第十一章 三角形的证明及其应用单元练习 2025-2026学年鲁教版（五四制）数学七年级下册

**基本信息** 初二下册第十一章“三角形的证明及其应用”单元卷，覆盖全等三角形判定、多边形内角和等核心知识，通过基础题与综合探究题结合，适配单元复习巩固与推理能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/40|多边形内角和（1-2题）、全等判定（3、6题）|结合三角板画角平分线（7题），体现数学眼光| |填空题|5/20|正五边形内角（11题）、等腰三角形计数（12题）|融入传统摆盘艺术情境（11题），培养应用意识| |解答题|8/90|证明（16题）、实际应用（17题）、综合探究（23题）|分“问题初探-类比分析-学以致用”（23题），层次分明，发展推理意识与创新意识|

初二 下册 第十一章 三角形的证明及其应用 单元练习题 一、选择题：本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.一个多边形的内角和是它的外角和的倍，则这个多边形是(    ) A. 五边形 B. 六边形 C. 七边形 D. 八边形 2.若一个多边形的外角和与它的内角和相等，则这个多边形是(    ) A. 三角形 B. 五边形 C. 四边形 D. 六边形 3.如图，点，，，在一条直线上，，，要说明添加的条件可以是(    ) A. B. C. D. 4.下列说法正确的是(    ) A. 全等三角形的周长和面积分别相等 B. 全等三角形是指形状相同的两个三角形 C. 全等三角形是指面积相等的两个三角形 D. 所有的等边三角形都是全等三角形 5.如图，在中，，，，，则(    ) A. B. C. D. 6.如图，已知，，若用“”判定和全等，则需要添加的条件是(    ) A. B. C. D. 7.数学课上，同学们探讨利用不同画图工具画角的平分线的方法．小旭说：我用两块含的直角三角板就可以画角平分线．如图，取，把直角三角板按如图所示的位置放置，两直角边交于点，则射线是的平分线，小旭这样画的理论依据是(    ) A. B. C. D. 8.如图，，是直线两侧的点，以为圆心，长为半径画弧交于，两点，又分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点，连接，，，下列结论不一定正确的是(    ) A. B. 点，关于直线对称 C. 点，关于直线对称 D. 平分 9.工人师傅常常利用角尺构造全等三角形的方法来平分一个角如图，在的两边，上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与点，重合，这时过角尺顶点的射线就是的平分线这里构造全等三角形的依据是   ． A. B. C. D. 10.如图，已知中，，，，在所在平面内一条直线，将分割成两个三角形，使其中有一个边长为的等腰三角形，则这样的直线最多可画(    ) A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 二、填空题：本题共5小题，每小题4分，共20分。 11.中国宴席中的摆盘艺术体现传统美学原则．如图，将六个全等的正五边形陶瓷盘按照如图的方式摆放，正五边形的五个顶点代表“五福”，具有美好的寓意．若将其抽象成如图的图形，则的度数为           12.如图，，，，则图中等腰三角形有          个． 13.如图所示是由线段，，，，组成的平面图形，，则的度数为          ． 14.如图，在中，，，作的垂直平分线交于点，交于点，连接若，则的周长为          ． 15.如图，，点到，，距离都相等，则          ． 三、解答题：本题共8小题，共90分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 16.本小题分 已知：如图，在中，，平分外角。 求证：。 17.本小题分 小明用大小相同，高度为的块小长方体垒了两堵与地面垂直的木墙，，当他将一个等腰直角三角板如图垂直放入时，直角顶点正好在水平线上，锐角顶点和分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离． 18.本小题分 如图，在四边形中，，，． 求证：≌； 若，，求的长． 19.本小题分 如图，在中，，是的平分线，于点，点在上，证明： ； ． 20.本小题分 如图，点、在的边上，，，求证：． 21.本小题分 如图，在中，是的中点，，，垂足分别是，，求证：是的角平分线． 22.本小题分 如图，已知平分，点是反向延长线上的一点，，，，求的度数． 23.本小题分 【问题初探】 如图，在中，，，为中点，点是线段上的动点，当时，连接，将线段绕点逆时针旋转，得到，连接，请探索，，之间的数量关系． 以下是数学兴趣小组两位同学的发现： 小明同学：如图，如果过作交于点，那么是等边三角形，通过构造全等三角形可以找到，，之间的数量关系． 小颖同学：如图，如果过作交于点，那么是等边三角形，也可以构造出全等三角形，找到，，之间的数量关系． 请参考小明和小颖两名同学的解题思路，直接写出，，之间的数量关系为          ． 【类比分析】 小明和小颖同学都运用数学的转化思想，将证明三条线段的关系转化为证明两条线段的关系；为了帮助学生更好地感悟转化思想，王老师将图进行变换并提出了下面问题，请你解答． 如图，在中，，，为中点，点是边上的动点，当时，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，请探究线段，，之间的数量关系 【学以致用】在中，，，点在边上，点在边上，连接不平行，将绕点逆时针旋转角，得到，连接，再过点作交于点，过点作交于点，当，，时，直接写出的周长． 答案和解析 1.【答案】  【解析】多边形的外角和是，则内角和是设这个多边形是边形，内角和是，这样就得到一个关于的方程，从而求出边数的值． 【详解】解：设这个多边形是边形，根据题意，得 ， 解得：． 故这个多边形是六边形． 故选：． 2.【答案】  【解析】略 3.【答案】  【解析】本题考查了全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法逐项判断即可求解，掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：，， 、当添加时，对应条件为，不能证明，该选项不合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，不能证明，该选项不符合题意； 、当添加时，，即，根据能证明，该选项符合题意． 故选：． 4.【答案】  【解析】略 5.【答案】  【解析】解：，， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， 故选：． 根据等腰三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，求出，根据等腰三角形的判定得出，根据含角的直角三角形的性质得出，再求出答案即可． 本题考查了等腰三角形的性质和判定，含度角的直角三角形的性质，三角形内角和定理等知识点，能求出和的度数是解此题的关键． 6.【答案】  【解析】此题考查了对全等三角形判定定理的理解和掌握，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键． 由图示可知为公共边，若想用 判定证明和全等，必须添加． 【详解】解：， ， ， A.，符合两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项符合题意； B.，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理 ，故该选项不符合题意；     C.，运用的是全等三角形的判定定理，不符合两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； D.，运用的是全等三角形的判定定理，不是两个直角三角形全等的判定定理，故该选项不符合题意； 故选：． 7.【答案】  【解析】解：由题意得：，， 在和中， ， ≌， ， 是的平分线． 故选：． 由“”可证≌，可得，可证是的平分线． 本题考查了全等三角形的判定和性质，由证明≌是解题的关键． 8.【答案】  【解析】【分析】 本题考查了作图基本作图：掌握基本作图作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线利用基本作图可对进行判断；利用垂直平分可对、进行判断；利用与不一定相等可对进行判断． 【解答】 解：由作法得垂直平分，所以、选项正确； 因为垂直平分， 所以， 所以平分，所以选项正确； 因为不一定等于，所以选项错误． 故选：． 9.【答案】  【解析】解：在和中 ， 所以≌， 所以， 即是的平分线， 故选：． 根据全等三角形的判定定理推出≌，根据全等三角形的性质得出，根据角平分线的定义得出答案即可． 本题考查了全等三角形的判定定理和性质定理，能熟记全等三角形的判定定理是解此题的关键，注意：全等三角形的判定定理有，，，，两直角三角形全等还有，全等三角形的对应角相等． 10.【答案】  【解析】略 11.【答案】  【解析】本题考查了多边形的内角与外角，熟练掌握多边形的内角和公式是关键． 用减去三个正五边形的内角的度数即可． 【详解】解：正五边形每个内角的度数为 ． 故答案为：． 12.【答案】  【解析】略 13.【答案】  【解析】略 14.【答案】6 【解析】解：在Rt ABC中，∠ACB=90,∠B=30, ∠A=90-∠B=60, EF是BC的垂直平分线， EB=EC,∠BFE=90, ∠ECB=∠B=30, 在Rt BEF中，EF=1,∠B=30, BE=2EF=2, ∠ACE=∠ACB-∠ECB=90-∠ECB=60, ∠A =∠ACE=60, ACE是等边三角形， AC=AE=CE=2, :ACE的周长为6. 15.【答案】  16.【答案】证明：为的一个外角， 三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和。 已知， 等式的基本性质。 平分已知， 角平分线的定义。 等量代换。 内错角相等，两直线平行。  17.【答案】解：由题意，得，，，， ，． ． 在和中， ≌， ． 答：两堵木墙之间的距离为． 18.【答案】【小题】 证明：， ． 在和中， ， ≌， 【小题】 ≌， ，， ．  【解析】  由“”即可证≌；   结合可得，，可得结论． 本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法是本题的关键． 19.【答案】证明：是的平分线，，， ． 在和中， ， ． 由得， 在与中， ≌， ， ．  【解析】根据角平分线的性质“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，可得点到的距离点到的距离，即再根据，得； 利用角平分线性质证明，得，再将线段进行等量代换． 本题主要考查了直角三角形的判定，全等三角形的性质，角平分线的性质，熟记各个判定和性质是解决本题的关键． 20.【答案】证明：过点作于点． ， 在和中 ， ， ， ， ．  【解析】本题考查全等三角形的判定和性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．过点作于点证明，再证明垂直平分线段即可解决问题． 21.【答案】证明：是的中点， ． ，， ． 在和中， ≌． ． 又，， 是的角平分线．   22.【答案】解：平分，，在中，，，．  23.【答案】【小题】 【小题】 解：，理由： 取的中点，的中点，连接，，， ，， ， ，， ， ， 为中点， ，， ，，， ，， 由旋转得，， ， 在和中， ， ， ， ； 【小题】 解：的周长为或． 如图所示，当时，则在下方， ，， 四边形是平行四边形，，， ， ， ， ， ， 同理：， 由旋转可知，，， ， ， ， ， 的周长为：， 如图所示，当时，则在上方， 同理可得， 此时的周长为：， 综上，的周长为或． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $