河北沧州市多校2025-2026学年高二下学期第三次阶段总结数学试题

高二年级下学期第三次阶段总结 数 学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分。满分150分，考试时间120分钟。 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚。 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上。选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对 应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答 题区域内作答，超出答题区城书写的答案无放，在试题卷、草稿纸上作答无效。 4.本卷命题范围：人教A版选择性必修第三册，必修第一册第一章~函数的奇偶性、周 期性。 地 报 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的。 1.已知集合A={0,1,a2),B=(1,0,3a十4)，若A=B,则a的值为 A.-1或4 B.-4或1 C.4 D.-4 2.若a>b>0,c>d,则 毁 A.a2cad B.a-c>b-d C.ac2>bc2 D.ac-bd 3.设x∈R,则“|x|<1”是“x3<1”的 A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 蠻 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4.设全集U=R,集合A= |≤0，B=(al<-2),则An(tB)= A.(-1,+o∞) B.[-2,-1) C.[-2,-1] D.[-2,十∞) 5.定向师范生是一项由各地政府制定的政策，旨在解决农村地区基础教育教师资源紧缺的现 状.这一政策主要通过“三定向”来实现，即“定向招生、定向培养、定向就业”.4名定向师范生 毕业后被安排到3所小学任教，其中每名定向师范生只能去一所小学，每所小学至少去一名 定向师范生，则不同的安排方案的种数是 A.72 B.54 C.36 D.18 【高二年级第三次阶段总结·数学第1页（共4页）】 ▣口 CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描APp -1 6,网购是现代年轻人重要的购物方式，某电商对其旗下的一家专营店近五年来每年的利润额y (单位：万元)与年份代码x进行了统计，得如下数据： 1 2 3 y 2.5 3.3 4.5 6.2 8.5 则x与y的样本相关系数r≈ A.0.96 B.0.97 C.0.98 D.0.99 参考公式：r 盈红-)o-列 √含(x-)2V含-)2 参考数据：含(-)2=23.08，V230.8≈ 15.19. 7.历史老师和地理老师联合开展了让学生介绍各国历史、地理知识的活动，本周有5个学生（含 甲与乙)参加，用抽签法确定出场顺序，在“甲在乙的前面出场”的条件下，“甲、乙不相邻出场” 的概率为 A是 B号 D是 8.已知f(x)是定义在R上的奇函数，对任意1，x2∈（一∞，0）且≠x2,都有[f()一f(x2)门· (x一x2)<0,且f(一5)=0，则不等式xf(x)<0的解集是 A.(-∞，-5)U(0,5) B.(-∞，-5)U(5,+∞) C.(-5,0)U(5,+∞) D.(-5,5) 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9.已知(x一1)9=a0十a1x十a2x2十…十agx9,则 A.a0=-1 B.ao+a1+a2+…十ag=0 C.a0-a1十a2-a+…+a8-ag=-512 D.ao+a2+a4+a6+ag=256 10.下列函数中最小值为4的是 A.y=4lnInz 1 B.y=2x+22-x C.y=√8+x+√8-x D.y=2(z2+3) √x2+2 11.已知函数f(x)的定义域为R,且f(x十y)=f(x)十f(y)一2xy一1，则下列说法正确的是 A.f(2)+f(-2)=-6 B.函数y=f(x)十x2是奇函数 C.若f(1)<4,则f(2)<5 D.若f(100)=1,则f(1)=100 【高二年级第三次阶段总结·数学第2页（共4页）】 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 2. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12.已知命题“3∈R,使得6一mo十m<0”为真命题，则实数m的取值范围为 13.已知f(x)是偶函数，且f(x+2)=f(x),当1≤x≤2时，f(x)=3-x,则f(号)等 于 14.已知集合U中含有n(n≥2)个元素，集合A,B是U的非空子集，且AB,则不同的集合对 (A,B)有 个.（结果用含n的指数幂加减的形式表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 18. 15.(本小题满分13分) (1)已知6≤m≤18,8≤n≤26，求3m-n的取值范围； (2)已知>0，>0且2+8=4，求2x十y的最小值 y 16.(本小题满分15分) 已知函数f)=千6的图象过点(1,2)和点(，号）】 19. (1)求实数a,b的值； (2)写出函数f(x)的定义域，并求函数f(x)的值域 17.(本小题满分15分) 2026年春节期间，电影《飞驰人生3》想看人数、讨论度、社交平台热度全程领跑，掀起全民观 影热潮，总票房高达29.27亿元.某电影院为了解民众对该部热映电影的喜欢程度，随机采 ( 访了140名观影人员，得到下表： 是否喜欢 是否成年人 合计 不喜欢 喜欢 未成年人 20 60 80 成年人 40 60 c 合计 t 140 (1)根据小概率值α=0.1的独立性检验，能否认为喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年有关？ 【高二年级第三次阶段总结·数学第3页（共4页）】 ▣口 CS扫描全能王 可3亿人都在用的扫描ApP 3. (2)用频率估计概率，现随机采访一名成年人和一名未成年人，设X表示这两人中喜欢电影 《飞驰人生3》的人数，求X的分布列和数学期望 n(ad-bc)2 参考公式：X-(a+bd十(a平c6+dD(其中n=a+b+c+d). a 0.1 0.05 0.01 x 2.706 3.841 6.635 18.(本小题满分17分) 已知函数f(x)=x2十ax十b(a,b∈R). (1)若f(2)=f(4),f(x)的最小值为一1，求a,b; (2)在(1)的条件下，f(x)在[m,m十2]上的最大值为g(m),求g(m)的最小值； (3)若b>0,且关于x的方程f(x2一2x一1)=0恰有4个互不相等的实数根x1,x2,x3,x4, 子+++士=-6，求写+6的最小值 工3 A 19.(本小题满分17分) 泊松分布是统计与概率学里常见的离散型概率分布，特别适合用于描述单位时间（或单位空 间)内随机事件发生的次数，如自然灾害发生的次数等.若随机变量X服从参数为入 a>0)的泊松分布，记作X~Poisson((a),则其概率分布为P(X=)=益 Te,k∈N (1)当≥20时，泊松分布可以近似为正态分布N(入，入).已知某交通路口平均每分钟通过的 车辆数X服从λ=25的泊松分布，试估算在一分钟内该路口通过的车辆数大于15且小 于30的概率；（参考数据：若X~N(μ，d2),则P(μ一o<X<μ十σ)≈0.6827， P(μ-2a<X<μ+2a)≈0.9545) (2)若随机变量X服从二项分布，当n≥100且p≤0.01时，二项分布近似于泊松分布，其中 λ=np.某工厂生产电子元器件的次品率为0.003，现从一批产品中随机抽取1000件，记 其中的次品数为X,按泊松分布近似计算： ①这1000件产品中恰有2件次品的概率；（参考数据：e-3≈0.05） ②求使得P(X=)最大时的X值， (3)若X~Poisson(),求证：当0<<0.1时，P(X>1)<0.01. 【高二年级第三次阶段总结·数学第4页（共4页）】 ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 4高二年级下学期第三次阶段总结·数学 参考答案、提示及评分细则 1.C因为A={0,1,a2},B=1,0,3a十4}，且A=B,所以a2=3a+4,解得a=-1或a=4.当a=-1时， a2=3a十4=1，不满足集合元素的互异性，故舍去；当a=4时，A={0,1,16},B={1,0,16},符合题意.故 选C. 2.A因为a>b>0,所以a2c>a2d,故A正确；当a=3,b=1,c=-1,d=-5,满足a>b>0,c>d,但是a-c= 4,b一d=6,不满足a-c>b-d,故B错误；当c=0时，a2=bc2,故C错误；当a=3,b=1,c=一2，d=-3,满 足a>b>0,c>d,但是ac=-6,bd=-3,不满足ac>bd,故D错误.故选A. 3.A由x<1可得-1<x<1;由xa<1可得x<1.因为(-1,1)军(-∞，1)，所以“|x|<1”是“xa<1”的充 分不必要条件.故选A 4B由题意知A=女≤0=-5<<-1.【B=≥-2，所以An(B)= {x|一2≤x<一1}.故选B. 5.C先将4名定向师范生分成3组，则有C=6种情况，再将3组定向师范生分配给3所小学，则有A=6种 情况.综上，共有6×6=36种不同的安排方案.故选C 6.C 由题意，得7=3，)=5，名 (x-x)2=10, 空(x-)(0y-)=14.9,所以r W2(x-)V24-) √230.8≈5.19≈0.98.故选C 14.914.9」 A 7.D设“甲在乙的前面出场”为事件M,“甲、乙不相邻出场”为事件N,所以P(M)= =，PMN) A S-品由条件概序公式，得P(NM-=品×2=是放选D P(M)10 8.B因为对任意x1,2∈(-∞，0)且x≠2，都有[f(x)-f(2)](m一x2)<0,则f(x)在(-∞，0)上 单调递减，又f(x)是定义在R上的奇函数，则f(x)在(0，十∞)上单调递减，又f(一5)=0，则∫(-5) -f(5)=0,即f(5)=0,所以当-5<x<0或x>5时，f(x)<0,当0<x<5或x<-5时，f(x)>0,不等 式xf(x)<0,当x<0时，则f(x)>0,即x-5,当x>0时，则f(x)<0,即x>5,所以不等式xf(x)<0 的解集是（一∞，-5）U(5,十∞).故选B. 9.ABC令x=0,得aa=(-1)9=-1,故A正确；令x=1,得a十a1十a2十…十a=0°=0，故B正确；令x= -1,得a0一a十a2一a3十…十a8一ag=(-2)9=-512,故C正确；将a十a1十a2+…十ag=0与a0一a1十 a2一g十…+ag一ag=-512这两式的左右两边分别相加，得2(ao十a2十a4十a6十a8)=一512，解得a十a2 十a4十a6十as=-256,故D错误.故选ABC. 代令日可得h—4写宁所以4不是n寸的最小值敢A 为2r>0,22x>0,则2十22≥2√/2·227=4，当且仅当2x=221,即x=1时，等号成立，所以2x+22- 的最小值为4，故B正确：因为（√8+z+√8-x)2=16十2√/(8+x)(8-x)=16+2√64一x2≥16，当 且仅当x2=64时等号成立，又√8十x+√/8一x≥0，所以y=√8x十√8一x的最小值为4，故C正确：因为 y=2+3=2+2)+2=2/+2+2 2 √x2+2 x2+2 克·又2+2+2=2/2+2X x2+2 √2+2 -4当且仅当2V干花=后即+2=1时等号成立，但≠-1，所以y2》的最小值不 2 /x2+2 为4，故D错误.故选BC. 【高二年级第三次阶段总结·数学参考答案第1页（共4页）】 11.ACD取x=y=0,得f(0)=1,取y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+2x2-1,所以f(x)+f(-x)=2 2x2,f(2)+f(-2)=-6,A正确；f(-x)+(-x)2+f(x)+x2=f(x)+f(-x)+2x2=2,函数y f(x)+x2不是奇函数，B错误；取y=1,得f(x+1)-f(x)=f(1)-2x-1,所以f(2)-f(1)=f(1)-2× 1-1,f(3)-f(2)=f(1)-2×2-1,…,f(n)-f(n-1)=f(1)-2(n-1)-1,所以f(n)-f(1) (n-1)f(1)-n(n-1)-(n-1),f(n)=nf(1)-n2+1,若f(1)<4,则f(2)=2f(1)-3<5,C正确： f(100)=100f(1)-1002+1=1,f(1)=100,D正确.故选ACD. 12.(-©，0)U(5,十o∞)因为命题“3∈R,使得瑞-m+号m<0”为真命题，所以4=（一m)2-4× m>0,解得m<0或m>5,即实数m的取值范围为(-o∞，0)U(5,十∞). 5 18是由条件得1（受）=（分）=(-2)=f(号)=3号=是 14.3”一2+1+1解法一：因为A≠⑦且B≠⑦，所以集合A,B中至少含有一个元素，又AB,所以A中元素 都在B中且B中元素个数比A中多.当集合A中只含有1个元素时，集合B从剩余的n一1个元素中至少 选1个元素，所以共有C×(C1十C%1十…十C”号十C”)=CX(21-1)种选法；当集合A中含有2 个元素时，集合B从剩余的一2个元素中至少选1个元素，所以共有C%× (C2十C%2十…十C”十C”)=C%×(2”-2一1)种选法；当集合A中含有3个元素时，集合B从剩余的n 一3个元素中至少选1个元素，所以共有C%×(C3十C%3十十C”青十C)=C%×(23一1)种选法； …;当集合A中含有n一2个元素时，集合B从剩余的2个元素中至少选1个元素，所以共有C”2× (C+C)=C”2×(22一1)种选法；当集合A中含有n一1个元素时，集合B一定包含n个元素，所以共有 C”1×C=C”1×(21-1)种选法.因为Cw×(2-1-1)十C%×(22一1)+C%×(2"-3-1)+…+C%2× (22-1)+Cg1×(2-1)=(C·2m-J+C·2"-2+C·23+…+C”2·22+C”1·21) (C+C%+C8十…+C%2+C”1)=(1+2)”-C92”-C20一(2”-2)=3”-2+1+1，所以总共有 (3”一2+十1)种不同的选法，即不同的集合对(A,B)共有(3”一2+1+1)个. 解法二：因为A≠⑦且B≠⑦，所以集合A,B中至少含有一个元素，又AB,所以A是B的非空真子集，当 B中有m个元素时，有C”种选法，此时A有(2m一2)种选法，所以有C(2m一2)种选法，又1≤m≤n,m∈ N,所以总共有2C(2-2)种选法，又之C(2-2)=名C2-2之C=(2C2"-1)-2 (之C-1)=(1+2)”一2×2”+1=3”-2+1+1，所以总共有(3”一2+1+1)种选法，即不同的集合对 (A,B)共有(3”-2+1+1)个. 15.解：(1)因为6m18,8≤26，所以183m≤54，一26-n≤-8，-83m一n46, 即3m一n的取值范围是[一8,46].……6分 2咽为>>0且士+9=4 所以2+y2+)(侵+9)=号(2+8+￥+1g)≥号(1o+2V·)-号， …10分 当且仅当兰=，即=是y=3时等号成立所以2x十y的最小值为号。 …13分 16解：0油D=合4)=号得，日如品6号 2 …3分 上两式联立，解得a=b=1.… 6分 (2)h（1D知f)=写，所以/)的定义线为[0，十co. 8分 法：由y=得y以一反计y=0,…… 10分 令无=t,当x=0时，y=0,… 11分 当x>0时，y>0,关于1的方程2-1+y=0有正实数根，2，且t2=1,十2=1>0，△=1-4y≥0， 【高二年级第三次阶段总结·数学参考答案第2页（共4页）】 所以0<<分， 14分 所以f(的值域为[0，号1. 15分 法二：f(0)=0,x>0时，f(x)= x+1 10分 五+了 因为十店之2，当且仅当=1时，取等号， 12分 所以0< 公千1≤÷·即0≤fC) 14分 所以f(x)的值域为0,2」： 15分 17.解：(1)由数据表格可知，s=60一40=20,1=20十20=40,1=140-40=100.…2分 零假设为H:喜欢电影《飞驰人生3》与是否成年无关，…3分 140×(20×40-20×60)2 根据列联表中的数据，计算得X=20+60)X20十40X(20+20X(60+40≈1.167<2.706，…6分 根据小概率值α=0.1的独立性检验，没有充分证据推断H,不成立，因此可以认为H成立，即认为喜欢电 影《飞驰人生3》与是否成年无关.… …7分 (2)由题意可知，未成年人客欢该电影的概率是8=是，不客欢的概率是1一子-子， 成年人客欢该电影的概率是器号不客欢的概率是1一号=号 …9分 由题意，X的可能取值为0,1,2，… 10分 则PX=0)=×=:PX=1D=×3+号×-：PX=2)=×号= …13分 所以X的分布列为 X 0 1 2 P(X) 1 12 14分 数学期望为X0=0X立+1X品+2X号-品 15分 18.解：(1)由f(2)=f(4),得4+2a+b=16+4a十b,解得a=-6, 2分 所以∫(x)图象的对称轴为直线x=3, 又f(x)的最小值为-1，所以f(3)=-1,即32-6×3+b=-1,解得b=8. 4分 (2)由(1)知f(x)=x2一6x十8，其图象的对称轴为直线x=3, 5分 当++2<3，即m2时，f(x)mx=f(m）=m-6m+8:…6分 当m+m+2≥3，即m≥2时，f(x)ms=f(m+2)=(m+2)2-6(m+2)+8=m-2m, 2 所以g(m)=m-6m+8,m<2, …7分 lm2-2m,m2. 当m2时，g(m)=(m-2)(m-4)>0: …8分 当m≥2时，g(m)=m(m一2)≥0（仅当m=2时等号成立）， 所以g(m)的最小值为0.… …9分 (3)设x2-2x-1=t,则方程f(x2-2x-1)=0变为2+at十b=0(*),由关于x的方程x2-2x-1=1有 两个不等的非零根，易求得>一2且t≠一1， 【高二年级第三次阶段总结·数学参考答案第3页（共4页）】 由题意知关于t的方程（￥）在（一2，一1）U(一1，十c∞)上必有两个相异实根，设为t,2,…10分 则1-a+b≠0,4-2a+6>0,且-号>-2，(-受）广+a×(-号）+b0,即1-a+b≠0,4-2a+6>0, a4,且a2>4b.…11分 由题意知x,x2,x3,x4为x2一2.x一1=右和x2一2x一1=t2的根，且x1,x2,g,x4互不相等， 不妨设x1,x2为x2一2x一1=4的两相异实根，，x4为x2一2x一1=t2的两相异实根， 所以x十x2=2,x1x2=-1一t,xg十x4=2,x%x4=一1-2，…12分 所以片+++大-培+轻=子十子 2 =-6, x23x42x3x4 所以结 所以中+中 =3,… 13分 又4十=一a,i42=b,所以4b=3,所以2a=36+1,…… 14分 因为6>0，所以g+动-与+0+5-5≥2V照·(w+5)-5=21.当且仅当2 =6b+5,即 6=号时等号成立，此时a=号，满足1-a十60,4一2a十b>0,a<4,且a2>4h,.16分 所以记2写十6的最小值为2引.…17分 19.(1)解：因为X~Poisson(入)，且1=25>20，可近似地认为X~N(入，λ)，即X~N(25,25),=25,o=5, …1分 所以P(15<X<30)≈P(-2o<X<十o)=P(4-2<X<)+P(H≤X<u十o) _0.9545+0.6827=0.8186. …3分 2 (2)解：①由题知X一Pois0n(入)，其中入=np=1000X0.003=3,…4分 P(X=2)=引e3=29≈4.5×0.05=0.225. 5分 ,P(X=+1)=31·e3 ②P(X-i)=3·e3 (i+1)！ 所以》=·=… …7分 当=1时，>1，当>2时》<1当=2时=1， 所以P(X=1)<P(X=2)=P(X=3)>P(X=4)>… 所以当X=2,或X=3时，P(X=)最大.…9分 (3)证明：因为X~Poisson(入)，所以P(X>1)=1-P(X=0)-P(X=1), 由泊松分布的概率公式，得P(X=0)=ea,P(X=1)=Aea, 所以P(X>1)=1-e-e=1-(1+)e=1-1+2, ……………… 11分 要证当0<<0.1时，P(X>1)<0.01,只要证当0<<0.1时，1+入0.99. e …12分 令g()=(>0,则g(x)=-<0, e 所以g(x)在(0，十∞)上单调递减，… 13分 又g0.1)-19,所以只要证0>0.9， 因为0.99=1-0.12=(1十0.1)(1-0.1)，所以只需证e0.1>1-0.1,… …15分 令h(x)=e-x-1(x≤0)，则h'(x)=e一1<0对任意的x∈(-∞，0)恒成立， 所以h(x)在(-∞，0)上单调递减，且h(0)=0, 所以h(-0.1)=e.1+0.1-1>h(0)=0,所以e01>1-0.1, 所以当0<A<0.1时，P(X>1)<0.01.… 17分 【高二年级第三次阶段总结·数学参考答案第4页（共4页）】