精品解析：2025年山东省平原县初中学业水平第二次模拟检测九年级数学试卷

2024-2025初中学业水平第二次模拟检测 九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 俯视图与主视图 3. 智能座舱，是当前车企比拼“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列计算正确的是（ ） A B. C. D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（），则x的值是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 8. 如图，六边形的六个内角都等于120°，若，，则这个六边形的周长等于（ ） A. B. C. D. 9. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点的直线一定不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 10. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 已知与为对顶角，，则______°． 12. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是_________天． 13. 小明用计算一组数据的方差，则的值是______． 14. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 15. 如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则__． 16. 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）． 三、解答题：本大题共8小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17 解答下列各题： （1）计算： （2）当时，求代数式的值． 18. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 19. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）先用无刻度直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，再连接、．猜想四边形的形状，并说明理由． 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；（精确到） （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且，（点在一条直线上），经测得：，，求线段的长度．（精确到）（参考数据：，，） 21. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 22. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求长． 23. 综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是的平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论的依据为______）， ∴是的平分线． 任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线． 任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 24. 如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． （3）在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025初中学业水平第二次模拟检测 九年级数学试题 一、选择题：本大题共10小题，在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请把正确的选项选出来，每小题选对得4分，选错、不选或选出的答案超过一个均记零分． 1. 下列四个数中，最小的数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先化简各数，再进行比较． 【详解】解：∵，，，， 且， ∴最小的数是，即， 故选：D． 【点睛】本题考查比较有理数大小，掌握乘方的运算法则，绝对值和相反数的意义是解题的关键． 2. 如图，将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是（ ） A. 主视图 B. 俯视图 C. 左视图 D. 俯视图与主视图 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了简单组合体的三视图，根据简单组合体三视图的画法画出它的三视图，即可得出答案，掌握简单组合体三视图的画法和形状是正确解答的关键． 【详解】解：将小正方体①移到②的正上方，三视图不变的是俯视图，主视图、左视图都发生变化， 故选：． 3. 智能座舱，是当前车企比拼的“红海战场”：多屏联动、舱内游戏、端侧AI…要支持这些功能，需要一颗强大的智能座舱芯片．新上市的小米汽车，选择了高通骁龙8295，该芯片采用工艺，是目前市面上使用的汽车座舱平台中工艺最先进的产品，相当于，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了科学记数法，科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选：B． 4. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，根据合并同类项法则、同底数幂的乘法、幂的乘方及单项式乘以多项式的运算法则逐项计算即可判断求解，掌握以上运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不是同类项，不能合并，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项错误，不合题意； 、，该选项正确，符合题意； 故选：． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，且，则从满足条件的所有整数m中随机选取一个，恰好是负数的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、简单概率计算等知识．根据题意，由关于x的一元二次方程的根的判别式，可计算，再结合可知，进而推导满足条件的所有整数共计6个，其中负数有3个，由简单概率的计算公式即可得出结果． 【详解】解：根据题意，关于的方程有两个不相等的实数根， 故该一元二次方程的根的判别式，即， 解得， 又， ， 满足条件的所有整数为、、、、、共计6个，其中负数有、、共计3个， 满足条件的所有整数中随机选取一个，恰好是负数的概率是． 故选：C． 6. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，，与位似，原点O是位似中心，则B点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的长，再根据位似图形的性质计算，得到答案． 【详解】解：设点的坐标是， ， ，， 与位似，原点是位似中心，， ，， 点的坐标为， 故选：B． 【点睛】本题考查的是位似图形的概念及性质，熟练掌握位似图形的性质是解题的关键． 7. 数学的美无处不在．数学家们研究发现，弹拨琴弦发出声音的音调高低，取决于弦的长度，绷得一样紧的几根弦，如果长度的比能够表示成整数的比，发出的声音就比较和谐．例如，三根弦长度之比是，把它们绷得一样紧，用同样的力弹拨，它们将分别发出很调和的乐声．研究15、12、10这三个数的倒数发现：．我们称15、12、10这三个数为一组调和数．现有一组调和数：x、8、5（），则x的值是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了分式方程的应用，根据调和数的定义列出分式方程是解答本题的关键． 由调和数的定义列分式方程求解即可． 【详解】解：根据调和数的定义可得： ， 解得：， 经检验：是分式方程的解． 故选D． 8. 如图，六边形的六个内角都等于120°，若，，则这个六边形的周长等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】凸六边形ABCDEF，并不是一规则的六边形，但六个角都是120°，所以通过适当的向外作延长线，可得到等边三角形，进而求解． 【详解】分别作直线AB、CD、EF的延长线和反向延长线使它们交于点G、H、P，如图所示： ∵六边形ABCDEF六个角都是120°， ∴六边形ABCDEF的每一个外角的度数都是60°， ∴△APF、△BGC、△DHE、△GHP都是等边三角形， ∴GC=BC=3cm，DH=DE=EH=2cm， ∴GH=3+3+2=8(cm)， FA=PA=PG-AB-BG=8-3-3=2(cm)， EF=PH-PF-EH=8-2-2=4(cm)． ∴六边形的周长为2+3+3+3+2+4=17(cm)； 故选：B． 【点睛】本题考查了多边形的内角和外角问题，等边三角形的性质及判定定理；解题中巧妙地构造了等边三角形，从而求得周长．是非常完美的解题方法，注意学习并掌握． 9. 二次函数的图象如图所示，其对称轴为直线，那么过点和点的直线一定不经过（　　） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查二次函数的图象和性质，根据二次函数的图象结合已知条件判断即可． 【详解】解：∵函数图象开口向上，与y轴交于负半轴，与x轴有两个交点， ∴，，， ∵对称轴为， ∴， ∴， ∴在x轴负半轴上， 当时，， 则在第四象限， ∴过点和点的直线一定不经过第一象限． 故选：A． 10. 已知：菱形中，，，与交于点，点为上一点，以为对称轴，折叠，使点的对应点恰好落在边上，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】欲求的长，需要找出与相关联的（或转化为求）．经过观察发现．则，只需求出长即可进一步解出的长度． 【详解】是菱形， ， ， ， 由拆叠可知， ，， ， ， ， ， 故选A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、轴对称图形的性质、三角形相似的判定及性质，找到已知线段长与所求线段长的比例关系是解本题的关键． 二、填空题：本大题共6小题，共24分，只要求填写最后结果，每小题填对得4分． 11. 已知与对顶角，，则______°． 【答案】35 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角性质，根据对顶角相等，得出答案即可． 【详解】解：∵与为对顶角，， ∴． 故答案为：35． 12. 我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．如图一位母亲在从右到左依次排列的绳子上打结，满七进一，用来记录孩子自出生后的天数，如图1，孩子出生后的天数＝3×72＋2×71＋6＝147＋14＋6＝167（天）．请根据图2，计算孩子自出生后的天数是_________天． 【答案】109 【解析】 【分析】类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满七进一的数为：百位上的数×72+十位上的数×71+个位上的数． 【详解】解：由题意，孩子自出生后的天数=2×72＋1×71＋4＝98＋7＋4＝109（天）， 故答案为：109． 【点睛】本题是以古代“结绳计数”为背景，按满七进一计算自孩子出生后的天数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生的思维能力． 13. 小明用计算一组数据的方差，则的值是______． 【答案】50 【解析】 【分析】根据方差公式的特点分别进行解答即可． 【详解】解：由题意结合方差公式的特点可知，这组数据共有10个数，其平均数为5， 由平均数的定义可知： ， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了方差公式的特点，平均数的定义等，熟练掌握方差公式是解决本题的关键． 14. 如图，的直径平分弦（不是直径）.若，则___________ 【答案】55 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的推论，圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 先由垂径定理得到，由得到，故． 【详解】解：∵直径平分弦， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，点E是的中点，连接，将沿折叠，点B落在点F处，连接，则__． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了翻折变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数等知识，求出EH的长是本题的关键．过E作于H，通过证明，可得，可求的长，即可求解． 【详解】过E作于H， 由折叠的性质得：， ∵点E是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， 在矩形中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴， ， 故答案为：． 16. 韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论： ①，②；③；④，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）． 【答案】①③ 【解析】 【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可． 【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，，， ∴①③正确，②不正确； ∵ ， ∴④不正确， 故答案：①③． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键． 三、解答题：本大题共8小题，共86分，解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 解答下列各题： （1）计算： （2）当时，求代数式的值． 【答案】（1）3 （2） 【解析】 【分析】（1）根据绝对值的定义，算术平方根的定义，负整数指数幂，零指数幂的运算法则，即可求解， （2）括号中两项通分，利用除法法则，约分得到最简结果，将代入，即可求解， 本题考查了实数的运算，分式的化简求值，解题的关键是：熟练掌握相关运算法则． 【小问1详解】 解： ， 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 18. “双减”政策实施后，某校为丰富学生的课余生活，开设了A篮球，B足球，C绘画，D舞蹈四类兴趣班．为了解学生对这四类兴趣班的喜爱情况，随机抽取该校部分学生进行了问卷调查，并将调查结果整理后绘制成两幅不完整的统计图．请根据统计图信息回答下列问题． （1）本次抽取调查学生共有_____人，估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为_________人． （2）请将以上两个统计图补充完整． （3）甲、乙两名学生要选择参加兴趣班，若他们每人从A，B，C，D四类兴趣班中随机选取一类，请用画树状图或列表法，求两人恰好选择同一类的概率． 【答案】（1）50，300 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图的信息关联、画条形统计图和扇形统计图、利用列举法求概率，熟练掌握统计调查的相关知识和列举法是解题关键． （1）根据喜欢绘画的条形统计图和扇形统计图信息即可得本次抽取调查学生的总人数，再利用3000乘以喜欢舞蹈的学生所占百分比即可得； （2）先求出喜欢篮球的学生人数，据此补全条形统计图，再求出喜绘画和舞蹈的学生所占百分比，据此补全扇形统计图即可得； （3）先画出树状图，从而可得甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果，再找出两人恰好选择同一类的结果，然后利用概率公式计算即可得． 【小问1详解】 解：本次抽取调查学生的总人数为（人）， 估计该校3000名学生喜爱“舞蹈”兴趣班的人数约为（人）， 故答案为：50，300． 【小问2详解】 解：喜欢篮球的学生人数人（人）， 喜欢绘画的学生所占百分比为， 喜欢舞蹈的学生所占百分比为． 则补全两个统计图如下： 【小问3详解】 解：由题意，画树状图如下： 由图可知，甲、乙两名学生选择参加兴趣班的所有等可能的结果共有16种，其中，两人恰好选择同一类的结果有4种， 则两人恰好选择同一类的概率为， 答：两人恰好选择同一类的概率为． 19. 如图，平行于轴的直尺（一部分）与双曲线交于点和，与轴交于点和，点和的刻度分别为和，直尺的宽度为，．（注：平面直角坐标系内一个单位长度为） （1）求双曲线的解析式，并直接写出点的坐标； （2）先用无刻度的直尺和圆规作出线段的垂直平分线，交于点，再连接、．猜想四边形的形状，并说明理由． 【答案】（1）， （2）图见解析，四边形是平行四边形，理由见解析 【解析】 【分析】此题考查的是反比例函数与几何综合，平行四边形的判定，尺规作图． （1）由与的长，及A位于第一象限，确定出A的坐标，利用待定系数法可求得反比例函数的解析式；再根据点的横坐标，即可求得点的坐标； （2）利用尺规作图作出图形即可，再根据对边平行且相等的四边形是平行四边形即可得证． 【小问1详解】 解：点和的刻度分别为和， ， ，轴， ， 把代入得，，解得， 反比例函数解析式为； 点的坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示， 猜想：四边形是平行四边形． 理由如下：轴，是的中点，，， ， 又点纵坐标为，轴， ， ， ∵， 四边形平行四边形． 20. 实验是培养学生的创新能力的重要途径之一，如图是小红同学安装的化学实验装置，安装要求为试管略向下倾斜，试管夹应固定在距试管口的三分之一处，已知试管，，试管倾斜角为． （1）求酒精灯与铁架台的水平距离的长度；（精确到） （2）实验时，当导气管紧贴水槽，延长交的延长线于点，且，（点在一条直线上），经测得：，，求线段的长度．（精确到）（参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的应用，通过作辅助线构造直角三角形，掌握直角三角形中的边角关系是解题的关键． （1）过作，根据三角函数求出，再根据矩形的性质即可得解； （2）过作，交于P，根据三角函数求出，再根据矩形的性质和等腰三角形的性质即可得解． 【小问1详解】 解：过作，垂足为点， ， ， ， 在中，， ， ， ， 四边形是矩形， ， 答：酒精灯与铁架台的水平距离的长度约为． 【小问2详解】 解：过作，交于P， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ，， 在中，，， ， ， ， ， ， ， ， 答：线段的长约为． 21. 阳光玫瑰葡萄果肉鲜脆多汁，口感极佳，是一种比较畅销的水果，某水果店以元千克的价格购进某种阳光玫瑰葡萄，规定销售单价不低于成本价，且不高于元千克，试销期间发现，该种阳光玫瑰葡萄每周销售量（千克）与销售单价（元千克）满足一次函数关系，部分数据如下表所示： 销售单价（元千克） 销售量（千克） （1）求与之间的函数关系式； （2）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元？ （3）当销售单价定为多少时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润（元）最大？最大利润是多少元？ 【答案】（1）； （2）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； （3）当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 【解析】 【分析】（）设与之间的函数关系式为，将，和，分别代入即可求解； （）根据题意得， 然后解方程并检验即可； （）由题意得， 根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用，二次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 【小问1详解】 解：设与之间的函数关系式为， 将，和，分别代入， 得， 解得， ∴与之间的函数关系式为； 【小问2详解】 解：根据题意得， 解得，（舍）， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获利元； 【小问3详解】 解：由题意得， ∴， ∵， ∴当时，随的增大而增大， ∵， ∴当时，最大为， 答：当销售单价定为元时，水果店每周销售阳光玫瑰葡萄获得的利润最大，最大利润是元． 22. 如图，是的直径，点在上，，点在线段的延长线上，且． （1）求证：EF与相切； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2）． 【解析】 【分析】（1）利用圆周角定理得到，结合已知推出，再证明，推出，即可证明结论成立； （2）设半径为x，则，在中，利用正弦函数求得半径的长，再在中，解直角三角形即可求解． 【小问1详解】 证明：连接， ∵，∴， ∵， ∴， ∵是的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵为半径， ∴EF与相切； 【小问2详解】 解：设半径为x，则， ∵，， ∴， 在中，，， ∴，即， 解得， 经检验，是所列方程的解， ∴半径为4，则， 在中，，，， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了圆的切线的判定、圆周角定理、解直角三角形以及相似三角形的判定和性质等知识，熟练掌握圆的相关知识和相似三角形的判定和性质是解题的关键． 23. 综合实践：某数学小组在实践课上进行了课题研究，制定学习表如下： 研究课题 角平分线的性质与判定 配图 材料收集 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得所著的一部数学著作，它是欧洲数学的基础，总结了平面几何五大公设，被广泛认为是历史上最成功的教科书．《几何原本》第1卷命题9：“平分一个已知角．” 任务1： 整理思路 已知，以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点C，交于点D，连接，以为边作等边，求证：是的平分线．请在横线上填写下面思路的依据： 思路：…… ∴（全等判定依据，用字母表示为______）， ∴（得此步结论的依据为______）， ∴是的平分线． 任务2： 迁移应用 已知，将的两顶点C，D放置于和上，连接交于点P，若，求证：是的平分线． 任务3： 拓展探究 已知四边形，连接对角线，交于点P，当平分且将分成面积比为的两部分时，直接写出的值． 【答案】任务1：；全等三角形的对应角相等；任务2：见解析；任务3：或2 【解析】 【分析】本题考查尺规作图作角平分线，相似三角形的判定及性质，添加辅助线构造相似三角形是解决问题的关键． 任务1：由尺规作图作交角平分线依据即可求解； 任务2：过点作，交于，可证得，可知，进而得，则，可知，即可证明结论； 任务3：如图，过点作，则，，再结合角平分线可证，根据平行可证明，得，进而可知，当平分且将分成面积比为的两部分时，或2，即可求得或2． 【详解】解：任务1：思路：由作图可知，，，， ∴（）， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∴是的平分线． 任务2：过点作，交于，则，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，则， ∴是的平分线． 任务3：如图，过点作，则，， ∵平分， ∴，则， ∴， ∵， ∴， ∴，即：， 又∵，， ∴， 当平分且将分成面积比为的两部分时，或2， ∴或2． 24. 如图，已知抛物线经过、两点，与x轴的另一个交点为，顶点为，连接，点为抛物线上一动点． （1）求抛物线的表达式． （2）若点在直线的下方运动时，过点作交于点E，过点作y轴的平行线交直线于点．求周长的最大值及此时点的坐标． （3）在该抛物线上是否存在点，使得若存在，求出所有点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）周长最大为，此时点坐标为 （3）存在，点的坐标为或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）延长交轴于点，作轴于点，根据抛物线的解析式可得到，，进而求出直线的解析式为，设，则，得到，证明，得到，由，，可推出，即可求解； （3）分两种情况讨论：①当点在上方时，过点作交抛物线于点，则，利用待定系数法求出直线的解析式为，进而可求出直线的解析式为，联立，即可求解；②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点，可得到是直角三角形，且，，由，，知是等腰直角三角形，得到，进而得到也是等腰直角三角形，推出，求出直线的解析式为， 联立，即可求解． 【小问1详解】 解：将、代入抛物线中得： ， 解得：， 抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 在中，令，则， 解得：或， ， 又， 顶点， 设直线的解析式为， 将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设， 轴， ， ， 如图，延长交轴于点，作轴于点，即， ， ， ， ， ， ， ， 又，， ， 又， ， 当时，有最大值， 周长最大为，此时点坐标为； 【小问3详解】 存在，理由如下： ①当点在上方时，如图，过点作交抛物线于点， 则， 设直线的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ； ②当点在下方时，作交轴于点，连接交抛物线于点， 在中，，，， ， 是直角三角形，且， ， 由，，知是等腰直角三角形， ， 又， ， 也是等腰直角三角形， ，， ， ， 设直线的解析式为， 将，代入得：， 解得：， 直线的解析式为， 联立， 解得：或（舍去）， ， 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题考查了二次函数与几何图形的综合，涉及二次函数的图像与性质，一次函数的性质，相似三角形的判定与性质，三角函数等知识，解题的关键是灵活运用这些知识． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$