4.3 数据的分类 课件 2025-2026学年湘教版八年级数学下册

第4章 数据的分析 4.3 数据分类 ÷ 八年级下册数学（湘教版） 设一组数据为 x1，x2，…，xn，各个数据与平均数　 之差的平方和，称为这组数据的离差平方和，记作 S2. 即 2. 方差的概念 各个数据与平均数　 之差的平方的平均值，称为这组数据的方差，记作 s2. 即 1. 离差平方和的概念： 复习导入 某田径队10名运动员跳远的最好成绩如下： 编号 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥ ⑦ ⑧ ⑨ ⑩ 成绩/m 5.85 6.13 6.11 6.01 5.91 6.19 5.81 5.84 6.22 5.98 教练组拟根据这组数据将队员分为两组进行分层训练，应当如何划分呢？ 一种划分的方法是，使得每一组的数据比较稳定，即每一组数据的组内差异小，组间差异大. 1 数据分类 探究新知 一般地，设一组数据为 x1，x2，…，xn，它的平均数为 ，离差平方和为 S2. 如果把这组数据分为两组，前 m 个数据为第一组，后 (n－m) 个数据为第二组，第一组的平均数记作 ，第二组的平均数记作 ， 令 知识要点 其中 为组内离差平方和，反映承两个组内数据的离散程度， 为组间离差平方和，反映了两组数据之间的差异程度. 数学上已经证明 ＝＋. x1，x2，…，xm，xm+1，xm+2，…，xn m个 (n－m)个 平均数 平均数 将上述 10 名运动员跳远的最好成绩的数据从小到大排列，得 5.81，5.84，5.85，5.91，5.98，6.01，6.11，6.13，6.19，6.22. 于是可以尝试把前 5 个数据作为第一组，后5个数据作为第二组，且将第一组数据的平均数记作 ，第二组数据的平均数记作 ，将这10个数据的平均数记作 . 观察上述数据，前 5 个数据相差不多，后 5 个数据也相差不多. 5.81，5.84，5.85，5.91，5.98， 6.01，6.11，6.13，6.19，6.22. = (5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.91 + 5.98) = 5.878， = ( 6.01 + 6.11 + 6.13 + 6.19 + 6.22) = 6.132， = ( 5.81 + 5.84 + 5.85 + 5.91 + 5.98 + 6.01 + 6.11 + 6.13 + 6.19 + 6.22) = 6.005. = (5.81 - 5.878)² + (5.84 - 5.878)² + (5.85 - 5.878)² +(5.91 - 5.878)² + (5.98 - 5.878)²+(6.01 - 6.132)² +(6.11 - 6.132)²+(6. 13 - 6.132)²+(6.19 - 6.132)² +(6.22 - 6.132)² = 0.04476. 组间离差平方和 为 因此组间离差平方和 为 = 5×(5.878 - 6.005)² + 5×(6.132 - 6.005)² = 0.16129. S2 = (5.81 - 6.005)² + (5.84 - 6.005)²+(5.85 - 6.005)² +(5.91 - 6.005)²+(5.98 - 6.005)²+(6.01 - 6.005)² +(6.11 - 6.005)²+(6.13 - 6.005)²+(6.19 - 6.005)² +(6.22 - 6.005)² = 0.206 05. 于是 又 在大数据分析中，数据的分组是重要的方法之一.虽然可以有多种方法对数据进行分组，但是，使得“组内离差平方和最小”的方法是最传统的，也是 非常合理的. 思考：上述分组符合“组内离差平方和最小”的原则吗? 按照组内离差平方和最小的原则，应保证跳远最好成绩相差不多的运动员在一个组.将从小到大排列后的 10 个数据依次分为两组，有下面 9 种情况： 对上面的分组，可以利用计算机设计算法、编写程序，然后依次计算组内 离差平方和(前面已经计算出第一组、第二组各5个数据的组内离差平方和), 得到下表(结果保留四位小数): 第一组 1 个数据，第二组 9 个数据； 第一组 2 个数据，第二组 8 个数据； ···； 第一组 9 个数据，第二组 1 个数据. 分组情况 组内离差平方和 第一组1个，第二组9个 0.163 8 第一组2个，第二组8个 0.125 1 第一组3个，第二组7个 0.079 8 第一组4个，第二组6个 0.051 0 第一组5个，第二组5个 0.044 8 第一组6个，第二组4个 0.040 7 第一组7个，第二组3个 0.074 8 第一组8个，第二组2个 0.106 1 第一组9个，第二组1个 0.154 7 计算结果表明，将排序后的前 6 个数据分为一组，后 4 个数据分为另一组， 可以使组内离差平方和最小. 即应将编号为 ①④⑤⑦⑧⑩的运动员分为一组， 其他运动员为另一组进行分层训练.通过数据也可以看到，这样的分组是合理的. 【归纳总结】 数据分组的步骤： ①数据排序：从小到大排列原始数据； ②确定切割点：在排序后数据的间隔处分组 [n 个数据有 (n－1) 个间隔]； ③计算比较：对每个切割点计算组内离差平方和，选择组内离差平方和最小对应的分组. 例1 10 个城市某月的每日最高温度的平均数(简称平均高温)如表所示. 城市 北京 石家庄 呼和浩特 哈尔滨 上海 广州 海口 成都 贵阳 昆明 平均高温/℃ 3 3 －3 －11 10 21 22 12 9 17 根据平均高温的组内离差平方和最小的原则，把这10个城市分为两组. 解：将表中的数据按从小到大排列，可得 -11 -3 3 3 9 10 12 17 21 22 将它们分成两组共有 9 种情况，利用计算器或信息技术工具，分别计算组内离差平方和(结果保留小数点后一位)，如表所示. 分组 第一组离差平方和 第二组离差平方和 组内离差平方和 第1个间隔 0 584.2 584.2 第2个间隔 32 380.9 412.9 第3个间隔 98.7 285.7 384.4 第4个间隔 132 158.8 290.8 第5个间隔 228.8 113.2 342 第6个间隔 308.8 62 370.8 第7个间隔 397.4 14 411.4 第8个间隔 562 0. 5 562.5 第9个间隔 789.6 0 789.6 观察最后一列组内离差平方和可以发现， 当第 4 个间隔分组时，组内离差平方和最小， 因此，按组内离差平方和最小的分法为 {北京，石家庄，呼和浩特，哈尔滨} 和{上海，广州，海口，成都，贵阳，昆明}. 数据的分组 组内离差平方和 组间离差平方和 分组原则 课堂小结 1. 已知一组数据：3， 10， 1， 20. (1)将数据从小到大排序为： ； (2)按“第一个间隔”分组(即切割点在数字 ⁠ 和 之间)，计算组内离差平方和为 ； (3)按“第二个间隔”分组(即切割点在数字 ⁠ 和 之间)，计算组内离差平方和为 ； 1，3，10，20　 1　 3　 146　 3　 10　 52　 课堂练习 (5)按“第 个间隔”分组，组内离差平方和 最小. 三　 1. 已知一组数据：3， 10， 1， 20. (4)按“第三个间隔”分组(即切割点在数字 ⁠ 和 之间)，计算组内离差平方和为 ； 10　 20　 2. 已知6名学生的成绩为 70， 75， 80， 85， 90， 95(单位：分). 将数据分为两组，使组内离差平方和最小化(即组内 成绩差异最小)，计算最小组内离差平方和(保留 1 位小数). 解：最小组内离差平方和为 100.0，对应切割点在 80 和 85 之间，数据分组为 {70，75，80} 和 {85， 90，95}. 解：最小组内离差平方和为 100.0，对应切割点在 80 和 85 之间，数据分组为 {70，75，80} 和 {85， 90，95}. $