24.1 数据的集中趋势【七大考点+七大题型】-2025-2026学年八年级下册数学《考点•题型•技巧》精讲与精练高分突破（人教版）

本讲义聚焦数据的集中趋势核心知识点，系统梳理算术平均数、加权平均数、中位数、众数的定义及优缺点，通过区别联系构建知识网络，再以七类题型归纳实现从基础到综合应用的学习支架。 资料以生活实例（如苹果销售额、招聘评分）培养数学眼光，通过计算推理（如中位数取值、加权平均）发展数学思维，用数据表格分析（如校服颜色选择）强化数学语言。课中助教师分层教学，课后高分精练助学生查漏补缺。

24.1 数据的集中趋势 【考点梳理】 · 考点一：算术平均数问题 · 考点二：加权平均数 · 考点三：已经平均数求相关数据的平均数问题 · 考点四：中位数 · 考点五：众数 · 考点六：统计量的选择 · 考点七：数据集中趋势的综合问题 【知识梳理】 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 技巧归纳：平均数、中位数、众数的区别与联系 联系: 都反映了一组数据的集中趋势,其中以平均数最为重要。 区别： (1)平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用所有数据提供的信息,但受极端值的影响较大。 (2)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它的中位数没有影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,可选用中位数来描述这组数据的集中趋势。 (3)众数主要研究各数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关,当一组数据有较多的重复数据时,众数往往能更好地反映其集中趋势众数不易受极端值影响。 提醒：在实际问题中,求得的平均数、中位数和众数应带上单位。 【题型归纳】 题型一：算术平均数问题 【典例1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）某食品店购进2000箱苹果，从中任选10箱，称得质量（单位：）分别为16，16.5，14.5，13.5，15，16.5，15.5，14，14，14.5．若每千克苹果的售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额为（    ） A．80000元 B．82000元 C．84000元 D．86000元 【变式1】．（2026·湖南株洲·一模）一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为________． 【变式2】．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 题型二：加权平均数 【典例2】．（2026·辽宁鞍山·一模）某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试，若招聘成绩满分为，其中笔试占，面试占，其中一名应试者笔试与面试成绩（百分制）分别为、，则该名应试者的平均成绩为________． 【变式1】．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【变式2】．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下： 采访写作 计算机 创意设计 小明 70分 60分 86分 小亮 90分 75分 51分 小丽 60分 84分 72分 现在要计算3人的加权平均分，如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由变成，________的成绩增加最多． 题型三：已经平均数求相关数据的平均数问题 【典例3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【变式1】．（25-26八年级上·四川成都·期末）若一组数据，，…，的平均数为6，则数据，，…，的平均数为______． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是________． 题型四：中位数 【典例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是___________． 【变式2】．（2026·上海虹口·二模）为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 题型五：众数 【典例5】13．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是_____． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一的众数是5，则这五个正整数之和的最小值是____________． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公益组织计划为高空作业人员提供后勤保障服务，为此李华访问了5位高空作业人员每天的高空作业累计时长（单位：h），分别为6，8，4，x，3，已知这组数据有唯一的众数4，则这组数据的平均数为________． 题型六：统计量的选择 【典例6】．（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 250 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额（单位：元）为：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．以上全部 【变式2】．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在端午节到来之前，学校食堂推荐了三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下列选项中的统计量，最值得关注的是（   ） A．最高分与最低分 B．平均数 C．中位数 D．众数 题型七：数据集中趋势的综合问题 【典例7】．（25-26八年级下·重庆·期中）年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 【变式1】．（25-26八年级下·重庆·期中）为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 (1)直接写出上述表中________，________，________； (2)根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） (3)若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 【变式2】．（2026·山东聊城·二模）2025年9月，为推动我省重大技术装备创新发展，加快首台（套）装备产品推广应用，山东省工业和信息化厅组织专家对本年度我省首台（套）技术装备项目材料进行了评审，共有16个地区的260个项目通过评审并予以公示．A省的工业和信息化厅官网也公布了本省通过评审的首台（套）技术装备项目名单，平均各地区首台（套）技术装备项目有13.65个． 【收集与整理数据】 地区 类别 济南 济宁 青岛 烟台 其他地区 入选项目/个 68 20 44 32 x 整机装备/台 54 17 38 25 80 关键核心零部件/套 10 3 5 7 y 核心系统/套 4 0 1 0 1 【描述数据】 图1为山东省2025年度首台（套）技术装备入选项目各地区分布统计图； 图2为山东省2025年度首套关键核心零部件入选项目各地区分布占比统计图．    【分析数据】 类别 平均数 省份 入选项目 整机装备 关键核心零部件 核心系统 A省各地区 13.65个 7.65台 1.5套 4.5套 山东省各地区 16.25个 a台 b套 0.375套 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出x的值，并补全统计图； (2)2025年山东省其他地区入选的首套关键核心零部件项目y是________套，青岛市入选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是________； (3)填空：________，________； (4)请将2025年山东省各地区关于首台（套）技术装备项目的各种平均数与A省相比较，说说我省在创新产业升级中的优劣势． 【高分精练】 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·二模）体育考试在即，小明随机调查了九年级若干名学生五一假期期间进行体育锻炼的情况，并将统计结果绘制成如图所示的统计图．下列说法不正确的是（   ） A．被调查的学生人数是45 B．样本平均数是9 C．样本中位数是9 D．样本众数是18 2．（2026·广东中山·二模）某藏家收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”，测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6、6.6、6.8、7.4、7.7．这组数据的中位数为（     ） A．7.1 B．6.9 C．6.8 D．6.6 3．（2026·安徽淮北·模拟预测）某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60 人数（人） 2 5 6 6 8 6 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（     ） A．该班一共有40名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是55分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是55分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是55分 4．（2026·福建泉州·二模）某校开展“向海图强，我是先锋”红领巾讲解员大赛，评分设置“主题内容”“语言表达”“仪态台风”三项，依次按的比例计算综合得分，某选手三项得分（百分制）依次为分，分，分，则该选手综合得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校给参加校足球队的13位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表：则这13双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（　　） 尺码/码 40 41 42 43 44 购买数量/双 1 5 4 2 1 A．40，41 B．41，42 C．42，43 D．41，41 6．（2026八年级下·浙江·专题练习）某班有45名学生，一次体育中考模拟后，老师对模拟成绩进行了统计．由于小州没有参加本次模拟考，算得44人的平均成绩分，中位数分．后来小州进行了补考，成绩为分，得到45人考试成绩数据的平均数为，中位数为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 8．（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 9．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读总量折线统计图，关于这8个月每月的课外阅读总量，下列说法正确的是（    ） A．中位数是58本 B．众数是83本 C．平均数是50本 D．有6个月的月课外阅读总量在50本以上 二、填空题 10．（25-26八年级下·北京西城·期中）一次数学练习，某小组5名组员的成绩统计如下，请填写数据补全下列统计表： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均数 众数 得分 77 80 81 82 80 其中_____，_____ 11．（2026·河南平顶山·二模）郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________． 12．（2026八年级下·浙江·专题练习）某班级将组织活动，去往新能源汽车实践基地学习．全班统计周六日空余时间，以下是每位学生周末最方便时间的扇形统计图，那么应该选________去最合适，你判断的依据来自于这个统计图中的________（填“平均数”、“中位数”或“众数”）． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、86分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为________分． 14．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）2026年马年贺岁电影其中六部电影票房记录：《飞驰人生3》：亿元，《镖人：风起大漠》：亿元，《惊蛰无声》：亿元，《星河入梦》：亿元，《熊猫计划之部落奇遇记》：亿元．《熊出没年年有熊》：亿元，其中票房数据的中位数是___________亿元 15．（25-26九年级下·北京·开学考试）学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 三、解答题 16．（25-26八年级下·全国·单元复习）判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． (1)n个数的平均数就是把这n个数的总和除以n所得的数． (2)n个数的平均数一定是这n个数中的某一个． (3)将n个数由小到大排列后，如果n是奇数，位置在正中间的数就是这n个数的中位数；如果是偶数，位置在正中间的那两个数的平均数才是这n个数的中位数． (4)n个数的中位数一定是这n个数中的某一个． (5)如果在n个数中某个或某几个数出现的频数最大，那么这个或这几个数就是这n个数的众数，如果找不出这样的数，那么这组数就没有众数． (6)如果n个数中存在众数，那么该众数一定是这n个数中的某一个． 17．（25-26八年级下·重庆·期中）某校开展了“青少年AI知识竞赛”活动，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩的数据是：66，68，74，76，78，79，83，83，86，87，87，88，89，91，91，91，93，94，97，99． 八年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：81，87，85，89，88，88． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 87 b 八年级 85 a 92 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_______，_______，_______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生AI知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有420名学生、八年级有500名学生参加了此次AI知识竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次AI知识竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人？ 18．（2026·山东青岛·三模）体育考试是九年级学生决胜中考的第一关，为了提升体育成绩，某校九年级学生加强了“开合跳”训练，为了了解学生训练情况，从某校九年级随机抽取男生，女生各40名进行一分钟快速训练．并对训练结果进行整理，描述和分析，1分钟“开合跳”完成的个数用表示，并分成了四个等级，其中A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： ①女生1分钟“开合跳”个数扇形统计图： ②男生1分钟“开合跳”个数频数统计表 等级 A B C D 频数 18 8 3 男生B组数据：从高到低排列，排在最后面的10个数据分别为： ，，，，，，，，， 男生和女生1分钟“开合跳”个数的平均数，中位数，众数，A等级所占百分比如下表： 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比 男生 79 88 女生 79 87 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异，还是女生“开合跳”成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级学生共1600名，估计九年级“开合跳”个数是B等级的人数． 19．（2026·安徽·模拟预测）某县组织全县3800名教师开展“人工智能，融合创新”知识测试，从中随机抽取名教师的测试成绩作为样本进行如下分组： 组别 整理样本数据，绘制样本数据的频数直方图，部分信息如下： (1)______，若画出样本数据的扇形统计图，组对应的扇形的圆心角度数为； (2)已知该县某中学参赛的名数学老师的成绩为：，，，，，，，，，，求这名数学老师的成绩的中位数和平均数； (3)根据样本数据，请你估计该县这次测试成绩在分以上（含分）的教师人数． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 24.1 数据的集中趋势 【考点梳理】 · 考点一：算术平均数问题 · 考点二：加权平均数 · 考点三：已经平均数求相关数据的平均数问题 · 考点四：中位数 · 考点五：众数 · 考点六：统计量的选择 · 考点七：数据集中趋势的综合问题 【知识梳理】 平均数 定义：一般地，如果有n个数x1，x2，…，xn，那么 ==，读作“x拔”. 优点：平均数能充分利用各数据提供的信息，在实际生活中常用样本的平均数估计总体的平均数. 缺点：在计算平均数时，所有的数据都参与运算,所以它易受极端值的影响. 加权平均数 定义：若个数，，…，的权分别是，，…，，则，叫做这个数的加 权平均数. 【注意】若各数据权重相同，则算术平均数等于加权平均数. 中位数 定义：将一组数据按大小依次排列，把处在最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）叫 做这组数据的中位数. 优点：中位数不受个别偏大或偏小数据的影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,一般用中位数来 描述数据的集中趋势. 缺点：不能充分地利用各数据的信息. 众数 定义：一组数据中出现次数最多的数据就是这组数据的众数. 优点：众数考察的是各数据所出现的频数,其大小只与部分数据有关，当一组数据中某些数据多次重复 出现时，众数往往更能反映问题. 缺点：当各数据重复出现的次数大致相等时,它往往就没有什么特别意义. 技巧归纳：平均数、中位数、众数的区别与联系 联系: 都反映了一组数据的集中趋势,其中以平均数最为重要。 区别： (1)平均数的计算要用到所有的数据,它能够充分利用所有数据提供的信息,但受极端值的影响较大。 (2)中位数仅与数据的排列位置有关,某些数据的变动对它的中位数没有影响,当一组数据中的个别数据变动较大时,可选用中位数来描述这组数据的集中趋势。 (3)众数主要研究各数据出现的频数，其大小只与这组数据中的某些数据有关,当一组数据有较多的重复数据时,众数往往能更好地反映其集中趋势众数不易受极端值影响。 提醒：在实际问题中,求得的平均数、中位数和众数应带上单位。 【题型归纳】 题型一：算术平均数问题 【典例1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）某食品店购进2000箱苹果，从中任选10箱，称得质量（单位：）分别为16，16.5，14.5，13.5，15，16.5，15.5，14，14，14.5．若每千克苹果的售价为2.8元，则利用样本平均数估计这批苹果的销售额为（    ） A．80000元 B．82000元 C．84000元 D．86000元 【答案】C 【分析】本题考查了样本平均数的计算与用样本估计总体的统计方法，解题关键是通过样本平均数估计总体的平均水平，进而计算总量． 先计算样本中箱苹果的平均质量，再利用样本平均数估计箱苹果的总质量，最后结合单价计算销售额． 【详解】解：平均质量：． 估计 箱苹果的总质量为：． 销售额为：（元）． 故选：C． 【变式1】．（2026·湖南株洲·一模）一组数据6，8，9，10，x的平均数是9，则x的值为________． 【答案】12 【分析】根据算术平均数的定义列方程求解即可． 【详解】解： 一组数据，，，，的平均数是， ， 解得 ． 【变式2】．（2025·上海杨浦·模拟预测）下表为某中学40人在“数学知识竞赛”的得分统计情况表根据下表信息，若这40人的平均分为2.5分，求，的值分别为___________． 分数 0 1 2 3 4 5 人数 4 7 10 8 【答案】， 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，平均数的定义，根据总人数为40和平均分为2.5，列出关于x和y的方程组，并求解． 【详解】解：根据题意，得，解得， 故答案为：， ． 题型二：加权平均数 【典例2】．（2026·辽宁鞍山·一模）某学校招聘数学教师，对应试者进行笔试和面试，若招聘成绩满分为，其中笔试占，面试占，其中一名应试者笔试与面试成绩（百分制）分别为、，则该名应试者的平均成绩为________． 【答案】 【详解】解：由题意可得，应试者的平均成绩为（分）， 故答案为：． 【变式1】．（23-24八年级下·福建泉州·期末）某大学自主招生考试需考查数学和物理，综合得分按数学占、物理占计算，若小安物理得分为分，综合得分为分，则小安数学得分是______分． 【答案】 【详解】解：设小安数学得分为分， 则， 解得， ∴小安数学得分是分， 故答案为：． 【变式2】．（25-26八年级下·山东青岛·开学考试）学校广播站要招聘1名记者，小明、小亮和小丽报名参加了3项素质测试，成绩如下： 采访写作 计算机 创意设计 小明 70分 60分 86分 小亮 90分 75分 51分 小丽 60分 84分 72分 现在要计算3人的加权平均分，如果将采访写作、计算机和创意设计这三项的权重比由变成，________的成绩增加最多． 【答案】小亮 【详解】解：权重比变化前为，总权数和为， 因此三项的权重分别为，，， 权重比变化后为，总权数和为， 因此三项的权重分别为，，． 小明变化前后的加权平均分： 原平均分：（分）， 新平均分：（分）， 小明成绩变化：（分）； 小亮变化前后的加权平均分： 原平均分：（分）， 新平均分：（分）， 小亮成绩变化：（分）； 小丽变化前后的加权平均分： 原平均分：（分）， 新平均分：（分）， 小丽成绩变化：（分）， 比较三人成绩变化量，可得，因此小亮的成绩增加最多． 题型三：已经平均数求相关数据的平均数问题 【典例3】．（25-26八年级下·全国·课后作业）如果一组数据，，，，的平均数是5，则数据，，，，的平均数是___________． 【答案】20 【分析】根据平均数的定义，计算即可． 【详解】解：，，，，的平均数是5， ， ． 【变式1】．（25-26八年级上·四川成都·期末）若一组数据，，…，的平均数为6，则数据，，…，的平均数为______． 【答案】15 【分析】本题考查了平均数，根据“如果一组数据，，，的平均数为，那么另一组数据，，，的平均数为”，求解即可． 【详解】解：∵数据，，…，的平均数是6， ∴数据，，…，平均数为， 故答案为：15． 【变式2】．（25-26八年级上·陕西西安·阶段检测）一组数据，，，，的平均数是4，那么另一组数据，，，，的平均数是________． 【答案】5 【分析】本题考查了求平均数，熟练掌握平均数的计算公式是解此题的关键．根据平均数的计算公式求解即可． 【详解】解：∵一组数据，，，，的平均数是4， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 题型四：中位数 【典例4】．（25-26八年级下·全国·课后作业）在数据2，0，，4，6中插入一个数据x，使这组数据的中位数为3，则x的取值范围是________． 【答案】 【详解】把这组数据按从小到大排列得：，0，2，4，6， 插入一个数x后，数据变为6个，中位数为排序后第3、4位数的平均数． 设排序后的新数据为，，，，，， 若，则，，，， 此时中位数为，符合题意； 若，此时， ∴，解得，即； 若，则中位数，不符合题意，舍去， 综上，x的取值范围是． 【变式1】．（25-26八年级上·陕西宝鸡·期末）数据：5，8，10，，16，18，若这组数的中位数为13，则对应的数可能是___________． 【答案】任何不小于16的数 【分析】本题考查了中位数，掌握中位数的计算方法是解题的关键． 根据数据可知，中位数是第三个数和第四个数的平均值，判断出第三个数和第四个数，判断出所处的位置，即可求解． 【详解】解：一共6个数，且中位数为， 按大小排列，第三个数字和第四个数字之和为， 当时，第四个数为，第三个数不大于，和小于，不符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为，和小于，不符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为或，和等于，符合题目要求； 当时，第三个数为，第四个数为，和等于，符合题目要求； 综上所述，可知． 故答案为：任何不小于的数． 【变式2】．（2026·上海虹口·二模）为助力“校园读书月”活动，某班20名同学积极分享自己的课外读物，他们分享的书籍数量（单位：本）如下表．根据表中的信息，这20个数据的中位数是______． 书籍数量/本 人数/人 【答案】8 【详解】解：一共有20个数据，将数据从小到大排列后，中位数为第10个和第11个数据的平均数． 分享4本的累计人数为， 分享6本的累计人数为， 分享8本的累计人数为， 因此第10个和第11个数据都为， 则中位数为． 题型五：众数 【典例5】13．（25-26八年级上·山东淄博·期末）若，，，，这组数据的众数是，则这组数据的中位数是_____． 【答案】 【详解】解：数据的众数是，则的值为， 将数据从小到大排列为：， 中间的数是，因此中位数是． 故答案为：． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）五个正整数从小到大排列，若这组数据的中位数是4，唯一的众数是5，则这五个正整数之和的最小值是____________． 【答案】17 【详解】解：将这组数据从小到大的顺序排列后，处于中间位置的那个数是中位数即是； 众数是一组数据中出现次数最多的数，据题意得这组数据有两个为， 另两个为小于的整数，且不相等，所以最小的两个为，． 则可得这组数据最小和是． 故答案为：17． 【变式2】．（25-26八年级上·全国·课后作业）某公益组织计划为高空作业人员提供后勤保障服务，为此李华访问了5位高空作业人员每天的高空作业累计时长（单位：h），分别为6，8，4，x，3，已知这组数据有唯一的众数4，则这组数据的平均数为________． 【答案】5 【分析】本题主要考查了平均数、众数的定义，根据平均数、众数定义求解即可． 【详解】解：∵这组数据有唯一的众数4， ∴， 这组数据分别为6，8，4，4，3，所以这组数据的平均数为，故答案为：5 题型六：统计量的选择 【典例6】．（25-26八年级下·全国·课后作业）学校准备设计一款女生校服，对全校女生喜欢的颜色进行了问卷调查，统计如下表所示： 颜色 黄色 绿色 白色 紫色 红色 学生人数 100 180 220 80 250 学校决定采用红色，可用来解释这一现象的统计知识是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．加权平均数 【答案】C 【分析】本题考查不同统计量的概念，掌握各统计量的实际意义是解题关键． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的数，本题中喜欢红色的学生人数最多，即红色是最受多数女生喜欢的颜色，符合众数代表的统计意义， ∴可以用众数解释学校选用红色的现象． 【变式1】．（25-26八年级下·全国·课后作业）某公司5名员工在一次义务募捐中的捐款额（单位：元）为：30，50，50，60，60．若捐款最少的员工又多捐了20元，则分析这5名员工捐款额的数据时，不受影响的统计量是（   ） A．平均数 B．中位数 C．众数 D．以上全部 【答案】B 【分析】本题考查统计量的概念，只需得到捐款变化后的新数据，分别判断各统计量是否变化即可，其中中位数由排序后中间位置的数值决定，本题中该数值不受变化影响． 【详解】解：原捐款额从小到大排序为，，，，． ∵捐款最少的30元增加20元后，得， ∴新捐款额从小到大排序为，，，，． ①平均数：原总和为，原平均数为；新总和为，新平均数为，平均数改变． ②中位数：原数据共5个，中位数是第3个数，为；新数据中位数仍是第3个数，为，中位数不变． ③众数：原众数为和，新众数仅为，众数改变． 因此只有中位数不受影响， 【变式2】．（25-26八年级下·浙江温州·期中）在端午节到来之前，学校食堂推荐了三家粽子专卖店，对全校师生爱吃哪家店的粽子作调查，以决定最终向哪家店采购，下列选项中的统计量，最值得关注的是（   ） A．最高分与最低分 B．平均数 C．中位数 D．众数 【答案】D 【详解】解：∵学校食堂最终要选择最多师生爱吃的店铺，需要关注数据中出现次数最多的结果， ∴最值得关注的统计量是众数． 题型七：数据集中趋势的综合问题 【典例7】．（25-26八年级下·重庆·期中）年月，“全民读书月”活动在全国深入开展．为营造“爱读书，读好书，善读书”的校园氛围，我校举办了“书香青春”的阅读知识竞赛，并从七、八年级所有学生的竞赛成绩中各随机抽取名学生的竞赛成绩（成绩为百分制且为整数）进行整理、描述和分析（成绩均不低于分，用表示，共分四组：A．；B．；C．；D．），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩在组中的数据是：，，，，，． 八年级20名学生竞赛成绩是：，，，，，，，，，，，，，，，，，，，． 七年级所抽取学生竞赛成绩扇形统计图 七、八年级所抽取学生竞赛成绩统计表： 年级 平均数 中位数 众数 七年级 八年级 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中________，________，________； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的阅读知识掌握得更好？请说明理由（写出一条即可）； (3)我校七年级和八年级共有人参加此次阅读知识竞赛活动，请估计我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有多少人？ 【详解】（1）解：由扇形统计图可得，组的人数为：（人）；组的人数为：（人）； 由题意可得，组的人数为：（人）， ∴组的人数为：（人）； 把组的数据从小到大排列为：，，，，，， 七年级竞赛成绩的中位数是数据从小到大排列后的第和个数据，且数据从小到排列后的第个数据是，第个数据是， ∴； ∵八年级名学生竞赛成绩中出现次数最多的是， ∴； ∵七年级组的人数为：（人）， ∴， ∴． （2）解：该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好， 理由：∵该校七、八年级学生阅读知识竞赛的成绩的平均数相同都是，但七年级竞赛的成绩的中位数大于八年级竞赛的成绩的中位数， ∴该校七年级学生阅读知识竞赛的成绩较好． （3）解：由题意可得，七年级等级的人数为人； 把八年级名学生竞赛成绩从小到大排列可得满足等级的人数为人， ∴； 答：我校七、八年级参加此次竞赛成绩达到等级的学生共有人． 【变式1】．（25-26八年级下·重庆·期中）为了解小学生生长发育情况，某校从三年级学生中随机抽取20名男生、20名女生的身高数据（单位：），对数据进行整理、描述、分析如下（身高用表示，共分四组：．；．；．；．） 被抽取的三年级的女生身高数据是： 125，127，128，132，135，136，137，138，138，139 140，141，142，142，142，143，144，145，150，156 被抽取的三年级的男生身高在组的数据是： 130，132，134，135，135，136，138，139，139 三年级被抽取学生的身高统计表 平均数 众数 中位数 女生 139 男生 139 140 (1)直接写出上述表中________，________，________； (2)根据以上信息，分析三年级学生中男生和女生身高整体水平哪一个更高？请说明理由（写出一条即可） (3)若该校三年级女生有600人，男生有800人，请估计该校三年级身高不低于 的学生共有多少人？ 【答案】(1)，，； (2)三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． (3)1230人． 【详解】（1）解：142出现的次数最多，3次，故众数， 根据题意，A组人数为：（人），B组人数为：9（人）， 中位数是第10个，第11个数据的平均数， 故中位数， 因为， 所以 故； （2）解：三年级学生中女生身高整体水平更高，因为被抽取的三年级女学生身高的中位数大于被抽取的三年级男学生身高中位数139． （3）解：根据题意，得（人） 答：估计该校三年级学生身高不低于130cm的学生共有1230人． 【变式2】．（2026·山东聊城·二模）2025年9月，为推动我省重大技术装备创新发展，加快首台（套）装备产品推广应用，山东省工业和信息化厅组织专家对本年度我省首台（套）技术装备项目材料进行了评审，共有16个地区的260个项目通过评审并予以公示．A省的工业和信息化厅官网也公布了本省通过评审的首台（套）技术装备项目名单，平均各地区首台（套）技术装备项目有13.65个． 【收集与整理数据】 地区 类别 济南 济宁 青岛 烟台 其他地区 入选项目/个 68 20 44 32 x 整机装备/台 54 17 38 25 80 关键核心零部件/套 10 3 5 7 y 核心系统/套 4 0 1 0 1 【描述数据】 图1为山东省2025年度首台（套）技术装备入选项目各地区分布统计图； 图2为山东省2025年度首套关键核心零部件入选项目各地区分布占比统计图．    【分析数据】 类别 平均数 省份 入选项目 整机装备 关键核心零部件 核心系统 A省各地区 13.65个 7.65台 1.5套 4.5套 山东省各地区 16.25个 a台 b套 0.375套 根据以上信息解决下列问题： (1)请求出x的值，并补全统计图； (2)2025年山东省其他地区入选的首套关键核心零部件项目y是________套，青岛市入选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是________； (3)填空：________，________； (4)请将2025年山东省各地区关于首台（套）技术装备项目的各种平均数与A省相比较，说说我省在创新产业升级中的优劣势． 【详解】（1）解：由表格可知，济南入选68个项目，济宁入选20个项目，青岛入选44个项目，烟台入选32个项目， ∴， 分布统计图为： （2）解：由扇形统计图可知，济宁关键核心零部件占， ∴总数为， 由表格可知，关键核心零部件套数为：济南10套，济宁3套，青岛5套，烟台7套， 故， 青岛市人选的首套关键核心零部件项目所对的圆心角度数是：； （3）解：由表格可知，整机装备个数为：济南54台，济宁17台，青岛38台，烟台25台，其他地区80台， 山东共16个地区，则， 由表格可知，关键核心零部件套数为：济南10套，济宁3套，青岛5套，烟台7套，其他地区15套， 则； （4）解：优势：整机装备、关键核心零部件、核心系统平均数均高于A省，产业配套更完善； 劣势：入选项目平均数低于A省，项目集中于少数地区，区域发展不均衡． 【高分精练】 一、单选题 1．（2026·河北邯郸·二模）体育考试在即，小明随机调查了九年级若干名学生五一假期期间进行体育锻炼的情况，并将统计结果绘制成如图所示的统计图．下列说法不正确的是（   ） A．被调查的学生人数是45 B．样本平均数是9 C．样本中位数是9 D．样本众数是18 【答案】D 【分析】根据频数分布直方图，结合样本总数、平均数、中位数、众数的求解方式逐项判断即可． 【详解】解：被调查的学生人数是，故A正确，不符合题意； 样本平均数是，故B正确，不符合题意； 调查的学生人数是，则样本中位数是第23位数字，第23位为9，故C正确，不符合题意； 样本众数是9，故D错误，符合题意． 2．（2026·广东中山·二模）某藏家收藏有7枚南宋铁钱“庆元通宝”，测得它们的质量（单位：g）分别为6.9、7.5、6.6、6.6、6.8、7.4、7.7．这组数据的中位数为（     ） A．7.1 B．6.9 C．6.8 D．6.6 【答案】B 【详解】解：将数据排序后，位于中间的数是6.9， 故中位数为6.9. 3．（2026·安徽淮北·模拟预测）某校九年级（1）班全体学生在2026年初中毕业模拟体育考试的成绩统计如下表： 成绩（分） 40 48 52 54 55 58 60 人数（人） 2 5 6 6 8 6 7 根据上表中的信息判断，下列结论中错误的是（     ） A．该班一共有40名同学 B．该班学生这次考试成绩的众数是55分 C．该班学生这次考试成绩的中位数是55分 D．该班学生这次考试成绩的平均数是55分 【答案】D 【分析】根据表格信息，结合总人数、众数、中位数、平均数的概念逐项判断即可解答． 【详解】解：A．该班总人数为 ，故A选项结论正确，不符合题意； B．成绩为55分的人数最多，为8人，即该班成绩的众数是55分，故B选项结论正确，不符合题意； C．40个数据从小到大排列后，中位数是第20和第21个数据的平均数，前四个成绩的总人数为 ，可得第20和第21个数据都是55分，∴ 中位数为 分，故C选项结论正确，不符合题意； D．计算平均数得：，即平均数不是55分，故D选项结论错误，符合题意． 4．（2026·福建泉州·二模）某校开展“向海图强，我是先锋”红领巾讲解员大赛，评分设置“主题内容”“语言表达”“仪态台风”三项，依次按的比例计算综合得分，某选手三项得分（百分制）依次为分，分，分，则该选手综合得分为（   ） A．分 B．分 C．分 D．分 【答案】B 【分析】根据给定的比例确定权重，代入加权平均数公式计算即可得到结果． 【详解】解：∵三项评分的比例为，总权重和为， ∴该选手综合得分为． 5．（25-26八年级下·浙江金华·期中）某校给参加校足球队的13位运动员每人购买了一双运动鞋，尺码及购买数量如下表：则这13双运动鞋尺码的众数和中位数分别为（　　） 尺码/码 40 41 42 43 44 购买数量/双 1 5 4 2 1 A．40，41 B．41，42 C．42，43 D．41，41 【答案】B 【分析】众数是一组数据中出现次数最多的数，中位数是将数据从小到大排列后，处在最中间的数据或最中间的两个数据的平均数，据此求解即可． 【详解】解：∵尺码41出现了5次，出现次数最多， ∴众数为41； ∵总共有 个数据， ∴中位数是尺码按照从小到大排列后的第7个数据， ∵将数据从小到大排列，前个数据为1个40和5个41，因此第7个数据为42， ∴中位数是42． 6．（2026八年级下·浙江·专题练习）某班有45名学生，一次体育中考模拟后，老师对模拟成绩进行了统计．由于小州没有参加本次模拟考，算得44人的平均成绩分，中位数分．后来小州进行了补考，成绩为分，得到45人考试成绩数据的平均数为，中位数为，则（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】利用平均数计算公式和中位数的定义即可解答． 【详解】解：∵ 44人的平均成绩为，小州补考成绩为35分，且， ∴ 加入补考成绩后，45人的平均成绩小于原平均成绩，即， ∵ 原44个数据排序后，中位数，是第22个和第23个数据的平均数，加入一个小于36的成绩35后，45个数据排序后，新中位数为第23个数据，可得，即 ． 7．（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“汉字听写大赛”，7名学生进入决赛，他们所得分数互不相同，比赛共设3个获奖名额，某学生知道自己的分数后，要判断自己能否获奖，他应该关注的统计量是（   ） A．中位数 B．众数 C．平均数 D．最好成绩 【答案】A 【详解】解：∵7名学生分数互不相同，将分数从小到大排序后，中位数是第4个分数， 又∵比赛共设3个获奖名额，获奖的分数是排序后前3个分数，均大于中位数， ∴该学生只需将自己的分数与中位数比较，若分数大于中位数，则可以获奖，反之不能获奖， 因此他应该关注的统计量是中位数． 8．（25-26八年级下·全国·单元测试）某校举办“青春励志”主题演讲比赛，规定每位选手演讲时长不超过5分钟．初赛结束后，随机抽取5名选手，统计编号为号选手的实际演讲时长（单位：分钟）如图所示．为了更全面评估选手水平，组委会决定再抽取2名选手的成绩纳入统计．若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，则新增的2名选手演讲时长可能是（ ） A．分钟，分钟 B．分钟，分钟 C．分钟，分钟 D．分钟，分钟 【答案】A 【分析】首先根据散点图确定原来5名选手演讲时长的中位数范围，然后根据中位数不变的条件，分析新增2名选手时长的可能取值． 【详解】解：由图可知，编号为3、4的选手演讲时长均在分钟以下，编号2的选手演讲时长为分钟，编号为1、5的选手演讲时长在分钟以上， ∴原来5名选手演讲时长的中位数为， 若7名选手演讲时长的中位数与原来5名选手演讲时长的中位数相等，即新中位数仍为，则一个应小于，一个应大于， A、，，故选项符合题意； B、，中位数变小，故选项不符合题意； C、、，中位数变大，故选项不符合题意； D、、，中位数变大，故选项不符合题意； 9．（2026九年级·黑龙江齐齐哈尔·专题练习）如图是某班去年1～8月份全班同学每月的课外阅读总量折线统计图，关于这8个月每月的课外阅读总量，下列说法正确的是（    ） A．中位数是58本 B．众数是83本 C．平均数是50本 D．有6个月的月课外阅读总量在50本以上 【答案】A 【分析】本题考查了中位数、众数、平均数的计算及数据统计，掌握中位数是排序后中间两数的平均数，众数是出现次数最多的数，平均数是总和除以个数是解题的关键． 先整理个月阅读总量数据，再分别计算中位数、众数、平均数，统计本以上的月份数，逐一验证选项． 【详解】解：从折线图中读取月的阅读量：． A、将数据从小到大排序为，共个数，中位数是第、个数的平均数，即，A正确，符合题意； B、出现次，次数最多，众数是本，B错误，不符合题意； C、平均数为 （本），C错误，不符合题意； D、阅读量在本以上的有，共个月，D错误，不符合题意； 故选：A． 二、填空题 10．（25-26八年级下·北京西城·期中）一次数学练习，某小组5名组员的成绩统计如下，请填写数据补全下列统计表： 组员 甲 乙 丙 丁 戊 平均数 众数 得分 77 80 81 82 80 其中_____，_____ 【答案】 80 80 【分析】根据平均数的定义计算出的值，再根据众数的定义计算出的值即可． 【详解】解：根据题意得：平均数为 整理得： 解得： 则这组数据为77，80，80，81，82， 这组数据中出现次数最多的数为， 因此众数． 11．（2026·河南平顶山·二模）郑州市某一周中每天最低气温情况如图所示，表示这周每天最低气温的七个数据的众数是________． 【答案】15 【分析】根据众数定义：一组数据中出现次数最多的数据，观察图中的数据，确定答案． 【详解】解：由图可知，表示这周每天最低气温的七个数据中，13，14，16，17，18各出现了一次，15出现了两次，显然15出现的次数最多，所以表示这周每天最低气温的七个数据的众数是15． 12．（2026八年级下·浙江·专题练习）某班级将组织活动，去往新能源汽车实践基地学习．全班统计周六日空余时间，以下是每位学生周末最方便时间的扇形统计图，那么应该选________去最合适，你判断的依据来自于这个统计图中的________（填“平均数”、“中位数”或“众数”）． 【答案】 周六下午 众数 【分析】选择合适的时间需要符合更多人的需求，因此要选的时间是更多学生方便去的，即选择众数．在扇形统计图中，扇形越大，频数越大，才是众数． 【详解】解：从扇形统计图可知，“周六下午”方便的人数最多，所占比例最大，因此选“周六下午”去最合适，依据是众数． 13．（25-26八年级下·浙江杭州·期中）某校学生会为招募新会员组织了一次测试，小鹿的心理测试、笔试、面试得分分别为80分、90分、86分，若依次按照的比例确定最终成绩，则小鹿的最终成绩为________分． 【答案】86 【分析】根据加权平均数的计算公式，代入数据计算即可得到最终成绩． 【详解】解：小鹿的最终成绩为（分）． 14．（25-26九年级下·河南郑州·阶段检测）2026年马年贺岁电影其中六部电影票房记录：《飞驰人生3》：亿元，《镖人：风起大漠》：亿元，《惊蛰无声》：亿元，《星河入梦》：亿元，《熊猫计划之部落奇遇记》：亿元．《熊出没年年有熊》：亿元，其中票房数据的中位数是___________亿元 【答案】 【分析】先将所有票房数据按从小到大的顺序排列，再根据数据个数为偶数，取中间两个数的平均数，即可得到中位数． 【详解】解：将这个票房数据从小到大排列如下： ， ∴中位数为． 15．（25-26九年级下·北京·开学考试）学校举办校园十大歌手比赛，评委从唱功、舞台表现、音色、创意四个维度对选手进行评分（百分制）．最终得分由唱功和舞台表现各占30%，音色和创意各占20%组成．已知小兰、小竹两位选手的评分如下： 唱功 舞台表现 音色 创意 小兰 小竹 若小兰的评分更高，则表中（为整数）的最小值为_____． 【答案】 【分析】先根据加权平均数公式计算出小竹的最终得分，再表示出小兰的最终得分，根据题意列出一元一次不等式，求解后取满足条件的最小整数即可． 【详解】解：计算小竹的最终得分： ， 表示小兰的最终得分： ， 根据题意小兰评分更高，列一元一次不等式：， 移项得， 化简得， 系数化为得， 因为为整数， 所以的最小值为． 三、解答题 16．（25-26八年级下·全国·单元复习）判断下列说法是否正确，若不正确，请举出反例． (1)n个数的平均数就是把这n个数的总和除以n所得的数． (2)n个数的平均数一定是这n个数中的某一个． (3)将n个数由小到大排列后，如果n是奇数，位置在正中间的数就是这n个数的中位数；如果是偶数，位置在正中间的那两个数的平均数才是这n个数的中位数． (4)n个数的中位数一定是这n个数中的某一个． (5)如果在n个数中某个或某几个数出现的频数最大，那么这个或这几个数就是这n个数的众数，如果找不出这样的数，那么这组数就没有众数． (6)如果n个数中存在众数，那么该众数一定是这n个数中的某一个． 【答案】(1)正确 (2)不正确，反例：数据1,2的平均数为1.5，不是这组数据中的某一个 (3)正确 (4)不正确，反例：数据1,2,3,4的中位数为2.5，不是这组数据中的某一个 (5)正确 (6)正确 【详解】（1）解：n个数的平均数就是把这n个数的总和除以n所得的数，说法正确； （2）解：n个数的平均数一定是这n个数中的某一个，说法不正确， 反例：数据1,2的平均数为1.5，不是这组数据中的某一个； （3）解：将n个数由小到大排列后，如果n是奇数，位置在正中间的数就是这n个数的中位数；如果是偶数，位置在正中间的那两个数的平均数才是这n个数的中位数，说法正确； （4）解：n个数的中位数一定是这n个数中的某一个．说法不正确， 反例：数据1,2,3,4的中位数为2.5，不是这组数据中的某一个； （5）解：如果在n个数中某个或某几个数出现的频数最大，那么这个或这几个数就是这n个数的众数，如果找不出这样的数，那么这组数就没有众数，说法正确； （6）解：如果n个数中存在众数，那么该众数一定是这n个数中的某一个，说法正确． 17．（25-26八年级下·重庆·期中）某校开展了“青少年AI知识竞赛”活动，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（成绩为百分制）进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分四组：A．，B．，C．，D．，得分在90分及以上为优秀），下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩的数据是：66，68，74，76，78，79，83，83，86，87，87，88，89，91，91，91，93，94，97，99． 八年级20名学生竞赛成绩在C组中的数据是：81，87，85，89，88，88． 七、八年级所抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 七年级 85 87 b 八年级 85 a 92 根据以上信息，解答下列问题： (1)上述图表中，_______，_______，_______； (2)根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生AI知识竞赛成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)该校七年级有420名学生、八年级有500名学生参加了此次AI知识竞赛活动，估计该校七、八年级参加此次AI知识竞赛成绩达到优秀的学生共有多少人？ 【答案】(1)；； (2)八年级的成绩更好，理由见解析 (3)322 【分析】（1）根据八年级抽取学生A组、B组占比，以及 C组人数，算出D组人数及占比，得到m；根据人数占比，确定第10、11名的分数处于C组成绩排名的第3名、第4名，取两数的平均数，求出a；已知七年级成绩，91分出现次数最多，所以众数； （2）比较两个年级的平均数、中位数和众数即可； （3）根据七八年级样本中优秀成绩的占比估计总体的占比，计算人数即可． 【详解】（1）解：已知八年级抽取学生A组、B组占比， A组人数为， B组人数为 八年级抽取学生C组人数为6， D组人数为， 占比，即， 八年级抽取学生中位数为成绩排名第10名、11名的平均分， 又A组2人，B组5人，C组6人， 第10名、11名为C组成绩排名的第3名、第4名， 八年级C组按成绩大小排序为：81，85，87，88，88，89， ， 已知七年级抽取学生成绩，91分出现次数最多， 众数． （2）解：八年级的成绩更好，原因是：虽然七八年级抽样平均数相同，但是八年级中位数大于七年级的中位数． （3）解：七年级抽样成绩中优秀学生占比为， 八年级抽样成绩中优秀学生占比为， ． 18．（2026·山东青岛·三模）体育考试是九年级学生决胜中考的第一关，为了提升体育成绩，某校九年级学生加强了“开合跳”训练，为了了解学生训练情况，从某校九年级随机抽取男生，女生各40名进行一分钟快速训练．并对训练结果进行整理，描述和分析，1分钟“开合跳”完成的个数用表示，并分成了四个等级，其中A：，B：，C：，D：，下面给出了部分信息： ①女生1分钟“开合跳”个数扇形统计图： ②男生1分钟“开合跳”个数频数统计表 等级 A B C D 频数 18 8 3 男生B组数据：从高到低排列，排在最后面的10个数据分别为： ，，，，，，，，， 男生和女生1分钟“开合跳”个数的平均数，中位数，众数，A等级所占百分比如下表： 平均数 众数 中位数 A等级所占百分比 男生 79 88 女生 79 87 78 根据以上信息，解答下列问题： (1)______，______，______； (2)根据以上数据分析，你认为该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异，还是女生“开合跳”成绩更优异？请说明理由（写出一条理由即可）； (3)若该校九年级学生共1600名，估计九年级“开合跳”个数是B等级的人数． 【答案】(1)20，11， (2)我认为该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异，理由见解析（答案不唯一） (3)540人 【分析】（1）求出女生成绩为B等级的人数所占的百分比，据此即可得的值；根据男生的频数统计表可得的值；根据中位数的定义可得的值； （2）从平均数、众数与中位数的角度进行分析即可； （3）利用该校九年级学生总人数乘以成绩为B等级的人数所占的百分比即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 由男生的频数统计表可知，， ∵男生完成的个数为A等级的人数为18人，B等级的人数为11人，且， ∴将男生完成的个数从高到低进行排序后，第20个数为79，第21个数为78， ∴． （2）解：我认为该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异，理由如下： 男生和女生成绩的平均数相等，但男生成绩的中位数和众数均大于女生的，所以该校九年级的男生“开合跳”成绩更优异． （3）解：女生成绩为B等级的人数为（人）， 则（人）， 答：估计九年级“开合跳”个数是B等级的人数为540人． 19．（2026·安徽·模拟预测）某县组织全县3800名教师开展“人工智能，融合创新”知识测试，从中随机抽取名教师的测试成绩作为样本进行如下分组： 组别 整理样本数据，绘制样本数据的频数直方图，部分信息如下： (1)______，若画出样本数据的扇形统计图，组对应的扇形的圆心角度数为； (2)已知该县某中学参赛的名数学老师的成绩为：，，，，，，，，，，求这名数学老师的成绩的中位数和平均数； (3)根据样本数据，请你估计该县这次测试成绩在分以上（含分）的教师人数． 【答案】(1)， (2)中位数为分，平均数为分 (3)估计该县这次测试成绩在分以上（含分）的教师人数约为人 【分析】（1）根据减去、、、组的频数，即可求得的值，用组的频率乘以，即可求解； （2）根据中位数与平均数的定义，即可求解； （3）用样本估计总体，用组的占比乘以，即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得，， A组对应的扇形的圆心角度数为 （2）名数学老师的成绩从小到大排列为：，，，，，，，，，， ∴中位数为分，平均数为分； （3）， 答：估计该县这次测试成绩在90分以上（含90分）的教师人数约为380人． 2 学科网（北京）股份有限公司 $