精品解析：黑龙江大庆市大庆中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试题

2025----2026学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 若，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由得， 所以，所以在复平面内对应的点的坐标为. 2. 已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布，从该校高三学生中任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.8 【答案】B 【解析】 【分析】利用正态分布的对称性计算即可. 【详解】因为，，所以. 由对称性可知. 3. 甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】首先分别求出事件和事件的概率，再根据条件概率公式计算即可. 【详解】甲以获胜意味着前两局比赛甲胜一局，第三局甲胜，前两局甲胜一局的情况有种，根据独立事件概率乘法公式，所以甲以获胜的概率为. 由对立事件概率公式可得. 事件表示甲没有以获胜且乙获胜，乙获胜有两种情况： 情况一：乙以获胜，其概率为. 情况二：乙以获胜，则前两局乙胜一局，第三局乙胜，其概率为. 根据互斥事件概率加法公式可得. . 4. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 【答案】A 【解析】 【详解】共5名宇航员同时在3个舱中开展实验，则有两种情况， 若按人数分为三组，则有种方法， 若按人数分为三组，则有种方法， 共有种不同方法. 5. 已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 【答案】D 【解析】 【详解】因为的面积是，所以，所以， 在中，由余弦定理可得， 所以，解得， 因为，所以， 又是的内角平分线， 所以， 所以，所以，所以. 6. 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（ ） A. 1120 B. C. D. 448 【答案】C 【解析】 【详解】由题意得，故， 则展开式的通项为 且， 令，则，所以展开式中第6项系数为. 7. 记为等差数列的前项和，若，则数列的前20项和是（ ） A. 40 B. 20 C. 10 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】根据等差数列前n项和公式及性质，整理可得，根据条件，赋值求解，可得的值，进而可得d的值，即可得通项公式，代入所求，计算求解，即可得答案. 【详解】因为为等差数列，所以，设公差为d， 则，整理得， 又，令，得， 又， 所以，则，解得，则， 所以， 所以的前20项和为 . 8. 已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】通过同构，将方程，转换成，构造函数，通过其单调性，问题转换成方程在上恰有两个不同实根，进而可求解. 【详解】函数定义域为，令， 两边乘整理得： ，  设，求导得 ，故在R上单调递增， 由， 可得：， 故原函数恰有两个零点，等价于方程在上恰有两个不同实根， 令，求导： ​ 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 因此的最小值为， 且，；时，， 故方程有两个不同实根，需满足，即​， 故的取值范围是. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A. 该样本的70%分位数为7分 B. 该样本的极差为5分 C. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据分位数、均值、极差、方差的定义计算即可. 【详解】将样本数据从小到大排序：5,6,6,6,7,7,7,8,8,10, 选项A，分位数位置：，因为为整数，所以70%分位数是第7项和第8项数据的平均值，即分位数是，A错误 选项B，极差=最大值-最小值=10-5=5，B正确； 选项C，样本均值，用样本均值估计总体均值，C正确； 选项D，样本方差，D正确. 10. 如图，，，是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则（） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的单调递增区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的零点为 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先根据图象交点距离关系求出函数的周期和的值，确定函数解析式.然后分别利用三角函数的性质（对称性、单调性）以及图象变换规则对各个选项进行验证. 【详解】由题意，是函数图象与直线的三个相邻交点. 因，则，. 根据正弦函数图象的对称性及周期性，点与点是相邻的两个同相位点， 所以等于一个周期，即周期. 又因，则，所以. 对于A，两点关于函数图象的某条对称轴（波峰所在直线）对称. 由，，取，得对称轴. 因为，所以. 代入函数解析式，可得，故A错误. 对于B，令，解得. 当时，，即直线是图象的一条对称轴，故B正确. 对于C，令，解得. 所以的单调递增区间为，故C正确. 对于D，将的图象向左平移个单位长度，得到. 再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到. 令，即，则，解得，故D正确. 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 【答案】ACD 【解析】 【分析】取的中点，连接，根据条件可得点的轨迹为线段（不含端点），即可判断出A和B的正误；对C：根据异面直线的判定定理分析判断；对D，利用等体积法，即可求解. 【详解】如图，取的中点，连接，，则， 且平面，平面，所以平面. 又因为是中点，则， 且平面，平面，所以平面， 又平面，所以平面平面. 又平面，则平面，又点在正方形内部（不含边界）运动，且平面平面， 所以点的轨迹为线段（不含端点）. 对于A，连接，由正方体的性质易知与相交，且交点为的中点，所以A正确； 对于B，因为，所以点的轨迹长度为，故B错误； 对于C，因为平面，平面，， 所以直线与直线为异面直线，故C正确； 对于D，因为平面，点是棱的中点， 则，所以D正确； 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 【答案】 【解析】 【详解】因为，所以， 解得：，所以， 所以在上的投影向量为. 13. 某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 【答案】 【解析】 【分析】根据给定条件，利用全概率公式列式计算即可. 【详解】设小明选1道类试题为事件，小明选1道类试题为事件， 小明选1道类试题为事件， 设小明答对试题为事件， 则， 而，，， 由全概率公式得： . 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 【答案】 【解析】 【分析】设的平分线与的平分线所在直线交于点，的平分线与轴交于点，得到，根据题意，求得，结合，联立方程组求得，求得，得到，结合双曲线的定义和离心率的定义，即可求解. 【详解】设的平分线所在直线与的平分线所在直线交于点， 的平分线所在直线与轴交于点，， 则， 因为， 且， 所以， 又因为且，所以， 联立方程组，解得， 所以， 因为，所以，所以， 在直角中，因为，所以， 又因为，所以， 所以双曲线的离心率. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知是等差数列的前n项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 【答案】（1）； （2）证明见解析. 【解析】 【分析】（1）设公差为，然后由等差数列通项公式，等差数列前n项和公式可得答案； （2）由（1）结合裂项求和法可完成证明. 【小问1详解】 设公差为，因， 则，从而； 【小问2详解】 由（1），， 从而. 16. 如图，在四棱锥中，，，，点满足. （1）求证：平面； （2）若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2）. 【解析】 【分析】（1）过点作，交于点，连接，由得到，证明出四边形为平行四边形，得到，利用线面平行的判定定理得到结论. （2）利用空间向量法求解，求出平面的法向量和平面的法向量，设平面与平面的夹角为，利用数量积求出平面与平面夹角的余弦值. 【小问1详解】 过点作，交于点，连接， 因为. 所以， 因为，， 所以，， 所以四边形为平行四边形， 所以. 又平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为平面，，平面， 所以，， 又， 所以，，两两垂直. 以为原点，以，，所在直线分别为，，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以，，. 设平面的法向量为， 则.即， 令，得，，则， 设平面的法向量为， 则，即， 令，得，，则. 设平面与平面的夹角为， 则. 所以平面与平面夹角的余弦值为. 17. 某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示： 机器编号 1 2 3 4 5 6 7 8 故障率 1.2% 1.8% 0.7% 0.9% 2.5% 2.2% 1.5% 0.8% （1）从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率； （2）从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量表示其中故障率小于1%的机器台数，求的分布列和数学期望； （3）以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率. 【答案】（1） （2）分布列 0 1 2 3 期望为 （3） 【解析】 【小问1详解】 8台机器中，故障率小于2%的机器有6台：． 【小问2详解】 故障率小于2%的机器共6台，其中故障率小于1%的有3台， 的可能取值为，，， ，， 的分布列为： 0 1 2 3 数学期望： 【小问3详解】 设为抽取的5台中故障率小于2%的台数，则， ． 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 【答案】（1） （2）证明见详解 【解析】 【分析】（1）根据题意结合离心率可得，，即可得和椭圆方程； （2）设直线，，，与椭圆方程联立可得韦达定理，根据斜率关系结合韦达定理可得或，进而分析证明. 【小问1详解】 由题意可得：，，可得，， 所以椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 由题意可知：，直线的斜率存在， 设直线，，， 联立方程，消去y可得， 则，可得， 则，， 因为， 整理可得， 即， 整理可得，解得或， 若，则直线过定点，不合题意； 若，则直线过定点，符合题意； 综上所述：直线过定点. 19. 已知函， （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：恒成立； （3）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增 （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据导数与单调性的关系分类讨论即可. （2）代入化简得，令，根据导数与单调性、最值的关系证明即可. （3）当时，恒成立等价于恒成立，即恒成立，构造函数，结合导数与单调性及零点判断求解即可. 【小问1详解】 的定义域为. . 其中，则，故只需讨论的符号. 当时，，则，在上单调递增. 当时，令，解得. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以在上单调递减，在上单调递增. 综上，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 当时，，. . 令，则. 当时，，单调递减；当时，，单调递增， 故在处取得最小值，， 因此，即，所以. 【小问3详解】 由（1）知，当时，在上单调递减，在上单调递增， 故在处取得最小值，为. 若使恒成立，只需恒成立，即恒成立即可. 又，即恒成立. 令，则， 故在上单调递减，且， 所以. 故实数的取值范围为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025----2026学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120分钟；试卷总分：150分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（本题共8个小题，每题5分，共40分） 1. 若，则在复平面内对应的点的坐标为（ ） A. B. C. D. 2. 已知某校高三学生在一次联考中的数学成绩X近似服从正态分布，从该校高三学生中任选1人，其数学成绩不低于60分的概率为0.8，则（ ） A. 0.2 B. 0.3 C. 0.4 D. 0.8 3. 甲、乙两人进行3局2胜制的围棋比赛，每局比赛甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，每局比赛结果相互独立，记“甲以获胜”为事件A，“乙获胜”为事件B，则（ ） A. B. C. D. 4. 某空间站由三个舱构成，某次实验需要5名宇航员同时在3个舱中开展，每个人只能去1个舱，每个舱至少安排1名宇航员，则不同的安排方法的种数为（ ） A. 150 B. 90 C. 60 D. 30 5. 已知的面积是，，，是的内角平分线，在边上，则（ ） A. 1 B. C. D. 2 6. 若的展开式中有且仅有第五项的二项式系数最大，则展开式中第6项系数为（ ） A. 1120 B. C. D. 448 7. 记为等差数列的前项和，若，则数列的前20项和是（ ） A. 40 B. 20 C. 10 D. 0 8. 已知函数恰有两个零点，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共3个小题，每题6分，共18分） 9. 为测试脑机接口设备的信号识别精度，某科研团队开展高三学生脑机接口操作实验，实验评分部分满分10分．随机抽取10名参与实验的高三学生的操作得分（单位：分）如下：6，7，5，8，6，7，6，8，10，7．下列说法正确的是（ ） A. 该样本的70%分位数为7分 B. 该样本的极差为5分 C. 用样本均值估计总体均值，其值约为7分 D. 用样本方差估计总体方差，其值约为1.8 10. 如图，，，是函数的图象与直线的三个相邻交点，若，则（） A. B. 直线是图象的一条对称轴 C. 的单调递增区间为 D. 将的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），得到函数的图象，则的零点为 11. 在棱长为2的正方体中，点是棱的中点，点在正方形内部（不含边界）运动，若平面，则（ ） A. 点的轨迹经过线段的中点 B. 点的轨迹长度为 C. 直线与直线为异面直线 D. 三棱锥的体积为定值 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题（本题共3个小题，每题5分，共15分） 12. 若非零向量，的夹角为，且，，则在上的投影向量为__________． 13. 某知识过关题库中有，，三种难度的题目，数量分别为300，200，100.已知小明做对，，型题目的概率分别为，，，若小明从该题库中任选一道题作答，则他做对该题的概率为__________ 14. 已知双曲线 的左、右焦点分别为 ，点P 是 C 上一点且位于第一象限，若的平分线所在直线的斜率与 的平分线所在直线的斜率分别为，且，则C的离心率为________. 四、解答题（本题共5个大题，共77分） 15. 已知是等差数列的前n项和，，． （1）求数列的通项公式； （2）求证：． 16. 如图，在四棱锥中，，，，点满足. （1）求证：平面； （2）若平面，，，，求平面与平面夹角的余弦值. 17. 某工厂有一批同型号机器，现从中随机抽取8台该型号机器进行故障率测试，测得故障率如下表所示： 机器编号 1 2 3 4 5 6 7 8 故障率 1.2% 1.8% 0.7% 0.9% 2.5% 2.2% 1.5% 0.8% （1）从这8台机器中任取一台，求该机器故障率小于2%的概率； （2）从表中故障率小于2%的机器中任取3台，用随机变量表示其中故障率小于1%的机器台数，求的分布列和数学期望； （3）以这8台机器中故障率小于2%的频率估计整个工厂所有此类机器中故障率小于2%的概率，现从工厂所有此类机器中随机抽取5台，求其中至少有2台机器故障率小于2%的概率. 18. 已知椭圆的离心率为，以椭圆的焦点和短轴顶点为顶点的四边形是边长为2的菱形. （1）求椭圆的标准方程； （2）已知为椭圆的左顶点，，为椭圆上两个不同的动点（均不与点重合），且满足直线与直线的斜率之积为.求证：直线过定点. 19. 已知函， （1）讨论的单调性； （2）当时，证明：恒成立； （3）当时，恒成立，求实数a的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $