（人教版）五年级数学下册知识点总结（期末复习）数学人教版五年级下册

人教版五年级数学下册 全册知识点总结 知识点01：从同一个方向观察形状图，摆立体图形 1、核心原理：仅凭一个方向（正面/左面/上面）的形状图，无法确定唯一的立体图形，存在多种摆法。 2、关键特征 （1）从同一方向观察不同几何体，可能得到相同的形状图； （2）摆法多样性的本质：在保证目标视图不变的前提下，可在几何体的前后方向添加小正方体（不改变左右列和上下层的视图特征）。 （3）最少与最多小正方体 ①最少个数：形状图中可见小正方体的数量（无遮挡）； ②最多个数：无限制（可在底层任意位置添加小正方体，只要不改变目标视图）。 【易错点】 （1）视图不变原则：只能在前后方向添加，不能改变左右列和上下层的排列（否则目标视图会变化）。 （2）按“前→后”或“左→右”的顺序添加，避免重复或遗漏。 （3）只摆表面层，忽略底层支撑的小正方体。上层小正方体必须有底层小正方体支撑，不能悬空摆放。 （4）先确定目标方向，再开始搭建，避免方向混淆。 知识点02：从三个方向观察形状图，摆立体图形 1、核心原理：一般情况下，根据从三个方向看到的图形，可以确定几何体的形状。结合正面、左面、上面三个方向的形状图，可确定唯一的立体图形（摆法唯一）。 2、还原的核心依据：三视图的长对正、高平齐、宽相等原则。 （1）长对正：正面图与俯视图的左右长度一致； （2）高平齐：正面图与左面图的上下高度一致； （3）宽相等：左面图与俯视图的前后宽度一致。 3、小正方体个数：个数固定，无多样性（排除重复计数）。 4、还原步骤 （1）以俯视图为基础：确定几何体的底层分布（行数、列数、位置），标注底层小正方体； （2）结合正面图定层数：确定各列的最大层数（正面图每列高度=对应列的最大层数）； （3）结合左面图定排数：确定各排的最大层数（左面图每行高度=对应排的最大层数）； （4）交叉验证：确保每个位置的层数同时满足三个视图要求，最后从三个方向观察确认一致。 【易错点】 （1）先摆底层，再搭上层：俯视图确定“占地面积”，避免先搭上层再补底层导致位置错误； （2）主视图的列高是“该列最大层数”，左视图的行高是“该排最大层数”，单个位置的层数不能超过对应列和排的最大层数； （3）唯一确定性：三个视图共同约束，摆法唯一，不存在多种可能。 知识点01：认识因数和倍数 1、因数和倍数的概念 在整数除法中，如果商是整数而没有余数，我们就说被除数是除数和商的倍数，除数和商是被除数的因数。 又如整数a能被b整除（a÷b=c），那么a就是b的倍数，b就是a的因数。因数和倍数是相互依存的，不能单独存在。 【易错点】 （1）相互依存性：因数和倍数是相互依存的关系，不能单独说某个数是因数或倍数。 （2）取值范围：研究因数和倍数时，不包括0，仅限非0自然数。 （3）除法限定：必须是整数除法且没有余数，才能谈因数和倍数。 2、找一个数的因数 （1）找一个数的因数方法 ①列乘法算式找：根据因数的意义，有序地写出两个整数相乘得此数的所有乘法算式，算式中的两个因数都是此数的因数。 ②列除法算式找：用此数除以大于等于1而小于等于它本身的整数，所得的商是整数而无余数，这些除数和商都是此数的因数。 （2）一个数的因数的特征：一个数的因数的个数是有限的，其中最小的因数是1，最大的因数是它本身。 （3）表示一个数的因数的方法：列举法、集合表示法。 【易错点】 （1）找因数时要按顺序成对找，避免遗漏或重复。 （2）特殊数提醒：1的因数只有1这一个数。 3、找一个数的倍数 （1）找一个数的倍数的方法 ①列乘法算式找：用这个数依次与非0自然数相乘，所得的积就是这个数的倍数。 ②列除法算式找：看哪些数除以这个数，商是整数而无余数，这些数就是这个数的倍数。 （2）一个数的倍数的特征 一个数的倍数的个数是无限的，最小的倍数是它本身，没有最大的倍数。 （3）表示一个数的倍数的方法：列举法、集合表示法。 【易错点】一个数的最小倍数和最大因数都是它本身。 知识点02：2、5、3的倍数的特征 1、2的倍数特征：个位上是0，2，4，6，8的数都是2的倍数。 （1）偶数：是2的倍数的数叫做偶数（0也是偶数）； （2）奇数：不是2的倍数的数叫做奇数。 2、5的倍数特征：个位上是0或5的数都是5的倍数。 3、3的倍数特征：一个数各位上的数的和是3的倍数，这个数就是3的倍数。 4、既是2又是5的倍数特征：个位上是0。 5、既是2又是3的倍数特征：个位上是0， 2， 4， 6， 8并且各数位的数之和又是3的倍数。 6、既是5又是3的倍数特征：个位上是0或5，并且各数位的数之和又是3的倍数。 7、既是2和3的倍数，又是5的倍数特征：个位上是0，并且各数位的数之和是3的倍数。 【易错点】 （1）2、5的倍数的特征的判断依据：只看个位数字，与其他数位无关。 （2）3的倍数特征是看各位数字之和，不是看个位。 知识点03：质数和合数 1、质数：一个数，如果只有1和它本身两个因数，那么这样的数叫做质数（或素数）。 2、合数：一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，那么这样的数叫做合数。 3、100以内的质数表（共25个）：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。 【易错点】 （1）1不是质数，也不是合数。 （2）最小的质数是2，最小的合数是4。 （3）质数的特殊值：2是唯一的偶质数，其余质数都是奇数；但是奇数不一定是质数。 （4）合数的特殊值：合数不一定是偶数，例如9、15是奇数但也是合数。 （5）分类依据：按因数的个数分类，非0自然数分为1、质数、合数三类，不能遗漏“1”。 （6）质数×质数＝合数 知识点04：探究和的奇偶性 奇数＋奇数＝偶数 奇数＋偶数＝奇数 偶数＋偶数＝偶数 【规律】同奇偶加减必得偶数，异奇偶加减必得奇数。 知识点01：长方体和正方体的认识 1、长方体 （1）定义：一般是由6个长方形（特殊情况有两个相对的面是正方形）围成的立体图形叫做长方体。 ①两个面相交的边叫做棱。 ②三条棱相交的点叫做顶点。 ③相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫做长方体的长、宽、高。 （2）长方体的特征： ①面：长方体有6个面，这6个面一般是长方形的，特殊情况有两个相对的面是正方形；相对的面完全相同。 ②棱：长方体有12条棱，相对的棱长度相等。长方体12条棱可以分成3组，分别有4条长、4条宽、4条高。 ③顶点：长方体有8个顶点。 （3）长方体的棱长 ①长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4＝长×4＋宽×4＋高×4 ②长＝棱长总和÷4－宽－高 ③宽＝棱长总和÷4－长－高 ④高＝棱长总和÷4－长－宽 2、正方体 （1）定义：由6个完全相同的正方形围成的立体图形叫做正方体（也叫做立方体）。 （2）正方体特征： ①正方体有12条棱，它们的长度都相等。有8个顶点。 ②正方形的6个面是完全相同的正方形。 ③正方体可以说是长、宽、高都相等的长方体，它是一种特殊的长方体。 （3）正方体的棱长 ①正方体的12条棱的长度都相等。 ②正方体的棱长总和＝棱长×12 ③正方体的棱长＝棱长总和÷12 3、长方体和正方体的异同点 【易错点】 （1）正方体是特殊的长方体，特殊在长、宽、高都相等。 （2）长方体中，若有2个相对面是正方形，则其余4个面是完全相同的长方形。 （3）数棱时要按组计数，避免重复或遗漏。 知识点02：长方体和正方体的表面积 1、表面积的定义：长方体或正方体6个面的总面积，叫做它的表面积。 2、长方体的表面积 （1）长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 （2）用字母表示：S＝（ab＋ah＋bh）×2 3、正方体的表面积 （1）正方体的表面积＝棱长×棱长×6 （2）用字母表示：S＝6a2 【易错点】 （1）无盖长方体（如鱼缸、抽屉）：表面积=长×宽+2×（长×高+宽×高）（少1个底面）。 （2）通风管/烟囱（无上下底面）：表面积=2×（长×高+宽×高）（少2个相对面） 知识点03：长方体和正方体的体积 1、体积和体积单位 （1）体积定义：物体所占空间的大小，叫做物体的体积。 （2）体积单位间的进率 ①每相邻两个体积单位之间的进率是1000。 ②1dm³＝1000cm³；1m³＝1000dm³ （3）体积单位间的换算： ①高级单位换成低级单位，乘进率，小数点向右移动。 ②低级单位换成高级单位，除以进率，小数点向左移动。 2、长方体的体积 （1）长方体的体积＝长×宽×高 （2）如果用字母V表示长方体的体积，用a、b、h分别表示长方体的长、宽、高可以写成：V＝abh。 3、正方体的体积 正方体的体积＝棱长×棱长×棱长 如果用字母V表示正方体的体积，用a表示正方体的棱长，那么正方体的体积计算公式可以写成：V＝a3。 4、长方体、正方体体积通用公式 （1）长方体或正方体底面的面积叫作底面积。 （2）长方体（或正方体）的体积＝底面积×高 （3）如果用字母S表示底面积，上面的公式可以写成：V＝Sh。 5、“排水法”求不规则物体的体积 排水法原理：当把不规则物体完全浸没在装有水的圆柱形容器中时，水面会上升。上升的这部分水的体积就等于不规则物体的体积。 6、容积和容积单位 （1）容器所能容纳物体的体积，叫做它们的容积。 （2）计量容积一般用体积单位：立方厘米、立方分米和立方米。但计量液体的体积，如水、油等，常用升和毫升（即L和ml）。 （3）容积单位和体积单位间的关系：1L＝1dm³；1mL＝1cm³；1L＝1000mL 知识点01：分数的意义 1、单位“1”：一个物体、一个计量单位或是一些物体等都可以看作一个整体。一个整体可以用自然数1来表示，我们通常把它叫作单位“1”。 2、分数的意义：把一个整体（单位“1”）平均分成若干份，表示这样的一份或几份的数，叫做分数。 3、分数各部分名称：分数（≠0）中，是分子，表示取的份数；是分母，表示平均分的份数；中间的横线是分数线。 4、分数单位 （1）把单位“1”平均分成若干份，这样的一份或几份都可以用分数来表示，表示其中一份的数叫作分数单位。 （2）分母是几，分数单位就是几分之一。 （3）分子是几，就有几个分数单位。 5、分数与除法的关系 （1）关系：除法中的被除数相当于分数的分子，除数相当于分母，除号相当于分数线。 （2）区别：除法是一种运算，分数是一个数。 【易错点】 （1）把“部分量”当成单位“1”，如“一堆煤用去”，误将用去的煤看作单位“1”； （2）忽略单位“1”可以是多个物体组成的整体，如把“5个苹果”当成5个单位“1”，而非1个整体。 知识点02：真分数和假分数 1、真分数：分子比分母小的分数叫做真分数，真分数小于1。 2、假分数：分子比分母大或分子等于分母的分数叫做假分数，假分数大于1或等于1。 3、带分数： （1）由整数（0除外）和真分数合成的数叫做带分数，带分数大于1。 （2）带分数的读法：先读带分数的整数部分，再读分数部分，分数部分和整数部分中间加一个“又”字。 （3）带分数的写法：“又”前面是整数部分，后面是分数部分，先写整数部分，再写分数部分。 4、假分数与带分数的互化 （1）把假分数（分子是分母的倍数）化成整数，用分子除以分母，商就是这个整数。 （2）把假分数化成带分数，用分子除以分母，所得商作整数部分，余数作分子，分母不变。 （3）把带分数化成假分数，用整数部分乘以分母加上分子作分子，分母不变。 【易错点】认为假分数一定大于1，忽略分子等于分母时假分数等于1的情况。假分数包含“分子=分母”和“分子＞分母”两种情况，假分数大于1或等于1。 知识点03：分数的基本性质 1、分数的基本性质：分数的分子和分母同时乘或除以相同的数（0除外），分数的大小不变。 2、核心用途：利用分数的基本性质，可以把分母不同的分数化成分母相同且大小不变的分数，也可以把一个分数化成指定分母且大小不变的分数。 【易错点】在运用分数的基本性质时，只对分子或分母进行变化，而忽略了同时乘或除以相同的数（0除外）。 知识点04：约分 1、最大公因数 （1）最大公因数：几个数公有的因数，叫做这几个数的公因数，其中最大的公因数，叫做它们的最大公因数。 （2）求两个数最大公因数的方法 ①列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的那个； ②筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出另一个数的因数，再看哪一个最大； ③分解质因数法：先把每个数都写成几个质因数相乘的形式，再从这些质因数中找出这两个数公有的质因数，这些公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数； ④短除法：先把这两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。 （3）求两个数的最大公因数的特殊情况 ①当两个数成倍数关系时，较小数就是它们的最大公因数； ②当两个数的公因数只有1时，它们的最大公因数就是1。 2、约分 （1）约分：把一个分数化成和它相等，但分子和分母都比较小的分数，叫做约分。 （2）约分的依据：分数的基本性质。 （3）最简分数：分子和分母只有公因数1的分数是最简分数。约分时，通常要约成最简分数。 （4）约分的方法 ①逐步约分法：用分数的分子和分母的公因数（1除外）逐次去除分子和分母，直到得出一个最简分数。 ②一次约分法：用分数的分子和分母的最大公因数去除分子和分母，即可得到最简分数。 【易错点】约分不彻底。约分要找到分子和分母的最大公因数，然后将分子分母同时除以最大公因数，直到分子分母互质为止。 知识点05：通分 1、最小公倍数 （1）两个数公有的倍数，叫作它们的公倍数。其中最小的公倍数，叫作它们的最小公倍数。 （2）没有最大的公倍数。 （3）求两个数最大公因数的方法 ①列举法：先分别找出两个数的因数，从中找出公因数，再找出公因数中最大的那个； ②筛选法：先找出两个数中较小数的因数，从中圈出另一个数的因数，再看哪一个最大； ③分解质因数法：先把每个数都写成几个质因数相乘的形式，再从这些质因数中找出这两个数公有的质因数，这些公有的质因数的乘积就是这两个数的最大公因数； ④短除法：先把这两个数公有的质因数按从小到大的顺序依次作除数，连续去除这两个数，直到得出的两个商只有公因数1为止，再把所有的除数相乘，所得的积就是这两个数的最大公因数。 2、通分 （1）通分的意义：把异分母分数分别化成和原来分数相等的同分母分数，叫做通分。 （2）通分的方法：通分时用原分母的公倍数作公分母，为了计算简便，通常选用它们的最小公倍数作公分母，然后把各分数化成用这个最小公倍数作分母的分数。 3、分数的大小比较 （1）同分母的两个分数，分子大的分数就大，分子小的分数就小； （2）同分子的两个分数，分母大的分数反而小，分母小的分数反而大。 （3）异分母的两个分数，先化成同分母分数（分数单位相同），再进行比较。 【易错点】通分时分子、分母乘不同的数导致通分出错。通分的依据是分数的基本性质，分子分母必须同时乘相同的数（0 除外）。 知识点06：分数和小数的互化 1、分数化成小数的方法 （1）分母是10，100，1000……的分数化成小数，可以直接去掉分母，看分母中有几个0，有几个0就在分子中从右边起向左数出几位，点上小数点； （2）分母不是10，100，1000……的分数化成小数，用分子除以分母，除不尽时，要根据需要按“四舍五入”法保留几位小数。 （3）把带分数化成小数，方法与上面相同，带分数的整数部分作为小数的整数部分，分数部分化成小数，作为小数的小数部分。 2、小数化成分数的方法 （1）一位小数化分数，用10作分母，一位小数去掉小数点作分子； （2）两位小数化分数，用100作分母，两位小数去掉小数点作分子……，其余多位小数的，以此类推。 （3）把小数化成分数，能约分的都应约成最简分数。 【易错点】 （1）分数化小数，用分子除以分母；除不尽时，根据题目要求用“四舍五入”法保留位数，结果用“≈”表示。 （2）判断分数能否化成有限小数时，判断前先将分数化为最简分数，再看分母质因数是否只有2和5，若是则能化成有限小数，否则不能。 知识点01：旋转 1.旋转的意义：把一个图形绕着某一点转动一定的角度的图形变换叫做旋转。 2.旋转的三要素 （1）旋转点（或旋转中心）：物体旋转时所绕的点就是旋转点（或旋转中心）。 （2）旋转方向：钟表中指针运动的方向为顺时针方向；与钟表中指针运动的方向相反的方向为逆时针方向。 （3）旋转角度：对应线段的夹角或对应点与旋转中心所连线段的夹角就是旋转角度。 3.图形旋转的特征 图形旋转后，形状和大小都没有发生变化，只是方向和位置变化了。 4.图形旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等。即原图形上任意一点与旋转中心的距离，等于旋转后该点对应点与旋转中心的距离。 （2）对应点与旋转中心的连线所成的角等于旋转角。 （3）对应线段相等，对应角相等。旋转后的图形与原图形形状、大小完全相同，仅位置发生变化。 知识点02：画出旋转后的图形 把一个图形旋转一定角度后得到的图形的画法 （1）找出原图形的关键点； （2）明确旋转中心、旋转方向和旋转角； （3）按一定的方向和角度分别找出各个关键点的对应点； （4）顺次连接所找到的对应点，即可得到原图形旋转一定角度后的图形。 【易错点】 （1）旋转中心位置不变。 （2）每条线段都要按相同方向、相同角度旋转。 知识点03：平移与旋转的综合应用 1.平移与旋转的区别 （1）运动方式：平移是图形沿直线方向移动，各点移动方向和距离相同；旋转是图形绕定点转动，各点绕旋转中心做圆周运动。 （2）要素不同：平移的要素是方向和距离；旋转的要素是中心、方向和角度。 2.平移和旋转的综合应用 （1）先观察变换后的图形，明确图形是“先平移后旋转”还是“先旋转后平移”。 （2）对平移部分，确定方向和距离；对旋转部分，确定中心、方向和角度。 （3）先完成平移得到中间图形，再对中间图形进行旋转得到最终图形；或反之。 【易错点】判断运动：绕点转→旋转；沿直线走→平移。 知识点01：同分母分数加、减法 1.分数加法的意义：与整数加法的意义相同,就是把两个数合并成一个数的运算。 2.分数减法的意义：与整数减法的意义相同，就是已知两个加数的和与其中的一个加数，求另一个加数的运算。 3.分数单位相同，也就是计数单位相同，计数单位相同的数可以直接相加、减。 4.同分母分数加法的计算方法：分母不变，分子相加。用字母表示是：＋＝。 5.同分母分数减法的计算方法：分母不变，分子相减。用字母表示是：－＝。 6.计算步骤 （1）分母不变 （2）分子相加/减 （3）结果约分成最简分数 【易错点】 （1）只有分母相同，才能直接把分子相加减。 （2）计算结果必须是最简分数。 知识点02：异分母分数加、减法 1.异分母分数相加、减计算方法 （1）异分母分数相加、减，先通分，把它们化成同分母分数； （2）按照同分母分数加、减法的法则进行计算。 2.计算关键：通过通分，将异分母分数转化为同分母分数（分数单位相同)，再按同分母分数加减法的法则计算。 3.计算步骤 （1）通分：将异分母分数化为与原分数相等的同分母分数； （2）加减：按同分母分数加减法法则，分子相加减，分母不变； （3）化简：结果约成最简分数（必要时化为带分数）。 4.分子是1的分数相加、减的简便运算 （1）＋＝；（2）－＝ 【易错点】 （1）异分母不能直接加减，必须先通分。 （2）通分要用最小公倍数做分母，计算最简便。 知识点03：分数加、减混合运算及简便运算 1.分数加减混合运算的运算顺序：与整数加减混合运算的顺序相同。有括号的，先算括号里面的，再算括号外面的；没有括号的，按从左往右的顺序依次进行计算。 2.异分母分数的混合运算：算式中如果没有括号，几个分数可以一次通分进行计算，也可以分步通分，分步计算；有括号的，要先将括号里的分数通分，计算出结果，再与括号外面进行计算。 3.运算律的推广 整数加法交换律、结合律、减法的性质对分数加、减法同样适用。 （1）加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为：a＋b＝b＋a。 （2）加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加,或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c）。 （3）减法的性质：一个数连续减去两个数，等于减去这两个数的和。 用字母表示为：a－b－c＝a－（b＋c）。 4.分数加减简便运算技巧 （1）先把分母相同的分数结合在一起算。 （2）能凑整的先凑整。 【易错点】 （1）简便运算的目的：凑同分母、凑整数、减少通分。 （2）去括号、添括号时注意变号。 知识点01：单式折线统计图 1.折线统计图定义：只对一组数据进行统计，用一条折线表示数量变化的统计图。 2.折线统计图的作用：既可以表示出数量的多少，又能反映出数量的增减变化。 3.单式折线统计图的特点：折线统计图各点反映的是数量的多少，折线反映的是数量的增减变化。 4.绘制折线统计图的方法 （1）画出横轴和纵轴； （2）确定一个单位长度表示数量的多少； （3）描点，描点时应注意先找准横轴上的点，再找准纵轴上相对应的点，过两点分别作横轴、纵轴的垂线，两条垂线的交点就是所要描的点，在交点处点上实心点； （4）用线段顺次连接所有点，并标注数据； （5）标注好日期和标题。 5.读图关键点 （1）看点：知道数量多少。 （2）看线：判断变化趋势。 ①上升：数量增加； ②下降：数量减少； ③平缓：数量变化不大。 知识点02：复式折线统计图 1.复式折线统计图的定义：同时统计两组或多组数据，用两条或多条折线表示，便于对比。 2.复式折线统计图的意义：如果在统计过程中存在两组（或多组）数据，且需要在一幅统计图中表示出这两组（或多组）数据，就要用两种（或多种）不同颜色（或不同形式）的折线来表示不同数量的变化情况，这种统计图就是复式折线统计图。 3.复式折线统计图的特点：复式折线统计图不但能表示出各组数据的多少，数据的增减变化情况，而且便于比较各组相关数据的差异和变化趋势。 4.复式折线统计图的绘制方法 （1）两组数据要用不同样式的线区分（如实线、虚线）； （2）必须有图例，标明哪条线代表哪一组； （3）横轴、纵轴刻度统一，描点清晰。 5.读图与分析 （1）比较增减幅度：折线越陡，变化越快； （2）比较交点：表示两组数据在此数量相等； （3）比较整体趋势：同步上升、反向变化等。 知识点01：找次品的基本思路 1.次品：外观一样，但轻一些或重一些的物品。 2.核心思想：利用天平平衡原理，通过分组称量，尽量平均分成3份，缩小次品范围，用最少次数找到次品。 3.称量判断： （1）平衡→次品在剩下的一组里； （2）不平衡→次品在轻（或重）的一边。 知识点02：分组方法 1.最优策略：把物品尽量平均分成3份。 2.关键点：能平均分就平均分；不能平均分，使多的一份与少的一份只相差1。 知识点 03：保证找到次品的最少称量次数规律 规律：每多称1次，最多能辨别的数量扩大到原来的3倍。n次最多可从3ⁿ个物品中找到次品。 知识点04：解题步骤 1.把物品分成3份（尽量平均分）。 2.把数量相同的两份放在天平两端称量。 3.根据平衡情况，确定次品所在的那一份。 4.对含有次品的那一份重复上面步骤，直到找到次品。 5.统计至少需要几次保证能找到。 【易错点】 （1）题目问“保证找到”，要按最坏情况算次数。 （2）必须平均分3份，次数才最少。 （3）已知次品“轻”还是“重”，判断方向要一致。 （4）分成2份，次数会变多，不是最优。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $