第八单元 数学广角-找次品（期末复习讲义+知识卡片总结-培优版）知识梳理+5个考点讲练+3个奥数拓展+真题演练 共56题-2025-2026学年人教版新教材数学五年级下册真题汇编必刷冲关练

2025-2026学年人教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第八单元 数学广角-找次品『期末复习精编讲义』（培优版） 【解析版】 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练+3个奥数拓展+真题演练 共44题） 同学你好，该份讲义用于人教新五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 基础规律速判（直接问次数） 3 高频考点二 最优分组策略选择 4 高频考点三 利用天平检测残次品 6 高频考点四 完整推理过程描述（解答题/画图题） 7 高频考点五 易错点辨析（“保证”与“可能”） 12 奥数拓展 拔尖冲刺 14 奥数拓展一 基础规律速判（直接问次数） 14 奥数拓展二 完整推理过程描述（解答题/画图题） 15 奥数拓展三 根据称重次数计算数量最多或最少多少个 17 优选真题 实战演练 18 【基础夯实 知识巩固】 18 【拓展提高 能力拔尖】 22 知识点一 打电话问题 1. 每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2. 根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 知识点二 找次品问题 1. 从上面的称量过程中可以知道，在3瓶钙片中找岀1瓶次品，可以利用天平平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成3份。 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1。 高频考点一 基础规律速判（直接问次数） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成( )份，这样至少称( )次就能保证找出次品来。 【答案】 3 2 【思路引导】用天平找次品时，每次都把物品分成3份，逐渐缩小次品的范围。 【规范解答】第1次，把8颗珍珠分成3份（3颗，3颗，2颗），先称3颗与3颗，如果天平平衡，次品在剩下的2颗里面；如果天平不平衡，次品在较轻的一边。 第2次，如果第1次天平平衡，称剩下的2颗，次品在轻的一边；如果第1次天平不平衡，把轻的一边的3颗分成3份（1颗，1颗，1颗），称任意2颗，如果天平平衡，次品是剩下的1颗；如果天平不平衡，次品在轻的一边。 综上，可以把8颗珍珠分成3份，这样至少称2次就能保证找出次品来。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河北承德·期末）有10瓶外观一样的钙片，其中一瓶少了几片，用无砝码的天平称，至少称( )次才能找出来。 【答案】3 【思路引导】已知次品比正品轻，把称重物品分成尽可能平均的三组，先称其中数量相同的两组，如果天平平衡，那么次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，那么次品在天平上翘的一组里面，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，最后根据称重过程准确数出称重次数。 【规范解答】分析可知： 综上所述，至少称3次才能找出来。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川凉山·期末）有28盒外观完全相同的饼干，其中27盒质量相同，另一盒是次品，质量稍重一些。如果用天平称，至少称( )次就一定能找出这盒次品。 【答案】4/四 【思路引导】把28盒饼干分成3份，即（9，9，10），第一次称，天平两边各放9盒，如果天平不平衡，次品就在较重的9盒中；如果天平平衡，次品在剩下的10盒中；考虑最不利因素，次品在数量多的里面，把有次品的10盒饼干分成3份，即（3，3，4），第二次称，天平两边各放3盒，如果天平不平衡，次品就在较重的3盒中；如果天平平衡，次品在剩下的4盒中；再把有次品的4盒饼干分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1盒，如果天平不平衡，次品就是较重的那个；如果天平平衡，次品就在剩下的2盒中。最后把有次品的2盒饼干分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1盒，天平不平衡，次品就是较重的那个。所以至少称4次保证能找出次品。 【规范解答】 如果用天平称，至少称4次就一定能找出这盒次品。 高频考点二 最优分组策略选择 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·西藏拉萨·期末）科学实验课上，老师带来6个外观完全相同的小球，其中一个质量稍轻（次品）。同学们用天平称，要保证2次能找出次品小球，比较合适的分法是（    ）。 A．分成3份，（2，2，2） B．分成3份，（1，2，3） C．分成3份，（1，1，4） D．分成4份，（1，1，2，2） 【答案】A 【思路引导】根据找次品问题的最优策略： （1）把待分物品分成3份； （2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】把6个小球分成2、2、2三份。 第一次称：把其中两份分别放在天平秤两端，如果天平平衡，则次品在未取的那2个中；如果天平不平衡，则次品在天平轻的一端的2个中。第二次称：取有次品的那2个，分别放在天平秤两端，轻的一端就是次品。所以这种分法能保证2次找出次品。 故答案为：A 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江杭州·期末）有26盒饼干，其中只有一盒略重，假如用天平称，至少称几次能保证找出这盒略重的饼干。解决这个问题，第一次称时应按下面的（    ）种分法来称。 A．2份（13，13） B．3份（8，9，9） C．3份（8，8，10） D．3份（10，10，6） 【答案】B 【思路引导】找次品的方法：一般是把待测物品分成3份，能平均分的就平均分，不能平均分的，使其中的2份相同，第3份尽量与这两份相同，再称其中的2份，根据天平平衡、不平衡进行判断，如果不能找出次品，继续把含有次品的份数再分成3份，方法同上，直到找出次品。 【规范解答】将26盒分成3组，尽可能平均。26÷3＝8……2，因此合理分法为（8，9，9）。 故答案为：B 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·广东广州·期末）有8颗外观一样的铁珠，其中有7颗一样重，另外有1颗比其他7颗稍轻些，如果用一架天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁珠，最合适的方法是先把这些铁珠分成（    ），然后再称。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路引导】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 【规范解答】A．把8颗铁珠分成3份，即（3，3，2），第一次称，天平两边各放3颗，如果天平不平衡，次品就在较轻的3颗中；如果天平平衡，次品在剩下的2颗中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的3颗铁珠分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品是剩下的那1颗。至少称2次能保证找出这颗较轻的铁珠。符合题意。 B．把8颗铁珠分成2份，即（4，4），第一次称，天平两边各放4颗，如果天平平衡，次品在较轻的4颗中；再把有次品的4颗铁珠分成3份，即（1，1，2），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品在剩下的2颗中；再把有次品的2颗铁珠分成2份，即（1，1），第三次称，天平两边各放1颗，此时天平不平衡，次品就是较轻的那一颗。至少称3次才能保证找出这颗较轻的铁珠。不符合题意。 C．把8颗铁珠分成3份，即分成（2，2，4），第一次称，天平两边各放2颗，如果天平不平衡，次品就在较轻的2颗中；如果天平平衡，次品在剩下的4颗中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，再把有次品的4颗铁珠分成3份，即（1，1，2），第二次称，天平两边各放1颗，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一颗；如果天平平衡，次品就在剩下的2颗中。再把有次品的2颗铁珠分成（1，1），第三次称，天平两边各放1颗，此时天平不平衡，次品就是较轻的那一颗。至少称3次才能保证找出这颗较轻的铁珠。不符合题意。 D．每次仅能比较1颗，需多次称量。不符合题意。 故答案为：A 高频考点三 利用天平检测残次品 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·新疆乌鲁木齐·期末）有5个零件，其中只有一个是次品，重量稍重。根据如图所示可以推断（    ）号零件一定是正品。 A．①② B．②③④ C．①⑤ D．③④⑤ 【答案】D 【思路引导】根据题意可知，次品比其他正品的重量稍重，①②的总重量重于③④的总重量，说明次品在①②之间，所以③④⑤是正品。 【规范解答】根据分析可知，次品在①②之间，所以③④⑤号零件是正品。 故答案为：D 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·河南郑州·期末）有5个零件，分别是A、B、D、E、F，其中有一个是次品，质量稍重，根据下图可以推断出（    ）。 A．A一定是次品 B．B一定是次品 C．D、E和F一定都是正品 【答案】C 【思路引导】用天平称重时，如果天平平衡，则天平两端的质量相等；如果天平不平衡，则天平两端的质量不相等；轻的一端上翘，重的一端下沉，据此解答。 【规范解答】图中，天平左端放有AB两个零件，右端放有DE两个零件，天平不平衡，左端下沉，说明AB的质量比DE重，则次品在左端，由此可以判断D、E和F一定都是正品。 故答案为：C 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有8袋积木，其中有一袋少装了一块，是次品。假如用天平称（不用砝码），下面是第一次称的情况，请分析并填空。 (1)如果不平衡，次品在( )中；如果平衡，次品在( )中。 (2)要找到次品，最少要称( )次。 【答案】(1) 较轻的那3袋 ⑦⑧ (2)2 【思路引导】（1）分析题目，因为次品比正品轻，所以根据天平可知，如果天平不平衡，则次品在较轻的那边；如果天平平衡，则次品在剩下的2袋中，据此解答； （2）找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1，这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少，据此解答。 【规范解答】（1）如果不平衡，次品在较轻的那3袋中；如果平衡，次品在⑦⑧中。 （2）有8袋积木，其中有一袋是次品，比其它略轻。 第一次称重：先分成（3，3，2），天平两边各放3袋，①若天平平衡，则次品就在剩下的2袋中；②若天平不平衡，次品就在较轻的那3袋中； 第一次天平不平衡时，第二次称重：把3袋分成（1，1，1），天平两边各放1袋，①若天平平衡，则次品就是剩下的那1袋；②若天平不平衡，次品是较轻的1袋； 第一次天平平衡时，第二次称重：把2袋分成（1，1），次品是较轻的那袋。 所以要找到次品，最少要称2次。 高频考点四 完整推理过程描述（解答题/画图题） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（    ）份，能平均分的要（    ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（    ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 【答案】（1）见详解 （2）第二种方法 （3）3次；方法见详解 （4）3；平均分；1 （5）3次 【思路引导】（1）当袋数为9，分成3份（4、4、1）时，首先称重两个4袋的组。若天平平衡，则质量较轻的位于剩下的1袋中，此时仅需一次称重即可确定；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的那一侧，随后将这4袋再次分为2份，进行第二次称重，如果平衡则质量较轻的在剩下的2袋中，需要第三次称重来确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 当袋数为9，分成3份（3、3、3）时，首先称重两个3袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的3袋中。将这3袋分为1袋一组，进行第二次称重，即可确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次；若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，同样将这3袋分为1袋一组进行第二次称重，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为2次。 当袋数为9，分成4份（2、2、2、3）时，首先称重两个2袋的组。若天平平衡，则质量较轻的在剩下的5袋中，再将这5袋分为2袋、2袋和1袋三组，称重两个2袋的组，如果平衡，则质量较轻的为剩下的1袋；如果不平衡，则继续称轻的2袋组，确定质量较轻的1袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。若天平不平衡，则质量较轻的在轻的一侧，随后将这2袋再次进行第三次称重，即可确定具体是哪一袋。保证能找出次品至少需要称的次数为3次。 （2）比较表中三种方法需要称的次数，找出哪种方法称的次数最少。 （3）第一次称重：天平两侧放两个三袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。 （5）用上述方法将找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看至少称几次才能保证找出次品。 【规范解答】通过分析可得： （1）填表如下： 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 3 9 3（3，3，3） 2 9 4（2，2，2，3） 3 （2）表中第二种方法需要称的次数最少。 （3）至少称3次才能保证找出次品。先分成3份（3，3，4）。第一次称重：天平两侧放两个3袋。如果天平平衡，次品在剩下的4袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个2袋，如果天平平衡，次品在剩下的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平不平衡，次品在轻的一侧的2袋中，进行第三次称重：天平两侧放两个1袋。 如果天平不平衡，次品在轻的一侧的3袋中，进行第二次称重：天平两侧放两个1袋；如果天平平衡，次品是剩下的1袋。如果天平不平衡，次品是轻的那一袋。因此，至少需要称3次才能保证找出次品。 （4）用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成3份，能平均分的要平均分，不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差1，这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）首先，将11袋薯片分成3份（4，4，3）。然后，将其中的两份4袋薯片放在天平的两端进行比较。然后根据天平的平衡情况，确定次品可能存在的范围。如果天平平衡，说明次品在剩下的3袋中；如果天平不平衡，说明次品在较轻的4袋中；最后根据次品可能存在的范围，再次分组和比较，找出次品。如果次品在3袋中，将这3袋薯片分成3份，每份1袋，然后，比较，找出次品。如果次品在4袋中，将这4袋薯片分成2份，每份2袋，然后进行比较，找出次品。12袋的情况相似，所以11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 答：11袋、12袋都是至少称3次才能保证找出次品。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）妈妈买了9袋饼干，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的饼干？把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出这袋饼干至少需要称的次数 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） 9 5（2，2，2，2，1） 【答案】见详解 【思路引导】找次品：在处理寻找次品的问题时，采用三分法是最有效的策略；三分法指的是将待检物品分为三组，其中两组放置在天平的两端进行称量，根据天平的倾斜方向确定次品所在的组别，然后继续对含有次品的组别进行同样的操作，直至找到次品。 【规范解答】 袋数 分成的份数 保证能找出这袋饼干至少需要称的次数 9 3（3，3，3） 2 9 4（2，2，2，3） 3 9 5（2，2，2，2，1） 3 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，馋嘴的小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ 【答案】（1）见详解 （2）3次 （3）有可能 【思路引导】（1）第一次，把11筐桃子分成3份（4、4、3），取其中的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的一筐在未取的一份中，若天平不平衡，则取较轻的一份继续； 第二次，若天平不平衡，取较轻的一份（4筐）平均分成2份，每份2筐，分别放在天平两侧，若天平不平衡，则可找到较轻的上升一端的2筐中；取另外第三次，把上升一端的2筐分别放在天平的两端，则上升的一端就是被吃了的那筐；若天平平衡，则较轻的一筐在剩下的3筐中；取剩下的3筐，取其中2筐，若天平平衡，则剩下的1筐被吃掉的那框；若天平不平衡，则轻的为被吃的那筐； 第三次，拿出2筐分别放在天平的两端，若平衡，剩下的一筐是被吃了的，若不平衡，则上升的一端是被吃了的那筐，据此即可解答； （2）根据以上叙述，可得，最少可以用3次即可找出被吃了的那筐桃子； （3）根据事件发生的可能性原理可知，如果天平两边各放5筐，如果天平平衡，则较轻的为剩余的1筐，所以有可能称一次就找到这筐桃子. 【规范解答】（1） （2）至少称3次可以保证找出来。 （3）如果此时天平平衡，那么剩下的一筐就是被吃了3个的那筐，即称一次有可能找出来。 高频考点五 易错点辨析（“保证”与“可能”） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南娄底·期末）有26枚金币，有一枚金币较轻，是次品，用天平至少称4次才能保证找出这枚次品金币。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】把26枚金币平均分成3份，即（9，9，8）。第一次称，天平两边各放9枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的9枚中；如果天平平衡，次品在剩下的8枚中；考虑最不利因素，次品在数量多的里面，把有次品的9枚金币平均分成3份，每份是3枚，即（3，3，3），第二次称，天平两边各放3枚，如果天平不平衡，次品就在较轻的3枚中；如果天平平衡，次品在剩下的3枚中；最后把有次品的3枚金币分成（1，1，1），第三次称，天平两边各放1枚，如果天平不平衡，次品就是较轻的那1枚；如果天平平衡，次品就是剩下的那1枚。所以至少称3次保证能找出这枚次品金币。 【规范解答】 用天平至少称3次才能保证找出这枚次品金币。 原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南新乡·期末）有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称3次就能保证把这瓶找出来。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】把9瓶药平均分成3份，每份3瓶，即（3，3，3），第一次称，天平两边各放3瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就在天平翘起的3瓶中；如果天平平衡，较轻的药品在剩下的3瓶中；再把有较轻药品的3瓶药分成3份，即（1，1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，较轻的药品就是天平翘起的那一瓶；如果天平平衡，较轻的药品是剩下的那1瓶。所以至少称2次就能保证把这瓶找出来。 【规范解答】 有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称2次就能保证把这瓶找出来。 原题说法错误。 故答案为：× 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·江西南昌·期末）有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】根据找次品问题的解题策略，将物品尽可能均分三组（9、9、10），先称9瓶的两组，若平衡，盐水在第三组；若不平衡，盐水在重的组，最终通过天平平衡与否逐步缩小盐水所在范围，直至确定盐水。 【规范解答】第一次将28瓶分成9瓶、9瓶、10瓶，先称9瓶的两组：若平衡，盐水在第三组10瓶中；若不平衡，在较重的9瓶中；第二次将较重的9瓶分成3、3、3，称3瓶的两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至3瓶），若不平衡，在较重的3瓶中（将范围缩小至3瓶）；或者将含有盐水的10瓶分成3、3、4，称3瓶的两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至4瓶），若不平衡，在较重的3瓶中（将范围缩小至3瓶）；第三次将较重的3瓶分成1、1、1，称前两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至1瓶）；若不平衡，较重的1瓶是盐水；或者将含有盐水的4瓶分成1、1、2，称前两组：若平衡，盐水在第三组（将范围缩小至2瓶）；若不平衡，较重的1瓶是盐水；第四次将含有盐水的2瓶分成1、1，较重的1瓶是盐水；因此至少称4次能保证找出这瓶盐水。 故答案为：√ 奥数拓展一 基础规律速判（直接问次数） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南怀化·期末）有20个外观一样的零件，其中一个轻一些，用天平至少称( )次才能保证找到这个次品。 【答案】3 【思路引导】天平是用来称量物体质量的工具，此题并不是称量物体的质量，而是使用天平来比较物体质量的大小，所以，在调好的天平两盘中分别放上物体，当哪边的托盘上升，则说明这边托盘中的物体质量偏小。通过合理分组，利用天平平衡原理，逐步缩小次品所在范围，从而确定找出次品所需的最少次数。 【规范解答】第一次分组：把20个零件分成（7，7，6）三组。将两份7个的分别放在天平秤两端，如果天平平衡，那么次品就在未取的6个中（按照下面方法继续操作）；如果不平衡，次品就在天平轻的一端那7个里面。 若次品在7个零件中：第二次分组：把7个零件分成（3，3，1）三组。把两份3个的分别放在天平秤两端，如果天平平衡，未取的那个就是次品；如果不平衡，次品就在天平轻的一端那3个里面。第三次操作：若次品在3个零件中，把这3个中的任意2个，分别放在天平秤两端，如果天平平衡，未取的那个就是次品，如果不平衡，轻的一端就是次品。 若次品在6个零件中：第二次分组：把6个零件分成（2，2，2）三组。任取两份放在天平秤两端，如果天平平衡，次品就在未取的那2个中；如果不平衡，次品就在天平轻的一端那2个里面。第三次操作：若次品在2个零件中，把这2个分别放在天平秤两端，轻的一端就是次品。 综上，用天平至少称3次才能保证找到这个次品。 有20个外观一样的零件，其中一个轻一些，用天平至少称3次才能保证找到这个次品。 【考点剖析】本题主要考查了学生根据天平平衡的原理解答问题的能力。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川德阳·期末）11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称2次就能找出这个次品。( )（判断对错） 【答案】× 【思路引导】根据找次品的最优策略，将物品尽量平均分成三组。这11个零件，第1次分成4、4、3，若第1次称量4、4平衡，则次品在剩下3个零件中，需再称2次；若第1次称量4、4不平衡，则次品在这8个零件中，剩下的3个零件是正品，将这8个零件重新分组3，3，2，先称数量相同的两组，若天平平衡，则次品在剩下一组里面，需再称1次；若天平不平衡，称其中一组和另外3个正品，依次找出次品所在的组，直到最后找出次品，根据称重过程准确数出称重次数，据此解答。 【规范解答】 综上所述，11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称4次就能找出这个次品，所以题目说法错误。 故答案为：× 【考点剖析】本题主要考查找次品问题，因为不知道次品比正品轻还是比正品重，需要多次称重才能确定次品在哪一组里面，逐步缩小范围直到最后确定次品是解答题目的关键。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·贵州安顺·期末）有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称( )次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。 【答案】3 【思路引导】第一次：把24个玻璃球平均分成三份（8，8，8），每份8个，任意取两份，分别放在天平两端，若平衡，则较轻的在未取的8个中；若不平衡，较轻的在较高端； 第二次：把8个玻璃球分成三份（3，3，2），把其中3个两份放在天平两端，若天平平衡，较轻的在未取的2个中，若不平衡，较轻的在较高端； 第三次：把天平较高的3个玻璃球分成三份（1，1，1），任取两个放在天平两端，若天平平衡，未取的就较轻的，若天平不平衡，较高的记为较轻的，由此可知，至少需要3次才能保证找出这个略轻的玻璃球，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称3次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。 【考点剖析】本题考查找次品问题，关键是尽量将玻璃球平均分成三份。 奥数拓展二 完整推理过程描述（解答题/画图题） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 【答案】见详解 【思路引导】可以通过一个巧妙的方法来实现这一点。首先，我们给这10盒零件依次编号，然后按照编号取出一定数量的零件。具体来说，从第1盒取出1个零件，从第2盒取出2个零件，以此类推，直到从第10盒取出10个零件，我们一共取出了1＋2＋3＋……＋10＝55个零件。接下来，我们把这55个零件放在天平的左端，然后在天平的右端放上和取出零件相等重量（如果都是标准件）的砝码，即550克。如果天平平衡，那么说明所有零件都是标准件；如果天平不平衡，那么次品就在取出的零件中。 【规范解答】把10盒零件依次编号①至⑩，然后按编号数分别取对应个数零件，也就是①号盒取1个，②号盒取2个……⑩号盒取10个，一共取出55个零件。把取出的55个零件一起放在天平左端，在天平右端放550克砝码，天平放砝码的一端低，在天平左端一个一个地放1克的砝码，直到天平平衡，放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 【考点剖析】解答本题的关键是取零件时，按照编号数取，即几号盒就取几个零件；放几个1克砝码，那么几号盒中的零件就是次品。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 【答案】至少称3次；称量方案见详解 【思路引导】第一次：用5g砝码和30g砝码称35g糖；第二次：用30g砝码加35g糖称65g糖；第三次：用第一次和第二次的糖共（g）称100g糖，最后剩下的糖也是100g。 【规范解答】第一次：用砝码称35g糖； 第二次：（g），用30g砝码加35g糖称65g糖； 第三次：（g）第一次和第二次的糖共100g，即可再称出100g糖，最后剩下的糖也是100g。 答：至少要称3次。 【考点剖析】本题考查了找次品方法的灵活应用，天平的特点是只要平衡，两边一样重。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？ 【答案】27个 【思路引导】（1）如果有3个玻璃球，称1次能够找出次品：把3分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要2次才能找出次品； （2）如果有3×3＝9个玻璃球，最少需要2次能够找出次品：把9分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要3次才能找出次品； （3）如果有3×3×3＝27个玻璃球，最少需要3次能够找出次品：把27分成三组（9，9，9），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（3，3， 3），先称其中两组玻璃球，如果天平平衡，次品在剩下一组里面，如果天平不平衡，次品在天平下沉的一组里面；把次品所在组的玻璃球分成三组（1，1，1），先称其中两个玻璃球，如果天平平衡，剩下的一个是次品，如果天平不平衡，天平下沉的一端是次品；如果再多1个玻璃球，则最少需要4次才能找出次品；据此解答。 【规范解答】当玻璃球个数为9个时，至少需要称2次找出次品，当玻璃球个数为10个时，至少需要称3次找出次品，当玻璃球个数为27个时，至少需要称3次找出次品，如果至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球，这堆玻璃球可能有10~27个。 答：这堆玻璃球最多有27个。 【考点剖析】掌握找次品问题的解题方法是解答题目的关键。 奥数拓展三 根据称重次数计算数量最多或最少多少个 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）已知一堆物品中有一个是次品（比正品轻），如果用天平至少称5次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 【答案】82个；243个 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）有一箱乒乓球（外观完全相同），其中里面含有一个较重的次品球，如果称5次才能找出这个次品球，这个箱子中最少有多少个乒乓球？最多呢？ 【答案】最少有82个，最多243个 【思路引导】根据找次品的规律，当物品个数最多在3n时，至少需要n次即可找到次品。所以如果5次才能找到次品，则物品的个数应大于34＝81（个），小于或等于35＝243（个）。 【规范解答】34＝81（个） 81+1＝82（个） 35＝243（个） 即：81＜乒乓球的个数≤243 答：这个箱子中最少有82个乒乓球，最多243个。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）中秋节那天，马阿姨买了一些月饼，其中一盒质量不足．用天平称，保证称2次就能找出质量不足的那盒．马阿姨至少买了几盒月饼？最多买了几盒月饼？ 【答案】4盒   9盒 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·山西忻州·期末）有7瓶酱油，其中有6瓶的质量相同，另一瓶酱油的质量稍微轻些，用天平至少称（    ）次，能保证找出这瓶酱油。 A．1 B．2 C．3 【答案】B 【思路引导】把7瓶酱油分成3瓶、3瓶、1瓶这样三组。将两份3瓶的分别放在天平秤两端。 情况一：若天平平衡，说明剩下的那1瓶就是质量稍轻的，这样仅需称1次就找出了。但这是幸运情况，题目要求“保证找出”，得考虑最不利情形。 情况二：若天平不平衡，那么质量稍轻的那瓶在天平轻的一端的3瓶之中。 第二次称重：针对天平轻的一端的3瓶，任取其中2瓶，分别放在天平秤两端。 情况一：若天平平衡，说明没称的那1瓶就是质量稍轻的。 情况二：若天平不平衡，轻的一端放的就是要找的那瓶质量稍轻的酱油。 【规范解答】第一次将7瓶分成3瓶、3瓶、1瓶，称量两组3瓶：若平衡，剩余1瓶为次品，共1次（但需按最坏情况分析）。若不平衡，次品在较轻的3瓶中。 第二次从较轻的3瓶中取2瓶称量：若平衡，剩余1瓶为次品；若不平衡，轻的一侧为次品。 所以用天平至少称2次，能保证找出这瓶酱油。 故答案为：B 2．（24-25五年级下·河南信阳·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。小明想用天平把次品找出来，他把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，那么下面判断正确的是（    ）。 A．①是次品 B．②是次品 C．③是次品 D．无法判断 【答案】C 【思路引导】已知有3瓶钙片，其中1瓶少了3片（即次品），说明次品比正常的要轻。把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，说明①和②的质量相同，那么少了3片的次品就是③。 【规范解答】①②分别放在天平的两端，天平平衡，那么少了3片的次品就是③。 所以判断正确的是选项C中的“③是次品”。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·江西吉安·期末）用天平找次品时，应把物品分成3份，其中至少有（    ）份数目相同。 A．2 B．3 C．不确定 【答案】A 【思路引导】用天平找次品时，将物品分成3份的最优策略是尽可能平均分配。根据数学原理，当物品总数不能被3整除时，至少有两份数目相同；当能被3整除时，三份数目相同。因此无论总数如何，至少有两份数目相同。 【规范解答】根据找次品的方法，将物品分成3份时： 若总数能被3整除（如3、6、9），则三份数目相同。 若总数不能被3整除（如4、5、7、8），则分成两份数目相同，第三份多1或少1（如4→1，1，2；5→2，2，1）。 综上所述，无论总数是否为3的倍数，至少有两份数目相同。 故答案为：A 4．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。 【答案】 3 平均 【规范解答】 平均分成3份天平称量只有3种结果左边轻 、​右边轻 ​、两边一样重  ，一次称量就能直接排除掉2份物品，最快锁定次品在哪一份。不能平均分的时候，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。最多的一份4个，最少的一份3个，只相差1，各组数量接近可确保无论次品在哪组，剩余待排查物品数量都最少。 5．（24-25五年级下·湖南株洲·期末）“双减”后，体育器材的需求增加，某体育用品厂生产的12个羽毛球中有1个轻一些。如果用天平称，那么至少称( )次能保证找到这个羽毛球。 【答案】3 【思路引导】第一次称重：把12个羽毛球分成4个，4个，4个三份。把其中两份（4个的两份）分别放在天平秤两端，若天平秤平衡，则较轻的羽毛球在未取的那4个中；若不平衡，则较轻的羽毛球在天平秤较高端的4个中。 第二次称重：若第一次称重后较轻的在4个中，把这4个分成2个，2个两份，分别放在天平秤两端，较轻的羽毛球在天平秤较高端的2个中。若第一次称重后较轻的在另外4个中，同样把这4个分成2个，2个两份，放在天平秤两端，较轻的羽毛球在天平秤较高端的2个中。 第三次称重：把第二次称重后较高端的2个羽毛球，分别放在天平秤两端，较高端的那个就是较轻的羽毛球。 【规范解答】第一次称：把12个羽毛球分成3份，每份4个。取两份放天平两端，若平衡，轻的在没称的4个里；若不平衡，轻的在天平高的那4个里。 第二次称：把有轻羽毛球的4个分成2份，每份2个，放天平两端，轻的在天平高的那2个里。 第三次称：把这2个分别放天平两端，天平高的一端就是轻的羽毛球。 至少称3次能保证找到这个羽毛球。 6．（24-25五年级下·山东济宁·期末）在乒乓球比赛中，对乒乓球的要求非常严格。现有11个乒乓球，其中10个质量相同，另一个是次品（次品重一些）。用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 【答案】3 【思路引导】要求“保证找出次品”，需要考虑最不利的情况，找次品的最优策略是尽量平均分成三组，以此分析即可。 【规范解答】第一次称：把11个乒乓球分成4个、4个、3个，把两份4个放在天平两端，最坏情况次品在较重的那4个中； 第二次称：把含次品的4个分成1个、1个、2个，把两份1个放在天平两端，最坏情况次品在较重的那2个中； 第三次称：把含次品的2个分开放天平两端，较重的就是次品。 因此至少称3次才能保证找出次品。 7．（22-23五年级下·湖南衡阳·期末）如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】把10个零件分成3份，即（3，3，4）﹔第一次称，天平两边各放3个，如果天平不平衡，次品就在较轻的3个中；如果天平平衡，次品在剩下的4个中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，把有次品的4个零件分成（1，1，2），第二次称，天平两边各放1个，如果天平不平衡，次品就是较轻的那一个；如果天平平衡，次品在剩下的2个中；最后把有次品的2个零件分成（1，1），第三次称，天平两边各放1个，次品就是较轻的那一个。所以至少称3次保证就一定能找出次品。 【规范解答】 根据分析得， 用天平至少称3次就能保证把这个次品找出来。 故答案为：√ 【考点剖析】找次品的最优策略：一是把待测物品分成3份；二是要尽量平均分，不能平均分的，应该使多的一份与少的一份只相差1。这样不但能保证找出次品，而且称的次数一定最少。 8．从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来。( )（判断对错） 【答案】√ 【思路引导】第一次，把10件物品分成3份：3件、3件、4件，取3件的两份分别放在天平两侧，若天平平衡，较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续； 第二次，取含有较轻物品的一份（3件或4件），取2件分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的物品在未取的一份中，若天平不平衡，则天平较高的一端为较轻的物品； 第三次，取含有较轻物品的两件分别放在天平两侧，即可找到轻的物品。 【规范解答】从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来，说法正确； 故答案为：√。 【考点剖析】熟练掌握找次品的解答方法是解答本题的关键，待测物品在分组时，尽量平均分，当不能平均分时，最多和最少只能差1。 9．（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 【答案】3次；流程图见详解 【思路引导】根据题意，把12瓶钙片分成3份（4瓶、4瓶、4瓶），取其中两份分别放在天平两侧，若天平平衡，则质量较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，取较轻的一份继续；第二次，取含有较轻的一份（4瓶）分成3份（1瓶、1瓶、2瓶），将1瓶的2份分别放在天平两侧，若天平平衡，则较轻的在未取的一份中，若天平不平衡，则较轻的一份就是次品；第三次，取含有较轻的一份（2瓶）分别放在天平两侧，即可找到较轻的；据此解答。 【规范解答】 答：如果用天平称，至少称3次能保证找出次品。 10．（23-24五年级下·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【答案】3次；方法和过程见详解 【思路引导】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1。 【规范解答】把12袋奶粉分成（4、4、4），称（4、4），无论平衡不平衡，都可确定次品在其中4袋； 将4袋分成（1、1、2），称（1、1），不平衡，轻的是次品，平衡，次品在2袋中； 将2袋分成（1、1），再称1次，轻的是次品，共3次。 答：至少秤3次才能保证找出这袋次品。 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）有8瓶水，其中1瓶是盐水（略重一点），至少要称（    ）次才能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【思路引导】解决“找次品”一类问题，规律是“尽量均分和一分为三”，据此可以找出合适的办法。 【规范解答】把8瓶水分成3瓶，3瓶和2瓶，先在天平两端各放3瓶水，如果天平平衡，说明次品在另外2瓶中，再称一次即可；如果天平不平衡，则把天平下沉的一端的3瓶取出，再分成1瓶，1瓶和1瓶，再称一次，因此共用2次，保证找到次品。 2．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）6瓶眼药水外形完全一样，其中1瓶少了几毫升，用天平至少称（    ）次能保证找出这瓶眼药水。 A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 【答案】A 【思路引导】把6瓶眼药水平均分成3份，即（2，2，2），第一次称，天平两边各放2瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的2瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的2瓶中；最后把有次品的2瓶眼药水分成2份，即（1，1），第二次称，天平两边各放1瓶，次品就是较轻的那一瓶。所以至少称2次能保证找出这瓶眼药水。 【规范解答】如图： 所以用天平至少称2次能保证找出这瓶眼药水。 故答案为：A 3．（24-25五年级下·江西南昌·期末）有32瓶口香糖，其中31瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称（    ）次一定能找出这瓶少的口香糖。 A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【思路引导】把32瓶口香糖分成3份，即（11，11，10），第一次称，天平两边各放11瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的11瓶中；如果天平平衡，次品在剩下的10瓶中；考虑最不利原则，次品在数量多的里面，然后把有次品的11瓶口香糖分成3份，即（4，4，3），第二次称，天平两边各放4瓶，如果天平不平衡，次品就在较轻的4瓶中，再把有次品的4瓶口香糖分成（1，1，2），第三次称，天平两边各放1瓶，如果天平不平衡，次品就是较轻的那个；如果天平平衡，次品就在剩下的2瓶中。最后把有次品的2瓶口香糖分成2份，即（1，1），第四次称，天平两边各放1瓶，天平不平衡，次品就是较轻的那个。所以用天平至少称4次一定能找出这瓶少的口香糖。 【规范解答】 所以用天平至少称4次一定能找出这瓶少的口香糖。 故答案为：C 4．（24-25五年级下·广西南宁·期末）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 【答案】3 【思路引导】有10袋白糖，其中一袋比500g轻，根据寻找次品的最优策略，可以将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋三份进行称重，找出次品。 【规范解答】将10袋白糖分成3袋，3袋，4袋。 第一次称量：在天平两端各放3袋白糖，平衡则次品在剩余4袋里面，如果不平衡则次品在轻的这边。 第二次称量：把3袋白糖平均分成3份，取两份分别放在天平两端，如果平衡，则剩余那袋为次品；如果不平衡，则轻的是次品；把4袋白糖平均分成2份，分别放在天平的两端，次品在轻的这边。 第三次称量：把2袋白糖分别放在天平的两端，则次品是轻的那一边。 所以用天平称至少称3次就能保证把轻的那袋找出来。 5．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末）有10瓶钙片，其中1瓶是次品（较轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 【答案】3 【思路引导】三分法：每次将物品分成三组，利用天平称量的结果（左轻，右轻，平衡）缩小次品范围。 最坏情况分析：需保证在最不利的情况下（次品所在组需要最多次数）仍能完成任务。 【规范解答】第一次称量，将10瓶分成三组：3瓶，3瓶，4瓶。称量两组3瓶： 若平衡，次品在剩余4瓶中。若不平衡，次品在较轻的3瓶中。第二次称量，情况1：次品在3瓶中，将3瓶分成1瓶，1瓶，1瓶，称量两瓶：平衡则剩下一瓶是次品； 不平衡则较轻的一瓶是次品。总次数为2次；情况2：次品在4瓶中，将4瓶分成1瓶，1瓶，2瓶，称量两瓶：平衡则次品在剩余2瓶中，不平衡则较轻的一瓶是次品；总次数：2次后需再称一次，第三次称量（仅针对情况2的剩余2瓶）称量剩余2瓶中的一瓶与正品比较：若轻则是次品，否则为另一瓶。总次数：3次；结论：最坏情况下需称3次，因此至少需要3次。 6．（23-24五年级下·山西长治·期末）有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 【答案】2；见详解 【思路引导】找次品的最优策略：（1）把待分物品分成3份；（2）每份数量尽量平均，如果不能平均分的，也应该使多的一份与少的一份只相差1，据此解答。 【规范解答】把7个零件分成2个、2个、3个，共3份； 第一次称量： 把每份2个零件的两份分别放在天平两端，如果平衡，次品就在3个中；如果不平衡，较轻的两个零件中有一个是次品； 第二次称量： 如果次品在3个中，把天平两端各放一个，如果平衡，次品就是剩下的一个；如果不平衡，较轻的那个零件就是次品； 如果次品在2个中，天平两端各放一个，再称一次，较轻的那个零件就是次品。 因此如果用天平称，至少称2次能保证找出这个次品。 7．（23-24五年级下·山东济南·期末）有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。 （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 【答案】（1）有可能 （2）不能 （3）3次；见解析 【思路引导】要达到次数最少，需要将要识别的物品的数目尽可能均匀的分成三份，然后每次称重时，需要将数目相等的两份放到天平两边称重，不断识别，一直到找到次品为止。 【规范解答】（1）称1次有可能把这盒稍重的果脯找出来。将25盒果脯分成3份：12，12，1，第一次称重，在天平两边各放12盒，手里留1盒，正好天平平衡。 （2）如果称2次，不能保证把这盒稍重的果脯找出来。 （3）将25盒果脯分成3份：8，8，9；第一次称重，在天平两边各放8盒，手里留9盒； ①如果天平平衡，则次品在手里，将手里的9盒分为3，3，3，在天平两边各放3盒，手里留3盒。 a.如果天平平衡，则次品在手里3盒中，将手里的3盒分为1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，就可以鉴别出次品； b.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中。 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； ②如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的8盒中，将这8盒分为3，3，2，在天平两边各放3盒，手里留2盒。 a.如果天平不平衡，则次品在升起的天平托盘的3盒中， 接下来，将这3盒分成三份：1，1，1，在天平两边各放1盒，手里留1盒，称重第三次就可以鉴别出次品； b.如果天平平衡，则次品在手中的2盒中。 接下来，将这2盒在天平两边各放1盒，称重第三次就可以鉴别出次品。 答：至少称3次可以保证把这盒稍重的果脯找出来。 8．有7袋糖，其中6袋每袋800克，另一袋不是800克，至少称几次可以把它找出来？ 【答案】3次 【思路引导】在找次品时，把物体分成3份，每份数量尽量平均时，可以保证找出次品时称量的次数最少。 【规范解答】用①、②、③、④、⑤、⑥、⑦分别表示这7袋糖，另一袋不是800克，但不知道是比800克重还是轻。把这7袋糖分成三份，即①②为一份、③④为一份、⑤⑥⑦为一份。 （1）把①②和③④分别放在天平两边，如果天平平衡，说明次品在⑤⑥⑦中；把①②和⑤⑥分别放在天平两边，如果天平平衡，说明⑦是次品；如果天平不平衡，说明次品在⑤⑥中；再把①和⑤分别放在天平两边，如果天平平衡，说明⑥是次品；如果天平不平衡，说明⑤是次品。即至少称3次可以把次品找出来。 （2）把①②和③④分别放在天平两边，如果天平不平衡，说明次品在①②③④中；把①和②分别放在天平两边，如果天平平衡，说明次品在③④中；再把①和③分别放在天平两边，如果天平平衡，说明④是次品；如果天平不平衡，说明③是次品。把①和②分别放在天平两边，如果天平不平衡，说明次品在①②中；再把①和③分别放在天平两边，如果天平平衡，说明②是次品；如果不平衡，说明①是次品。即至少称3次可以把次品找出来。 答：有7袋糖，其中6袋每袋800克，另一袋不是800克，至少称3次可以把它找出来。 【考点剖析】解决此题时应注意次品的质量可能比合格品轻，也可能比合格品重。 9．（23-24五年级下·广东中山·期末）有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 【答案】3次 【思路引导】本题考查了利用天平判断物体质量的技能，解决这类问题的关键是每次称重后都要有效地缩小搜索范围。在首次称重时，尽量将物体分为数量相近的三组，这样可以最大化每次称重的信息量。每次称重后，根据结果排除一部分正常或不可能的选项，缩小搜索范围。最终找到质量不同的那一盒。 【规范解答】一、首次称重： 将16盒糖果分为三组，分别为5盒、5盒和6盒。选择两组各5盒的糖果进行称重。 情况A：如果两边平衡，说明这10盒糖果都是正常的，少一块的糖果一定在未被称重的那组6盒里。 情况B：如果两边不平衡，则说明少一块的糖果一定在较轻的那组5盒里。 二、对于情况A的后续称重： 第二次称重：将这6盒糖果分为三组，每组2盒，任选两组进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果在未被称重的2盒中。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 第三次称重：从疑似的2盒糖果中任选一盒与正常的一盒糖果进行称重。 如果平衡，则未称重的那盒是少一块的。 如果不平衡，则较轻的那盒是少一块的。 三、对于情况B的后续称重： 第二次称重：将这5盒糖果分为三组，分别为2盒、2盒和1盒。选择两组各2盒的进行称重。 如果两边平衡，说明少一块的糖果是单独的那1盒。 如果不平衡，则少一块的糖果在较轻的那组2盒中。 如果在第二次称重后确定少一块的糖果在2盒中，则第三次称重与情况A中的第三次称重相同，即任选一盒与正常的一盒糖果进行称重，以确定哪一盒是少一块的。 综上所述，至少需要三次才能找出来。 答：至少称3次就能够保证找出这盒糖果。 【考点剖析】对于这类题，一定要用好“分组策略”和“排除法”。 通过合理的分组和称重策略，去排除一部分正常或不可能的情况，缩小搜索范围。一般采用“三分法”，即首次称重时把物体分成尽可能相等的三份。对于未确定的部分，要继续采用类似的分组和称重策略，直到找到异常物体。 10．吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放粽叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。 (1)在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． (2)根据上面的信息，算式解决的问题是：________。 (3)某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称( )次，能保证找到这个枣子粽。 (4)聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。 【答案】(1)B (2)糯米的质量是火腿粽质量的几分之几 (3)3 (4)见详解 【思路引导】（1）由题意可知，蜜枣有2×6＝12克，根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”用蜜枣的质量除以糯米的质量即可； （2）由题意可知，100克是糯米的质量，（100＋50）克是火腿粽的质量，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法计算，则解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几； （3）由题意可知，火腿粽的质量要大于枣子粽的质量，即枣子粽的质量较轻，把12个粽子平均分成三份（4，4，4），在天平两端各放1份，若平衡，枣子粽在剩下的那份中，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中；再将含有枣子粽的这一份分成2份（2，2），在天平两端各放1份，若不平衡，枣子粽在轻的那一份中，再称一次即可，即至少称3次即可找到这个枣子粽； （4）根据排水法的方法，枣子粽的体积即是一个底面积等于容器底面积、高为放粽子前后容器内水位变化高度的长方体的体积。 【规范解答】（1）在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”可列式为。 故答案为：B （2）根据上面的信息，算式解决的问题是：糯米的质量是火腿粽质量的几分之几。 （3）由分析可知： 如果用天平称，至少称3次，能保证找到这个枣子粽。 （4）在玻璃容器中放入能淹没枣子粽的水，用尺子测量放枣子粽前后水面的高度h1、h2，再测量出正方体容器的棱长a，最后用a×a×（h2－h1）求出枣子粽的体积。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026学年人教版数学五年级下册期末真题汇编培优讲练 第八单元 数学广角-找次品『期末复习精编讲义』（培优版） 【原卷版】 （思维导图+知识梳理+5个考点讲练+3个奥数拓展+真题演练 共44题） 同学你好，该份讲义用于人教新五年级下册内容期末培优复习使用，全套内容非常全面，非常适合培优拔尖使用。资料包含： 1. 导图指引：一目了然知晓讲义复习内容，快速锁定复习目标； 2. 知识梳理：强化巩固细节知识，给出提分方法，解题技巧，帮助你理解运用知识点； 3. 期末真题考点讲练：优选高频期末考察点，汇编整理，精选近两年各地名校易错题，压轴题，常考题等类型题，精耕细作，充分学习专题考察内容；一讲多练，事半功倍 4. 奥数拓展拔尖冲刺：结合单元学习内容优选难点考点，强化解题技能，拓展解题思路！ 5. 优选期末真题难度分层集训：结合本专题内容精选20题历年常考、易错、压轴类题型，难度分层，强化学生对专题的理解掌握，充分发挥解题技巧。 导图指引 梳理脉络 2 知识梳理 温故知新 2 考点讲练 真题汇总 3 高频考点一 基础规律速判（直接问次数） 3 高频考点二 最优分组策略选择 3 高频考点三 利用天平检测残次品 4 高频考点四 完整推理过程描述（解答题/画图题） 4 高频考点五 易错点辨析（“保证”与“可能”） 6 奥数拓展 拔尖冲刺 6 奥数拓展一 基础规律速判（直接问次数） 6 奥数拓展二 完整推理过程描述（解答题/画图题） 7 奥数拓展三 根据称重次数计算数量最多或最少多少个 7 优选真题 实战演练 8 【基础夯实 知识巩固】 8 【拓展提高 能力拔尖】 9 知识点一 打电话问题 1. 每增加1分钟，新接到通知的队员人数正好是前一分钟所有接到通知的队员和老师的总人数，也就是到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数是前（n-1）分钟所有接到通知的队员和老师的总人数的2倍。 2. 根据总结发现，从第1分钟到第n分钟所有接到通知的队员和老师的总人数看；第1分钟，共有2人，2=21；第2分钟，共有4人，4=22；第3分钟，共有8人，8=23；第4分钟，共有16人，16=24；第5分钟，共有32人，32=25；第6分钟，共有64人，64=26；第7分钟，共有128人，128=27…由此推得：到第n分钟，所有接到通知的队员和老师的总人数为2n人，所有接到通知的队员的总人数为（2n-1）人。 知识点二 找次品问题 1. 从上面的称量过程中可以知道，在3瓶钙片中找岀1瓶次品，可以利用天平平衡的原理 解决。 2. 找次品的最优策略： （1）把待测物品分成3份。 （2）要分的尽量均匀，能平均分的就平均分成3份，不能平均分的，也应该使多的一份与少 的一份只相差1。 高频考点一 基础规律速判（直接问次数） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南信阳·期末）8颗珍珠中有一颗质量较轻，把较轻的珍珠找出来，可以把8颗珍珠分成( )份，这样至少称( )次就能保证找出次品来。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河北承德·期末）有10瓶外观一样的钙片，其中一瓶少了几片，用无砝码的天平称，至少称( )次才能找出来。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川凉山·期末）有28盒外观完全相同的饼干，其中27盒质量相同，另一盒是次品，质量稍重一些。如果用天平称，至少称( )次就一定能找出这盒次品。 高频考点二 最优分组策略选择 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·西藏拉萨·期末）科学实验课上，老师带来6个外观完全相同的小球，其中一个质量稍轻（次品）。同学们用天平称，要保证2次能找出次品小球，比较合适的分法是（    ）。 A．分成3份，（2，2，2） B．分成3份，（1，2，3） C．分成3份，（1，1，4） D．分成4份，（1，1，2，2） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·浙江杭州·期末）有26盒饼干，其中只有一盒略重，假如用天平称，至少称几次能保证找出这盒略重的饼干。解决这个问题，第一次称时应按下面的（    ）种分法来称。 A．2份（13，13） B．3份（8，9，9） C．3份（8，8，10） D．3份（10，10，6） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·广东广州·期末）有8颗外观一样的铁珠，其中有7颗一样重，另外有1颗比其他7颗稍轻些，如果用一架天平称2次就能保证找出这颗稍轻的铁珠，最合适的方法是先把这些铁珠分成（    ），然后再称。 A． B． C． D． 高频考点三 利用天平检测残次品 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·新疆乌鲁木齐·期末）有5个零件，其中只有一个是次品，重量稍重。根据如图所示可以推断（    ）号零件一定是正品。 A．①② B．②③④ C．①⑤ D．③④⑤ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·河南郑州·期末）有5个零件，分别是A、B、D、E、F，其中有一个是次品，质量稍重，根据下图可以推断出（    ）。 A．A一定是次品 B．B一定是次品 C．D、E和F一定都是正品 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·内蒙古呼和浩特·期末）有8袋积木，其中有一袋少装了一块，是次品。假如用天平称（不用砝码），下面是第一次称的情况，请分析并填空。 (1)如果不平衡，次品在( )中；如果平衡，次品在( )中。 (2)要找到次品，最少要称( )次。 高频考点四 完整推理过程描述（解答题/画图题） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）汪阿姨买了9袋薯片，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的薯片？ （1）把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出次品至少需要称的次数 9 3（4，4，1） 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） （2）表中哪种方法需要称的次数最少？ （3）如果10袋薯片中有1袋是次品（次品轻一些），至少称几次才能保证找出次品？是怎么称的？ （4）我发现：用天平找次品（只含1个次品，已知次品比正品重或轻），如果待测物品是3个或3个以上，首先要把待测物品分成（    ）份，能平均分的要（    ），不能平均分的要使最多的那一份与最少的那一份相差（    ），这样可以保证找出次品时称的次数最少。 （5）用你发现的方法找出11袋、12袋薯片中的1袋次品（次品轻一些），看看至少称几次才能保证找出次品。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）妈妈买了9袋饼干，其中8袋质量相同，另外1袋质量不足为次品。怎样用天平找出这袋质量不足的饼干？把下表补充完整。 袋数 分成的份数 保证能找出这袋饼干至少需要称的次数 9 3（3，3，3） 9 4（2，2，2，3） 9 5（2，2，2，2，1） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）猴妈妈的水果店进了11筐相同质量的桃子，馋嘴的小猴偷吃了某一筐中的3个桃子。怎样找出这筐桃子呢？ （1）给11筐桃子依次编号①，②，…，，填一填。 （2）至少称几次可以保证找出来？ （3）如果天平两边各放5筐，称一次有可能找出来吗？ 高频考点五 易错点辨析（“保证”与“可能”） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南娄底·期末）有26枚金币，有一枚金币较轻，是次品，用天平至少称4次才能保证找出这枚次品金币。( )（判断对错） 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·河南新乡·期末）有9瓶药品，其中1瓶轻一些，其他的都一样重，用无砝码天平秤，至少称3次就能保证把这瓶找出来。( )（判断对错） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·江西南昌·期末）有28瓶水，其中27瓶质量相同，另有1瓶是盐水，比其它的水略重一些。假如用天平称，至少称4次能保证找出这瓶盐水。( )（判断对错） 奥数拓展一 基础规律速判（直接问次数） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·湖南怀化·期末）有20个外观一样的零件，其中一个轻一些，用天平至少称( )次才能保证找到这个次品。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·四川德阳·期末）11个零件中有一个是次品，用天平称，至少称2次就能找出这个次品。( )（判断对错） 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（23-24五年级下·贵州安顺·期末）有24个外形一样的玻璃球，其中23个质量相同，有一个略轻，用天平至少称( )次才能保证找出这一个略轻的玻璃球。 奥数拓展二 完整推理过程描述（解答题/画图题） 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·单元复习）有10盒零件，其中1盒是次品，次品那盒中的每个零件都比标准质量（10克）轻1克；由于管理员粗心，忘记是哪一盒，一时难以分辨；你能用天平称1次就把那盒次品找出来吗？说说你称的过程。 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）（24-25五年级下·全国·课后作业）一架天平只有5g和30g两个砝码，要把300g白砂糖平均分成3份，至少要称几次？请写出称量方案。 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）有一堆玻璃球，其中有一个较重的是次品，王老师告诉大家：若用天平去称，至少称3次就一定能找出这个较重的玻璃球。这堆玻璃球最多有几个？ 奥数拓展三 根据称重次数计算数量最多或最少多少个 【典例精讲】(⭐️⭐️⭐️⭐️）已知一堆物品中有一个是次品（比正品轻），如果用天平至少称5次就能保证找出这个次品，这堆物品最少有多少个？最多有多少个？ 【变式训练1】(⭐️⭐️⭐️⭐️）有一箱乒乓球（外观完全相同），其中里面含有一个较重的次品球，如果称5次才能找出这个次品球，这个箱子中最少有多少个乒乓球？最多呢？ 【变式训练2】(⭐️⭐️⭐️⭐️）中秋节那天，马阿姨买了一些月饼，其中一盒质量不足．用天平称，保证称2次就能找出质量不足的那盒．马阿姨至少买了几盒月饼？最多买了几盒月饼？ 【基础夯实 知识巩固】 1．（24-25五年级下·山西忻州·期末）有7瓶酱油，其中有6瓶的质量相同，另一瓶酱油的质量稍微轻些，用天平至少称（    ）次，能保证找出这瓶酱油。 A．1 B．2 C．3 2．（24-25五年级下·河南信阳·期末）有3瓶钙片，其中1瓶少了3片。小明想用天平把次品找出来，他把3瓶分别标记为①②③，将①②分别放在天平的两端，如果天平平衡，那么下面判断正确的是（    ）。 A．①是次品 B．②是次品 C．③是次品 D．无法判断 3．（23-24五年级下·江西吉安·期末）用天平找次品时，应把物品分成3份，其中至少有（    ）份数目相同。 A．2 B．3 C．不确定 4．（24-25五年级下·山东菏泽·期末）找次品的最优策略：把待测物品分成( )份。尽量( )分，如果不能平均分，也要使多的一份与少的一份只相差1，如11（4，4，3）。 5．（24-25五年级下·湖南株洲·期末）“双减”后，体育器材的需求增加，某体育用品厂生产的12个羽毛球中有1个轻一些。如果用天平称，那么至少称( )次能保证找到这个羽毛球。 6．（24-25五年级下·山东济宁·期末）在乒乓球比赛中，对乒乓球的要求非常严格。现有11个乒乓球，其中10个质量相同，另一个是次品（次品重一些）。用天平称，至少称( )次才能保证找出次品。 7．（22-23五年级下·湖南衡阳·期末）如果10个零件中有一个次品（次品的质量轻一些），要保证找到次品，至少要称3次。( )（判断对错） 8．从十件相同物品中，九件完全一样，一件稍轻；要找出轻的物品，至少要用天平称3次才能保证找出来。( )（判断对错） 9．（24-25五年级下·湖南·期末）王叔叔做了8个零件，里面有1个是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称2次能保证找出次品，下面是找次品的流程图。 12瓶钙片里有1瓶是次品（次品轻一些）。如果用天平称，至少称几次能保证找出次品？请仿照上面的流程图，画一画，写一写。 10．（23-24五年级下·江西吉安·期末）有12袋奶粉，其中有一袋质量不足，轻一些。如果用天平秤，至少秤多少次才能保证找出这袋次品？（写出分组的方法，并把找的过程表示出来） 【拓展提高 能力拔尖】 1．（24-25五年级下·广东肇庆·期末）有8瓶水，其中1瓶是盐水（略重一点），至少要称（    ）次才能保证找出这瓶盐水。 A．2 B．3 C．4 D．5 2．（24-25五年级上·湖南怀化·期末）6瓶眼药水外形完全一样，其中1瓶少了几毫升，用天平至少称（    ）次能保证找出这瓶眼药水。 A．2次 B．3次 C．4次 D．5次 3．（24-25五年级下·江西南昌·期末）有32瓶口香糖，其中31瓶质量相同，有一瓶少了2粒，用天平至少称（    ）次一定能找出这瓶少的口香糖。 A．2 B．3 C．4 D．5 4．（24-25五年级下·广西南宁·期末）有10袋白糖，其中9袋每袋500g，另有1袋比500g轻。用天平称至少称( )次就能保证把轻的那袋找出来。 5．（24-25五年级下·海南省直辖县级单位·期末）有10瓶钙片，其中1瓶是次品（较轻），用天平至少称( )次能保证找出次品。 6．（23-24五年级下·山西长治·期末）有7个外形一模一样的零件，其中有一个零件略轻一些，看作次品。如果用天平称，至少称（    ）次能保证找出这个次品。请你用画图和文字简洁清楚地表示出称的过程。 7．（23-24五年级下·山东济南·期末）有25盒果脯，其中一盒多了2个，因此稍重了一些。现在只有一架没有砝码的天平。 （1）称1次 把这盒稍重的果脯找出来。（填“有可能”或“不可能”） （2）如果称2次， 保证把这盒稍重的果脯找出来。（填“能”或“不能”） （3）至少称几次可以保证把这盒稍重的果脯找出来？请简单写出称的过程。 8．有7袋糖，其中6袋每袋800克，另一袋不是800克，至少称几次可以把它找出来？ 9．（23-24五年级下·广东中山·期末）有16盒糖果，其中15盒质量相同，另有1盒少了一块。假如用天平称，至少称几次就能够保证找出这盒糖果？用画图或文字等方式表示称重过程。 10．吃粽子：说到粽子，就不得不“南咸北甜”了，即北方人爱吃豆沙粽，枣子粽等甜味粽子，南方人喜欢加入火腿或排骨等的咸味粽子，将100克的糯米和2个6克的蜜枣放粽叶中包成一个四面体，这样一个甜甜的枣子粽就完成了，而火腿粽则需要把2个蜜枣换成50克的火腿肉即可。 (1)在一个枣子粽中，要知道“蜜枣的质量是糯米的几分之几？”下面列式正确的是（    ）。 A． B． C． (2)根据上面的信息，算式解决的问题是：________。 (3)某公司按照配料标准分别生产了一批外观一样的火腿粽和枣子粽，每12个装一袋，但其中一袋火腿粽中混入了1个枣子粽，如果用天平称，至少称( )次，能保证找到这个枣子粽。 (4)聪聪想用排水法测量一个枣子粽的体积，在只有尺子、水和足够大的透明正方体玻璃容器的情况下，请你帮他设计一个实验方案，并用语言叙述出来。 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $null