对于选项D，只有在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等，选项未给出前提条件，结论不成立，D错误． 7. 在如图所示的网格中，每个小正方形的边长为1，点O、A、B都在格点上，若扇形是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的高为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了圆锥的计算，先利用勾股定理的逆定理证明为等腰直角三角形，，设圆锥的底面圆的半径为 ，由于圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，则根据弧长公式得到，解方程求出 ，然后利用勾股定理计算该圆锥的高． 【详解】解：，，， ， 为等腰直角三角形，， 设圆锥的底面圆的半径为 ， 根据题意得， 解得， 该圆锥的高． 故选：A． 8. 如图，一块含的直角三角板放在平面直角坐标系中，直角边与x轴重合，点A在双曲线上，若点C的坐标为，，则的面积为 （ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】连接，由题意易得，，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：连接，如图所示： 由图象可知：轴， ∴， ∵ 是等腰直角三角形，且， ∴， ∵点C的坐标为， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 小明在学习函数后，在“几何画板”软件中绘制了函数的图象，如图所示．通过观察此图象，下列说法错误的是（ ） A. 点在的图象上 B. 当时，随 的增大而减小 C. 最多有三个实数根 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象与性质，依据题意，根据函数的图象逐个分析判断可以得解． 【详解】解：由题意，对于A，当时，， ∴点在的图象上，故A正确，不合题意； 对于B，结合图象可得，当时，y随x的增大而减小，故B正确，不合题意． 对于C，∵函数与直线的交点如图所示， ∴函数与直线的交点最多3个． ∴方程最多有三个实数根，故C正确，不符合题意； 对于D，结合图象可得 若，则，故D错误，符合题意； 故选：D． 10. 如图，在四边形中，，，，，点为边 上的动点．将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，，，则下列结论错误的是（ ） A. 的最大值是 B. 的最小值是 C. 的最小值是 D. 的最大值是 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要围绕四边形中的动点问题展开，解题思路是先通过旋转的性质得到相关线段和角的关系，再利用勾股定理建立线段之间的联系，最后根据点与点之间的位置关系以及几何性质来分别判断各个结论的正确性． 【详解】解：∵将线段绕点逆时针旋转得到线段， ∴，． 又∵，，，， 过点作于点，在上取一点，使得延长交 于点，则四边形是矩形， ∴． ∴， ∴（）， ∴ ∴，即点在上运动， ∴四边形和四边形是矩形， ∴，，， ∵，，，， ∴ ∴， ∴最大时，最大， 当点与点重合时，与重合时，最小此时，，故错误，符合题意；故B正确，不符合题意； 作点关于的对称点，连接则，，过作于点，此时当、、三点共线时，最小， ∵ ∴四边形是矩形， ∴，， ∴的最小值故正确，不符合题意； 当与重合时， 当与重合时，过作，则四边形是矩形，如下图， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴， 综上，最大值为．故项正确，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、矩形的判定及性质，勾股定理以及几何最值问题，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，并能根据几何图形的特点准确分析线段之间的关系是解题的关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 若二次根式在实数范围内有意义，则 的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式有意义的条件，被开方数必须是非负数，由此建立关于 的不等式，求解不等式得到 的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， ， 解得， 故答案为：． 12. 因式分解：_______________． 【答案】(x+3y)(x-3y) 【解析】 【详解】根据平方差公式可求得，原式=x2-(3y)2=(x+3y)(x-3y) 13. 关于 的一元一次不等式组的所有整数解的积是______． 【答案】0 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式，得到不等式组的解集，确定所有整数解后计算乘积即可． 【详解】解： 由①可得：； 由②可得：； ∴不等式组的解集为； ∴不等式组的整数解为， ∴所有整数解的积为． 14. 在一个平衡的天平左、右两端托盘上，分别放置质量为和的物品后，天平倾斜（如图所示），现从质量为，，的三件物品中，随机选取两件放置在天平的左端托盘上，则天平恢复平衡的概率为__________． 【答案】 【解析】 【分析】通过画树状图或列表罗列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，最后利用概率公式求解即可． 【详解】解：要使天平恢复平衡，选取的两件物品质量为， 列表如下： / / / 共有6种可能的结果，使天平恢复平衡的有2种， 天平恢复平衡的概率为： 15. 如图，在平面直角坐标系中，四边形是平行四边形，点的坐标为，点的坐标为，点落在 轴的正半轴上，点落在第一象限内．根据尺规作图的痕迹可知，点的坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据尺规作图痕迹可知，是的角平分线，根据平行四边形的性质，等腰三角形的性质可求得，根据勾股定理可求得，即可求得点的坐标． 【详解】解：根据尺规作图痕迹可知，是的角平分线， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标为，点的坐标为， ∴， ∴ ∴， ∴． 16. 我们知道，一元二次方程没有实数根，即不存在一个实数的平方等于．若我们定义一个新数“”，使其满足（即方程有一个根为），并且进一步规定：一切实数可以与新数进行四则运算，且原有运算律和运算法则仍然成立，于是有，，例如：．则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查新定义运算与规律探究，根据新定义得出的指数的循环规律，每4个为一个循环，每个循环的和为0，计算总项数除以4的余数，再根据余数计算最终结果即可 【详解】解：由题意得： ，，，，， 可得的指数每4个一循环，且一个循环的和为， ， 即共有506个完整循环，剩余2项为和， ，， 17. 如图①，、是上的两定点，点 是圆上一动点，点 从点出发，按逆时针方向匀速运动到点．设动点 运动的时间是 （），线段的长度是（），图②是随 变化的关系图象，则动点 的运动速度为______． 【答案】 【解析】 【分析】从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为，当时，，进而得出，求得优弧的长，进而根据路程除以时间，即可求解． 【详解】从图②看，当时，，即此时A、O、P三点共线，则圆的半径为， ∴， 当时，， ∴， 如图，连接， ∴， ∴ 的路程为， ∴动点 的运动速度为． 18. “明德启智”以明德立品，以启智赋能，彰显了当代教育德才兼备的育人追求．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“明德点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“启智点”．把函数图象至少经过一个“明德点”和一个“启智点”的函数称为“明德启智函数”．下列说法正确的序号为______． ①已知函数是一个“明德启智函数”，则该函数图象上的“明德点”为； ②二次函数的顶点是一个“明德点”，并且该函数图象还经过一个“启智点”，则该二次函数的解析式为； ③二次函数（，为常数，）图象的顶点为点，与轴交于点，若经过点，的直线上存在无数个“明德点”，则该函数图象上的所有“启智点”为，， 【答案】① 【解析】 【分析】先根据题干给出的“明德点”“启智点”的定义，逐一判断三个说法的正误，即可得到结果． 【详解】解：①根据定义，“明德点”满足横纵坐标相等，对于函数， ∴令，得， 解得，， 即明德点为； 故①正确； ∵二次函数 的顶点为，顶点是明德点， ∴； ∵函数经过启智点， ∴， 将代入函数得： ， 整理得 ， 解得或， ∴或， ∴二次函数解析式为或 ， 故错误； 二次函数 的顶点，与轴交点的坐标为 ，∵直线上存在无数个“明德点”， ∴直线与直线重合， ∴把和代入得到， 解得（舍去）或， ∴二次函数解析式为： ， ∵启智点满足， ∴联立得 ， 解得或， 对应启智点为和，共 个， 故错误． 三、解答题（本大题共10题，共66分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】分别利用二次根式化简、零指数幂和绝对值计算各项，再依次加减即可． 【详解】解：原式 ． 20. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】先根据分式加减运算法则进行化简，然后根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，求出，，最后代入求值即可． 【详解】解：原式 ， ，， 原式． 21. 2025年4月19日，全球首次“人机共跑”半程马拉松在北京完赛，国内高校、科研机构、企业等20支机器人队伍参赛，其中6支成功完赛，这些技术突破具有里程碑的意义，未来将应用于工业制造、物流分拣、特种作业、家庭服务或养老服务等场景．这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人获得冠军，松延动力机器人获亚军．北京天工机器人每小时比松延动力机器人多跑，用时比松延动力机器人少小时，求松延动力机器人的平均速度是多少？ 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的实际应用，设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是，根据这次机器人马拉松比赛里程约为，北京天工机器人用时比松延动力机器人少小时建立方程求解即可． 【详解】解：设松延动力机器人的平均速度是，则北京天工机器人的平均速度是， 由题意得，， 解得或（舍去）， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：松延动力机器人的平均速度是． 22. 某种水龙头关闭时如图1所示，将其简画成图2，三点共线，是水管，台面是开关，可整体绕点上下旋转，且，连接． （1）求的长度（结果保留整数）： （2）如图3，当开关开到最大时，旋转到的位置上，旋转角，求此时点到台面的距离（结果保留整数）．（参考数据：，，，取） 【答案】（1）的长度约为 （2）点到台面的距离约为 【解析】 【分析】（1）在中，利用余弦的定义求解即可； （2）过点作，垂足为，交于点，在中，利用正弦的定义求的长度，再进一步求解即可． 【小问1详解】 解：由题意得，在中，，， ， ∴． ∴的长度约为； 【小问2详解】 解：如图，过点作，垂足为，交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴． ∴点到台面的距离约为． 23. 甲、乙两名学生参加数学素质测试（有四项），每项测试成绩采用百分制，成绩如表 学生 数与代数 空间与图形 统计与概率 综合与实践 平均成绩 方差 甲 87 93 85 91 89 乙 89 96 80 91 33.5 （1）请计算甲的四项成绩的方差和乙的平均成绩； （2）若数与代数、空间与图形、统计与概率、综合与实践的成绩按计算，哪个学生数学综合素质测试成绩更好？请说明理由． 【答案】（1）10，89；（2）乙，见解析 【解析】 【分析】（1）根据平均数和方差 （2）根据加权平均数的概念计算． 【详解】解：（1） 乙平均数= （2）甲的分数= 乙的分数= 故乙的成绩更好 ． 【点睛】此题考查了平均数和加权平均数，用到的知识点是平均数和加权平均数，掌握它们的计算公式是本题的关键． 24. 【综合与实践】主题：探究特殊四边形的折叠问题 情境：在数学活动课上，老师发给每位同学一张矩形纸片，引导同学们进行折叠探究． 操作一：如图，点为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在边上． （1）求证： 操作二：如图 ，将矩形纸片先沿对角线对折，再展开，折痕为．点为边上一点，将沿直线折叠，使点的对应点落在对角线上． （2）若，，当点为的三等分点时，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）或 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定与性质，掌握分类讨论思想是解题关键． （1）借助折叠的性质和矩形的直角特性，推导得出两组对应角相等，从而证明； （2）先求出矩形对角线的长度，再结合折叠后折痕垂直平分对应点连线的性质，构造相似三角形，然后针对为三等分点的两种位置情况，通过相似比建立方程，最终求出． 【详解】（1）证明：由折叠性质知，， ， 在矩形中，， ， ， 又， ． （2）解：如图，设与交于点 ． 已知在矩形中，，，则． 情形一：当点为靠近点的三等分点时，， 由折叠知，，， 垂直平分， ，， ， ， ， ， ， 则， 解得． 情形二：当点为靠近点的三等分点时，． 同理建立方程，，解得． 故的长为或． 答：或． 25. 如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点，，点为反比例函数图象上位于A点上方的一点，直线与 轴，轴分别交于，两点． （1）求反比例函数的解析式； （2）若，求点的坐标． （3）在（2）的条件下，根据图象，直接写出的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由题意可设，根据两点间距离公式可得，则有，然后问题可求解； （2）过点作轴于，过点作轴于，由题意易得，则有，然后可得直线的解析式为，进而问题可求解； （3）根据函数图象可直接进行求解． 【小问1详解】 解：函数的图象与反比例函数在第一象限中的图象交于点A， 设， ， ， ∴， 在第一象限， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：过点作轴于，过点作轴于， ， ， ， ， ， ， ，即， 在上， ， ， 设直线的解析式为， ， 解得， ， 令，得， ； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，， 故的解集为． 26. 某智慧网球馆部署了鹰眼系统，该系统能够实时捕捉网球的飞行轨迹、速度、落点等关键数据，并自动生成分析报告，帮助教练科学评估球员表现、制定个性化训练方案．在一次训练中，该系统追踪到球员小明的某次发球：小明从点 正上方 米的点将球击出，球在距离发球点水平距离米处达到最高，最高点距离地面米．在如图所示的平面直角坐标系中， 为原点， 在轴上，球的飞行轨迹可近似看作抛物线的一部分，其中（米）是球的高度， （米）是球与原点的水平距离． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）已知球网高米，发球点到球网的水平距离为米，求该球飞行到球网正上方时，球离球网顶端的高度差；（不考虑球网中间下垂；结果精确到米） （3）鹰眼系统显示，球员小亮站在球飞行轨迹的正前方，且距原点米处准备接球．已知小亮的有效接球高度范围为米至米（即球离地面的高度在此范围内时，球员能够成功攻击球），且小亮只能在球飞行至其站立位置正上方（即球的横坐标与球员站位相同）时进行击球．经系统计算，球会在小亮站立位置之前落地，因此小亮需要向前移动米（）才能击到球．那么小亮刚好能在有效接球高度范围成功击球时，的最小值是多少？ 【答案】（1） （2）球离球网顶端的高度差为米 （3）的最小值是2米 【解析】 【分析】（1）由题意得，抛物线的顶点坐标为，设抛物线的函数表达式为，把代入，即可求解； （2）把代入（1）中解析式，即可求解； （3）把代入（1）中解析式，求得，结合题意，即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得，抛物线的顶点坐标为， ∴设抛物线的函数表达式为， 把代入可得， 解得，， ∴抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：由题意，把代入得， ， ， ∴球离球网顶端的高度差为米． 【小问3详解】 解：由题意，把代入得，， 解得，（舍去）， （米）， ∴的最小值是 米． 27. 如图，在 中，，点D和点E分别在 和 边上（不与端点重合），且，延长和射线 交于点F，作，与 边交于点G，作的外接圆在上方的部分，连接． （1）若，，求的长． （2）求证： 是的切线． （3）若，，直接写出的值． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵是的半径， ∴ 是的切线； （3） 【解析】 【分析】(1)根据直角三角形所对的直角边是斜边的一半可解此问； (2)首先，根据，得，再由，，得，根据，得，进而，得出结论； (3)先根据勾股定理求得，设的半径为 ，，再根据，得，，，接着，证出，得，即，解得(舍去)，可得，最后，得出． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：∵，，， ∴． 设的半径为 ，， ∴． ∵，即， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， 是的切线， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴，即， ∴， 解得(舍去)． ∴． ∴． 【点睛】根据已知条件利用三角函数值及相似三角形的判定与性质证出，得是解决本题的关键． 28. 如图1，平面直角坐标系中，有抛物线：．设抛物线与 轴相交于点，与轴正半轴相交于点，且． （1）求的值． （2）如图2，将抛物线平移得到抛物线，使过点和，求抛物线的解析式． （3）设（2）中在轴左侧的部分与在轴右侧的部分组成的新图象记为．过点作直线平行于 轴，与图象交于两点，如图3． ①过的最高点作直线交于点（点在点左侧），求的值； ② 是图象上一个动点，当点 与直线的距离小于4时，直接写出点 横坐标的取值范围． 【答案】（1） （2） （3）①；②，且 【解析】 【分析】（1）由题意得到，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （2）由平移性质及题中图象可知抛物线过，设抛物线的解析式为，利用待定系数法确定函数关系式即可得到答案； （3）①根据题意，得到，求解得出，，由两点距离公式求出，代值求解即可得到答案；②利用二次函数图象与性质，根据题意分类讨论求解即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ， 将代入，得； 【小问2详解】 解：由平移性质及题中图象可知抛物线过， 设抛物线的解析式为， 把代入，得，解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问3详解】 解：①由（1）得，抛物线的解析式为， 抛物线顶点， 依题意，过点作直线平行于 轴，则直线为；过的最高点作直线，则直线m为， 令，解得或， ∵点在点左侧， ∴，， ∴，， ∴， ②点 横坐标的取值范围是，且． 由的图象及直线为可知，当时，，解得或，则， 当点 位于点左侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 由（2）得抛物线：，可得顶点坐标为，而直线l为，则顶点与直线的距离恰好为4， 当点 在之间，且不与顶点重合时，与的距离小于4，此时的取值范围是，且； 当点 在之间时，均符合题意，此时的取值范围是； 当点 位于点右侧时，， 令，解得或（舍去），此时的取值范围是； 综上，点 横坐标的取值范围是，且． 【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数关系式、二次函数图象平移、二次函数图象与性质、两点距离公式等知识，熟练掌握二次函数图象与性质是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $