吉林长春市第五十六中学校等校2025-2026学年度九年级下学期5月阶段学情自测数学试题

**基本信息** 聚焦核心素养，融合智能机器人、风力发电等现实情境，梯度设计考查代数几何综合能力，适配九年级月考复习需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|8/24|实数、视图、一次函数图像等|第2题旋转几何体视图考查空间观念| |填空题|6/18|方差、二次函数平移、平行线性质|第12题方差变化结合图像考查数据意识| |解答题|10/78|分式化简、圆综合、二次函数综合|21题“伴随菱形”新定义考查创新意识，24题函数几何综合体现推理能力|

· 2025-2026学年度下学期5月份月考九年级数学试题 一、选择题（共8小题，每题3分，共24分） 1．（本题3分）如图，在数轴上表示的点A到原点的距离是（    ） A．-1.5 B．1.5 C． D． 2．（本题3分）如图，以直角三角形的斜边所在的直线为轴，将图形旋转一周，所形成的几何体的俯视图是（    ） A． B． C． D． 3．（本题3分）下列计算正确的是（ ） A．（ =; B．（=（; C． D．.+= 4．（本题3分）如图，点A、B、C顺次在直线l上，M是线段的中点，N是线段的中点，若想求出的长度，则只需条件（   ）． A． B． C． D． 5．（本题3分）在直角坐标平面内，一次函数的图象如图所示，那么下列说法正确的是（　　）    A．当时， B．方程的解是 C．当时， D．不等式的解集是 6．（本题3分）近年来，随着智能技术的发展，智能机器人已经应用于社会生活的各个方面．如图是一款智能送货机器人的侧面示意图，现测得其矩形底座的高为，上部显示屏的长度为，侧面支架的长度为，，，则该机器人的最高点距地面的高度为（    ） A． B． C． D． 7．（本题3分）如图，在菱形中，点是边上一点，连接，将沿折叠，点的对应点恰好为的中点，则的值为（   ） A． B． C． D． 8．（本题3分）如图，坐标原点为矩形的对称中心，顶点的坐标为，轴，矩形与矩形是位似图形，点为位似中心，点，分别是点，的对应点，．已知关于，的二元一次方程，是实数）无解，在以，为坐标（记为的所有的点中，若有且只有一个点落在矩形的边上，则的值等于（   ） A． B．1 C． D． 二、填空题（共6小题，每题3分，共18分） 9．（本题3分）计算：______． 10．（本题3分）已知 ，则 y x 的值为_____． 11．（本题3分）已知两边长分别为和的两个全等三角形，第三边的长都是不等式的正整数解，则这样的全等三角形有________对． 12．（本题3分）小丽进行投掷标枪训练，总共投掷10次，前9次标枪的落点如图所示，记录成绩（单位：m），此时这组成绩的平均数是，方差是．若第10次投掷标枪的落点恰好在线上，且投掷结束后这组成绩的方差是，则________（填“”、“”或“”）． 13．（本题3分）把抛物线向下平移3个单位，得到抛物线_________． 14．（本题3分）如图，直线，的平分线交直线b于点C，若，，则的度数是___________．    三、解答题（共78分） 15．（本题5分）先化简，再求值： ，其中． 16．（本题6分）如图，在课外体育锻炼中，甲、乙、丙三人做传球的游戏．开始时，球在甲手中，每次传球，持球的人将球等可能传给其余两人中的一人． (1)求事件“传球两次，球传回到甲的手中”的概率； (2)事件“传球三次，球传回到甲的手中”是否可能发生？若可能，求该事件的概率；若不可能，说明理由． 17．（本题5分）图1是一座风力发电机，图2是使用无人机测量该风力发电机塔筒高度（轮毂中心高度）的示意图．已知无人机在距塔筒水平距离的地面点处竖直升至点处悬停，点距离地面的高度为，在点处测得塔筒顶端的仰角为．求这座风电塔筒的高度（结果取整数）．（参考数据：，，） 18．（本题6分）如图，在中，，点D在BC边上，分别取AD，AB的中点E，F，连接CE，CF，EF．求证：． 19．（本题9分）毕业之际，九年级（3）班的家委会决定给同学们准备钢笔或笔记本留作纪念，已知每支钢笔的价格是每本笔记本价格的1.5倍，而且购买3本笔记本和2支钢笔共需48元． (1)求钢笔和笔记本的单价； (2)若家委会计划购买钢笔和笔记本共70份，设购买的钢笔数量为，购买笔记本和钢笔的总费用为元，求关于的函数表达式； (3)在（2）的条件下，商店对钢笔进行9折优惠，笔记本价格不变，且购买的总费用不超过620元，那么最多可以购买多少支钢笔？ 20．（本题8分）为增强学生的身体素质，教育行政部门规定学生每天参加户外活动的平均时间不少于1小时，为了了解学生参加户外活动的情况，学校对部分学生参加户外活动的时间进行了抽样调查，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请根据图中提供的信息解答下列问题： （1）本次调查中共调查了多少名学生？ （2）本次调查中户外活动时间为1.5小时的人数为______人，请补全条形统计图； （3）本次调查中户外活动时间的众数是______小时，中位数是______小时． 21．（本题9分）对于实数x，表示不小于x的最小整数，例如：，，点为第一象限中的点，将点P分别向上，向下平移个单位得到点，；将点P分别向左，向右平移个单位得到点，，我们称菱形叫做点P的伴随菱形．例如：点的伴随菱形是以点，，，构成的菱形． (1)在图中画出点的伴随菱形，该菱形的面积为___________； (2)若点的伴随菱形与点的伴随菱形恰有3个公共点，求满足条件的t的最小值； (3)若点与点所对应的伴随菱形面积相同，且点在函数的图象上，直接写出k的取值范围． 22．（本题9分）《教材呈现》如图①在中，，是斜边上的中线．求证：． 证明：延长至点，使，连接，， 请补充证明过程 《应用拓展》 (1)如图②，在中，为钝角，、是的两条高，点为的中点，连接、，若，则的度数是______． (2)如图③，在中，，，，点为的中点，点为上一点，连接，作交于点，则长的取值范围是______． 23．（本题9分）如图，内接于⊙为⊙O的直径，AD交BC于点E，且． (1)如图1，求证：AD平分； (2)如图2，点P为弧CD上一点，连接AP交BC于点F，过点P作⊙O的切线，交BC的延长线于点G，点H是PF的中点，求证：； (3)如图3，在（2）的条件下，连接DF，且，点R在CG上，连接交CH于点N，，求DE的长． 24．（本题12分）在平面直角坐标系中，点为坐标原点，抛物线经过、．已知点在抛物线上，横坐标为，将向右平移两个单位得到点，点坐标为，作点关于点对称点为点，点关于点对称点为点，当点、、不在同一条直线上，以、为边作． (1)求该抛物线对应的函数表达式； (2)求证：； (3)若线段被轴分成两部分，求的值； (4)点坐标为，连结、，当，直接写出的取值范围．（这里、、均是大于且小于的角） 1 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B C B B D D D 9． 10．-4 11． 12． 13． 14． 15． 解： ， 当时，原式． 16． （1）解：传球两次后的结果画树状图如下： 共4种等可能结果，其中传回给甲的有2种， 因此，“传球两次，球传回到甲的手中”的概率为； （2）解：该事件可能发生， 画树状图如下： 传球三次，共有8种等可能的结果，其中传回给甲的有2种， 因此，“传球三次，球传回到甲的手中”的概率为． 17． 解：如图， 由题意可知，，，， ∴四边形是矩形， ∴,， 在中， ， ∴， 答：这座风电塔筒的高度为． 18． 证明：，分别为的中点， ，，， ， ． 19． （1）设每支钢笔元，每本笔记本元．根据题意得： 解得， 答：每支钢笔12元，每本笔记本8元． （2）∵购买的钢笔数量为，则可得笔记本的人数为， ∴． （3）根据题意得，， 解得． 因为为整数， 所以的最大值为21． 答：最多可以购买21支钢笔． 【点睛】此题主要考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，关键是正确理解题意，找出等量关系，列出方程组和不等式． 20． 解：（1）调查的总人数是：（人， 答：本次调查中共调查了100名学生； （2）本次调查中户外活动时间为1.5小时的人数为：（人， 如图所示： ， 故答案为：30； （3）由条形统计图得出参加户外活动1小时的人数最多， 本次调查中户外活动时间的众数是1小时， 按大小排列后100个数据的中间是第50和第51个数据的平均数， 而第50和第51个数据都是1小时， 中位数是1小时． 故答案为：1，1． 21． （1）如图，菱形是点的伴随菱形，面积． 故答案为：4． （2）如图中，当时，点的伴随菱形与点A的伴随菱形有3个公共点． ∴t的最小值为． （3）∵点的伴随菱形面积， ∴点的伴随菱形面积， ∴， ∴， ∴满足条件的点在第一象限， ∵点D在上， ∴， ①当，时， 由，可得， ∴， ∵， ∴， ∴； ②当，时， 同法可得，，， ∴，解得； ③当，时， 同法可得，， ∴， ∵， ∴； 综上所述，满足条件的k的值为：或或． 22． （1）证明：延长到，使，连接，， 则， 是斜边上的中线， ， 四边形是平行四边形， ， 是矩形， ， ； 《应用拓展》 ∵在中，为钝角，、是的两条高，， ∴，， ∵点为的中点， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． （2）解：在中，，，， 设，则， ∴， ∴， ∴， 当点与重合时，， ∴， ∵是的中点， ∴， ∴， 即； 当点与点重合时，如图所示，过点作于点， 在中，， 设，则 ∴， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， 即， 解得： ， ∴， ∴． 故答案为：． 23． （1）证明：如图1，连接，， ∵为⊙的直径，交于点E，且， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∵， ∴平分； （2）证明：连接， ∵是圆O的切线， ∴， ∴， 即， ∵为⊙的直径，交于点E，且， ∴， ∴， ∴ ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点H是的中点， ∴； （3）解：连接，延长交于点M，交于点T， ∵，为⊙的直径， ∴， ∴ ， ∵点H是的中点， ∴点M是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∵ ， ∴ ， ∴ ， ∴， ∵， ∴ ， ， ∴， ∴ ， ∴， ∴ ， ， ∵ ， ∵ ， ∴ ， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 24． （1）解：将点，代入，得， ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为； （2）证明：∵点由点向右平移两个单位得到， ∴， ∵点与点关于点对称，点与点关于点对称， ∴线段与线段关于点对称， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴； （3）解：设线段与轴的交点为点， ①当时，如图，作轴于点，作轴于点， ∵点在抛物线上，横坐标为， ∴点的坐标为， ∵点与点关于点对称， ∴点的坐标为， ∵轴，轴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得或， ∵点与点在轴两侧， ∴， ∴或， ∴； ②当时，如图，作轴于点，作轴于点， 同理①可得，， ∴， ∴， 解得或， ∵或， ∴， 综上所述，或； （4）解：如图，连接，将向右平移至处， 由平移的性质可得，，，，， ∴， ∵， ∴， ∴射线在内部， ∴点、在直线的同一侧，且点、在直线的同一侧， 由（2）可得，点，点， ∵点由点向右平移两个单位得到， ∴点， ∵点与点关于点对称， ∴点， ∴轴， ∵，且， 又∵点， ∴点， 当或时，、、三点共线，与题意不符；当时，、、三点共线，与题意不符， ∴，，， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得； 将代入，得； ∵点、在直线的同一侧， ∴ 整理，得， 两边同乘以，得， 当时，，，， ∴，符合题意； 当时，，，， ∴，不符合题意； 当时，，，， ∴，符合题意； 当时，，，， ∴，不符合题意； 综上，或， 设直线的函数解析式为， 将点，代入，得， ， 解得， ∴直线的函数解析式为， 将代入，得； 将代入，得； ∵点、在直线的同一侧， ∴ 整理，得， 解得或， 综上所述，的取值范围为或． 答案第16页，共16页 1 学科网（北京）股份有限公司 $