黑龙江省大庆市让胡路区大庆市大庆中学2024-2025学年高二下学期6月期中数学试题

数学试题 第 1页 共 4页 ◎ 数学试题 第 2页 共 4页 大庆中学 2024-2025 学年度下学期期中考试 高二年级数学试题 考试时间：120 分钟；满分：150 分；命题人：陈慧琳 注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第 I卷（选择题） 一、单选题 1．已知数列 na 的前 n项和为 nS ，且 22 1nS n  ，则 1 4a a （ ） A．16 B．17 C．20 D．21 2．若将 4名志愿者分配到 3个服务点参加抗疫工作，每人只去 1个服务点，每个服务点至 少安排 1人，则不同的安排方法共有（ ） A．36种 B．48种 C．96种 D．108种 3．由 0，1，2，3，4，5所组成的无重复数字的 4位数中偶数的个数为（ ） A．144 B．168 C．156 D．192 4．随机变量 X 的分布列如表，则方差  D X （ ） X 0 1 2 P a 1 3 3a A． 1 3 B． 4 9 C． 5 9 D． 2 3 5．投掷一枚正方体骰子两次，则在第一次正面朝上的点数为奇数的条件下，第二次正面朝 上的点数大于 4的概率为（ ） A． 12 B． 1 4 C． 1 3 D． 3 4 6．某高中为了解学生的肥胖是否与经常饮用碳酸饮料有关，现对 400名高二学生进行了问 卷调查，学生饮用碳酸饮料的统计结果如下：学校有 1 4 的学生每天饮用碳酸饮料不低于 500 毫升，这些学生的肥胖率为 1 3 ，每天饮用碳酸饮料低于 500毫升的学生的肥胖率为 2 9 .若从 该中学高二的学生中任意抽取一名学生，则该学生肥胖的概率为（ ） A． 14 B． 1 2 C． 3 4 D． 7 12 7．已知正四棱锥的底面边长为 6，且其侧面积是底面积的 2倍，则此正四棱锥的体积为（ ） A．36 3 B． 36 6 C．108 3 D．108 6 8．平面直角坐标系 xOy中，双曲线   2 2 2 2: 1 0, 0 x yC a b a b     的右焦点为 F ，点M ，N在C 的右支上，且 3MF FN   ，点 N关于原点O的对称点为 P .若PF MN ，则C的离心率为（ ） A． 5 2 B． 6 2 C． 3 2 D． 10 2 二、多选题 9．若 3男 3女排成一排，则下列说法正确的是（ ） A．共计有 360种不同的排法 B．男生甲在排头或在排尾的排法总数为 240种 C．男生甲、乙相邻的排法总数为 240种 D．男女生相间排法总数为 36种 10． 5 2x x       的展开式中，下列结论正确的是（ ） A．展开式共 5项 B．含 2x 项的系数为 40 C．无常数项 D．所有项的系数之和为 53 11．半正多面体亦称“阿基米德多面体”，是由边数不全相同的正多边形为面围成的多面体， 体现了数学的对称美．如图，将棱长为 2的正方体沿交于一顶点的三条棱的中点截去一个三 棱锥，如此共可截去八个三棱锥，得到一个半正多面体，它们的棱长都相等，则下列说法正 确的有（ ） 数学试题 第 3页 共 4页 ◎ 数学试题 第 4页 共 4页 A．此半正多面体的顶点数 V、面数 F、棱数 E满足关系式 2V F E   B．过 A，B，C三点的平面截该正多面体，所得截面面积为3 3 C．若该半正多面体的各个顶点都在同一个球面上，则该球的表 面积为12π D．若该半正多面体可以在一个正四面体内任意转动，则该正四面体体积最小值为16 6 第 II 卷（非选择题） 三、填空题 12．某小组有男生 3名，女生 2名，现从中任选 3名代表，则选出的代表中男生和女生都有 的选法有 种． 13．设 nS 为等差数列 na 的前 n项和.若 5 15S  ，且 1 3 4, ,a a a 成等比数列，则 6a  . 14．已知函数 2( ) , ( ) ln ,f x x g x a x  ，其中 0a  ，若曲线 ( )y f x 和曲线 ( )y g x 的公切线 有两条，则 a的取值范围为 . 四、解答题 15．已知∆ABC 的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，若 4cos 2cos2 3A A  . (1)求 A； (2)若 4a  ，求∆ABC 周长的取值范围. 16．已知数列 na 满足 1 2a  ，  1 2 1 Nnn n aa n a      . (1)求证：数列 1 1na       是等差数列，并求数列 na 的通项公式： (2)记 1 n n b na  ，求数列 2 1 2 1n nb b  的前 n项和 nT . 17．北京奥运会吉祥物由 5个“中国福娃”组成，分别叫贝贝、晶晶、欢欢、迎迎、妮妮.现 有 8个相同的盒子，每个盒子中放一只福娃，每种福娃的数量如下表： 福娃名称 贝贝 晶晶 欢欢 迎迎 妮妮 数量/只 1 2 3 1 1 从中随机地选取 5只. (1)求选取的 5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率； (2)若选取完整的奥运会吉祥物记 100分；若选出的 5只中仅差一种记 80分；差两种记 60 分；以此类推，设 X 表示所得的分数，求 X 的分布列. 18．已知函数      2 4 3 4 exf x x a x a       . (1)若 2a  ，求函数  f x 的单调区间； (2)若 3x  时，总有   0f x  成立，求实数 a的取值范围. 19．已知 1 2,F F 为椭圆   2 2 2 2: 1 0 x yC a b a b     的左、右焦点，Q为椭圆C的上顶点，若 1 2FQF 为直角三角形，且椭圆过点  2,1P . (1)求椭圆C的方程； (2)过点 P作斜率互为相反数的两条直线 1l 与 2l 分别交椭圆C于 ,A B两点， ①求证：通过点 ,A B的直线的斜率为定值，并求出该定值； ②求 AB 的最大值. 《高二期中考试数学试题》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B A C C C A A D BC BCD 题号 11 答案 ABD 12． 13．3或 14． 15． （1）因为，所以， 即，解得， 又，所以 . （2）由余弦定理， 即， 故，当且仅当时取等号， 又，故，即周长的取值范围是. 16．（1）因为， 所以， 对上式两边同时取倒数有： 所以，又因为，所以， 所以数列是以1为首项，1为公差的等差数列. 因为数列是以1为首项，1为公差的等差数列，所以， 所以， 所以数列的通项公式为. （2）因为，所以，所以， 所以， 17．（1）选取的5只恰好组成完整的“奥运会吉祥物”的概率. （2）的取值为100，80，60，40， ， ， ， . 所以的分布列为 100 80 60 40 18．（1）当时，， ， 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 所以函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由题意得， 当时，函数在单调递减，在单调递增， 即，解得,所以; 当时，函数在恒单调递增，即， 所以也满足题意； 综上：. 19．（1）由题意，则是等腰直角三角形，即得，从而. 又椭圆过点则有解得. 椭圆的方程：. （2） ①由（1）知椭圆的方程为，设直线的方程：，则的方程是. 令， 由可得 则有 ， 同理得， . 即直线的斜率为定值，且定值为1. ②由①知， 则 又，当且仅当即当时等号成立， 所以，即的最大值为4. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 高二数学试题答题卡 考场/座位号：         姓名：                班级：                贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 客观题(1~8为单选题每题5分;9~11为多选题每题6分) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 11 [A] [B] [C] [D] 填空题（每题5分） 12. 13. 14. 解答题 15. （13分） 16. （15分） 17. （15分） 18. （17分） 19. （17分） 请勿在此区域作答或 者做任何标记