精品解析：上海市闵行区2025-2026学年第二学期九年级中考考前质量检测数学试题

2025学年第二学期九年级第三次质量检测 数学学科试卷 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 4. 体育委员帮体育老师记录同学们的跳远成绩，可是由于刻度尺放置错误，导致每个同学的成绩少了，那么下列关于实际成绩与记录成绩的说法中正确的是（ ） A. 平均数改变，方差不变 B. 平均数改变，方差改变 C. 中位数改变，方差改变 D. 中位数不变，方差不变 5. 如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 6. 已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（ ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A. 可行、不可行 B. 不可行、可行 C. 、都可行 D. 、都不可行 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：_____ 8. 函数y＝的定义域是_____． 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 10. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，写出一个符合条件的的整数值_____． 11. 已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 12. 在一个不透明的袋子中装有2个白球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则__________． 13. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲．进行的太空实验有①毛细效应；②水球变“懒”实验；③太空趣味饮水；④会调头的扳手．某校1500名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，并参与了关于“我最喜爱的太空实验”的问卷调查．如果从中随机抽取45名学生的问卷调查情况进行统计分析，并将调查数据整理成下面的条形图，那么估计该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有________名． 14. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟，”比喻非常渺小，据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为____克． 15. 如图，在平行四边形中，点在边上，，如果，，那么_____．（结果用含、的式子表示） 16. 如图，的周长为8，对角线，交于点，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，则__________． 17. 定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 18. 如图，矩形中，，，是边的中点，点在边上，设，若以点为圆心，为半径的与线段只有一个公共点，则所有满足条件的的取值范围是________． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 20. 解方程：． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，一次函数的图像与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）分别联结、，点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 22. 已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证． 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决： （1）任务1（确定影子长度）：若某一时刻测得米 ① 米， ； ②求此时影子的长度． （2）任务2（判断是否照射到）：这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由 24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标； （3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值． 25. 已知：在中，，，．点在边上，与外切于点，且、分别与边、交于点、，连接． （1）如图1，当时，求的半径； （2）连接、，当是直角三角形，且时，求的长； （3）如图2，连接，射线交于点，射线交于点，记、、、的长分别为、、、，当时，求的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级第三次质量检测 数学学科试卷 （满分150分，考试时间100分钟） 一、选择题：（本大题共6题，每题4分，满分24分） 1. 下列四个数在数轴上表示的点，距离原点最近的是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了绝对值的意义，依题意，选项的每个数值的绝对值最小即为距离原点最近， 即可作答． 【详解】解：∵， ， ∴的位置距离原点最近， 故选：B． 2. 下列与是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查同类二次根式的定义，先化简再根据二次根式的定义判断是解题关键． 先化简，再根据同类二次根式的定义解答即可． 【详解】A． 与不是同类二次根式； B． 与不是同类二次根式； C． 与是同类二次根式； D． 与不是同类二次根式； 故选C 3. 下列函数中，函数值随自变量的值增大而增大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A．是反比例函数，，∵，∴在每个象限内随的增大而减小，不符合要求，A错误． B．是一次函数，∵，∴随的增大而减小，不符合要求，B错误． C．是二次函数，开口向下，对称轴为，当时，随的增大而减小，不符合要求，C错误． D．是一次函数，∵，∴在全体实数范围内，随的增大而增大，符合要求，D正确． 4. 体育委员帮体育老师记录同学们的跳远成绩，可是由于刻度尺放置错误，导致每个同学的成绩少了，那么下列关于实际成绩与记录成绩的说法中正确的是（ ） A. 平均数改变，方差不变 B. 平均数改变，方差改变 C. 中位数改变，方差改变 D. 中位数不变，方差不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平均数中位数方差的性质，当一组数据中每个数据同时减去同一个常数时，平均数和中位数会相应改变，方差反映数据的波动程度，不会随加减同一个常数改变，据此推导判断即可． 【详解】解：设实际成绩为，由题意得记录成绩为． ① 分析平均数：设实际平均数为，记录平均数为：，因此平均数改变． ② 分析中位数：实际成绩排序后，中位数是中间位置的数，所有记录成绩都比对应实际成绩少，数据排序顺序不变，因此记录中位数比实际中位数少，中位数改变． ③ 分析方差：设实际方差为， 记录方差为：， 因此方差不变． 综上，平均数改变，方差不变，A选项符合题意． 5. 如图，是的直径，是的弦，于点E，连接．若，，则的半径的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理、圆周角定理、勾股定理等知识点，解题的关键是掌握垂径定理和圆周角定理．连接，根据圆周角定理得到的度数，根据垂径定理得到的长度，即可求出半径的长度． 【详解】解：连接，如图所示： ∵， ∴， ∵是的直径，， ∴， ∴， ∴， 故选B． 6. 已知，求作的中线，两位同学给出了如图所示的两种方案，对于方案、，说法正确的是（ ） 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，； （2）作直线，交于点，即为所求． 方案 作法： （1）分别以点，为圆心，，长为半径作弧，两弧相交于点； （2）作直线，交于点，即为所求． A. 可行、不可行 B. 不可行、可行 C. 、都可行 D. 、都不可行 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了作图基本作图与平行四边形的判定和性质，掌握作已知线段的垂直平分线的基本作法和平行四边形的判定和性质是解题的关键．根据过直线外一点作已知直线的垂线的基本作法，网格线的特征进行判断即可． 【详解】解：方案是作已知线段的垂直平分线的基本作法，故方案可行， 方案是先根据对边相等的四边形是平行四边形作出以、为邻边的平行四边形，再连接第二条对角线，根据平行四边形的对角线互相平分可知方案可行， 故选：C． 二、填空题：（本大题共12题，每题4分，满分48分） 7. 计算：_____ 【答案】 【解析】 【详解】解：． 8. 函数y＝的定义域是_____． 【答案】x≠﹣2 【解析】 【分析】根据分式有意义的条件可得x+2≠0，即可得出结果. 【详解】解：∵函数y＝， ∴x+2≠0， 解得，x≠-2， 故答案为：x≠-2． 【点睛】本题考查了函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件是解题的关键. 9. 若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式．熟练掌握：有实数根，则是解题的关键． 由题意知，，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， 解得，， 故答案为：． 10. 若反比例函数的图象经过第二、四象限，写出一个符合条件的的整数值_____． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数的图象与性质，根据反比例函数的图象经过第二、四象限，则有，求出即可，解题的关键是熟练掌握反比例函数的图象与性质及其应用． 【详解】∵反比例函数的图象经过第二、四象限， ∴，解得：，则只要满足条件即可， 故答案为：（答案不唯一）． 11. 已知正多边形一个内角的度数是，那么该正多边形中心角的度数是_____． 【答案】 【解析】 【分析】先利用内角与外角互为邻补角求出外角的度数，再根据多边形外角和定理求出正多边形的边数，最后根据正多边形中心角的性质计算中心角度数． 【详解】解：该正多边形的一个内角为， 该正多边形的一个外角为， 任意多边形的外角和为， 该正多边形的边数， 正多边形的中心角和为， 该正多边形的中心角为． 12. 在一个不透明的袋子中装有2个白球，个黑球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从袋子中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则__________． 【答案】6 【解析】 【分析】本题主要考查了已知概率求数量，摸到白球的概率等于白球的数量除以球的总数，据此建立方程求解即可． 【详解】解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， 故答案为：6． 13. 2022年10月12日，“天宫课堂”第三课在问天实验舱内开讲．进行的太空实验有①毛细效应；②水球变“懒”实验；③太空趣味饮水；④会调头的扳手．某校1500名学生在线观看了“天宫课堂”第三课，并参与了关于“我最喜爱的太空实验”的问卷调查．如果从中随机抽取45名学生的问卷调查情况进行统计分析，并将调查数据整理成下面的条形图，那么估计该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有________名． 【答案】500 【解析】 【分析】根据该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，该校喜欢③太空趣味饮水实验的初中学生有（名）， 故答案为：500． 【点睛】本题考查了条形统计图，用样本估计总体．解题的关键在于从条形统计图中获取正确的信息． 14. 宋·苏轼《赤壁赋》：“寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟，”比喻非常渺小，据测量，200粒粟的重量大约为1克，用科学记数法表示一粒粟的重量约为____克． 【答案】 【解析】 【分析】先计算一粒粟的重量，再根据科学记数法表示较小数的规则，将结果改写为符合要求的形式． 【详解】解：由题意得，一粒粟的重量为， 将用科学记数法表示得． 15. 如图，在平行四边形中，点在边上，，如果，，那么_____．（结果用含、的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】根据向量加法法则和平行四边形的性质进行计算即可 【详解】解：∵在平行四边形中， ∴， ∴, ∵， ∴， ∴． 16. 如图，的周长为8，对角线，交于点，延长到点，使，连接，过点作于点，连接，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】此题考查平行四边形的性质，等腰三角形的性质和中位线性质定理，解题的关键是熟练掌握平行四边形的性质，等腰三角形的性质和中位线性质定理及其应用． 根据平行四边形的性质得出，进而利用等腰三角形的性质得出，进而利用三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，周长为8， ， ， ∴是等腰三角形， ， ， ∴是的中位线， ， 故答案为：2． 17. 定义：如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“和谐”函数；如果二次函数满足，那么我们称这个函数为“美好”函数；如果一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数，那么这个二次函数图像的对称轴为______． 【答案】轴（或直线） 【解析】 【分析】根据题意可得这个二次函数经过点和，根据抛物线的对称性，即可求解． 【详解】解：∵一个二次函数既是“和谐”函数又是“美好”函数 ∴满足， ∴这个二次函数的图像经过点和 ∴这个二次函数图像的对称轴为轴． 18. 如图，矩形中，，，是边的中点，点在边上，设，若以点为圆心，为半径的与线段只有一个公共点，则所有满足条件的的取值范围是________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定和性质．特别注意和线段有一个公共点，不一定必须相切，也可以相交，但其中一个交点在线段外．首先计算圆与线段相切时，的值，在画出圆过时，半径的值，确定的值，半径比这时大时符合题意，根据图形确定的取值范围． 【详解】解：如图，当与相切时，设切点为，连接， ， ，， ， ， ， ， 当过点时，如图，与线段有两个公共点，连接，此时， 当以为圆心，为半径的与线段只有一个公共点时，满足的条件：或； 故答案为：或． 三、解答题：（本大题共7题，满分78分） 19. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 20. 解方程：． 【答案】x＝1 【解析】 【分析】因式分解，确定最简公分母，化分式方程为整式方程求解 【详解】解：方程两边同乘以（x+3）（x﹣3）得： 4x＝﹣9+2（x+3）﹣2（x﹣3）， 整理得：﹣4x+3＝0， 解得：＝1，＝3， 经检验：＝3是原方程的增根， 所以，原方程的解为x＝1． 【点睛】本题考查了分式方程的解法，通过因式分解确定最简公分母，化成整式方程求解是解题的关键，注意验根是防止出错的根本． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与反比例函数的图像交于、两点，一次函数的图像与轴交于点． （1）求一次函数的解析式； （2）分别联结、，点是轴上一点，且的面积等于面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）将、，代入得出、，进而待定系数法求解析式，即可求解； （2）先求得，得出，设，根据的面积等于面积的2倍，建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点、， ，． 解得，． ，， 由、两点在一次函数的图像上， 得， 解得 ∴一次函数的解析式为． 【小问2详解】 解：如图， 由，令，得，则， ∴． 设，可得．解得． 或． 22. 已知：如图，在四边形中，，，，是上一点，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是菱形； （2）如果，求证． 【答案】（1）证明：在和中， ， ，  ， ， ， ， ， 又，， ， 四边形是菱形． （2）证明：， ， ， ， ， 四边形是菱形， ，， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】（1）先由三条边对应相等得到，结合得到，利用等角对等边得到即可得证； （2）由结合，推得，从而，再利用相似三角形性质结合可得证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 23. 根据以下素材，探索完成任务． 探究遮阳伞下的影子长度 素材1 图1是某款自动旋转遮阳伞，伞面完全张开时张角呈，图2是其侧面示意图．已知支架长为2.5米，且垂直于地面，悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍．当伞面完全张开时，点，，始终共线．为实现遮阳效果最佳，伞面装有接收器可以根据太阳光线的角度变化，自动调整手柄沿着移动，以保证太阳光线与始终垂直． 素材2 某地区某天下午不同时间的太阳高度角（太阳光线与地面的夹角）参照表： 时刻 12点 13点 14点 15点 16点 17点 太阳高度角（度） 90 75 60 45 30 15 素材3 小明坐在露营椅上的高度（头顶到地面的距离）约为1米，如图2，小明坐的位置记为点． 问题解决： （1）任务1（确定影子长度）：若某一时刻测得米 ① 米， ； ②求此时影子的长度． （2）任务2（判断是否照射到）：这天14点，小明坐在离支架3米处的点，请判断此时小明是否会被太阳光照射到？并说明理由 【答案】（1）①，；②影子的长度为米 （2）解：小明会被照射到，理由：过点作交于点． 由（1）知，． ， ． 在中，米，米， 米． 在中，米． 在中，米． 在中，当米时，米． ∴小明刚好被照射到时离点的距离为． ∴小明会被照射到． 【解析】 【分析】（1）①由米可得答案；如图，过作于，结合等腰三角形的性质与勾股定理可得米，进一步可得答案； ②先过点作于点，过点作于点，再求出米，从而结合，可证，最后利用三角函数即可得出的长度； （2）如图，过点作交于点，在中，米，米，可得米，在中，米，在中，米，在中，当米时，米，进一步求解即可． 【小问1详解】 解：任务1：悬托架米，点固定在伞面上，且伞面直径是的4倍， （米）， 如图，过作于，而米，米， 米， 米， ； ②如图，过点作于点，过点作于点， 结合题意可得：四边形为矩形， ， ， ， 由条件可知米， 在中，， 又， ， 解得：米， 此时影子的长度为米； 【小问2详解】 略 24. 如图，已知在平面直角坐标系xOy中，抛物线经过原点，且与轴相交于点，点的横坐标为6，抛物线顶点为点． （1）求这条抛物线的表达式和顶点的坐标； （2）过点作，在直线上点取一点，使得，求点的坐标； （3）将该抛物线向左平移个单位，所得新抛物线与轴负半轴相交于点且顶点仍然在第四象限，此时点移动到点的位置，，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【解析】 【分析】（1）将点O，点A坐标代入解析式可求抛物线的表达式和顶点B的坐标； （2）由点A，点B坐标可求直线AB解析式，即可求直线OP解析式为：y=x，设点Q（3k，4k），可证四边形OQAP为等腰梯形，可得OB=QA，由两点距离公式可求k的值，即可求点Q坐标； （3）过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F，由题意可证△BCF∽△BDE，可得，可得，可得，可得关于m的方程，即可求m的值． 【详解】（1）∵点、在抛物线上 ∴，解得 ∴抛物线的解析式为， ∴顶点B的坐标是； （2）如图， ∵， ∴直线AB解析式为：y=x-8， ∵ ∴直线OP解析式为：y=x， 设点， ∵∠OBA=∠QAB＞∠OAB， ∴k＞0 ∵OP平行于AB，QA不平行于OB ∴四边形OQAB为梯形 又∵∠QAB=∠OBA ∴四边形OQAB为等腰梯形 ∴QA=OB ∴（6-3k）2+（4k）2=25 ∴或（舍去） ∴ （3）由（1）知 设抛物线向左平移个单位后的新抛物线表达式为 ∵新抛物线与y轴负半轴相交于点C且顶点仍然在第四象限，设点C的坐标为C（0，c） ∴0＜m＜3，-4＜c＜0， 如图，过点B分别做作x、y轴垂线，垂足分别为点E、F ∴且 ∴∽ ∴ ∴ ∴ ∴ 又∵ ∴ ∴ ∴或者（舍去） ∴ 【点睛】本题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式，等腰梯形的性质，两点距离公式，相似三角形的判定和性质，找到关于m的等式是本题的关键． 25. 已知：在中，，，．点在边上，与外切于点，且、分别与边、交于点、，连接． （1）如图1，当时，求的半径； （2）连接、，当是直角三角形，且时，求的长； （3）如图2，连接，射线交于点，射线交于点，记、、、的长分别为、、、，当时，求的度数． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）设的半径为，则的半径为，根据的直角三角形，可得，，再根据平行线分线段成比例，得，代入求解即可； （2）过点作于，根据等腰三角形的性质和角之间的关系，易得是等边三角形，，即是等腰直角三角形，再利用“”可得，从而，即，可得，则，最后根据等边三角形的性质，即可求解； （3）连接，，根据弧长公式，代入化简可得，再根据等腰三角形的性质和对顶角的性质，可得，分别利用“两对应角相等”和“两对应边成比例及夹角相等”的三角形相似，可得，，利用相似三角形的性质可得，最后再根据，，计算即可． 【小问1详解】 解：设的半径为，则的半径为， ，，， ，， ， ，即，解得， 的半径为； 【小问2详解】 过点作于， ，， ， ，， ， ， 是等边三角形，即， ， ， 是等腰直角三角形，即， ，，， ， ， ， ， 即，解得， ； 【小问3详解】 ，， ， ， ， ，， ， ， 和都是等腰三角形， ， ， ， ， ，则， ， ， ， 是等边三角形， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $