精品解析：2026年广西壮族自治区梧州市藤县二模数学试题

2026年广西壮族自治区梧州市藤县二模数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列实数中，是的绝对值的是（ ） A. 2026 B. C. D. 3. 如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 4. 二元一次方程组 的解是（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（ ） A. 87分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 7. 如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A. B. C. D. 8. 古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 10. 辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（ ） A. B. C. D. 11. 生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ） 生长时间天 10 15 20 30 吸收水分毫升 2.5 3.75 5.0 7.5 A. 该一次函数的表达式为 B. 当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升 C. 吸收的水分随生长时间的增加而减少 D. 当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升 12. 如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 若的展开式中不含项，则______． 14. 已知 ，则_______． 15. 某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距_____千米． 16. 如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 18. 如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． （1）作，垂足为，求的长； （2）求的值． 19. 我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． （1）当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ （2）当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 20. 月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两批月季花树高度的频数： 121 125 126 130 134 138 139 第一批 1 3 1 0 4 3 0 第二批 0 1 3 2 5 0 1 b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 第一批 131 134 第二批 131 m 134 （1）写出表中，的值； （2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是__________（填“第一批”或“第二批”）； （3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？ 21. 如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 22. 为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值； （3）如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年广西壮族自治区梧州市藤县二模数学试卷 （全卷满分120分，考试时间120分钟） 注意事项： 1．答题前，考生务必将姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上． 2．考生作答时，请在答题卡上作答（答题注意事项见答题卡），在本试卷上作答无效． 3．不能使用计算器． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 一、选择题（共12小题，每题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中只有一个选项是符合要求，多选、错选或未选均不得分） 1. 以下四幅图片是人工智能依据山东优秀传统文化生成的、分别为胶东瑞兽、潍青沙鸢齐都蹴鞠”、汶口八角星纹样，其中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，该选项不符合题意； 、既是轴对称图形，又是中心对称图形，该选项符合题意． 2. 下列实数中，是的绝对值的是（ ） A. 2026 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数计算即可得出结果． 【详解】解：． 3. 如图为小明拍摄的家中冰箱温度的显示，上面的数字为冷藏室的温度，下面的数字为冷冻室的温度，可知冷藏室比冷冻室温度高（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：冷藏室比冷冻室温度高． 4. 二元一次方程组 的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】使用加减消元法消去未知数，先求出的值，再代入求出的值即可得到结果． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 5. 已知直线经过点和，其中，则k的值可能为（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用点在直线上的坐标满足直线解析式，得到关于的表达式，再结合求出的取值范围，即可判断选项． 【详解】解：∵直线经过点和， ∴，， ∵， ∴ ， ∴或 解得：， 所以的值可能为． 6. 某校学生体育素质总评成绩由平时、期中、期末成绩按权重比组成，若小王平时得90分，期中得80分，他想期末总评不低于85分，则小王期末成绩不低于（ ） A. 87分 B. 86分 C. 85分 D. 84分 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定权重比计算加权总评成绩，结合总评不低于85分的要求列不等式求解即可． 【详解】解：设小王期末成绩为x分，根据题意得： 解得： 小王期末成绩不低于86分． 7. 如图，在中，，在同一直线上，，且沿折叠后与重合．连接，．则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，，则，由折叠性质得，则，再根据得，由此解得，则，然后在中，根据即可得出的度数． 【详解】解：∵， ∴设， ∴， 由折叠性质得：， ∴， 在中，， ∵， ∴， 解得：， ∴， 在中，， ∴． 8. 古语有“君子无故，玉不去身”，玉在中国的文明史上有着特殊的地位，其具有仁、智、义、礼、乐、忠、信、天、地、德、道等君子的品节．如图，现有一块直径为的圆形玉料，要用其雕刻出一个圆周角为的扇形玉佩，则废料（即图2中阴影部分）的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据圆周角定理得到为直径，再利用勾股定理求出的长，然后根据圆和扇形面积公式可求出阴影部分的面积． 【详解】解：如图2，连接， 由题意，，， ∴为圆O的直径，则， ∵， ∴， ∴废料（即图2中阴影部分）的面积为． 9. 如图，在中，，将绕点逆时针旋转得到，连接，则的长为（ ） A. 8 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，交于点，由旋转可得，，，为等边三角形，垂直平分，根据勾股定理可得，，即可得的长． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵绕点逆时针旋转得到，，， ∴，，， ∴为等边三角形，点在线段的垂直平分线上， ∴， ∴点在线段的垂直平分线上， ∴垂直平分， ∴， ∴，， ∴． 10. 辽宁省文旅局通过一系列丰富多彩的文旅活动，彰显“山海有情，天辽地宁”的独特魅力，吸引越来越多的游客来到辽宁、打卡辽宁．将分别标有汉字“天”“辽”“地”“宁”的四个小球装在一个不透明的口袋中，这些球除汉字外都相同，每次摸球前先搅拌均匀，随机摸出一球，不放回，再随机摸出一球，两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题先求出所有等可能的结果总数，再找出符合条件的结果数，根据概率公式即可计算出答案． 【详解】解：∵第一次摸球共有4种等可能结果，摸出后不放回，第二次摸球共有3种等可能结果， ∴由树状图可知，两次摸球的所有等可能结果总数为 ． ∵两次摸出的球上的汉字能组成“辽宁”，即两次摸出的球恰好是“辽”和“宁”，共有2种符合条件的结果， ∴根据概率公式可得所求概率为 ． 11. 生物学中，植物生长所需水分与生长时间存在一定关联．某研究小组观察某种幼苗，发现其在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系．部分实验数据如下表所示，则下列说法正确的是（ ） 生长时间天 10 15 20 30 吸收水分毫升 2.5 3.75 5.0 7.5 A. 该一次函数的表达式为 B. 当生长时间为38天时，吸收水分为9.5毫升 C. 吸收的水分随生长时间的增加而减少 D. 当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法求出解析式后依次判断即可求解． 【详解】解：设解析式为（）， 将和代入解析式得： ， 解得：， ∴解析式为，A选项不正确； 令，解得，B选项正确； 由可知，y随x的增加而增大，C选项不正确； 题目记录的是在天内吸收的水分（单位：毫升）与生长时间（单位：天）近似满足一次函数关系，故当生长时间为50天时，吸收水分为12.5毫升不符合题意，D选项不正确． 12. 如图，二次函数 的图象与x轴交于点，，与直线 交于点，若函数的图象与x轴只有一个交点，则的值是（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据二次函数 的图象与x轴交于点，得,直线 过点得，求得，根据函数的图象与x轴只有一个交点得，即可求得． 【详解】解：∵二次函数 的图象与x轴交于点，， ∴, ∵直线 过点， ∴， 解得：， ∴， ∴ ； ∵函数的图象与x轴只有一个交点， ∴当时，， ∴， 整理得， 解得：． 二、填空题（本大题共4题小题，每题3分，共12分） 13. 若的展开式中不含项，则______． 【答案】 【解析】 【分析】原式利用单项式乘多项式法则计算，合并同类项后，根据展开式不含项得到项的系数为0，即可求出的值． 【详解】解： ∵展开式中不含项， ∴ 解得． 14. 已知 ，则_______． 【答案】 【解析】 【分析】根据绝对值的非负性与平方的非负性，两个非负数的和为时，每个非负数都为，据此求出，的值，再代入计算即可． 【详解】解： ，，且 ， 解得， ． 15. 某山区城市所辖的，两座小城长期被一条大江阻隔，为促进当地的经济发展，政府决定在，两城间建造一座特大型跨江大桥．如图，观测点与小城在江的同一侧，从小城释放的一架无人机以千米/分钟的速度径直飞往观测点，分钟后到达点，同时测得，．则，两座小城相距_____千米． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先求出的长度，再结合三角形内角和定理得到，判定为等腰三角形得到，最后通过构造含角的直角三角形，利用三角函数求出的长度． 【详解】解：如图，过点作交延长线于点， ， ， ， ， 设，则，， ，， ， ，即， 解得：， ， 在中，千米． 16. 如图，在矩形中，，，点为矩形内一个动点，连接，，，，点，分别为，的中点，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】由点为矩形内一个动点，且得点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），要求的最小值，即求的最小值，当三点共线时，的值最小，由勾股定理求出，可得的最小值为，根据三角形中位线定理可得的最小值为． 【详解】解：∵点为矩形内一个动点，且， ∴点在以为直径的圆上（矩形内部的一段弧），如图， 设的中点为O，则O是圆心，半径，连接 ∵M、N分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴， 因此，要求的最小值，即求的最小值， 当三点共线时，的值最小， 在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴，即的最小值为． 三、解答题（本大题共7小题，共72分，解答时要求在答题卡对应的区域内写出文字说明、证明过程或运算步骤）． 17. 计算： （1）； （2）； （3）； （4）． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 ； 【小问3详解】 ； 【小问4详解】 ． 18. 如图，在中，交于点，为的中点，连结，，． （1）作，垂足为，求的长； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形的性质得到，用勾股定理求出，根据三角形面积求出的长； （2）过点作，交于，求出，，根据正切的定义即可求出答案． 【小问1详解】 解：如图，作，垂足为， ∵交于点， ∴， 为的中点，， ． 又∵在直角三角形中，， ． 又， ∵， ； 【小问2详解】 解：过点作，交于， ， 又， ， ∴， ． 又，， ． 又， ． 在直角三角形中，， ，， ． 19. 我市一水果销售公司需将一批鲜桃运往某地，有汽车、火车两种运输工具可供选择，两种运输工具主要参考数据如下： 运输工具 途中平均费用 （元/千米） 途中平均速度 （千米/时） 装卸时间 （时） 装卸费用（元） 汽车 10 80 2 1000 火车 8 100 4 2000 假设这批水果在运输过程中（含装卸时间）的损耗为160元/时． （1）当运输路程为400千米时，你认为选用哪种运输工具比较好？ （2）当运输路程为多少千米时，两种运输工具所需总费用相同？ 【答案】（1）选用汽车运输比较好 （2）550千米 【解析】 【分析】（1）分别求出两种运输方式所需的费用，比较大小即可； （2）根据两种运输方式所需的费用相等列方程求解即可． 【小问1详解】 解：汽车：（元） 火车：（元） 因为6120元元，所以选汽车． 【小问2详解】 解：设运输路程为千米，由题意得， 解得 即路程为550千米时，两种运输工具所需费用相同． 20. 月季作为我市的市花，被广泛种植，形成独特的月季文化景观．某校为了美化校园，用月季花树做景观造型，先后种植了两批各12棵，测量并获取了所有花树的高度（单位：），数据整理如下： a．两批月季花树高度的频数： 121 125 126 130 134 138 139 第一批 1 3 1 0 4 3 0 第二批 0 1 3 2 5 0 1 b．两批月季花树高度的平均数、中位数、众数： 平均数 中位数 众数 第一批 131 134 第二批 131 m 134 （1）写出表中，的值； （2）在这两批花树中，高度的整齐度更好的是__________（填“第一批”或“第二批”）； （3）根据造型的需要，这两批花树各选用10棵，且使它们高度的平均数尽可能接近．若第二批去掉了高度为和的两棵花树，则第一批去掉的两棵花树的高度分别是多少？ 【答案】（1）， （2）第二批 （3）和 【解析】 【分析】（1）为第二批月季花高度的中位数，是数据按大小顺序排列是第6、7个数据，为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据； （2）高度的整齐度就是数据的波动大小和离散程度，可通过计算方差来判断； （3）由表格可知，两批花原本的平均数是相等的，在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近． 【小问1详解】 解：∵为第二批月季花高度的中位数， 第二批有12个数据， ∴中位数是数据按大小顺序排列是第6、7个数据的平均数， 从表格中可得：第6个数据为130，第7个数据为134， ∴， ∵为第一批月季花高度的众数，即频数最多的数据， ∴． 【小问2详解】 解：第一批的方差为， 第二批的方差为， ， ∴第二批的高度的整齐度更好． 【小问3详解】 解：由表格可知，两批花原本的平均数是相等的， ∴在各去掉两棵花后，还要平均数尽可能接近，就是要去掉的花的高度和尽可能接近， ∵， 在第一批花树中，仅有 第一批去掉的两棵花树的高度为和． 21. 如图，在矩形中，点，分别在边、上，是四边形对角线的交点，且，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求四边形的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）利用矩形的性质可得，，，进而可证明，则，，结合，命题得证； （2）设，则，在中，利用勾股定理构造方程，求出的值后，计算面积即可． 【小问1详解】 证明：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴，， ∵， ∴，即， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形； 【小问2详解】 解：设，则， ∵四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∴． 22. 为推进国产大飞机的研发与应用，某技术中心进行某型号飞机机翼的模拟设计．工程师需要根据设计图纸计算关键支撑结构的长度，以确保其空气动力学性能．机翼（如图①所示）的简化设计图（横截面如图②）中，和是两条垂直于水平线的垂线段，点B在上，点C在上，米，米．线段与水平线成角，线段与水平线成角．请求出图中、和这三段支撑构件的长度（结果取整数）．参考数据：，． 【答案】、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米 【解析】 【分析】过点C作于点G，过点B作于点H，则四边形为矩形，从而可得，，由题意得米，米，，，再分别解直角三角形即可得出结果． 【详解】解：过点C作于点G，过点B作于点H，如图： 又∵， ∴四边形为矩形， ∴，， 由题意得米，米，，， 在中，∵， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，∵， ∴， ∴米， ∵， ∴， ∴米， ∴米， 故、和这三段支撑构件的长度分别约为7米，1米，6米． 23. 如图1，在平面直角坐标系中，反比例函数（k为常数，）在第一象限的图像经过点、． （1）求a、k的值； （2）如图2，C为反比例函数在第二象限图像上的一点，连接、、，若，求的值； （3）如图3，将反比例函数在第一象限的图像，绕坐标原点O逆时针旋转后得到的图形记作曲线l，过、的直线，与曲线l相交于点M、N，求的面积． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用反比例函数图象上点的横、纵坐标之积等于定值k，列出等式求出a的值，再代入点坐标求出k的值即可． （2）设出点C坐标，通过作垂线构造直角三角形，利用同角的余角相等证明两组三角形相似，借助相似三角形对应边成比例求出相关线段比值，再结合直角三角形三边关系，依据正弦定义求出三角函数值． （3）构造等腰直角三角形，证明与互相垂直，利用勾股定理求出两条线段长度；建立对应线段关系求出直线关系式，结合反比例函数旋转后乘积不变的性质列出等式，联立求解得到对应线段长；最后利用三角形面积差求出所求三角形面积． 【小问1详解】 解：∵反比例函数（）的图象经过点和点， ∴． ∴． ∴点． 把点代入（）得， ∴． 【小问2详解】 ∵点C为反比例函数的图象上第二象限的点， ∴设．过C作轴于M，过A作轴于N． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． ∴（正值舍去）． ∴， ∵ 设，，则 ． ∴． 【小问3详解】 解：过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ． 过点作轴的垂线，垂足为点， ，， ， 又， 是等腰直角三角形， ． ， ． 由勾股定理得 ， ． ，以、为两个互相垂直方向，设平面内一点沿着方向对应的线段长为，沿着方向对应的线段长为， 则点可看作，点可看作． 设直线对应的关系式为， 把，代入得 ， 解得， 直线对应的关系式为． ∵反比例函数的图象关于象限角平分线对称，绕原点逆时针旋转后，图象上点满足的乘积定值几何性质不变，因此曲线上任意一点在互相垂直的方向上对应的线段长度乘积仍为6． 可得关系式． 联立， 将代入中， 得， 整理得， 解得，． 当时，，当时，． ， ∴沿方向的线段长度就是点到直线的垂直距离，即点、到直线的距离分别为和， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $