第11章 三角形的证明及其应用 学业水平测试-【全程复习大考卷】2025-2026学年七年级下册数学（鲁教版·新教材）

第十一章学业水平测试 (时间：60分钟满分：100分) 题序 二 三 总分 得分 一 、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共30分） 1.下列命题的逆命题是假命题的是 A.在角的内部，角平分线上的点到这个角两边的距离相等 办 B.等腰三角形的两底角相等 C.有两边相等的三角形是等腰三角形 D.两个全等三角形的面积相等 2.如图，点D,E分别在线段AB,AC上，CD与BE相交于O点，已知AB=AC,添加以下条件仍不能判定 △ABE≌△ACD的是 ( A.∠B=∠C B.BE=CD C.BD=CE D.AD=AE D D 救 E 第2题图 第4题图 第5题图 3.已知，在Rt△ABC中，∠C为直角，∠B是∠A的2倍，则∠A的度数是 A.30° B.50° C.70 D.90° 4.把两块30°，60°，90°及45°，45°，90°的三角板按如图所示那样拼在一起，∠DEC的大小为 A.60° B.75° C.80° D.105° 5.如图，在△ABC中，BC=7,AB的垂直平分线分别交AB,BC于点D,E,AC的垂直平分线分别交AC, BC于点F,G,则△AEG的周长为 () A.5 B.6 C.7 D.8 6.新情境〔实际情境〕在如图的房屋人字梁架中，AB=AC,点D在BC上，下列条件不能说明AD⊥BC 的是 A.∠ADB=∠ADC B.∠B=∠C C.BD=CD D.AD平分∠BAC D 第6题图 第7题图 7.如图，在3×3的正方形网格中，线段AB,CD的端点均在格点上，则∠1和∠2的数量关系是() A.∠1+∠2=180° B.∠1=∠2 C.∠2=∠1+90° D.∠2=2∠1 8.如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4。若用 x,y表示直角三角形的两条直角边(x>y),则下列式子错误的是 () A.x-y=2 B.x2+y2=36 C.x+y=8 D.xy=16 第8题图 第9题图 第10题图 9.如图，O是△ABC的三条角平分线的交点，连接OA,OB,OC,若△OAB,△OAC,△OBC的面积分别为 S1,S2,S3,则下列关系正确的是 () A.S +S2=S3 B.S1+S2>S3 C.S +S2<S3 D.S1+S2=2S3 10.如图，AB=AC,AE=AD,点E在BD上，∠EAD=∠BAC,∠BDC=56°，则∠ABC的度数为（) A.56° B.60° C.62 D.64° 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，共18分） 11.用反证法证明“如果一个三角形没有两个相等的角，那么这个三角形不是等腰三角形”的第一步是 假设 12.如图，△ABC≌△DEF。若BC=5cm,BF=7cm,则EC的长是 B D B E D B 第12题图 第13题图 第14题图 13.如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠ACB=60°，BD⊥AC,垂足为D。若CD=2,则AD的长为 14.如图，在四边形ABCD中，∠B=90°，AD=BC=4,AB=6,若AC平分∠BAD,则四边形ABCD的面积 为 15.如图，在△ABC中，∠A=55°，∠B=75°，将纸片的一角折叠，点C落在△ABC内。若∠CDA=20°， 则∠CEB= B. B. B, / O A1 A2 As A 第15题图 第16题图 16.新考法〔拓展探究〕如图，己知∠MON=30°，点A1,A2,A3…在射线ON上，点B1,B2,B3…在射线OM 上，△A1B1A2,△A2B2A3,△A3B3A4,…均为等边三角形。若OA1=2,则△A4B4A5的边长是 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·27· 三、解答题（共52分） 17.(6分)如图，已知：EC=AC,∠BCE=∠DCA,∠A=∠E。求证：AB=ED。 B 18.(8分)如图，在△ABC中，AB=AC,点D是BC的中点，点E在BD上，连接AD,AE,AE=BE。 (1)若∠B=40°，求∠DAE的度数； (2)若CA=CE,求∠B的度数。 ED 19.(8分)如图，在△ABC中，DE是AC的垂直平分线。 (1)若AC=6,△ABD的周长是13，求△ABC的周长； (2)若∠B=62°，∠C=36°，求∠BAD的度数。 ·28· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 20.（8分)新素养〔应用意识〕如图，A,B两个小集镇在河流CD的同侧，分别到河的距离为AC=6千米， BD=18千米，且CD=10千米，现在要在河边建一自来水厂，向A,B两镇供水，铺设水管的费用为 每千米3万，请你在河流CD上选择水厂的位置M,使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是 多少？ B A --D--- 都 21.(10分)如图，在△ABC中，D为BC的中点，DE⊥BC交∠BAC的平分线于点E,EF⊥AB于点F, EG⊥AC交AC的延长线于点G,试问：BF与CG的大小如何？证明你的结论。 D B 22.（12分)如图，CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=a,AD,BE交于点H,连接CH。 (1)求证：△ACD≌△BCE; (2)求证：HC平分∠AHE; (3)求∠CHE的度数。（用含α的式子表示）21.三个角相等的三角形是等边三角形 在△ABM和△DCN中， 22.D【解析】如图，过点P作PH⊥OA于点H, AM DN, OC平分∠AOB,PQ⊥OB, ∠M=∠DWC=90°， .PH=PQ=7 cmo BM=CN. .∴.，点P到OA的距离为7cm。 ∴.△ABM≌△DCN(SAS). ∴.∠ABM=∠1 :∠ABM+∠2=180°， ∴.∠1+∠2=180°。 A 8.c H 23.证明：BD为∠ABC的平分线， 9.B【解析】如图，过点O作OE⊥AB,OF⊥BC,OD⊥AC。 ∴.∠ABD=∠CBD。 在△ABD和△CBD中， AB=CB, ∠ABD=∠CBD, 由条件可知，0E=OF=OD, BDBD, ∴.△ABD≌△CBD(SAS)。 ∴Sm=2AB·0E,Sm=74C.0D,5m=2BC.0F。 ∴.∠ADB=∠CDB。 AB +AC>BC, 点P在BD上，PM⊥AD,PN⊥CD, .S1+S2>S30 ∴.PM=PN。 10.C【解析】如图，设AC与BD相交于点O, 24.证明：如图，连接EC, D :AB=AC,点D是BC边上的中点，∴.AD⊥BC。 :∠EAD=∠BAC, ∴.EB=EC。 .∴.∠BAE+∠EAC=∠EAC+∠CAD。 EF是AC的垂直平分线，∴.EA=EC。.AE=BE。 ∴.∠BAE=∠CAD。 25.解：如图，连接MN,作线段MN的垂直平分线l,交直线 在△BAE和△CAD中， AB于点C,则C点即为所求。 AB=AC. M ∠BAE=∠CAD, AE =AD, .△BAE≌△CAD(SAS)O 第十一章学业水平测试 .∠ABE=∠ACD 1.D2.B3.A4.B5.C6.B :∠BOC是△AB0和△CD0的外角， 7.A【解析】如图，标注，点M,N。 ∴.∠BOC=∠ABE+∠BAC=∠ACD+∠BDC。 M B ∠BDC=56°， .∠BAC=∠BDC=56°。 AB=AC. LABC=∠ACB=2(180-∠BAC)=7×(180- A ·56· ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 56)=62°。 .△ACB≌△ECD(ASA)。 11.这个三角形是等腰三角形 .AB=ED。 12.3cm13.6 18.解：(1)由条件可知，∠C=∠B=40°， 14.20【解析】如图，过点C作CE⊥AD交AD的延长线 ∴.∠BAC=180°-40°-40°=100°。 于点E。 点D是BC的中点， BAD-BC50 D C AE=BE. .∠BAE=∠B=40°。 ∴.∠DAE=∠BAD-∠BAE=10°。 B (2)由条件可知，∠CAE=∠CEA。 ∠B=90°，∴.BC⊥AB。 根据(1)可知，∠B=∠BAE,∠B=∠C, AC平分∠BAD,CE⊥AD,.CE=CB=4。 ∴.∠CAE=∠CEA=∠B+∠BAE=2∠B。 1 ·四边形ABCD的面积=SAABG+SAc=2×6×4+ .∠BAC+∠B+∠C=∠BAE+∠CAE+∠B+∠C= 5∠B。 2×4×4=20. :∠BAC+∠B+∠C=180°， 15.80°【解析】：在△ABC中，∠A=55°，∠B=75°， .5∠B=180°，解得∠B=36°。 .∠C=180°-∠A-∠B=180°-55°-75°=50°。 19.解：(1)：DE是AC的垂直平分线， ∠CDA=20°， .DA=DC。 ∠CDE=180°-20° :△ABD的周长是13， 2 =80°。 .AB+AD+BD=AB +DC +BD =AB+BC=13. .∠CED=180°-ㄥC-∠CDE=180°-50°-80°=50°。 .△ABC的周长=AB+BC+AC=13+6=19。 .∠CEB=180°-2∠CED=180°-2×50°=80°。 (2)在△ABC中，∠B=62°，∠C=36°， 16.16【解析】△A1B1A2为等边三角形， 则∠BAC=180°-∠B-∠C=82°。 .∠B1A1A2=60°。 DA =DC, .∠0A1B1=180°-∠B1A1A2=120°。 .∠DAC=∠C=36°。 又∠M0N=30°， .∠BAD=∠BAC-∠DAC=82°-36°=46°。 ∴.∠0B1A1=180°-∠0AB1-∠M0N=180°-120°- 20.解：如图，作点A关于CD的对称点A',连接AB与CD 30°=30°。 交于点M,过点A'作A'K⊥BD交BD的延长线于点K。 ∴.∠M0N=∠0B1A1=30°。 1B .OA1=A1B1=A1A2=2。 .△A1B,A2的边长为2。 同理可得△A2B2A3的边长为4，△A3B,A4的边长为8， △A4B4A5的边长为16。 D-- 17.证明：.∠BCE=∠DCA, 4==K- .∠BCE+∠ACE=∠DCA+∠ACE, .A'C=AC=6千米，AM=A'M。 即LACB=∠ECD. .AM+BM=A'M+BM≥A'B, 在△ACB和△ECD中， 即AM+BM的最小值为A'B的长，此时铺设水管的费 r∠A=∠E, 用最节省。 AC=EC, BD⊥CD,AA'⊥CD,BD⊥A'K, .LACB=∠ECD, .∠A'CD=∠CDK=∠A'KD=90°。 .A'C∥DK,CD∥A'K。 由平行线间距离处处相等可得DK=A'C=6千米， H A'K=CD=10千米。 .BK=BD+DK=24千米。 在直角三角形A'BK中， (3)解：.·△ACD≌△BCE, 由勾股定理得A'B=√102+242=26（千米）， ∴.∠CAD=∠CBE。 ∴.此时总费用为26×3=78（万元）。 ∴.∠AHB=∠ACB=。 21.解：相等。证明如下： .∠AHE=180°-ao 如图，连接EB,EC。 ∠CHE=2∠AE=90-2a。 1 专项突破一巧解二元一次方程组 1.D 2.A【解析】将②代入①，得3x-2(x-1)=5, 化简得3x-2x+2=5。 :AE是∠BAC的平分线，且EF⊥AB,EG⊥AC, 3.解：任务一：①代入 ∴.EF=EG。 ②三去括号错误 ED⊥BC,D是BC的中点， 任务二 x=3 .EB=EC。 ly=-1 在Rt△EFB和Rt△EGC中， 任务三：去括号时，如果括号前面是“-”号，去掉括 [EB=EC, 括号里面的各项都要变号。（答案不唯一） EF=EG, 3x+2y=14,① 4.解：(1) .∴.Rt△EFB≌Rt△EGC(HL)。 2x-y=7,② ∴.BF=CG。 由②，得y=2x-7,③ 22.(1)证明：.∠ACB=∠DCE=ax, 把③代入①，得3x+4x-14=14, .∠ACD=∠BCE。 解得x=4。 在△ACD和△BCE中， 把x=4代人③，得y=2×4-7=1, CA=CB, ∠ACD=∠BCE, 0 CD =CE, +y+21=1,① (2) 2 3 ∴.△ACD≌△BCE(SAS)。 (2)证明：如图，过点C作CM⊥AD于点M,CW⊥BE于 4(x+y）-5(x-y）=-38,② 点N。 由①，得5x+y=6,③ :△ACD≌△BCE,∴.∠CAM=∠CBN。 由②，得-x+9y=-38,④ 在△ACM和△BCN中， 由④，得x=9y+38,⑤ ,∠AMC=∠BNC=90°， 将⑤代入③，得46y=-184,解得y=-4 ∠CAM=∠CBN, 把y=-4代入⑤，得x=2, LAC BC, .∴.△ACM≌△BCN(AAS)。 2 ∴.CM=CN。 5.解：(1).3x+2y=18, ∴.HC平分∠AHE。 .2y=18-3x。 方程两边同时除以2，得y=18,3x。 根据题意，得 5x+3y+2z=21,① 2。 9x+5y+3z=35,② x,y均为正整数， ①×2-②，得x+y+z=7, :当x=1时，y=18,3=7.5(不是整数，舍去)； 2 ∴.4x+4y+4z=4(x+y+z)=4×7=28。 当x=2时，y-18-,3×2=6,符合题意； .购买4支铅笔，4块橡皮，4本日记本，共需28元。 2 「x+y+3=10,① 10.解：(1) 当x=3时，y=18-3x3=4.5(不是整数，舍去)： 4(x+y)-y=25,② 2 由①，得x+y=7,③ 当x=4时，y=18-3×4=3,符合题意； 2 把③代入②，得4×7-y=25,解得y=3, 当x=5时，y-18-,3×5-1.5(不是整数，舍去)。 把y=3代入③，得x=4, 2 所以方程组的解是 x=4, 「x=2,「x=4, y=3。 正整数解有 y=6,y=3。 [2x+3y=-4,① (2)+2y=a, (2)56s-5y=16,② lx=2-y,② 由②，得6x+9y-14y=16,即3(2x+3y)-14y=16,③ 把②代入①，得2-y+2y=a,解得y=a-2。 把①代入③，得3×(-4)-14y=16,解得y=-2, 把y=a-2代入②，得x=2-(a-2)=2-a+2=4-ao 把y=-2代入①，得x=1, 3x+2y=18, x=1, 所以方程组的解是 ∴.3(4-a)+2(a-2)=18。 y=-2。 去括号，得12-3a+2a-4=18,解得a=-10。 【解析】设m+n=x,m-n=y,则原 6.C 11.解：(1)m=1, n=-3 7解：(1)-2y=0,① 方程组可化为 ax+by=6, 3x+2y=8,② bx+ay=3。 ①+②，得4x=8, 「ax+by=6, 「x=-2, 的解为 解得x=2。 Ibx+ay=3 Ly=4, 将x=2代人①，得2-2y=0, 「m+n=-2 解得厂m1, 解得y=1。 m-n=4, n=-3。 故原方程组的解为 x=2, (2)设艺=m,号=，则原方程组可化为 Ly=1. 3x-2y=9,① x+Y=4 (2)原方程组整理，得 [m-n=4, 3x+4y=36,② 解得m4, 14m+3n=16,f1n=0, 即有 解得4， ②-①，得6y=27,解得y=4.5。 2=0,y=4。 13 将y=4.5代入①，得3x-9=9,解得x=6。 「x=6, 方程组的解为=4， ly=4。 故原方程组的解为 y=4.5。 (3)设号=m,彩=，则原方程组可化为 3a+2b=10,「a=4, 8.解：由题意可得 a-2b=6,1b=-1。 5ma+5b,=5c1'化简，得 am+bin=c1, .a⊕6=4⊕(-1)=4×4+(-1)×(-1)=17。 l5ma2+5nb2=5c2, Lazm+ban =c2o 9.B【解析】设铅笔的单价为x元，橡皮的单价为y元，日 :关于x,y的二元一次方程组 ax+by=G’的解 记本的单价为z元。 Lax+bzy=c2 ★全程复习大考卷·数学·七年级下册 ·57·