精品解析：吉林省长春市榆树市慧望初级中学2024-2025学年九年级下学期第一次月考数学试题

2024—2025学年度下学期九年级第一次月考测试题•数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 吉林省榆树市2025年3月18日最高气温为，最低气温为，则下列计算这天的最高气温比最低气温高的算式正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 由5个相同小正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 3. 去年春季，某校组织学生参加春耕插秧活动．在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做原理可以用下列哪个基本事实来描述（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A、、C在上，且．若，则的大小为（ ） A B. C. D. 6. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别交边、于点、，连结．下列说法错误的是（ ） A. 直线是的垂直平分线 B. C. D. 的面积与四边形的面积比为 8. 如图，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，轴于点，平移直线，使其过点，且与函数的图象交于．若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 写出一个与单项式是同类项的单项式______． 10. 计算：____． 11. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是______． 12. 若将抛物线向右平移（为正整数）个单位后与坐标轴只有两个交点，则这个抛物线的解析式为______（写出一个即可） 13. 如图，是半圆的直径，将半圆绕点逆时针旋转得到半圆，点的对应点为．若，则阴影部分图形的面积为______．（结果保留） 14. 如图，在正方形中，．点在边上，连结交对角线于点，过点作交边于点，连结、，过点作交于点．以下四个结论：①；②周长为4；③；④连结，则的最小值为．其中正确的结论是______（只填写序号） 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 16. 某校开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有三位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小玲随机抽取了两张卡片，用画树状图或列表的方法，求小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率． 17. 某超市计划购进、两类礼盒水果，已知用元购进类礼盒水果的盒数与用元购进类礼盒水果的盒数相同，类礼盒水果的单价比类礼盒水果的单价少20元，求类礼盒水果的单价． 18. 某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同．小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差，下表为小宇的作业． 解：． ． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 5 7 7 （1）______，______． （2）完成图中表示乙变化情况的折线． （3）①参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并判断甲、乙两人成绩哪位比较稳定． ②从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画四边形，使四边形为只是中心对称图形． （2）在图②中，画的高线． （3）在图③中，画四边形，使四边形为轴对称图形． 20. 如图，在中，，点为边中线上的一点，延长到点，使，顺次连结点、、、． （1）求证：四边形菱形． （2）若，，且，则菱形的周长为______． 21. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛同时点燃．甲蜡烛燃烧时剩余的长度与燃烧时间之间的函数图象如图所示．乙蜡烛点燃前的长度为24cm，1h时两根蜡烛剩余长度相同． （1）求甲蜡烛燃烧时剩余长度与燃烧时间之间的函数关系式． （2）在图中画出乙蜡烛燃烧时剩余的长度与燃烧时间之间的函数图象． （3）在两根蜡烛中，当其中一根燃烧完时，直接写出另一根蜡烛还剩余的长度． 22. 实践情境 数学综合与实践课上，如图①，老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）和一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、四只木工笔、小刀、橡皮、手工锯子． 实践任务 仅利用提供的工具将木板三等分，使原木板的宽作为等分后裁下木板的一边． 抽象模型 如图②，在矩形中，利用含的直角三角板和无刻度直尺，在上确定点，使点将分成两部分． 设计方案 小明利用图②设计了两种不同的裁剪方案． 方案一 步骤一：如图③，分别作，使与交于点，过点作于点，交边于点． 步骤二：如图④，擦去图③的、，连接交边于点，连接，交边于点，过点作，则为裁剪线． 方案二 步骤一：如图⑤，分别作，使与分别交于点、，、于点，过点作，分别交边、于点、点． 步骤二：如图⑥，擦去图⑤的、，…． 证明方案 任务一：（1）在图③中，是等边三角形的理论依据是______；是边的垂直平分线的理论依据是______． 任务二：（2）在图④中，求证：． 完善方案 任务三：（3）利用方案二中的图⑥，将步骤二补充完整，只利用无刻度直尺画出图形，保留作图痕迹，不要求写出作法． 23. 如图，在中，，，，点在边上，且点不与点重合，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连结，以、为邻边作． （1）连结，则的最小值为______． （2）当点在边上时，求的值． （3）当点落在的高线上时，求的长． （4）连结，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的长． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中、为常数）经过点，其顶点的横坐标为1．点在轴上方的抛物线上，其横坐标为，点的坐标为，连接并延长交该抛物线对称轴于点，连接，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当，且轴时，求点的坐标． （3）当点与点的纵坐标之和为0时，求的值． （4）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024—2025学年度下学期九年级第一次月考测试题•数学 本试卷包括三道大题，共24小题，共6页．全卷满分120分．考试时间为120分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，并将条形码准确粘贴在条形码区域内． 2．答题时，考生务必按照考试要求在答题卡上的指定区域内作答，在草稿纸、试卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共24分） 1. 吉林省榆树市2025年3月18日最高气温为，最低气温为，则下列计算这天的最高气温比最低气温高的算式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了有理数的减法在实际问题中的应用，解题的关键是理解“求最高气温比最低气温高多少”用减法运算，即最高气温减去最低气温． 根据“求一个数比另一个数高多少，用减法，即用较高的温度减去较低的温度”来分析各个选项． 【详解】解：已知最高气温为，最低气温为． 求最高气温比最低气温高多少，就是用最高气温减去最低气温，列式为． 故选：A． 2. 由5个相同的小正方体搭成的几何体如图所示，则它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据从左边看到的图形就是左视图即可得到答案． 【详解】从左边看第一列是两个小正方形，第二列是是一个小正方形， 故选：C 【点睛】本题考查了简单组合体的三视图，理解三视图的概念是解题的关键． 3. 去年春季，某校组织学生参加春耕插秧活动．在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理可以用下列哪个基本事实来描述（　　） A. 两点之间，线段最短 B. 两点确定一条直线 C. 垂线段最短 D. 经过一点有无数条直线 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了考查了直线的性质，要想确定一条直线，至少要知道两点．由直线公理可直接得出答案． 【详解】解：在插秧过程中，往往需要拉一条绳子插秧，这样做的原理是：两点确定一条直线． 故选：B． 4. 若，则下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据不等式的基本性质，对每个选项逐一分析判断．本题主要考查不等式的基本性质，熟练掌握“不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变”是解题关键． 【详解】解： 不等式两边加同一个数，不等号方向不变，，两边加 ，A选项错误． 不等式两边乘同一个正数，不等号方向不变，，两边乘 ，B选项错误． 不等式两边除以同一个正数，不等号方向不变，，两边除以 ，C选项错误． 不等式两边乘同一个负数，不等号方向改变，，两边乘 ，D选项正确． 故选：． 5. 如图，点A、、C在上，且．若，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理以及等腰三角形的性质，解题的关键是利用等腰三角形性质求出，进而得到，再根据圆周角定理求出． 先连接，利用等腰三角形性质求出，进而得出，最后根据圆周角定理求出． 【详解】解：连接， ， ， ， ， ， ． 故选：C． 6. 如图，某博物馆大厅电梯的截面图中，AB的长为12米，AB与AC的夹角为，则高BC是（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】A 【解析】 【分析】在Rt△ACB中，利用正弦定义，sinα=，代入AB值即可求解． 【详解】解：在Rt△ACB中，∠ACB=90°， ∴sinα=， ∴BC= sinαAB=12 sinα（米）， 故选：A． 【点睛】本题考查解直角三角形的应用，熟练掌握直角三角形边角关系是解题的关键． 7. 如图，在中，，分别以点A和点C为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于、两点，作直线分别交边、于点、，连结．下列说法错误的是（ ） A. 直线是的垂直平分线 B. C. D. 的面积与四边形的面积比为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图－基本作图，线段的垂直平分线的性质，三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 根据线段的垂直平分线的性质，直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理一一判断即可． 详解】解：由作图可知垂直平分线段，故选项A正确， ， ， ， ， ， ， ，故选项B正确， ， ，故选项C正确， 据三角形中位线的性质得到， ， 根据相似三角形的性质得到面积比， ， ， ， 的面积与四边形的面积比为，故选项D错误，符合题意． 故选：D． 8. 如图，直线与轴交于点，与函数的图象交于点，轴于点，平移直线，使其过点，且与函数的图象交于．若，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】B 【解析】 【分析】本题是反比例函数与一次函数的解析式，考查了一次函数图象上点的坐标特征，反比例函数图象上点的坐标特征，由列出关于的方程是解题的关键． 设，通过表示出的坐标，由得到，即可求得的值． 【详解】解：过点作轴于点， 由直线可知， 设， 由题意可知，， ， ∵轴，轴， ， ， ∴， 即， ∴， ∴， ∴点的坐标为， ∵点，点在反比例函数上， ∴， 解得：或（舍去）， ∴． 故选：B． 二、填空题（每小题3分，共18分） 9. 写出一个与单项式是同类项的单项式______． 【答案】（不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义，改变系数就得到该项的同类项．根据所含字母相同且相同字母的指数也相同的项，可得答案． 【详解】解：根据同类项的概念可得：写出一个与单项式是同类项的单项式为（不唯一）， 故答案是：（不唯一）． 10. 计算：____． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据二次根式的除法法则，再化简二次根式即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法法则，掌握二次根式的除法法则、二次根式的性质是解决本题的关键． 11. 若一次函数的函数值随的增大而增大，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，对一次函数，根据当时，随的增大而增大，得出，计算即可得解，熟练掌握一次函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数的函数值随的增大而增大， ∴， ∴， 故答案为：． 12. 若将抛物线向右平移（为正整数）个单位后与坐标轴只有两个交点，则这个抛物线的解析式为______（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象的平移、二次函数的性质，由二次函数图象的平移法则可得平移后的解析式为，再结合二次函数的性质即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：将抛物线向右平移（为正整数）个单位后得到的抛物线的解析式为， ∵将抛物线向右平移（为正整数）个单位后与坐标轴只有两个交点， ∴抛物线与轴和轴各有一个交点， ∴当时，抛物线的解析式为，此时与轴的交点为，与轴的交点为，符合题意， 故这个抛物线的解析式为， 故答案为：（答案不唯一）． 13. 如图，是半圆的直径，将半圆绕点逆时针旋转得到半圆，点的对应点为．若，则阴影部分图形的面积为______．（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、扇形面积公式，记与半圆交于点，连接，由题意可得两个半圆面积相等，，则，再根据计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 详解】解：如图，记与半圆交于点，连接， ， 由题意可得两个半圆面积相等，，则， ∴， ∵， ∴， ∴, 故答案为：． 14. 如图，在正方形中，．点在边上，连结交对角线于点，过点作交边于点，连结、，过点作交于点．以下四个结论：①；②周长为4；③；④连结，则的最小值为．其中正确的结论是______（只填写序号） 【答案】①②④ 【解析】 【分析】过点作于点，交于点，过点作于点，证明四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形，证明，再证明，即可判断①；延长至使，连接，先证明，再证明，得出，再利用的周长，即可判断②；由②中，，得出，结合，则要使，则需要，但位置不确定，则可判断③；证明，取中点，连接，可得点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆上部分，当、、依次共线时，的值最小，此时最小值为，求解即可． 【详解】解：过点作于点，交于点，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴四边形是矩形、四边形是矩形、四边形是矩形， ∴，，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵ ， ∴， ∴， 故①正确； 如图，延长至使，连接， ，，， ， ，， ∵，， ， ， ， ， 又，， ， ， 的周长，故②正确； 由②中，， ∴， ∵， ∴要使， 则需要， 但位置不确定，则不一定成立， 故③错误； ∵，， ∴， 取中点，连接， ∴， ∴点的轨迹为以点为圆心，半径为的圆上部分， ∴当、、依次共线时，的值最小，此时最小值为， ∵， ∴的最小值为， 故④正确， 综上，正确的是①②④， 故答案为：①②④． 【点睛】本题考查正方形的性质，矩形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，圆外一点到圆上一点的最短距离，勾股定理，等腰三角形的判定与性质，熟练根据题意作出辅助线是解题的关键． 三、解答题（本大题10小题，共78分） 15. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查了整式的混合运算—化简求值，先根据多项式乘以多项式以及完全平方公式去括号，再合并同类项即可化简，最后代入计算即可得解，熟练掌握运算法则是解此题的关键． 【详解】解：， 当时，原式． 16. 某校开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有三位中国数学家纪念邮票图案的卡片A、B、C，卡片除图案外其他均相同．将三张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，同学们可以从中随机抽取卡片，讲述卡片上数学家的故事．小玲随机抽取了两张卡片，用画树状图或列表的方法，求小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法求概率，解题的关键是掌握概率求解方法．根据题意列表得出所有等可能的情况数，找出符合条件的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【详解】解：列表如下： 由表知，共有6种等可能结果，其中小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的有4种结果， 所以小玲抽到的两张卡片中恰好有数学家祖冲之邮票图案的概率为． 17. 某超市计划购进、两类礼盒水果，已知用元购进类礼盒水果的盒数与用元购进类礼盒水果的盒数相同，类礼盒水果的单价比类礼盒水果的单价少20元，求类礼盒水果的单价． 【答案】80元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，设B类礼盒水果的单价是x元，则A类礼盒水果的单价是元，根据用元购进A类礼盒水果的盒数与用元购进B类礼盒水果的盒数相同，列出分式方程，解方程即可． 【详解】解：设B类礼盒水果的单价是x元，则A类礼盒水果的单价是元， 根据题意得：， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， 答： B类礼盒水果的单价是80元． 18. 某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩（单位：环）相同．小宇根据他们的成绩绘制了如下尚不完整的统计图表，并计算了甲成绩的平均数和方差，下表为小宇的作业． 解：． ． 甲、乙两人射箭成绩统计表 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 甲成绩 9 4 7 4 6 乙成绩 5 7 7 （1）______，______． （2）完成图中表示乙变化情况的折线． （3）①参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并判断甲、乙两人成绩哪位比较稳定． ②从平均数和方差的角度分析，谁将被选中． 【答案】（1）4，6 （2）见解析 （3）①，乙稳定；②乙将被选中，分析见解析 【解析】 【分析】本题考查方差和平均数，折线统计图，知道方差数值越小越稳定是解题的关键． （1）仔细分析题意，可知甲乙两人的总成绩相同，根据表格可以求出甲的总成绩，进而求出的值，结合平均数的定义即可求出； （2）根据成绩画图即可； （3）根据方差公式求出乙的方差，比较甲乙两人的方差，结合方差越小，越稳定，即可判断稳定性，同时比较方差和平均数的大小即判断谁将被选中． 【小问1详解】 解： 甲的总成绩为：， 则乙的总成绩为30， 由图可知乙第1次成绩为7， ，． 故答案为：4，6． 【小问2详解】 解：如图所示： 【小问3详解】 解：①， ， 乙的成绩比较稳定． ②因为两人成绩的平均水平（平均数）相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中． 19. 图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长为1，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点均在格点上．只用无刻度的直尺按下列要求画图，保留作图痕迹． （1）在图①中，画四边形，使四边形为只是中心对称图形． （2）在图②中，画的高线． （3）在图③中，画四边形，使四边形为轴对称图形． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查利用无刻度直尺作图，中心对称图形，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，三角形内角和，轴对称图形，平行线分线段成比例，线段垂直平分线的性质，解题的关键是掌握中心对称图形，轴对称图形的性质． （1）根据一组对边平行且相等可作出平行四边形，平行四边形是中心对称图形； （2）取格点，连接交于点，线段即为所求； （3）将向右平移长度得格点线段，（2）中延长线与交于点，四边形即为所求． 【小问1详解】 解：如图①中，四边形即为所求； 【小问2详解】 解：如图②中，线段即为所求； 证明：如图可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴线段即为所求； 【小问3详解】 解：如图③中，将向右平移长度得格点线段，（2）中延长线与交于点，四边形即所求． 证明：由平移得，， ∴， ∴， 又∵， ∴垂直平分， ∴，， ∴四边形为轴对称图形． 20. 如图，在中，，点为边中线上的一点，延长到点，使，顺次连结点、、、． （1）求证：四边形是菱形． （2）若，，且，则菱形的周长为______． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质、等腰三角形的性质、勾股定理、解直角三角形，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由中线的定义可得，再结合即可得出四边形为平行四边形，由等腰三角形的性质可得，即可得证； （2）由等腰三角形的性质可得，，解直角三角形可得，求出，再由勾股定理计算即可得解． 【小问1详解】 证明：∵是中边的中线， ∴， ∵， ∴四边形平行四边形， ∵是中边的中线，， ∴，即， ∴四边形为菱形； 【小问2详解】 解：∵是中边的中线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴菱形的周长为． 21. 在一次蜡烛燃烧试验中，甲、乙两根蜡烛同时点燃．甲蜡烛燃烧时剩余的长度与燃烧时间之间的函数图象如图所示．乙蜡烛点燃前的长度为24cm，1h时两根蜡烛剩余长度相同． （1）求甲蜡烛燃烧时剩余的长度与燃烧时间之间的函数关系式． （2）在图中画出乙蜡烛燃烧时剩余的长度与燃烧时间之间的函数图象． （3）在两根蜡烛中，当其中一根燃烧完时，直接写出另一根蜡烛还剩余的长度． 【答案】（1） （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查一次函数的应用，分别求出两根蜡烛燃烧速度、掌握描点法作图是解题的关键． （1）求出甲蜡烛燃烧速度，根据甲蜡烛燃烧前的长度燃烧速度燃烧时间计算即可； （2）描点作图即可； （3）先判断哪根蜡烛先燃烧完，求出乙蜡烛燃烧速度，从而求出其中一根燃烧完时另一根蜡烛还剩余的长度即可． 【小问1详解】 解：甲蜡烛燃烧速度为， 则， 当时，得， 解得， 甲蜡烛燃烧时剩余的长度与燃烧时间之间的函数关系式为． 【小问2详解】 解：由题意可知乙蜡烛燃烧时剩余的长度与燃烧时间之间的函数图象过点和， 根据坐标和描点作图如图所示： 【小问3详解】 解：由图象可知，甲蜡烛先燃烧完， 乙蜡烛燃烧速度为， ． 答：另一根蜡烛还剩余的长度为． 22. 实践情境 数学综合与实践课上，如图①，老师发给每个小组一块表面平整的矩形木板、一个内角为的直角三角板（说明：仅能作，，的角）和一把无刻度的直尺（说明：仅能作直线）、四只木工笔、小刀、橡皮、手工锯子． 实践任务 仅利用提供的工具将木板三等分，使原木板的宽作为等分后裁下木板的一边． 抽象模型 如图②，在矩形中，利用含的直角三角板和无刻度直尺，在上确定点，使点将分成两部分． 设计方案 小明利用图②设计了两种不同的裁剪方案． 方案一 步骤一：如图③，分别作，使与交于点，过点作于点，交边于点． 步骤二：如图④，擦去图③的、，连接交边于点，连接，交边于点，过点作，则为裁剪线． 方案二 步骤一：如图⑤，分别作，使与分别交于点、，、于点，过点作，分别交边、于点、点． 步骤二：如图⑥，擦去图⑤的、，…． 证明方案 任务一：（1）在图③中，是等边三角形的理论依据是______；是边的垂直平分线的理论依据是______． 任务二：（2）在图④中，求证：． 完善方案 任务三：（3）利用方案二中的图⑥，将步骤二补充完整，只利用无刻度直尺画出图形，保留作图痕迹，不要求写出作法． 【答案】（1）三个角都等于的三角形是等边三角形；三线合一；（2）见解析；（3）见解析 【解析】 【分析】（1）根据等边三角形的判定与性质解答即可； （2）证明四边形为矩形，得出，，，证明，得出，，进而可得，证明，可得，证明，再由平行线分线段成比例定理即可得解； （3）如图⑥，擦去图⑤的、，连接、交于点，过点作，则为裁剪线． 【详解】（1）解：在图③中，是等边三角形的理论依据是三个角都等于的三角形是等边三角形；是边的垂直平分线的理论依据是三线合一； （2）证明：∵四边形为矩形， ∴， ∵是边的垂直平分线， ∴，， ∴四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）步骤二：如图⑥，擦去图⑤的、，连接、交于点，过点作，则为裁剪线， ∵四边形为矩形， ∴，，， 如图⑤，分别作， 故， ∴，， ∵， ∴， ∴垂直平分，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 23. 如图，在中，，，，点在边上，且点不与点重合，将线段绕着点顺时针旋转得到线段，连结，以、为邻边作． （1）连结，则的最小值为______． （2）当点在边上时，求的值． （3）当点落在的高线上时，求的长． （4）连结，沿直线将剪开，当剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形时，直接写出的长． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）根据勾股定理得到，当时，的值最小，根据三角形的面积公式得到结论； （2）根据旋转的性质得到，，根据相似三角形的性质得到，，根据三角函数的定义即可求解； （3）分情况讨论：当点在上时，不存在；当点在上时，当点在边的高线时，分别画图计算即可； （4）根据题意得到必定经过的中点或的中点或点，①当经过的中点时，过点作于，延长交于，延长交于，由，此时沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形，利用，表示出各边，即可求解；②当经过的中点时，如图，过点作于，交于，利用，表示出各边，即可求解；③当经过点时，同（1）即可求解． 【小问1详解】 解：在中，，，， ， 当时，的值最小， 此时，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 解：如图， 将线段绕着点顺时针旋转得到线段， ，， ，， ， ， ， ， ∵， ， ， ； 【小问3详解】 解：因为点落在的高线上， ①当点在上时，不存在； ②当点在上时，如图，过作于， 将线段绕着点顺时针旋转得到线段， 是等腰直角三角形，， ∴， ∴， 四边形是平行四边形， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， 四边形是正方形， ， ∵， ∴， 即， 解得：， ； ③当点在边的高线时，如图，过作于， 由（1）知， 将线段绕着点顺时针旋转得到线段， 是等腰直角三角形， ∴，， ∴， 四边形平行四边形， ，， ∴四边形是平行四边形， ∵，， 四边形是正方形， ， ， ， ； 【小问4详解】 解：沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形， 必定经过的中点或的中点或点， ①当经过的中点时，如图，过点作于，延长交于，延长交于， 是的中点， ， ， ， ， ， 此时沿直线将剪开的两部分可以拼成一个不重叠无缝隙的三角形， 同（1）得，同（3）得， 设，则， ， ， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ∵， ， ，即， 解得：； ②当经过的中点时，如图，过点作于，交于， 由①知：，，，， 是的中点， ， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ， ，即， 解得：； ③当经过点时，如图， 同（1）得， 综上所述，的值为或或． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了平行四边形性质，矩形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，解三角形，解题关键是添加辅助线构造全等三角形和相似三角形． 24. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线（其中、为常数）经过点，其顶点的横坐标为1．点在轴上方的抛物线上，其横坐标为，点的坐标为，连接并延长交该抛物线对称轴于点，连接，以、为边作． （1）求该抛物线对应的函数关系式． （2）当，且轴时，求点的坐标． （3）当点与点的纵坐标之和为0时，求的值． （4）当四边形是轴对称图形时，直接写出的值． 【答案】（1） （2） （3）或 （4）的值为或或或 【解析】 【分析】（1）由题意可得抛物线的对称轴为直线，由此计算即可得出，再利用待定系数法计算即可得解； （2）当，且轴时，则点必位于对称轴右侧的轴上方图象上，由题意可得，，从而可得，计算即可得解； （3）求得，由题意可得，由平行四边形的性质可得，即，求出直线的解析式为，由题意可得，将代入直线的解析式计算即可得解； （4）分两种情况：当四边形为菱形时，也是轴对称图形，此时；当四边形为矩形时，也是轴对称图形，则；分别利用菱形的性质和矩形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点的横坐标为1， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴抛物线的解析式为， 将代入抛物线的解析式可得， 解得：， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当，且轴时，则点必位于对称轴右侧的轴上方图象上，如图， ， ∵点在轴上方的抛物线上，其横坐标为，点的坐标为， ∴，， ∴， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， 即点的坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∵点与点的纵坐标之和为0，点的坐标为， ∴， ∵以、为边作， ∴， ∴，即， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在该抛物线上轴上方，其横坐标为， ∴， 将代入直线的解析式可得：， 整理可得：， 解得：或； 【小问4详解】 解：当四边形为菱形时，也是轴对称图形，此时， ∵，点的坐标为，点在对称轴上， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式可得， 解得：， ∴直线的解析式为， ∵点在该抛物线上轴上方，其横坐标为， ∴， 将代入直线的解析式可得：， 整理可得：， 解得或； 当四边形为矩形时，也是轴对称图形，则， 由勾股定理可得：， ∵点在对称轴上， ∴设， ∵，点的坐标为， ∴，，， ∴， 解得：， ∴， 同理可得：直线的解析式为， ∵点在该抛物线上轴上方，其横坐标为， ∴， 将代入直线的解析式可得：， 整理可得：， 解得：或； 综上所述，的值为或或或． 【点睛】本题考查了求二次函数的解析式、平行四边形的性质、菱形的性质、矩形的性质、二次函数的图象与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$