上海市复旦大学附属中学2026届高三下学期毕业考数学试题

复旦附中2025—2026学年第二学期高三年级数学毕业考 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分） 1．已知集合，集合，则________． 2．实数左的准线方程是________． 3．不等式的解集为________． 4．若角的终边过点，则________． 5．已知曲线在处的切线与直线平行，则实数的值为________． 6．若正整数满足，则的展开式中项的系数为________．（用数值表示） 7．已知为常数，若函数是奇函数，则的值为________． 8．已知复数，是实系数一元二次方程的两个根，若（其中是虚数单位），则的最小值为________． 9．平面上五点，，，，满足，，，，则的值为________． 10．在平面直角坐标系中，已知点，点为圆上的动点，现将坐标平面沿轴折成大小为的二面角，此时，两点间距离的最大值为________． 11．如图，现要在，两地之间修建一条笔直的隧道，从地和地测量得：，，，．若，的直线距离为5.8公里，则隧道长为________公里．（结果精确到0.1公里） 12．已知函数的定义域为，值域，且对任意正整数，都有恒成立，则符合条件的函数的个数为________． 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．已知，，，则下列结论中不正确的是（ ）． A．若，，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 14．定义一个集合，集合中的元素是空间内的点，任取，，存在不全为0的实数，，，使得．已知，则的一个充分条件是（ ）． A． B． C． D． 15．已知，函数在区间上最小值为，在区间上的最小值为，当变化时，下列不可能的是（ ）． A．且 B．且 C．且 D．且 16．已知函数定义域为，且对任意，不等式恒成立．设，，定义．现给出如下两个命题： ①若是周期函数，则对于任意实数，函数是周期函数； ②函数存在正整数周期，当且仅当函数存在正整数周期； 则下列选项中正确的是（ ）． A．①②都是真命题 B．①②都是假命题 C．①是真命题，②是假命题 D．①是假命题，②是真命题 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 如图，在四棱锥中，平面平面，，，，，，，点是的中点． （1）求证：； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 已知，其中． （1）当时，求不等式的解集； （2）设，若函数有且只有一个零点，求的取值范围． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） 混养不仅能够提高水产养殖的收益，还可以降低单一放养的病害风险，提高养殖效益．某鱼塘中有，两种鱼苗．为了调查这两种鱼苗的所占比例，设计了如下方案： ①在该鱼塘中捕捉50条鱼苗，统计其中鱼苗的数目，以此作为一次试验的结果； ②在每一次试验结束后将鱼苗放回鱼塘，重复进行这个试验次，记第次试验中鱼苗的数目为随机变量； ③记随机变量，利用的期望和方差进行估算．设该鱼塘中鱼苗的数目为，鱼苗的数目为，其中，并且认为每一次试验都相互独立． （1）在一次试验中，已知捕捉的50条鱼苗中鱼苗共有20条，记录员逐个不放回地记录鱼苗的种类，求第一次记录的是鱼苗的条件下，第二次记录的仍是鱼苗的概率； （2）请提出一个合理假设，使得服从二项分布： 基于以上假设，请完成下面的问题． 记的实际取值分别为，平均值和方差分别记为，，已知方差． 该鱼塘的技术顾问认为可以用和分别代替和．请由此估算和． 参考公式：，． 20．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 已知椭圆：，点为坐标原点，椭圆的右顶点为，左右焦点分别为，，点为椭圆在轴上方的一个动点． （1）求椭圆的焦距与的周长； （2）若，求点到轴的距离； （3）过点作斜率为的直线交轴正半轴于点，点位于椭圆内，直线与椭圆交于、两点，记，的面积分别为，，求的取值范围． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 设，，对于定义域为的函数与，设，若函数是区间上的单调函数，则称与在区间上满足“性质”． （1）设，，，函数与在区间上满足“性质”，求的取值范围； （2）已知，，，，若与在区间上满足“性质”，求的取值范围； （3）设，若对任意的实数，，函数与在上都满足“性质”，求证：存在不全为0的实数，，使得函数为常值函数． 学科网（北京）股份有限公司 $ 复旦附中2025－2026学年第二学期高三年级数学毕业考 2026.5 一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第1-6题每题4分，第7-12题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果． 1． 2． 3． 4． 5．3 6． 7． 8． 9．3 10． 11． 12．178 二、选择题（本大题共有4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）每题有且只有一个正确选项，考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑． 13．A 14．C 15．C 16．D 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】（1）因为，所以，由于平面平面， 所以平面，所以． （2）取中点，则，以，，为，，轴正方向建立空间直角坐标系． 则，，，，，，平面的一个法向量为，设直线与平面所成角为， 则，即直线与平面所成角的正弦值为． 18．（本题满分14分，第1小题满分6分，第2小题满分8分） 【答案】（1） （2） 【解析】（1）当时，，得，解得解集为． （2）因为，此时需要且． 由，结合的取值范围，得有且只有一个正根．若，满足题意； 当时，若，得，此时方程仅有一个正实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，因此必须两根异号，乘积， 可得．综上，的取值范围是． 19．（本题满分14分，第1小题满分4分，第2小题满分10分） 【答案】（1）（2），此时． 【解析】（1）第一次记录鱼苗时，剩下的条中有条鱼苗，所以所求概率为． （2）假设：认为鱼塘里的鱼足够多． 此时近似服从二项分布，，， 所以根据参考公式，，，解， 结合，可得，此时． 20．（本题满分分，第小题满分分，第小题满分分，第小题满分分） 【答案】（1） （2） （3） 【解析】（1）焦距，，的周长． （2），，设，则，即． ， 得，而，解得，，所以点到轴的距离为． （3）设直线的方程为，因为直线与轴正半轴相交，故，， 由点在轴正半轴上，且位于椭圆内，得，即． 联立和：，得， ，设，， 则，，． ，， ， 令，，设， 令，则， 函数在上严格递增，， 因此，，则，所以的取值范围是． 另解：用，则，之后换元． 21．（本题满分18分，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分） 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】（1），令对称轴，得． （2），其中，． ①当时，在严格增，满足条件； ②当时，在上严格减；上严格增， 令，得；综上，的取值范围是． （3）若函数为常值函数，取；同理，若函数为常值函数， 取．因此，以下考虑函数，都不为常值函数的情况． 分别取和，可以得到函数与函数， 不妨设函数与函数都为增函数（否则，若为减函数，将替换）．由于函数，不为常值函数， 因此存在，使得且． 令，其中． 首先证明：对任意都有． 反证法：假设存在使得，其中且， 不妨设．取，，对于函数， 则， 因此，，与是单调函数矛盾． 同理可以证明对任意都有， 因此，对任意，， 所以为常值函数，取， 则，不全为零，且为常值函数，得证． 学科网（北京）股份有限公司 $