福建省福州市福九联盟2025届高三5月联考数学试题

福九联盟2025届高三年级5月联合考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知向量，满足，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 3. 已知，则（   ） A. B. C. D. 4. 若，则的一个充要条件是（ ） A. B. C. D. 5. 从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．下图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，若正六棱台的上、下两个底面的边长分别为40cm和20cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积为（ ） A. B. C. D. 7. 设椭圆的左、右焦点分别为、，点在椭圆上，为的平分线与轴的交点.若，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数是定义在上的奇函数.当时，，则不等式的解集为（    ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 设为复数，.下列命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 已知 ，，动点C满足，记的轨迹为 .过的直线与 交于 两点，直线与 的另一个交点为，则( ) A. 关于轴对称 B. 的面积的最大值为 C. 当时， D. 直线的斜率的范围为 11. 若非空实数集中存在最大元素和最小元素，则定义.据此，下列命题中不正确的是（ ） A. 若，，且，则 B. 若，且，则对任意，都有 C. 若，，则存在实数，使得 D. 若，，则对任意的实数，总存在实数 ，使得 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知二项式的展开式中各项系数和为256，则展开式中的常数项为____. （用数字作答） 13. 曲线与的一条公切线的方程为__________.（只需写出其中一条公切线的方程） 14. 如图，已知Rt 是圆锥SO的轴截面，C，D分别为SA，SB的中点，过点C且与直线SA垂直的平面截圆锥，截口曲线 是抛物线的一部分.若P在 上，则的最大值为______. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在多面体 中， 平面，平面 平面，，于点． （1）求证：； （2）设，，求直线与平面所成角的正弦值． 16. 在平面四边形中（在的两侧），. （1）若，求； （2）若，求四边形的面积的最大值. 17. 脂肪含量（单位：%）指的是脂肪重量占人体总重量的比例．某运动生理学家在对某项健身活动参与人群的脂肪含量调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，如果不知道样本数据，只知道抽取了男性120位，其平均数和方差分别为14和6，抽取了女性90位，其平均数和方差分别为21和17． （1）试由这些数据计算出总样本的均值与方差，并对该项健身活动的全体参与者的脂肪含量的均值与方差作出估计．（结果保留整数） （2）假设全体参与者的脂肪含量为随机变量X，且X~N（17，2），其中2近似为（1）中计算的总样本方差．现从全体参与者中随机抽取3位，求3位参与者的脂肪含量均小于12.2%的概率． 附：若随机变量×服从正态分布N（μ，2），则P（μ-≤X≤μ+≈0.6827，P（μ-2≤X≤μ+2）≈0.9545，≈4.7，≈4.8，0.158653≈0.004． 18. 已知函数 （1）讨论 的单调性; （2）证明:当 时， 19. 我们把焦点在x轴上，且离心率相同的双曲线称为双曲线系），记的方程为，左、右顶点为．已知双曲线系中曲线经过两点． （1）求双曲线系的离心率； （2）已知是双曲线系上的动点，其中在第二象限，在第三象限，依次构造点满足当三点共线时，直线的斜率与直线的斜率之比恒为常数 ． （ⅰ）证明：数列是以为公比的等比数列； （ⅱ）定义：无穷等比递减数列的所有项之和为，其中为的首项，q为的公比，且 ．设O是坐标原点，的面积的最小值为，求数列的所有项之和T． 福九联盟2025届高三年级5月联合考试 数学试题 注意事项： 1.答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的准考证号、姓名.考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“准考证号、姓名”与考生本人准考证号、姓名是否一致. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号.非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡上书写作答.在试题卷上作答，答案无效. 3.考试结束，考生必须将试题卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】D 【5题答案】 【答案】D 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】BC 【10题答案】 【答案】AC 【11题答案】 【答案】ABC 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】28 【13题答案】 【答案】或（写出其中一条即可） 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） 因为， 平面 ， 平面 ， 所以平面 ， 又因为平面 ，平面平面， 所以. （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）总样本的均值为17，方差为23；据此估计该项健身活动全体参与者的脂肪含量的总体均值为17，方差为23 （2） 【18题答案】 【答案】（1） 当时，函数在R上单调递减， 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2）证明：令 ，， ，令， ， 则 ，所以在上单调递增， 当时，，又 ， 有， ，即单调递减， ， ，即单调递增， 所以 ，而此时 ， 所以当时，成立； 当时，可得 ， ， 所以 又 ， 所以存在，使得 ，即， ， ，， ， 所以函数在上单调递减，在上单调递增， ，由可得， ， 下面证明，， 令 ， ， 所以在上单调递增， ， 即得证，即成立， 综上，当 时，成立. 【19题答案】 【答案】（1） （2） （i）由（1）及题意，知，，． 设，． 设直线的方程为，其中在第二象限，在第三象限， 联立得方程组， 消去并整理，得， 则， ，， 所以， 则 ， 所以，则． 故数列是以为公比的等比数列． （ⅱ） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $