精品解析：吉林榆树市弓棚镇中学校等校2025-2026学年度第二学期5月阶段学情自测九年级数学

2025-2026学年度第二学期5月份月考九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数的加法法则的应用，利用数轴判断数的大小是解题关键． 根据有理数加法法则判断出为负数，且绝对值大于，即可判断答案． 【详解】解：，且， ，且， ∴b的值可以是，D选项同符合题意，A、B、C不符合题意， 故选：D． 2. 长春市农博产业园占地2150000平方米，数字2150000用科学记数法表示为（　　）A．21.5×105 B．2.15×105 C．2.15×106 D．0.215×107 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法是指：a×，且，n为原数的整数位数减一．根据表达方式即可得出答案． 【详解】，故选C． 【点睛】本题主要考查的是利用科学记数法表示较大的数，属于基础题型．明确科学记数法的方法是解决这个问题的关键． 3. 班长对班级一周的小组平时表现得分进行汇总，其成绩（分）分别为：87，90，90，92，93，后来班长发现每组都少加了3分，每组补加3分后，这五组新成绩的以下数据特征不变的为（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 【答案】D 【解析】 【分析】当一组数据中每个数据都加上同一个常数时，只有反映数据波动程度的方差不发生改变，可通过计算各统计量推导结论． 【详解】解：将这组数87，90，90，92，93，加3后，新数据：90，93，93，95，96， 众数发生了改变，原数据众数为90，现数据众数为93； 中位数发生了改变，原数据中位数为90，现数据中位数为93； 平均数发生了改变，原数据平均数为90.4，现数据平均数为93.4； 方差不变，原数据方差为4.24，现数据方差为4.24． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据同底数幂的乘除法运算法则、合并同类项、幂的乘方运算法则逐项排查即可． 【详解】解：A. ，所以本选项计算错误，不符合题意； B. ，所以本选项计算错误，不符合题意； C.，所以本选项计算错误，不符合题意； D.，所以本选项计算正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了同底数幂的乘法和除法、合并同类项、幂的乘方等知识点，灵活运用相关运算法则是解题的关键． 5. 如图，图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的外角和及外角度数的计算，根据垂直的定义以及三角形内角和为，可以计算正边形的两个外角的度数，从而根据外角和为即可解出边数． 【详解】解：将残缺的两边、延长，两者交于一点，如图所示 由可知该交点处夹角为， 根据三角形内角和为，剩余两个锐角和为，这两个锐角正好是正边形的两个外角， ∴正边形每个外角为， 任意多边形的外角和恒为， ∴边数 ． 6. 在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图，解决本题的关键是熟悉几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，也考查了等腰三角形的判定和平行四边形的性质． 直接利用作图痕迹可直接判断①②④；结合平行四边形的性质以及角平分线的定义可判断②． 【详解】解：①由作图可知，，因此是等腰三角形，故本项符合题意； ②由作图可知，，因此得不出是等腰三角形，故本项不符合题意； ③由作图可知，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴是等腰三角形， 故本项符合题意； ④由作图可知，，因此得不出是等腰三角形，故本项不符合题意； 故选：B． 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】连接，过点作，垂足为，可构造直角三角形，利用垂径定理和勾股定理即可得答案．本题考查垂径定理及推论、矩形性质，掌握垂径定理和勾股定理是解题关键． 【详解】解：过点作，垂足为，连接， 四边形是矩形， ． 设， 则，， 在直角三角形中，， 即， 解得，即球的半径为5． 故选：B． 8. 如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上与双曲线恰好交于的中点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N，证明△ABM≌△BCN，可得BN=AM=2a，CN=BM=a，所以点C坐标为（2a，a），BC的中点E的坐标为（a，1.5a），把点E代入双曲线可得a的值，进而得出S△ABO的值． 【详解】如图，过点B作x轴的平行线，过点A，C分别作y轴的平行线，两线相交于M，N， ∵四边形ABCD为正方形， ∴∠ABC=90°，AB=BC， ∴∠ABM=90°-∠CBN=∠BCN， ∵∠M=∠N=90°， ∴△ABM≌△BCN（AAS）， ∵OB=2OA， ∴设OA=a，OB=2a， 则BN=AM=2a，CN=BM=a， ∴点C坐标为（2a，a）， ∵E为BC的中点，B（0，2a）， ∴E（a，1.5a）， 把点E代入双曲线得1.5a2=18，a2=12， ∴S△ABO=a•2a=12， 故选：C． 【点睛】此题考查反比例函数k的几何意义，三角形全等的判定和性质，解题的关键是构造全等三角形表示出点E的坐标． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据零指数幂的运算法则及负指数幂的运算法则即可解答．本题考查了零指数幂的运算法则及负指数幂的运算法则，有理数的加法运算法则，掌握零指数幂的运算法则及负数指数幂的运算法则是解题的关键． 【详解】解：, 故答案为． 10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 【答案】## 【解析】 【分析】此题考查了一元二次方程的根的判别式．根据判别式的意义得到，然后解不等式即可． 【详解】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根， ， 解得． 故答案为：． 11. 如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆周角定理可得，再根据等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理可得，由此即可得． 【详解】是的直径， ， ， ， 是等腰直角三角形，， ， 则的半径长为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了圆周角定理、等腰直角三角形的判定与性质、勾股定理，熟练掌握圆周角定理是解题关键． 12. 如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】由平移性质可知，，则四边形是平行四边形，又，则有四边形是矩形，根据同角的余角相等可得，从而证明，由性质得，设，则，，则，解得：，故有，，得出即可求解． 【详解】如图，过作轴于点，则， 由平移性质可知：，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 设，则，， ∴，解得：， ∴，， ∴， ∵点在第四象限， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质、平移的性质，同角的余角相等等知识点，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 13. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为_____________ 【答案】3 【解析】 【详解】∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°， ∵AB=10，D为AB中点， ∴DF=,AB=AD=BD=5， ∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠DFB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴,即， 解得：DE=8， ∴EF=DE−DF=3， 故填：3. 点睛:这道题用到的知识点有相似三角形的判定与性质, 平行线的判定, 直角三角形斜边上的中线, 根据直角三角形斜边上中线是斜边的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，结合角平分线可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，进而可得DE=8，由EF=DE-DF可得答案． 14. 如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号） ①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=． 【答案】①②④ 【解析】 【分析】连接OM，由切线的性质可得，继而得，再根据平行线的性质以及等边对等角即可求得，由此可判断①；通过证明，根据相似三角形的对应边成比例可判断②；求出，利用弧长公式求得的长可判断③；由，，，可得，继而可得，，进而有，在中，利用勾股定理求出PD的长，可得，由此可判断④． 【详解】解：连接OM， ∵PE为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即AM平分，故①正确； ∵AB为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴的长为，故③错误； ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，，， ∴， 又∵， ∴， 设，则， ∴， 在中，， ∴， ∴， 由①可得， ， 故④正确， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查了切线的性质，平行线分线段成比例定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理等，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【详解】原式， 当时，原式． 16. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，解题的关键是掌握列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比． （1）直接利用概率公式求解，即可求得答案； （2）首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与正好客厅灯和走廊灯同时亮的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【小问1详解】 解：小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是：； 【小问2详解】 解：画树状图得： 共有6种等可能的结果，正好客厅灯和走廊灯同时亮的有2种情况， 正好客厅灯和走廊灯同时亮的概率是：． 17. 在数学课上，同学们分组讨论解决下列问题的方法． 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？ 【答案】共有15辆车，39人 【解析】 【分析】设共有辆车，找准等量关系：人数是定值，列一元一次方程可解此题． 【详解】解：设共有辆车，依题意得 答：共有15辆车，39人． 【点睛】考查了一元一次方程的应用，找准等量关系是解此题的关键． 18. 如图，平行四边形满足，延长至点E使得，延长至点F使得，连接．点G为射线上异于点C的一点，连接交于点H． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为40，，则_____． 【答案】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，，， ∵，， ∴，， ∴， 又∵ ， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴ ， ∴四边形是菱形； （2）12 【解析】 【分析】（1）先证明四边形是平行四边形，再证出即可求证； （2）过作于点，根据平行四边形和菱形的性质得到为等腰三角形，由三线合一的性质得到 ，再根据面积求出菱形的高，最后根据勾股定理求出的长即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 过作于点， ∵，，四边形是菱形； ∴ ， ∵， ∴, ∵， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∴ 为等腰三角形， ∵， ∴ ， ∵四边形的面积为40， ∴由题可知四边形的面积为80， ∴菱形的高为 ， 在中 ， ∴ ． 19. 如图是由小正方形组成的的网格，的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法． （1）在图1中的上画出的高线； （2）在图2中的上找出一点E，画线段，使将分成面积比为两部分； （3）在图3中的上找一点F，画，使得． 【答案】（1）详见解析 （2）详见解析 （3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分和等腰三角形的三线合一，作的中点即可； （2）根据矩形的对角线的互相平分，找到的三七分点，再连线； （3）先判断，利用格点找到T点，连接(使)交 于点F，即可得解． 【小问1详解】 如图：即为所求； 【小问2详解】 如图：在线段上截取，则， ∴与的面积比即为， ∴即为所求； 【小问3详解】 如图：F点即为所求，是公共角，所以， 又因为，所以． 【点睛】本题考查了作图的应用和设计，掌握等腰三角形的性质和网格中的垂直作图规则是解题的关键． 20. 综合与实践： 【问题情境】随着“乙类乙管”等疫情防控政策的优化实施，各地旅游景区全面复苏，迎来大批游客．某市积极推出了一系列具有地方民俗特色的文化旅游消费活动，拉动旅游消费再创新高．某校一个数学兴趣小组准备进行一个疫情后本市旅游业发展现状与前景预测的调研． 【收集数据】该兴趣小组成员从网上搜查资料，了解到有相关部门在第一季度对每周来本市旅游的人数进行了统计，数据如下表： 周次x 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周 第七周 第八周 来访旅客量y（万人次） 8 11 12 11 15 17 18 20 【整理数据】如图（1），根据统计表中的数据，他们建立以周次为横坐标，来访旅客量为纵坐标的平面直角坐标系，并将表格中的数据描绘在平面直角坐标系中．他们发现这些数据大致分布在直线某部分的附近，这条直线可近似地反映来该市旅游的人数变化趋势． 另外该兴趣小组在本市各个景区随机对来访旅客游玩天数的调查中，得到如图（2）所示的统计图． 【问题解决】请你基于上述数据整理的信息解答下列问题： （1）这8周每周来访旅客的平均人数有______万人； （2）求平均每周到访该市只游玩一天的游客人数； （3）请你通过计算估计第9周来访的旅客量约是多少万人？（精确到0.1） 【答案】（1）14 （2）2.8万人 （3）估计第9周来访的旅客量约是21.7万人 【解析】 【分析】（1）根据平均数的概念求解即可； （2）根据游玩一天所占的百分比求解即可； （3）将代入求解即可． 【小问1详解】 ， ∴这8周每周来访旅客的平均人数有14万人， 故答案为：14； 【小问2详解】 万人 答：平均每周到访该市只游玩一天的游客人数为2.8万人； 【小问3详解】 由题意可得，当时， ， 答：估计第9周来访的旅客量约是21.7万人． 【点睛】此题考查了统计图和扇形统计图，求一次函数值等知识，解题的关键是熟练掌握以上知识点． 21. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．折线表示的是蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）之间的关系． （1）剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米； （2）求段函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？ 【答案】（1）150 （2） （3）160千米 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，涉及待定系数法求一次函数的解析式， 根据函数图像求解即可； 利用待定系数法求的线段的函数解析式，结合图像可知其自变量的取值范围； 结合图像可知汽车剩余电量为30千瓦时符合线段的函数解析式，代入求解即可． 【小问1详解】 解：由图像可知，剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为150千米 故答案为：150； 【小问2详解】 解：设段的函数解析式为， 将点和代入解析式得：，解得： 段的函数解析式为； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：． 即该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是160千米． 22. 综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． （1）请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； （2）“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； （3）“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 【答案】（1）等边 （2）；证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据圆周角定理可得对应的圆周角为，即、，说明为等边三角形即可； （2）如图，在上截取，连接，先说明为等边三角形可得，，，进而证明可得，最后根据等量代换即可解答； （3）如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，，根据题意可得，然后说明是三角形的中位线，进而得到；再根据中点的定义可得，利用勾股定理可得，最后根据线段的和差即可解答． 【小问1详解】 解：， 对应的圆周角为， ，， ， 为等边三角形． 故答案为：等边． 【小问2详解】 解：如图，在上截取，连接， ， 为等边三角形， ，，， ， ， 在和中， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【小问3详解】 解：根据题意可知，如图：的轨迹是以为直径的圆，设圆心为，连接，过作于，过作，， ，， ， ， 是的中点， 是三角形的中位线， 为的中点， ， 又是的中点， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了圆周角定理、等边三角形的判定与性质、勾股定理、三角形中位线等知识点，灵活运用相关知识成为解答本题的关键． 23. 如图，在中，，，，M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长度的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边，使它和在射线BC的同侧，点P，Q同时出发，点P返回到点M时终止运动，点Q也随之停止，设点P，Q运动时间是t秒． （1）当________秒时，点E刚好落在边AD上． （2）当时，求与重叠部分面积． （3）随着时间t的变化，的外心是否一直在内部？如果在，请说明理由；如果不在，直接写出的外心在外部时t的取值范围． 【答案】（1）3；（2）或；（3）不在，当的外心在外部时，＜t≤8 【解析】 【分析】（1）连接EM，过点B作BF⊥AD于F，根据等边三角形的性质证得EM⊥PQ，∠EPQ=60°，再根据平行四边形的面积公式求得BF，进而解直角三角形求出PM即可求解； （2）分两种情况：当点P未返回时；当点P返回时，分别求解即可； （3）△EPQ的外心不会一直在的内部，求出外心刚好落在CD上时的t值即可解答． 【详解】解：（1）连接EM，过点B作BF⊥AD于F，如图1， 由题意，MP=MQ， ∵△EPQ是等边三角形， ∴EM⊥PQ，∠EPQ=60°， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴BF=EM，∠BCD=∠A， ∵，， ∴BF=，即EM=， ∴PM==3，即t=3， 故答案为：3； （2）当PM=2时，由题意知，分两种情况， 当点P未返回时，如图2，则PQ=2PM=4， 连接EM，则EM⊥PQ，∠EPQ=60°， ∴EM=PM·tan60°=， ∴==； 当点P返回时，如图3，则PQ=PM+MQ=8， 过点E作EN⊥BC于N，过D作DK⊥BC于K，设PE交AD于H， 则PN=PQ=4，EN=PN·tan60°=，DK=， ∴CN=PM+MC﹣PN=2+4﹣4=2， ∵∠BCD=∠A， ∴tan∠BCD=， ∴CK=2，即点N、K重合，EN经过点D， ∴ED=EN﹣DN= ， ∵AD∥BC， ∴ED⊥AD，∠EHD=∠EPQ=60°， ∴DH= =1， ∴， 综上，当PM=2时，与重叠部分面积为或； （3）不在，当的外心在外部时， 设的外心为G，当外心G刚好落在CD上时，如图4， 连接EG、PG并延长，分别交BC于N，交EQ于H， 则EN⊥PQ，PN=NQ=PQ， ∵PM=8﹣t，MQ=t， ∴PQ=8，PN=NQ=4， ∴GN==， ∴CN==， ∴t=MQ=MC+CQ=4+4﹣=， 又t≤4+4=8， ∴当的外心在外部时，t的取值范围为＜t≤8． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、等边三角形的性质、平行线的性质、锐角的三角函数、三角形的面积公式、梯形的面积公式、三角形的外心等知识，熟练掌握相关知识的性质及应用，正确利用数形结合和分类讨论思想解决问题是解答的关键． 24. 在平面直角坐标系中，点，，，连接OA，AB，抛物线，顶点P在折线段上运动．（点P不与点O，B重合） （1）当点P落在点A处时，求抛物线的解析式． （2）当点P落在OA上时， ①当抛物线经过，求b的值； ②当抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D，当时，求c的值． （3）若抛物线与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧），当时，直接写出b的取值范围． 【答案】（1） （2）①；② （3）或 【解析】 【分析】（1）求出抛物线的顶点坐标为，且与重合，可列方程组求解即可； （2）①求出，得抛物线解析式，把代入整理得，解方程可得解； ②求出到的垂直距离为，得，把代入求出，从而可求出； （3）运用待定系数法求出直线的解析式为，设顶点的坐标为，抛物线解析式写成顶点式为，求出，得，根据得，分和两种情况讨论求解即可． 【小问1详解】 解：抛物线的顶点坐标为， 当顶点在上时，有， 解得， 所以，抛物线的解析式为： 【小问2详解】 解：①∵，， ∴直线的解析式为， ∴顶点， ∴， ∴， ∴， ①当抛物线经过时，， 整理得， 解得：, ∵点在线段上，， 得， 所以，符合； ②当抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D， ， ∴ ∴， ∴， 又顶点，的中点为， ∴到的垂直距离为， ∵， ∴， 将代入得：， 解得：， ∴ 【小问3详解】 解：设直线的解析式为， 把，代入得， 解得， ∴直线的解析式为， 设顶点的坐标为 ∴抛物线解析式写成顶点式为， 令，得， ∴，， 的正切值为顶点纵坐标与M到顶点水平距离的比值，即， 当时，，即， 当P在上时，，因此， 又，得； 当P在上时，， ∴，解得， 又，得， 综上，的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期5月份月考九年级数学 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 实数在数轴上对应点的位置如图，若实数满足，则的值可以是（ ） A. 1 B. 0 C. D. 2. 长春市农博产业园占地2150000平方米，数字2150000用科学记数法表示为（　　）A．21.5×105 B．2.15×105 C．2.15×106 D．0.215×107 3. 班长对班级一周的小组平时表现得分进行汇总，其成绩（分）分别为：87，90，90，92，93，后来班长发现每组都少加了3分，每组补加3分后，这五组新成绩的以下数据特征不变的为（ ） A. 众数 B. 中位数 C. 平均数 D. 方差 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，图中表示被撕掉一块的正边形纸片，若，则的值是（ ） A. 5 B. 7 C. 8 D. 10 6. 在中，用尺规作图作等腰，下列作图正确的是（ ） ① ② ③ ④ A. ①② B. ①③ C. ③④ D. ②④ 7. 把球放在长方体纸盒内，球的一部分露出盒外，其截面如图所示，已知，那么球的半径长是 A. 4 B. 5 C. 6 D. 8 8. 如图，正方形的顶点，分别在轴和轴上与双曲线恰好交于的中点，若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 12 D. 16 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 计算：__________． 10. 关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是_____． 11. 如图，四边形是的内接四边形，对角线是的直径，，，则的半径长为_______． 12. 如图，点，，将线段平移得到线段，若，，则点的坐标是_____． 13. 如图，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于点F，D为AB的中点，连接DF延长交AC于点E．若AB=10，BC=16，则线段EF的长为_____________ 14. 如图AB为⊙O的直径，点P为AB延长线上的点，过点P作⊙O的切线PE，切点为M，过A、B两点分别作PE垂线AC、BD，垂足分别为C、D，连接AM，则下列结论正确的是______（写所有正确论的号） ①AM平分∠CAB；②；③若AB=4，∠APE=30°，则的长为；④若AC=3BD，则有tan∠MAP=． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中． 16. 小晗家客厅里装有一种三位单极开关，分别控制着A（楼梯）、B（客厅）、C（走廊）三盏电灯.在正常情况下，小晗按下任意一个开关均可打开对应的一盏电灯，既可三盏、两盏齐开，也可分别单盏开.因刚搬进新房不久，不熟悉情况. （1）若小晗任意按下一个开关，正好客厅灯亮的概率是___________. （2）若任意按下其中的两个开关，则正好客厅和走廊灯同时亮的概率是多少？请用树状图或列表法加以说明. 17. 在数学课上，同学们分组讨论解决下列问题的方法． 《孙子算经》中有这样一个问题：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人和车各几何？”这个题的意思是：今有若干人乘车．若每3人乘一辆车，则余2辆空车；若每2人乘一辆车，则余9人需步行，问共有多少辆车，多少人？ 18. 如图，平行四边形满足，延长至点E使得，延长至点F使得，连接．点G为射线上异于点C的一点，连接交于点H． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，四边形的面积为40，，则_____． 19. 如图是由小正方形组成的的网格，的三个顶点A、B、C均在格点上，请按要求在给定的网格中，仅用无刻度的直尺，分别按下列要求作图，保留作图痕迹，不写画法． （1）在图1中的上画出的高线； （2）在图2中的上找出一点E，画线段，使将分成面积比为两部分； （3）在图3中的上找一点F，画，使得． 20. 综合与实践： 【问题情境】随着“乙类乙管”等疫情防控政策的优化实施，各地旅游景区全面复苏，迎来大批游客．某市积极推出了一系列具有地方民俗特色的文化旅游消费活动，拉动旅游消费再创新高．某校一个数学兴趣小组准备进行一个疫情后本市旅游业发展现状与前景预测的调研． 【收集数据】该兴趣小组成员从网上搜查资料，了解到有相关部门在第一季度对每周来本市旅游的人数进行了统计，数据如下表： 周次x 第一周 第二周 第三周 第四周 第五周 第六周 第七周 第八周 来访旅客量y（万人次） 8 11 12 11 15 17 18 20 【整理数据】如图（1），根据统计表中的数据，他们建立以周次为横坐标，来访旅客量为纵坐标的平面直角坐标系，并将表格中的数据描绘在平面直角坐标系中．他们发现这些数据大致分布在直线某部分的附近，这条直线可近似地反映来该市旅游的人数变化趋势． 另外该兴趣小组在本市各个景区随机对来访旅客游玩天数的调查中，得到如图（2）所示的统计图． 【问题解决】请你基于上述数据整理的信息解答下列问题： （1）这8周每周来访旅客的平均人数有______万人； （2）求平均每周到访该市只游玩一天的游客人数； （3）请你通过计算估计第9周来访的旅客量约是多少万人？（精确到0.1） 21. 蓄电池发展水平是制约新能源汽车发展的关键要素．小明爸爸根据自家电动汽车仪表显示，感觉蓄电池充满电后，用前半部分电量所行驶的路程，总要比用后半部分电量行驶的路程更远一些．折线表示的是蓄电池剩余电量y（千瓦时）和已行驶路程x（千米）之间的关系． （1）剩余电量为35千瓦时时，汽车已行驶的路程为______千米； （2）求段函数解析式，并写出自变量x的取值范围． （3）该汽车剩余电量为30千瓦时时，已行驶的路程是多少？ 22. 综合与实践 数学活动课上，老师出示了一个问题：如图，已知三只蚂蚁A、、在半径为的上静止不动，第四只蚂蚁在上的移动，并始终保持． （1）请判断的形状；“数学希望小组”很快得出结论，请你回答这个结论：是______三角形； （2）“数学智慧小组”继续研究发现：当第四只蚂蚁在上的移动时，线段、、三者之间存在一种数量关系：请你写出这种数量关系：______，并加以证明； （3）“数学攀峰小组”突发奇想，深入探究发现：若第五只蚂蚁同时随着蚂蚁的移动而移动，且始终位于线段的中点，在这个运动过程中，线段的长度一定存在最小值，请你求出线段的最小值是______（不写解答过程，直接写出结果）． 23. 如图，在中，，，，M是BC的中点，点P从点M出发沿MB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动，到达点B后立刻以原速度沿BM返回；点Q从点M出发以每秒1个单位长度的速度在射线MC上匀速运动，在点P，Q的运动过程中，以PQ为边作等边，使它和在射线BC的同侧，点P，Q同时出发，点P返回到点M时终止运动，点Q也随之停止，设点P，Q运动时间是t秒． （1）当________秒时，点E刚好落在边AD上． （2）当时，求与重叠部分面积． （3）随着时间t的变化，的外心是否一直在内部？如果在，请说明理由；如果不在，直接写出的外心在外部时t的取值范围． 24. 在平面直角坐标系中，点，，，连接OA，AB，抛物线，顶点P在折线段上运动．（点P不与点O，B重合） （1）当点P落在点A处时，求抛物线的解析式． （2）当点P落在OA上时， ①当抛物线经过，求b的值； ②当抛物线与y轴交于点C，过点C作轴交抛物线于点D，当时，求c的值． （3）若抛物线与x轴交于M，N两点（点M在点N的左侧），当时，直接写出b的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $