精品解析：上海市复旦大学附属中学2026届高三下学期毕业考数学试题

2026届复旦附中高三毕业考数学试卷 一、填空题 1. 已知集合，集合，则______． 【答案】 【解析】 【详解】因为集合，集合，所以． 2. 抛物线的准线方程是__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为 准线方程是 ,所以抛物线的准线方程是 3. 不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【详解】原不等式等价于，即，解得，所求解集为． 4. 已知角的终边经过点，则______． 【答案】## 【解析】 【详解】因角的终边经过点，则该点到原点的距离， 于是得，所以． 5. 已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 【答案】3 【解析】 【分析】先求出曲线的导数，再利用导数的几何意义求出处切线的斜率，最后利用平行直线斜率相等求出实数． 【详解】，求导得， 曲线在处的切线斜率， 曲线在处的切线与直线即平行， ． 故答案为：3． 6. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 【答案】-220 【解析】 【详解】因为，所以， 的展开式中含项的系数为. 7. 若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由函数为奇函数可得，结合对数的运算性质可得a得值，再验证即可. 【详解】是奇函数， ，即， ，即， ， 展开整理得， 要使等式恒成立，则有，即，解得． 当时，， 由，得， 解得或，即定义域为或， 定义域关于原点对称，且满足， 成立． 故答案为：-1. 8. 已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】分一元二次方程的判别式大于等于0与小于0，两种情况讨论，利用实系数一元二次方程的虚根成对的性质，计算可求得的最小值. 【详解】若一元二次方程的判别式大于等于0，则方程有两个实数根，即为实数， 由，则，此时， 若一元二次方程的判别式小于0，则为两虚数根， 设、 又因为，所以，所以， 所以 当时，. 综上所述：的最小值为. 故答案为：. 9. 平面上五点满足，，，，则的值为_____． 【答案】3 【解析】 【分析】设，，得到，，则，再代入值计算即可． 【详解】设，， 则， ， ， ． 故答案为：3． 10. 已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 【答案】7 【解析】 【分析】当与位于同一半圆时，可知当三点共线时取得最小值，当位于时，取得最大值；当与分别在两个半平面中时，作出二面角的平面角及在平面上的投影点，设，利用勾股定理和三角恒等变换知识，结合三角函数值域求法可求得所处的范围；综合两种情况可得结果. 【详解】由圆的方程知，圆的半径为，当与位于同一半圆时， 作出该半圆所在的平面图，如下图所示， ， 当且仅当三点共线时取等号， 当位于图中处时，取得最小值； 又当位于图中处时，取得最大值； 当与分别在两个半平面中时，作平面，垂足为， 作轴，垂足为，连接，则三点共线， 设为延长线上的点，则即为翻折后的二面角的平面角， ，，， ，，； 为圆右半圆上的点，可设，， ， ， 其中，，，当， 即时，，则； 又，，即； 可得两点间的距离的取值范围为. 综上所述，两点间距离的最大值是. 11. 如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里） 【答案】 【解析】 【分析】设，在，，中利用正弦定理，可求，进而可求. 【详解】由题意：. 设，则. 在中，即. 在中，. 在中，，即. 将以上三式相乘，得：， 从而有：， 所以：. 所以. 在中，，, 所以. 在中，. 故答案为： 12. 已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 【答案】178 【解析】 【分析】记中满足，都有的函数个数为，设中满足的个数为，满足的个数为．推导出，，结合，，求出答案. 【详解】记满足题设条件的，定义域为的函数的个数为. 显然，当时，（按，排序）：； 当时，， 于是当时，则； 当时，则；当时，则； 从而设中满足的个数为，满足的个数为． 此时有，，且． 整理上式得，，， 所以，，，，，，． 二、单选题 13. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 14. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意知这三个向量共面，这意味着集合中所有点均在同一个过原点的平面上,已知点，本题即寻找一个点，当时，由点和点确定的过原点的平面不包含点. 【详解】由题意知这三个向量共面，即这三个向量不能构成空间的一个基底， 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故A错误； 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当，无法推出，故B错误； 由空间直角坐标系易知三个向量不共面，可构成空间的一个基底，则当，能推出，故C正确； 由空间直角坐标系易知三个向量共面，则当无法推出，故D错误； 故选：C. 15. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】根据给定条件，举例说明，结合正弦函数的性质排除不可能的选项作答. 【详解】因为函数的最小正周期是，因此只需考查离原点最近的右侧一个周期内的区间即可， 当时，，，而，， 因此在上的最小值，在上的最小值，A可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，B可能； 当时，，， 因此在上的最小值，在上的最小值，D可能； 对于C，若，则， 若，则区间的长度，并且且， 即且与矛盾，所以C不可能. 故选：C 【点睛】结论点睛：闭区间上的连续函数既有最大值，又有最小值. 16. 设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 【答案】D 【解析】 【详解】对于①，取，，则， 因为和的正周期分别为和， 而是无理数，则有，所以不是周期函数，①错误； 对于②，若，其中，， 可得； 若，其中，即， 整理得，令， 则，则，其中，下证恒成立. 假设存在，，考虑 ， 因为，所以当足够大时，有， 这与矛盾， 所以即恒成立，故函数存在正整数周期，②正确， 综上，①是假命题，②是真命题． 三、解答题 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． （1）求证：； （2）求直线CP与平面POD所成角的大小． 【答案】（1）因，点O是AB的中点，则， 因平面平面ABCD，且平面平面，平面PAB， 故平面ABCD，又平面ABCD，故． （2） 【解析】 【分析】（1）由且点O是AB的中点得到，由面面垂直的性质得到平面ABCD，利用线面垂直的定义得到． （2）利用空间向量求解，求出平面POD的一个法向量，设直线CP与平面POD所成角为，利用向量的数量积公式得到，通过计算得到直线CP与平面POD所成角的大小． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 如图，取CD中点E，连接OE，由（1）知平面ABCD， 因为为的中点，为的中点，，可得， 因，故，则可分别以，，为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系． 又，，，， 则，，， 于是，，，， 设平面POD的一个法向量为， 则，故可取， 设直线CP与平面POD所成角为，则， 即直线CP与平面POD所成角的大小为． 18. 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； 【小问2详解】 因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 19. 混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量； ③记随机变量，利用的期望和方差进行估算，设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立． （1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； （2）请提出一个合理假设，使得服从二项分布：______________________________． 记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和．（参考公式：，） 【答案】（1） （2）假设：鱼塘里的鱼足够多（答案不唯一，符合题意即可），， 【解析】 【分析】（1）设相应事件，求，，结合条件概率公式运算求解； （2）根据二项分布的特征填空，根据二项分布的期望和方差公式结合题意列式求解即可. 【小问1详解】 设事件M：“第一次记录的是鱼苗A”，事件N：“第二次记录的是鱼苗A”， 由题意可得：，， 所以. 【小问2详解】 假设：鱼塘里的鱼足够多，此时， 则的均值，的方差， 所以，解得或， 又因为，则， 所以，． 20. 已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. （1）求椭圆的焦距与的周长； （2）若，求点到轴的距离； （3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 【答案】（1）焦距为2，的周长8； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）求出椭圆的长短半轴长及半焦距，再结合椭圆定义求解. （2）由（1）求出点坐标，设出点坐标，再利用数量积的坐标表示列式求解. （3）设直线的方程为，求出范围，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理表示 出，再利用对勾函数单调性求出范围. 【小问1详解】 椭圆的长短半轴长分别为，则半焦距， 所以椭圆的焦距，的周长. 【小问2详解】 由（1）得，设，则，即， ，由， 得， 整理得，而，解得，，点， 所以点到轴的距离为. 【小问3详解】 设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故， 则，由点在轴正半轴上，且位于椭圆内， 得，即， 由，消去得， ，设，则， ， ，， 因此，令，， 而，令，则， 函数在上单调递增，， 因此，，则， 所以的取值范围是. 21. 设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． （1）设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； （2）设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； （3）设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 【答案】（1）； （2）； （3）若函数为常值函数，取； 同理，若函数是常值函数，取； 因此，以下考虑函数与都不为常值函数的情况． 分别取和，可以得到函数与， 不妨设函数与都是增函数（否则，若函数为减函数，将替换为）．由于函数与都不为常值函数， 因此存在，使得且， 令，其中． 首先证明：对任意都有． 反证法：假设存在使得，其中且， 不妨设，取，，对于函数， 则， ， 因此，，与是单调函数矛盾． 同理可以证明对任意都有， 因此，对任意，， 所以为常值函数， 取，则A、B不全为零，且为常值函数．得证. 【解析】 【分析】（1）先求出，根据单调可得对称轴的位置关系，故可求参数的取值范围； （2）依据单调性定义可得在上恒成立，其中，据此可求的取值范围； （3）利用性质对任意s、t成立，先取和知与均单调，假设不存在不全为零的实数A、B使得函数为常值函数，则存在两点使与的增量比值不同，从而可构造s、t使在两点处单调性相反，产生矛盾，因此必存在线性组合为常值函数. 【小问1详解】 因为，在区间D上满足“性质”， 故在上为单调函数， 因为为开口向上的抛物线，对称轴为，故，即． 【小问2详解】 由题设有在上为单调函数， 设任意，， 则， 因为，，故，， 而为上的单调函数， 故在上恒成立或在上恒成立， 而，，故或，故或． 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026届复旦附中高三毕业考数学试卷 一、填空题 1. 已知集合，集合，则______． 2. 抛物线的准线方程是__________． 3. 不等式的解集为______． 4. 已知角的终边经过点，则______． 5. 已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为___________． 6. 若，则的展开式中含项的系数为__________. 7. 若为常数，且函数是奇函数，则的值为__________． 8. 已知复数是实系数一元二次方程的两个根，若，则的最小值为_____. 9. 平面上五点满足，，，，则的值为_____． 10. 已知点为平面直角坐标系内的圆上的动点，定点，现将坐标平面沿轴折成的二面角，使点翻折至，则两点间距离的最大值是______． 11. 如图，要在A和D两地之间修建一条笔直的隧道．现从B地和C地测量得：，，，．若B、C的直线距离为5.8公里，则隧道长为____________公里．（结果精确到0.1公里） 12. 已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，有．则符合条件的函数的个数为______． 二、单选题 13. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 14. 定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，存在不全为0的实数，使得已知，则的充分条件是（ ） A. B. C. D. 15. 已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为变化时，下列不可能的是（ ） A. 且 B. 且 C. 且 D. 且 16. 设函数定义域为，且对任意，不等式恒成立，设a、，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 下列选项中正确的是（ ） A. ①②都是真命题 B. ①②都是假命题 C. ①是真命题，②是假命题 D. ①是假命题，②是真命题 三、解答题 17. 如图，在四棱锥中，平面平面ABCD，，，，，，，点O是AB的中点． （1）求证：； （2）求直线CP与平面POD所成角的大小． 18. 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 19. 混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有A、B两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗A的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验n次（其中），记第i次试验中鱼苗A的数目为随机变量； ③记随机变量，利用的期望和方差进行估算，设该鱼塘中鱼苗A的数目为M，鱼苗B的数目为N，其中，每一次试验都相互独立． （1）在第一次试验中，若捕捉的50条鱼苗中鱼苗A的数目有20条，记录员逐个不放回的记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗A的条件下，第二次记录的仍是鱼苗A的概率； （2）请提出一个合理假设，使得服从二项分布：______________________________． 记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为、，已知其方差．请用和分别代替和，估算和．（参考公式：，） 20. 已知椭圆，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为、，点为椭圆在轴上方的一动点. （1）求椭圆的焦距与的周长； （2）若，求点到轴的距离； （3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内.直线与椭圆交于、两点，记、的面积分别为、，求的取值范围. 21. 设，对于定义域为D的函数与，，若函数是区间D上的单调函数，则称与在区间D上满足“性质”． （1）设，，，若与在区间D上满足“性质”，求t的取值范围； （2）设，，，．若与在区间D上满足“性质”，求的取值范围； （3）设，若对任意s、t，函数与在上都满足“性质”．求证：存在不全为零的实数A、B，使得函数为常值函数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $