专题01期末复习重难点突破37个考点 2025-2026学年人教版数学七年级下册

**基本信息** 聚焦七年级下册核心考点，以37个专题构建"概念-推理-应用"三阶训练体系，通过各地期中真题实现高频考点突破。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |几何初步|考点1-8（8个）|选择/解答题，含拐点模型|从相交线定义到平行线性质判定，渗透转化思想| |实数|考点9-15（7个）|计算/规律探索题|平方根立方根→实数运算→无理数估算，体现数系扩展| |坐标系|考点16-19（4个）|坐标特征/规律题|点坐标→平移→规律探索，培养空间观念| |方程与不等式|考点20-33（14个）|解法/含参综合题|方程组解法→实际应用→方程与不等式综合，强化模型意识| |统计|考点34-37（4个）|图表分析题|调查方式→样本估计总体→统计图选择，发展数据观念|

专题01 期末复习重难点37个考点 【新教材人教版】 【考点1 相交线】........................................................................................................................................2 【考点2 拐点问题】....................................................................................................................................4 【考点3 平行线的性质与判定进行计算】...............................................................................................10 【考点4 平行线的性质与判定进行证明】...............................................................................................14 【考点5 平行线的性质与判定进行计算与推理】...................................................................................17 【考点6 判断命题真假】...........................................................................................................................25 【考点7 利用平移的性质求解】...............................................................................................................27 【考点8 利用平移解决实际问题】...........................................................................................................29 【考点9 利用平方根、立方根解方程】...................................................................................................31 【考点10 与算术平方根有关的规律探索】.............................................................................................33 【考点11 与立方根有关的规律探索】.....................................................................................................38 【考点12 算术平方根与立方根的综合应用】.........................................................................................43 【考点13 实数的分类】.............................................................................................................................45 【考点14 实数的混合运算】.....................................................................................................................49 【考点15 无理数整数部分、小数部分有关计算】.................................................................................51 【考点16 点的坐标特征】.........................................................................................................................54 【考点17 点到坐标轴的距离】.................................................................................................................56 【考点18 点的平移】.................................................................................................................................58 【考点19 点坐标规律探索】.....................................................................................................................60 【考点20 代入消元法解二元一次方程组】.............................................................................................63 【考点21 加减消元法解二元一次方程组】.............................................................................................66 【考点22 二元一次方程组的特殊解法】.................................................................................................69 【考点23 二元一次方程组的错解复原问题】.........................................................................................74 【考点24 二元一次方程组的相同解问题】.............................................................................................78 【考点25 二元一次方程组的解的情况求参数】.....................................................................................80 【考点26 实际问题与二元一次方程组】.................................................................................................82 【考点27 不等式的性质】.........................................................................................................................85 【考点28 求一元一次不等式（组）的解集】.........................................................................................87 【考点29 一元一次不等式（组）的实际应用】.....................................................................................89 【考点30 由不等式（组）的解集求参数】.............................................................................................92 【考点31 已知不等式组有解、无解求参数】.........................................................................................94 【考点32 不等式组的整数解问题求参数】.............................................................................................96 【考点33 方程（组）与不等式（组）综合求参】.................................................................................97 【考点34 判断全面调查、抽样调查】...................................................................................................101 【考点35 用样本估计总体】..................................................................................................................103 【考点36 选择合适的统计图】..............................................................................................................106 【考点37 直方图】..................................................................................................................................107 考点1 相交线 1．（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据垂线的定义得到，可知，根据余角的定义求出，根据角平分线的定义得到，根据对顶角的定义即可求出的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵直线相交于点， ∴． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据垂直的定义可得，结合平角定义及已知比例关系求出的度数，最后利用邻补角定义求解，即可解题． 【详解】解： ， ， 由图可知， ， ， （邻补角定义）， ． 3．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）如图，直线和相交于点O，平分，，若，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】根据得，进而结合角平分线的定义可得，再根据对顶角相等可得，进而计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 又∵， ∴， 又平分， ∴， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，已知直线和相交于点，，平分，，求的度数． 【答案】的度数为． 【分析】由垂直定义可得，又，则，再通过角平分线定义可得，最后由角度和差即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数为． 考点2 拐点问题 1．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】过拐点作平行线，利用平行线的同旁内角互补，分别列出、与内错角的关系，然后计算进行判断；过拐点作平行线，利用平行线的内错角相等，分别得到、，然后将两式相加进行判断；过拐点作平行线，用同旁内角互补表示，用内错角相等表示，然后代入进行判断；过点作，利用平行线的内错角相等传递角度进行判断． 【详解】解：如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ，即， 故①错误； 如图，过点作，则， ， ， ， ， ， ， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，即， ， ， ， ， 即， 故正确； 如图，过点作，则， ， ，， ， ， ， 故正确． 综上，正确结论的个数为个． 2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，直线，直角三角板的顶点在直线上，那么的度数为（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】构造三条直线两两平行，利用两直线平行，内错角相等求解． 【详解】过点作直线，则，   ， ， ． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】过点E作，由题意易得，则有，然后问题可求解． 【详解】解：过点E作，如图所示： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】过点分别向左作，根据两直线平行同旁内角互补求解即可． 【详解】解：过点分别向左作， ∵ ∴ ∴，， ∴ ∴ 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别过作的平行线和，根据两直线平行内错角相等以及角的和差关系得到，根据垂直的定义得到． 【详解】解：如图，分别过作的平行线和， ∵， ∴， ∴，，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设的顶点为，分别过作，，根据平行线的性质可得，，，进而得出，即可求解． 【详解】如图，设的顶点为，分别过作， ∵， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴ 即 考点3 平行线的性质与判定进行计算 1．（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）如图，直线分别交于点，已知平分交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先证明，推出，再根据角平分线的定义可得，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵，平分， ∴． 2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）完成下面的证明：如图，，，，求的度数． 解：∵（已知） ∴（） 又∵， ∴（等量代换） ∴（） ∴（） 又∵ ∴． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；；． 【分析】根据平行线的性质与判定完成填空即可求解． 【详解】解：∵（已知） ∴（两直线平行，同位角相等） 又∵， ∴（等量代换） ∴（内错角相等，两直线平行） ∴（两直线平行，同旁内角互补） 又∵ ∴． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D．与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数．读懂下面的推理过程，并填空． 解：∵，（已知） ∴．（            ） ∵ ____，（已知） ∴_____ ，（    ） 又∵， ∴． ∵，，（已知） ∴_____．（                    ） ∴_____．（                    ） 【答案】垂直的定义；；；；两直线平行，内错角相等；；平行于同一直线的两条直线平行；；两直线平行，同位角相等 【分析】根据平行线的判定和性质补全证明过程即可． 【详解】解：∵，（已知） ∴．（垂直的定义） ∵，（已知） ∴，（两直线平行，内错角相等） 又∵， ∴． ∵，，（已知） ∴．（平行于同一直线的两条直线平行） ∴．（两直线平行，同位角相等） 4．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且， (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据角的和差关系及对顶角相等可进行求解； （2）过点作，过点作，则有，设，然后可得，，进而根据角的和差关系可进行求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解：如图，过点作，过点作， ， ， ， 设， ， ， ， ， ， ， ． 考点4 平行线的性质与判定进行证明 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， _______（_______）， 又（已知）， （_______）， _______（_______）， （_______）， 又（_______）， （ ）， ∴（_______）． 【答案】见解析 【详解】解：是的角平分线， ∴（角平分线的定义）， 又（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，同旁内角互补）， 又（已知）， （同角的补角相等）， ∴（同位角相等，两直线平行）． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，，交于点，点在上，，垂足为，．试说明．请将下面的解答过程补充完整． 解：因为（已知）， 所以______（______） 因为（已知），所以______（______）， 所以______（______），所以（______） 因为（已知），所以， 所以，所以_____． 【答案】A；两直线平行，内错角相等；2；等量代换；；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等； 【详解】解：因为（已知）， 所以（两直线平行，内错角相等） 因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）， 所以（两直线平行，同位角相等） 因为（已知）， 所以， 所以， 所以． 3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）已知：如图，在中，于点，点在的延长线上，于点，．试说明：是的平分线．请你完成下列说理过程： 解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（___________________）， ∴___________________（___________________）， ___________________（___________________）， ∵（已知）， ∴___________________（___________________）， ∴是的平分线． 【答案】同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同位角相等；；两直线平行，内错角相等；；等量代换 【详解】解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）， （两直线平行，内错角相等）， ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴是的平分线． 4．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在三角形中，E是边上一点，D，F是边上的两个点，G在上，若，，求证：．请补充证明过程和说理依据． 证明：， ______，（__________________） ______（__________________） ， ∴______+______，（__________________） （__________________） 【答案】见解析 【详解】证明：， ，（同位角相等，两直线平行） ，（两直线平行，内错角相等） ， ，（等量代换） ．（同旁内角互补，两直线平行） 考点5 平行线的性质与判定进行计算与推理 1．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）如图，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)证明：∵， ∴， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）根据，得出，再根据平行线的判定得出，然后根据平行线的性质即可得证； （2）结合（1）中结论可得出，根据平行线的判定得出，根据平行线的性质得出，，然后结合已知即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴，， 又， ∴． 2．（25-26七年级下·四川广元·期中）如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 【答案】B 【分析】根据平行线的判定与性质可判断①②，结合角平分线定义及平行线性质可判断③，通过角度计算可判断④⑤． 【详解】解：， ，故①正确； ， ， ， ，故②正确； ， ， ， 平分，故③正确； 在延长线上取点M， ， ，， 比的余角小， ， ， 解得， ，，故④正确； 为的平分线， ， ，即， ， ，即， ，故⑤错误， 综上可知，结论正确的序号是①②③④． 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知平分，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，且，请探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，再直接写出与的数量关系． 【答案】(1)证明：平分，平分， ， ， ，， ，即， ； (2) ， 证明：设，则 ， 平分， ， ， 由（1）可知：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， 即 ； (3)或； 【分析】（1）由角平分线的定义可得 ， ，再根据三角形的内角和定理和等量代换有，由此可证得； （2）设，依题意可得 ， ， ，由（1）可知：，根据平行线的性质可得 ，再由角平分线的定义得 ，最后由三角形的内角和定理以及角之间的关系可得出 ， ，即可求得与的数量关系； （3）分点H在右侧和左侧两种情况，①当点H在右侧时，设 ，根据题意运用平行线的性质、角平分线的性质以及三角形的内角和定理得出 ， ，由此即可求得此时的与的数量关系；②当点H在左侧时，设 ，则 ，利用角平分线的定义以及三角形的外角和定理可得，，由此即可求得此时的与的数量关系． 【详解】（1）略； （2）略 （3）解：或，理由如下： ①如图，当点H在右侧时， 理由如下：设 ，则 ， ， ， 又平分， ， ， 即 ， ， ， 即 ； ②如图，当点H在左侧时， 设 ，则 ， 又平分， ， ，， ． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）已知直线，在三角形纸板中， (1)【初步探究】将按如图1放置，点E和点G分别在直线，上，若，求的度数； (2)【深入探究】将按如图2放置，点E和点G分别在直线，上，交于点H．若，，试求，之间的数量关系； (3)【拓展应用】在图2中，若 ， ，将绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当两条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出结论即可）． 【答案】(1) (2) (3)1或4或7或10 【分析】（1）过点作,进而根据平行线的性质即可求解； （2）根据平行线的性质以及邻补角的关系转化即可； （3）分类讨论，①当时，根据平行线构造等量关系求解；②当时，三点共线，即可求解③当时，构造方程求解；④当时，三点共线，构造方程即可求解． 【详解】（1）解：过点作, ∵， ∴, ∵， ∴, ∵, ∴, ∴; （2）解：∵，， ∴, ∴， ∵ ∴, ∴, ∴； （3）解：①当时， 根据旋转可知， ∴, ∵ ∴, ∵, ∴, ∵绕点F以每秒的速度顺时针旋转， ∴（秒）， ②当时， ∴三点共线， ∴， ∵ ， ， ∴ ∴（秒）； ③当时， 根据旋转可知， ∴, ∵, ∴ 设运动时间为秒， 则 解得：（秒）； ④当时， ∴三点共线， ∴， ∵ ， ， ∴ ∴ ∴（秒）； 综上所述：或4或7或10． 考点6 判断命题真假 1．（25-26七年级下·广东湛江·期中）下面命题为真命题的是（    ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 【答案】D 【详解】解：选项A、两个角的两边互相平行时，这两个角相等或互补，故A是假命题； 选项B、只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，选项未说明两直线平行，故B是假命题； 选项C、点P到直线m的距离是这条垂线段的长度，不是垂线段本身，故C是假命题； 选项D、同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质，故D是真命题． 2．（25-26七年级下·山东济宁·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．若，则 D．两点之间，直线最短 【答案】A 【分析】根据垂直的性质、平行线的同位角性质、有理数平方性质、线段的基本性质逐项判断即可． 【详解】解：A、∵ 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，符合垂直的基本性质， ∴ A选项是真命题； B、∵ 只有两条平行直线被第三条直线所截，同位角才相等，题目未说明两直线平行， ∴ B选项是假命题； C、∵ 若，则或，例如，满足但， ∴ C选项是假命题； D、∵ 两点之间，线段最短，不是直线最短， ∴ D选项是假命题． 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离定义、对顶角性质、平行线相关定理，逐个判断命题真假，统计真命题个数即可得到结果． 【详解】解：①∵点到直线的距离是指这点到直线的垂线段的长度，不是垂线段本身， ∴①是假命题； ②∵对顶角相等是对顶角的基本性质， ∴②是真命题； ③∵只有过直线外一点才有且只有一条直线与已知直线平行，若点在已知直线上则不成立， ∴③是假命题； ④∵垂直于同一条直线的两条直线平行的结论仅在同一平面内成立，结论不成立， ∴④是假命题； ⑤∵根据平行公理的推论，平行于同一条直线的两条直线平行， ∴⑤是真命题； 综上，真命题共2个． 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①不相交的两条直线是平行线；②同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若，，则．其中，真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】C 【分析】根据平行线的定义，平行公理及推论，平行线的判定，逐个判断即可． 【详解】解：因为平行线的定义要求“同一平面内，不相交的两条直线是平行线”，①缺少“同一平面内”的条件，所以①是假命题； 因为只有两直线平行时，同旁内角才互补，②没有给出两直线平行的前提，所以②是假命题； 因为“如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行”是平行公理的推论，所以③是真命题； 因为根据平行公理，同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，所以④是真命题； 因为在同一平面内，若，，则，不是，所以⑤是假命题； 综上，真命题共2个． 考点7 利用平移的性质求解 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，沿射线方向平移得到，若，，则平移的距离为（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移前后对应点之间的距离等于平移距离，结合线段的和差关系进行求解即可． 【详解】解：∵沿射线方向平移得到， ∴点的对应点为点， ∴平移的距离为线段的长， ∵，， ∴， ∴平移的距离为． 2．（25-26七年级下·陕西延安·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形，，，，连接，若四边形的周长为15，则的长为（     ） A． B．2 C． D．3 【答案】A 【分析】根据平移的性质可得，，设平移距离为，利用四边形的周长求出，再根据求解即可． 【详解】解：设平移的距离为， ∵将沿方向平移至， ∴，． ∵四边形的周长为， ∴，即， 解得，则． ∵，点在线段上， ∴． 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】D 【分析】先根据图形平移的性质得出，，根据得出的长，再根据即可得出结论． 【详解】解：∵将四边形沿方向平移得到四边形，交于点， ∴，， ∵ ∴， ∵， ∴． 4．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接，则阴影部分的两个三角形周长之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平移的性质，对应点连线平行且相等、对应边相等，可将阴影部分两个三角形的分散边长，转化为原三角形的三边之和，即可求解． 【详解】解：由平移得，， ∵点是与的交点， ∴，， ∴阴影部分的两个三角形周长之和为： ． 考点8 利用平移解决实际问题 1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图所示，某商场重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知主楼梯道的宽为，其侧面如图所示，则买地毯至少需要（   ）平方米． A．8.4 B．15.68 C．16.8 D．25.2 【答案】D 【分析】本题主要考查了平移的性质，结合平移的性质将楼梯水平方向的线段和竖直方向的线段平移到上和上是解题关键．分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到上，竖直方向的线段沿水平方向平移到上，则铺地毯的横向线段的长度之和就等于边的长度，纵向线段的长度之和就等于边的长度，然后求解即可． 【详解】解：利用平移的知识分别将楼梯水平方向的线段沿竖直方向平移到上，竖直方向的线段沿水平方向平移到上，则铺地毯的横向线段的长度之和就等于边的长度，纵向线段的长度之和就等于边的长度， 所以地毯的总长度至少为， 所以地毯的总面积至少为， 故选：D． 2．（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，一块长为，宽为的草地上有一条宽为的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查图形的平移，通过平移将两块不规则的形状合成一个基本图形是解决问题的关键．通过平移，两块绿地可以拼成一个新长方形，求出长和宽即可． 【详解】解：通过平移，两块绿地可以合成一个新长方形，新长方形的长为，宽为， 故绿地的面积为：， 故选：B． 3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据小路的左边线向右平移就是它的右边线，可得路的宽度是米，根据平移，可把路移到左边，再根据长方形的面积公式，可得答案． 【详解】解：由平移可知， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， 中小路面积， ∴四条小路面积大小一样． 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平移的性质可得，所有横向道路线段平移后总长度等于长方形的长，所有纵向道路线段平移后总长度等于长方形的宽，据此可得答案． 【详解】解：由题意得，道路的总长为． 考点9 利用平方根、立方根解方程 1．（25-26七年级下·河南许昌·期中）求的值： (1)； (2)． 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）利用平方根解方程； （2）利用立方根解方程． 【详解】（1）解：， ， 或； （2）解：， ， ． 2．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用平方根的定义解方程即可，注意一个正数的平方根有两个，且互为相反数； （2）利用立方根的定义解方程即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ，； （2）解：． ， ， ． 3．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）求的值 (1)． (2)． 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解：由已知， ∴， ∴， ∴或． （2）解：由已知，， ∴， ∴． 4．（25-26七年级下·四川广元·期中）求下列式子中x的值： (1) (2) 【答案】(1)或 (2) 【详解】（1）解： 移项得 系数化为1得 开平方得 解得或； （2）解： 系数化为1得 开立方得 解得． 考点10 与算术平方根有关的规律探索 1．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 【答案】（1）0.1  10 （2）①22.36  ② （3）规律：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 【分析】本题考查了算术平方根的小数点移动规律，熟练掌握平方根的运算是解题的关键； （1）根据算术平方根的定义计算出x、y的值； （2）根据从表格中得出的规律得出的值和a与b的关系； （3）简单概括观察得到的规律． 【详解】（1）解：由表格可知：，， 则， ． （2）解：①∵，500是5扩大100倍得到的； ∴是的10倍； ∴； ②∵264.6是2.646的100倍 ∴b是a扩大10000倍得到的 ∴． （3）解：观察表格以及前两问的计算可得：被开方数的小数点向左或向右每移动两位，开方后所得的结果相应的小数点向左或向右移动一位． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 【答案】(1) 42，110 (2) 14 (3) 【分析】本题考查了二次根式的规律探索与应用，解题的关键是通过观察等式特征，归纳出一般规律并用于计算与化简． （1）直接利用规律计算； （2）利用规律列方程求解； （3）先根据规律化简每一项，再用裂项相消法求和． 【详解】（1）解：， ． （2）解：， ， 即， 解得（舍去）． （3）解：原式 ． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 【答案】(1)①，，，，，；②对于任意非负数 (2)①，，3，，，；②对于任意实数． 【分析】（1）①根据算术平方根的性质计算，②归纳①中的规律即可解答； （2）①分别对几个特殊情况计算求值，②分析①中的规律，得到一般情况的结论即可解答． 【详解】（1）解：①，，， ， ， . ②对于任意非负数. （2）解：①，， ， ，，. ②归纳总结：对于任意实数. 4．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 【答案】(1)7，21 (2) (3) 【分析】（1）观察可知，一个正整数与比它大4的乘积与4的和的算术平方根等于这个正整数与2的和，据此可得答案； （2）根据（1）的规律可知答案； （3）根据（2）的规律把所求式子的每一项变形，再计算求解即可． 【详解】（1）解：由题意得，， （2）解：①， ②， ③， ④， ……， 以此类推，可知； （3）解： ． 考点11 与立方根有关的规律探索 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 【答案】(1)；； (2)①；②； (3) 【分析】本题考查了被开方数和算术平方根以及被开方数和立方根之间的小数点位移关系． 【详解】（1）解：； ． （2）解：①根据表格观察发现，被开方数左/右移动两位，算术平方根左/右移动一位． 被开方数从到，小数点向右移动两位，算术平方根向右移动一位． ， ． ②算术平方根左/右移动一位，被开方数左/右移动两位． 算术平方根从变成．小数点向右移动两位，被开方数小数点向右移动四位． ， ． （3）解：被开方数左/右移动三位，立方根左/右移动一位． ， ∵被开方数从变为，小数点向右移动三位， 立方根小数点向右移动一位， ∴． 2．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 【答案】（）（答案不唯一）；（）；（）；． 【分析】本题考查了立方根的性质，互为相反数的性质，求一个数的算术平方根，求平方根等知识，解题的关键是明确题意，灵活运用所学知识解决问题． （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据题目给出的规律解答即可； （）根据（）规律求出的值，然后代入即可求解； 根据（）规律求出的关系，再结合即可求出的值． 【详解】解：（）； ； ； ； ， ∴， 故答案为：（答案不唯一）； （）解：由； ； ； ； ， ∵， ∴， 故答案为：； （）由若，根据（）规律得，， 解得：， ∴； ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 【答案】(1) (2) (3) 或或 【分析】（1）依照题干中的解题思路求出； （2）由可得关于的一元一次方程，解方程即可求出的值； （3）根据可得，由立方根等于它本身的数有和，可得：或或，分别求出当或或时，的值，再根据与互为相反数，求出的值． 【详解】（1）解：，，， 是两位数， ， 的个位数字应是， 将的小数点向前移动后约为， ，， 的十位数字应为， ， 依据“负数的立方根是负数”得到：； （2）解：， ， 解得：； （3）解：， ， ， 或或， 或或， 当时，可得：， 与互为相反数， ， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：， 即； 当时，可得：， 与互为相反数， ， 即， 解得：． 考点12 算术平方根与立方根的综合应用 1．（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)；； (2)． 【分析】（1）根据平方根和立方根的性质求解即可； （2）先求出，再根据平方根的性质求解即可． 【详解】（1）∵的平方根是， ∴， 解得：， ∵的立方根是， ∴，即， 解得：； （2）∵， ∴的平方根为． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查算术平方根，平方根及立方根，结合已知条件求得a，b的值是解题的关键． （1）根据算术平方根及立方根的定义计算即可； （2）将a，b的值代入中计算，然后根据平方根的定义即可求得答案． 【详解】（1）解：为9的算术平方根，2为的立方根， ， 即； （2）解：， ， 的平方根是． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 【答案】 【分析】本题考查了算术平方根和立方根，熟练掌握算术平方根和立方根的相关内容是解题的关键； 根据题意列出符合题意的式子分别求出m、n的值，即可求得的平方根． 【详解】解：由题意，得， ． ， 解得， ，， ． ， 的平方根为． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 【答案】(1) (2)6 【分析】本题考查平方根和算术平方根、立方根．熟练掌握一个正数的两个平方根互为相反数，是解题的关键． （1）根据平方根和立方根的定义进行求解即可； （2）先求出代数式的值，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】（1）解：依题意，得：， 解得：， ，， ， 即a，x的值分别为，25， 负数y的立方根与它本身相同， ． （2）解：当，时，， 的算术平方根为． 考点13 实数的分类 1．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，0，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0），． (1)整数：{                }； (2)无理数：{                }； (3)正实数：{                }． 【答案】(1), , , (2), , （每相邻两个1之间依次多一个0） (3), , , , , （每相邻两个1之间依次多一个0） 【分析】（1）利用整数的定义进行求解； （2）利用无理数的定义进行求解； （3）利用正实数的定义进行求解． 【详解】（1）解：∵, , ， ∴以上整数有：, , , ； （2）解：无理数有：, , （每相邻两个1之间依次多一个0）； （3）解：∵，， ∴正实数有：, , , , , （每相邻两个1之间依次多一个0）． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）将下列各数填在相应的大括号内． 3.030030003…（每两个3之间依次增加一个0），，，3.1415926，，0，，，，． 有理数：{                                    ，…}； 无理数：{                                    ，…}； 正实数：{                                    ，…}； 整数：{                                    ，…}． 【答案】 见解析 【分析】本题考查了实数的分类（有理数、无理数、正实数、整数），解题关键是先化简能计算的数，再根据定义准确分类，注意无限不循环小数是无理数，而整数和分数都属于有理数． 先根据有理数、无理数、正实数、整数的定义，对每个数进行化简和判断，再将它们分类填入对应的集合中． 【详解】解：（每两个之间依次增加一个）是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数； ，是有理数、整数和正实数； 是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数； 是有限小数，属于有理数，也是正实数； 是有限小数，属于有理数； 是有理数和整数； 是分数，属于有理数，也是正实数； 是无限不循环小数，属于无理数； ，是有理数、整数和正实数； 是无限不循环小数，属于无理数，也是正实数． 综合以上，分类如下： 有理数集合包括：、、、、、； 无理数集合包括：、、、； 正实数集合包括：、、、、、、； 整数集合包括：、、． 则填在相应的大括号内为： 有理数：； 无理数：； 正实数：； 整数：． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了实数的分类，熟练掌握有理数、无理数、正实数、负实数的定义是解题的关键． 先化简表达式如和，再根据数的特性分类：有理数包括整数、有限小数和循环小数；无理数包括无限不循环小数和不能表示为分数的数；正实数为大于的实数；负实数为小于的实数。既不是正数也不是负数，可得答案． 【详解】解：首先化简：，；是无理数，因为不是完全立方数；是循环小数，属于有理数；（相邻的两个之间依次多一个）是无限不循环小数，属于无理数； 有理数集合：{，，，，，}； 无理数集合：{，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 正实数集合：{，，，，，（相邻的两个之间依次多一个）}； 负实数集合：{，，}． 4．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，，，，，（相邻两个3之间的0逐次加1），，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)负有理数集合：{_____…}； (3)无理数集合：{_____…}； (4)非负整数集合：{_____…}． 【答案】(1)0，，，，1016 (2)，， (3)，，，（相邻两个3之间的0逐次加1） (4)0，，1016 【分析】本题考查了算术平方根、立方根、化简多重符号、实数的分类． （1）先计算算术平方根、立方根、化简多重符号，再根据整数的定义作答即可； （2）根据负有理数的定义作答即可； （3）根据无理数的定义作答即可； （4）根据非负整数的定义作答即可． 【详解】（1）解：，，， 整数集合：{0，，，，1016…}； 故答案为：0，，，，1016； （2）解：，，， 负有理数集合：{，，…}； 故答案为：，，； （3）解：，，， 无理数集合：{，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）…}； 故答案为：，，，（相邻两个3之间的0逐次加1）； （4）解：，，， 非负整数集合：{0，，1016…}． 故答案为：0，，1016． 考点14 实数的混合运算 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）计算：． 【答案】 【分析】先分别计算出每个根式的值，再进行有理数的加减运算即可． 【详解】解：原式 ． 2．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）计算：． 【答案】 【详解】解：原式 ． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）计算． (1) (2) 【答案】(1)2 (2) 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 4．（25-26七年级下·山东临沂·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 考点15 无理数整数部分、小数部分有关计算 1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：∵，即， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴，， ∴， ∴的相反数是． 2．（25-26七年级下·山东日照·期中）阅读材料：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据即解答即可； （2）根据得到，确定整数部分为1，小数部分为，结合已知，确定a，b的值，解答即可． 【详解】（1）解：∵即， ∴的整数部分为8， ∴小数部分为； （2）解：∵即， ∴， ∴的整数部分为1，小数部分为， ∵a是的整数部分，b是的小数部分， ∴， ∴． 3．（25-26八年级下·云南昭通·期中）同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为4，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分_____，小数部分_____，则的值为_____． (2)已知的立方根为的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 【答案】(1)2，，4 (2) 【分析】（1）结合阅读材料可求出a和b的值，再代入求值即可； （2）根据算术平方根和立方根的定义可求出m和n的值，再结合阅读材料可求出z的值，从而可求出的值，最后计算其平方根即可． 【详解】（1）解：，即， 的整数部分，小数部分， ∴ ； （2）解：∵的立方根为， ∴， 则， ∵的算术平方根是， ∴， 则， ∵是的整数部分，， ∴， ， 的平方根为． 4．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 【答案】(1)， (2)2 (3) 【分析】（1）仿照题干作答即可； （2）仿照题干得到a、b的值，进而代入计算即可； （3）仿照题干得到x、y的值，进而代入计算即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴的整数部分是，小数部分是； （2）解：∵， ∴， ∴的小数部分， ∵， ∴， ∴的整数部分， ∴； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的整数部分，小数部分， ∴． 考点16 点的坐标特征 1．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如果点在x轴上，则M点坐标为________． 【答案】 【分析】根据轴上点的坐标特征，可知点的纵坐标为0，先求出的值，再代入计算得到点的横坐标，即可确定点坐标． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴， ∴， ∴， ∴M点坐标为． 2．（25-26七年级下·云南怒江·期中）已知点，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据点在轴上得到，求出，然后求解即可； （2）根据直线轴得到，求出，然后求解即可． 【详解】（1）解：∵点在轴上 ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为； （2）解：∵点的坐标为，直线轴 ∴ ∴ ∴ ∴点的坐标为． 3．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，且轴，则的值为__________． 【答案】 【分析】平行于轴的直线上的点纵坐标相等，根据该性质列方程即可求解的值． 【详解】解：∵，，且轴， 点和点的纵坐标相等，即， 解得：． 4．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，若直线轴． (1)求点的坐标； (2)、两点之间的距离为_______． 【答案】(1) (2)3 【分析】（1）根据轴得到，然后求解即可； （2）用点A的纵坐标减去点C的纵坐标即可求解． 【详解】（1）解：轴， ， ， ∴， 点的坐标为； （2）解：∵点，的坐标分别为，， ∴、两点之间的距离为． 考点17 点到坐标轴的距离 1．（25-26七年级下·云南·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，若点到轴的距离为5，到轴的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】第四象限内点的横坐标为正，纵坐标为负，点到x轴的距离是纵坐标的绝对值，点到y轴的距离是横坐标的绝对值，据此即可求解． 【详解】解：设点P的坐标为， ∵点P到x轴的距离为5，到y轴的距离为6， ∴， ∵点P在第四象限内，第四象限内点的横坐标大于0，纵坐标小于0， ∴， 即点P的坐标为． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为3，到y轴的距离是2，下列选项中，不可能是点P的坐标的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，即可求解． 【详解】解：∵点到x轴的距离为，到y轴的距离为， ∴，， ∴，， 即点P的横坐标为或，纵坐标为或， ∴点P的坐标为或或或． 选项D中点坐标为，不符合要求． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如果点到两坐标轴的距离相等，则m的值是________． 【答案】 5或 【分析】根据点到坐标轴的距离的定义，点到x轴的距离等于纵坐标的绝对值，到y轴的距离等于横坐标的绝对值，列出绝对值方程后求解即可． 【详解】解：∵点到两坐标轴的距离相等，点到轴的距离为，到轴的距离为， ∴， ∴或， 解得或． 4．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知点，解答下列各题： (1)若，且轴，则点P的坐标为_______． (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用平行于轴的点横坐标相等列方程求出，再得到点坐标； （2）先根据第二象限点的特征确定横纵坐标符号，结合距离相等求出，再代入代数式计算即可． 【详解】（1）解：∵轴，， ∴ 解得 将代入纵坐标得 ∴点的坐标为 （2）解：∵点到轴、轴的距离相等 ∴ ∵点在第二象限 ∴， ∴ 解得 将代入得 考点18 点的平移 1．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据点平移的坐标变化规律：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，即可求解． 【详解】解：∵将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点， ∴点的坐标为，即． 2．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）在直角坐标系中把点向左平移2个单位长度，得点的坐标____________；再向上平移5个单位长度得点的坐标______________ 【答案】 【分析】本题利用平面直角坐标系中点的平移规律求解，平移规律为：横坐标左移减，右移加；纵坐标上移加，下移减，依次计算两次平移后的坐标即可． 【详解】解：已知点坐标为，将点向左平移个单位长度， 则点的坐标为； 将点向上平移个单位长度， 则点的坐标为． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，点A先向左移动2个单位长度，再向上移动4个单位长度后的坐标为，则点A的坐标是_____________． 【答案】 【分析】平移规律为横坐标左移减，右移加，纵坐标上移加，下移减，根据题意可知点先向右移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度后的坐标即为点A的坐标． 【详解】∵点A先向左移动2个单位长度，再向上移动4个单位长度后的坐标为， ∴点先向右移动2个单位长度，再向下移动4个单位长度后的坐标即为点A的坐标， ∴，即． 故答案为：． 4．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】结合点A和点的坐标可知，线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度，再根据点B的坐标即可求解点D的坐标． 【详解】解：∵点平移后的对应点是， ∴线段平移的方式为向右平移4个单位长度，再向上平移1个单位长度， ∵点， ∴点B的对应点D的坐标是，即． 考点19 点坐标规律探索 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律继续跳动下去第2026次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设第n次跳动至点，根据部分点坐标的变化找出变化规律“，，，（n为自然数）”，依此规律结合即可得出点的坐标． 【详解】解：设第n次跳动至点， 根据题意得，，，，，，，，，，，…， ∴，，，（n为自然数）， ∵， ∴，即． 2．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到根据这个规律，则的坐标为_______________． 【答案】 【分析】先根据图中点的排列，找出规律，再计算求解． 【详解】解：根据图形发现，点的运动呈规律排列，个点为一个周期，一周期横坐标增加， ∵， ∴点的横坐标为， 则点的纵坐标与的纵坐标是相同的， 由图易知，点的纵坐标为1，即点的纵坐标为1， 点的坐标为． 3．（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知长方形四个顶点的坐标分别为：，把一根长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按逆时针方向绕在长方形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由点，，，的坐标可得出，的长，矩形的周长，结合，即可得细线另一端所在位置的点的坐标． 【详解】解：由题意得，， 四边形的周长为：， ，， 细线另一端所在位置的点的坐标是． 故选：C． 4．（25-26七年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点坐标的平移变换规律、点坐标的规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据点坐标的平移变换规律求出点的坐标，再归纳类推出一般规律即可得． 【详解】解：由题意得：，即， ，即， ，即， ，即， ，即， 观察可知，点的坐标为，其中， 点的坐标为，其中， 点的坐标为，其中， 归纳类推得：点的坐标为，其中为n正整数， ， 点的坐标为． 考点20 代入消元法解二元一次方程组 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（  ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 【答案】B 【分析】利用等式的性质将方程整理，分别用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，对比选项得到错误变形即可． 【详解】解：， 由①得：，，故A、C不符合题意， 由②得：，，故B符合题意，D不符合题意． 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知代数式与是同类项，那么、的值分别是（　 　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据同类项的概念列出方程组，并求解即可． 【详解】解：∵与是同类项， ∴， 解得． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用代入法解答即可； （2）利用代入法解答即可． 【详解】（1）解：， 由①，得③， 把③代入②，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是； （2）解：， 由②，得③， 把③代入①，得， 解得：， 把代入③，得， 所以原方程组的解是． 4．（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程组利用代入消元法求解即可； （2）方程组利用代入消元法求解即可． 【详解】（1）解：， 由②得：③， 把③代入①得：， 去分母得：， 解得：， 把代入③得：， 则方程组的解为； （2）解：方程组整理得：， 把②代入①得：， 解得：， 把代入②得：， 则方程组的解为． 考点21 加减消元法解二元一次方程组 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）二元一次方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】使用加减消元法消去未知数，先求出的值，再代入求出的值即可得到结果． 【详解】解：， 由得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为． 2．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 得： 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为； （2） 得 解得：， 将代入①得， 解得：， 方程组的解为． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）解二元一次方程组． (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 将代入， ， ， ， 将代入， 解得， ∴是方程组的解． （2）解：， 将①式去分母化简得：， 将②式去括号化简得：， ：， 解得：， 将代入④式，解得． ∴是方程组的解． 4．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）实数x，y满足，则______． 【答案】或3 【分析】本题利用换元法把绝对值看作整体，解二元一次方程组得到和的值，再根据绝对值的性质分类讨论，求出的所有可能取值，进而计算得到的值． 【详解】解：设， ， 则 将第一个方程两边同乘，得 ， 将第二个方程两边同乘，得 ， 两式作差得，解得， 将代入，得，解得， 因此可得，， 由得或， 当时， ，即或， 解得或， 此时 或 ， 当时， ，即， 解得或， 此时 或 ， 综上，的值为或． 考点22 二元一次方程组的特殊解法 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 【答案】 【分析】把的两边都除以4变形为，然后把和看作一个整体，用换元法求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵的解为， ∴， ∴． 2．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得 把③代入②，得，解得 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”， 请用此方法解方程组：． 【答案】 【详解】解：由②，得                      ③ 将①变形得  ④ 把③代入④，得                        把代入③，得                         这个方程组的解是 3．（25-26七年级下·云南玉溪·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于、的方程组的解是什么？ 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． （2）解：猜想：关于、的方程组的解是． 理由：观察例题和(1)中方程组的形式及解可得结论，验证如下， ， 得，， 所以，③， 将③，得④， ，得， 把代入③得，， 方程组的解是． 4．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）（2）利用整体换元法求解即可； （3）原方程组可化为 ，再利用整体换元法求解即可． 【详解】（1）解：设，， 则原方程组可化为， 与关于，的二元一次方程组系数一致， ∴， ∴，解得． （2）解：设，， 则原方程组可化为，解得． ∴，解得． （3）解：原方程组可化为 ， 设，， 则原方程组可化为 ， 与关于，的二元一次方程组的系数一致， ∴． ∴，解得． 考点23 二元一次方程组的错解复原问题 1．（25-26七年级下·吉林白山·期中）小明在解方程组时，得到的解是小英同样解这个方程组，由于把抄错而得到的解是；求，，的值． 【答案】，， 【分析】将小明的解代入原方程组求得值，将小英的解代入原方程组中的第一个含有的方程，联立小明的方程即可求出的值． 【详解】解：将代入得，， 由②得， 将代入得，， 联立①，③得， 解得， ∴，，． 2．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得．求原方程组的正确解． 【答案】 【分析】甲看错了方程①中的，但他解出的答案满足正确的方程②，故将代入方程②可得的值，同理，将代入方程①可得的值利用代入消元法解方程组即可． 【详解】解：由题意，将代入方程得：， 解得； 将代入方程得：， 解得． 即原方程组为，即， 将③代入①得：， 解得， 将代入③得：， 则原方程组的正确解为． 【点睛】这类题目不需要你去管甲和乙具体是怎么算错的，只需要抓住“错解中包含正确方程的信息”这一核心点，代入求值即可． 3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．求正确的的值． 【答案】6 【分析】把代入方程可求出b的值，把代入方程可求出c的值，再根据乙看错了方程组中的b，得解为，可知是方程的解，继而求出a的值；将a，b，c，的值代入原式后，计算即可． 【详解】解：把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得， 解得， 把代入方程中，得， 解得； ∴． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 【答案】(1)甲把a看成了5，乙把b看成了6． (2) 【分析】（1）把代入得出关于的一元一次方程，解一元一次方程即可得出甲把a看成了什么，把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程即可得出乙把b看成了什么； （2）把代入得出关于b的一元一次方程，解一元一次方程得出b的值，把代入得出关于a的一元一次方程，解一元一次方程得出a的值，把a，b代入原方程组得出关于x，y的方程组，解方程组即可得出原方程组的正确解． 【详解】（1）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， ∴甲把a看成了5，乙把b看成了6； （2）解：把代入， 可得：， 解得：， 把代入， 可得：， 解得：， 把，代入原方程组， 可得：， 由②得：③， 由①+③，可得：， ∴， 把代入①，可得：， 解得：， ∴原方程组的解． 考点24 二元一次方程组的相同解问题 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）若方程组的解与方程的一组解相同，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意可知原方程组的解满足，因此先联立和求出公共解，再将解代入含的方程即可求出的值． 【详解】解：∵原方程组的解与的解相同， ∴联立， 解得：， 将，代入得： ， 展开得：， 解得：． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】两个方程组的解相同，说明这个解同时满足四个方程，因此先联立两个不含、的方程求出公共解、，再将解代入含、的方程，即可计算得到的值． 【详解】解： 两个方程组的解相同 联立不含、的方程得 ， 得 ，解得 ． 把代入得 ，解得 ． 将，代入含、的方程得， 方程④两边同除以得 ． ． 3．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 【答案】C 【分析】联立不含与的方程组成方程组，求出方程组的解得到与的值，进而求出与的值，即可求出的值． 【详解】解：根据题意联立得：， 得：， 解得：， 把代入②得， 解得：， 把代入和得：， 解得：， ． 4．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】将方程组中不含的两个方程联立，求得的值，代入含有的两个方程中联立求得的值，再代入代数式中求解即可． 【详解】解：根据题意， 解得，， 将代入得，， 解得，， ∴． 考点25 二元一次方程组的解的情况求参数 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）若关于，的方程组的解满足，则的值为（） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】通过将方程组中的两个方程相加，得到关于与的关系式，再结合求解． 【详解】解： 得， ， ∵ ∴ ∴ 2．（25-26七年级下·重庆开州·期中）关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 【答案】 【分析】本题可通过将二元一次方程组中的两个方程相加，得到关于的表达式，再结合已知条件，列方程求出的值，最后计算的算术平方根． 【详解】解： 得 ， ∴ ， ∵ 与的和为4， ∴ ， 解得 ， 的算术平方根为． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则_____________． 【答案】3 【分析】先利用加减消元法消去，再根据无论取何值方程组都有解的条件，当时的系数为，此时要使方程有解，常数项必须为，据此列出关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：对于方程组， 由 得 ， 因为无论取何值方程组都有解，因此当时该方程也应有解， 此时方程为 ， 即 ， 要使该方程有解，须满足， 解得． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 【答案】或4 【详解】解：解方程组，得，， 因为x、y均为正整数，且k为整数，所以必须是22和33的正公因数， 22 的正因数：1，2，11，22， 33 的正因数：1，3，11，33， 两者的正公因数是：1，11， 当时，解得，此时，，均为正整数； 当时，解得，此时，，均为正整数； 综上，或4． 考点26 实际问题与二元一次方程组 1．（2026·浙江宁波·二模）我国古代数学名著《九章算术》“方程”篇中记载：“今有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫、绸各值几何？”（注：1贯文）意思是现在有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫和绸分别值多少钱？设每匹绫值文，每丈绸值文，那么可列方程组为（     ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】先统一单位，再根据题干描述找出两个等量关系，列出对应方程，构成方程组即可； 【详解】解：贯文， 贯文，贯文， 设每匹绫值文，每丈绸值文， 根据“绫三匹、绸四丈，值钱五贯”，可得方程： 根据“绫五匹、绸二丈，值钱四贯”，可得方程： 因此可列方程组为. 2．（25-26七年级下·四川眉山·期中）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形即空白的长方形，若，，则一个小长方形的面积为_______ ． 【答案】 【分析】设小长方形的长为x，宽为y，根据图示可得两个等量关系：小长方形的1个长个宽，小长方形的1个长个宽，进而可得到关于x、y的两个方程，可求得解，从而可得到小长方形的面积． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y，如图可知， ， 解得：． 所以小长方形的面积． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）为落实“健康第一”的教育理念，在体育锻炼中增强体质、锻炼意志学校准备购进一批足球，促进校园体育活动开展． (1)传统足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，且白皮块数与黑皮块数比是，求每个足球表面白皮、黑皮的块数； (2)学校决定购买A、B两个品牌的足球，已知购买3个A品牌足球和4个B品牌足球共需440元，购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元，求A、B两种品牌足球的单价． 【答案】(1)每个足球表面有白皮20块，黑皮12块 (2)A品牌足球的单价为80元，B品牌足球的单价为50元 【分析】（1）利用“按比例设元”的思想，设白皮有块，黑皮有块，根据总数32块可列方程； （2）抓住题目里的两个等量关系：3个A加4个B等于440，1个A加2个B等于180，直接列方程，解出来就是各自的单价， 【详解】（1）解：因为白皮块数与黑皮块数比是，所以设白皮有块，黑皮有块， 由题意得：，则 解得： 所以白皮块数为： 黑皮块数为： 答：每个足球表面有白皮20块，黑皮12块． （2）解：设A品牌足球的单价为元，B品牌足球的单价为元， 根据题意，列方程组得： 由得： 将代入，得： 把代入③，得： 即： 答：A品牌足球的单价为80元，B品牌足球的单价为50元． 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）我市对某主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：台•时） 租金（单位：元／台•时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问哪种方案租金最省，最省租金为多少？ 【答案】(1)需要租用甲种型号的挖掘机6台，需要租用乙种型号的挖掘机3台； (2)租用甲种型号的挖掘机2台，租用乙种型号的挖掘机6台时租金最省，最省租金为1140元． 【分析】（1）设需要租用甲种型号的挖掘机x台，需要租用乙种型号的挖掘机y台，根据一共租用9台挖掘机且恰好完成每小时的挖掘量建立方程组求解即可； （2）设租用甲种型号的挖掘机m台，租用乙种型号的挖掘机n台，根据恰好完成每小时的挖掘量建立方程，求出方程的非负整数解，并计算对应的租金，比较即可得到答案． 【详解】（1）解：设需要租用甲种型号的挖掘机x台，需要租用乙种型号的挖掘机y台， 由题意得，， 解得， 答：需要租用甲种型号的挖掘机6台，需要租用乙种型号的挖掘机3台； （2）解：设租用甲种型号的挖掘机m台，租用乙种型号的挖掘机n台， 由题意得，， ∴， ∵m、n都是非负整数， ∴为非负整数， ∴是不大于10的非负整数，且n为3的倍数， 当时，，此时每小时的总租金为元， 当时，，此时每小时的总租金为元， 当时，，此时每小时的总租金为元， ∵， ∴租用甲种型号的挖掘机2台，租用乙种型号的挖掘机6台时租金最省，最省租金为1140元． 考点27 不等式的性质 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题可根据不等式的基本性质，对每个选项逐一判断，即可得出正确结果． 【详解】A、∵ ，根据不等式的基本性质，不等式两边同时加(或减)同一个数，不等号方向不变， ∴ ， ∴A错误； B、∵ ，根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去2，不等号方向不变， ∴ ， ∴B正确； C、∵ 不等式两边同时乘(或除以)同一个负数，不等号方向改变， ∴ 由两边同乘，得 ， ∴C错误； D、∵ 不等式两边同时乘(或除以)同一个正数，不等号方向不变， ∴ 由两边同乘，得 ， ∴D错误． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：∵， ∴，，，； 故只有选项A正确. 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据已知，结合不等式的基本性质逐一判断各选项即可解答． 【详解】解：A、不等式两边同乘，得，两边再同减，得，故本选项不等式错误； B、不等式两边同乘，不等号方向改变，得，故本选项不等式正确； C、不等式两边同减，不等号方向不变，得，故本选项不等式正确； D、不等式两边同加，不等号方向不变，得，故本选项不等式正确． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列结论中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】根据等式的基本性质和不等式的基本性质进行判断即可． 【详解】解：选项：当时，一定成立，但不一定等于，故错误； 选项：，两边同乘得，故错误； 选项：若，两边同时除以得，故错误； 选项：两边同时除以正数，不等号方向不变，，故成立． 考点28 求一元一次不等式（组）的解集 1．（25-26七年级下·山东威海·期中）按要求解题： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式的非负整数解． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)非负整数解为：4，3，2，1，0 【详解】（1）解：， ， ， ， ， 把不等式的解集表示在数轴上如下： （2）解：， ， ， ， 它的非负整数解为：4，3，2，1，0． 2．（重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级下学期第十次自主作业数学试卷）计算：求不等式组的解集． 解不等式①得________， 解不等式②得________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 所以，原不等式组的解集为________________， 【答案】；；； 【详解】解：不等式组 解不等式①得：， 解不等式②得：， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 所以，原不等式组的解集为． 3．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）解下列不等式和不等式组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 去括号得， 移项、合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 解不等式①，得 解不等式②，得 ∴不等式组的解集为． 4．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）解不等式组：并写出它的所有整数解． 【答案】，整数解为 【分析】先求出每个不等式的解集，再求出不等式组的解集，最后写出所有整数解即可． 【详解】解：解不等式①，得； 解不等式②，得； ∴不等式组的解集为，整数解为． 考点29 一元一次不等式（组）的实际应用 1．（2026·河北唐山·二模）某文具店购进一批笔记本，进价为每本5元，出售时标价为每本8元．为了清理库存，文具店打算打折销售，且要保证利润率不低于20%，则该笔记本最低可以打（   ） A．七五折 B．八五折 C．七折 D．八折 【答案】A 【分析】利用进价×（1+利润率）=售价，标价×折扣数=售价，构造一元一次不等式，进而求解． 【详解】解：已知进价为每本5元，要保证利润率不低于20%，则最低售价为（元）． 设打x折， 由题意，得， 解得， ∴该笔记本最低可以打七五折． 2．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式组，关键是正确理解题意，找出题目中的不等关系． 根据设有条船，又根据“每条船坐人，则人无船坐”可得学生有人，再根据“每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满”列出不等式组即可． 【详解】解：∵设有条船，若每条船坐人，则人无船可坐， ∴学生总人数为人． ∵每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满， ∴使用条船，其中坐满的船数为条， ∴最后一条船的人数为人． ∵最后一条船不空也不满， ∴最后一条船的人数大于人，小于人， 即：， 不等式组为． 故选：C． 3．（2026·湖南岳阳·二模）为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 【答案】(1)A款服装单价为70元，B款服装单价为60元 (2)最多能采购A款服装150件 【分析】（1）设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解； （2）设采购A款服装a件，则采购B款服装件，根据题意列出一元一次不等式求解． 【详解】（1）解：设A款服装单价为x元，B款服装单价为y元， 根据题意得， 解得 ∴A款服装单价为70元，B款服装单价为60元； （2）解：设采购A款服装a件，则采购B款服装件， 根据题意得， 解得 ∴最多能采购A款服装150件． 4．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 【答案】(1)一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元 (2)共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆 【分析】（1）设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意易得，然后进行求解即可； （2）设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意易得，然后进行求解即可． 【详解】（1）解：设一辆W型公交车单价为万元，一辆U型公交车单价为万元，由题意得： ， 解得：； 答：一辆W型公交车单价为100万元，一辆U型公交车单价为150万元． （2）解：设购买W型公交车辆，则购买U型公交车辆，由题意得： ， 解得：， ∵是正整数， ∴的取值为， ∴或或； 答：共有三种可行方案，方案1：购买W型公交车6辆，U型公交车4辆；方案2：购买W型公交车7辆，U型公交车3辆；方案3：购买W型公交车8辆，U型公交车2辆． 考点30 由不等式（组）的解集求参数 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解不等式组，得到用，表示的解集，再与已知解集的端点对应，求出，后代入计算． 【详解】解：已知， 解得， 由不等式组的解集为， 可得， 解得， 故． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据不等式的基本性质求解即可． 【详解】解：∵不等式的解集是，不等式方向改变， ∴， 解得． 3．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】C 【分析】先将a，b当作已知数，分别解两个不等式得到含参数的解集，再和已知解集对比求出a，b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：解不等式得 解不等式得 ∴不等式组的解集为 ∵不等式组的已知解集为 ∴， 解得， ∴ 4．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的解集，熟练掌握“同大取大”的不等式组解集确定规则是解题的关键．先解第一个不等式，再结合不等式组的解集规则（同大取大）确定的范围． 【详解】解：解不等式得 ∵不等式组的解集为， ∴ 故选：B． 考点31 已知不等式组有解、无解求参数 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解含参数的一元一次不等式组，熟练解一元一次不等式组是解决问题的关键． 先分别解两个不等式，得到的取值范围，再根据不等式组有解的条件，即两个不等式的解集有交集，确定的取值范围． 【详解】解：解第一个不等式，得； 解第二个不等式，得； 不等式组有解， 存在同时满足和， ， 故选：C． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查解一元一次不等式组，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式组的方法． 先解两个不等式，再依据不等式组无解可以得出a的取值范围． 【详解】解：∵不等式组为， 解不等式①，得 解不等式②，， ∵关于的不等式组无解， ∴时， 解得． ∴不等式组无解时，． 故选：A． 3．（2026·河南商丘·二模）若不等式组有解，则整数的值可以是（     ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】先求解不等式组中第二个不等式，再根据不等式组有解的条件得到a的取值范围，最后结合选项判断正确结果． 【详解】解：由不等式可得：， ∵不等式组有解， ∴， 根据选项只有符合题意． 4．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得， 不等式组无解，即两个不等式的解集没有公共部分 ， ， 解得． 考点32 不等式（组）的整数解问题求参数 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解不等式组可得解集为，再根据不等式组有且只有4个整数解，即可求解． 【详解】解：由不等式组得：， 又∵不等式组有且只有4个整数解， ∴这4个整数是、0、1、2， ∴， 解得：． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数m的范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】解关于的不等式求得，根据不等式的正整数解的情况列出关于的不等式组求解即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， ∵不等式的正整数解是1，2，3， ∴， 解得． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先求出不等式组的解集，再根据解集情况计算即可． 【详解】解：解不等式得： 解不等式得： ∴， ∵关于的不等式组的整数解共有3个，即， ∴． 考点33 方程（组）与不等式（组）综合含参 1．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 【答案】B 【分析】首先解方程组得到，然后根据求出；然后解不等式组得到，然后根据不等式组恰好有三个整数解，进而求解即可． 【详解】解： 得，， ∵ ∴ ∴； 解不等式组得， ∵关于的不等式组恰好有三个整数解， ∴三个整数解为，0，1， ∴， ∴， ∴ ∴整数，， ∴． ∴符合条件的所有整数的和是． 2．（25-26七年级下·重庆·期中）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 【答案】28 【分析】先求解方程得到用表示的，根据解为整数判断的性质，再解不等式组得到解集，根据不等式组仅有3个整数解确定的取值范围，结合条件找出所有符合的整数，求和即可． 【详解】解：解方程，得： ． ∵方程的解是整数， ∴为偶数，可得a为奇数． 解不等式组 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组有且仅有3个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得． ∵a为整数，且a为奇数， ∴符合条件的整数a为13，15， ∴满足条件的所有整数a的和为． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 【答案】a为19或20或21 【分析】先求出不等式组的解集，根据不等式组的整数解的个数求出的范围，求出方程的解，根据求出的范围，求出公共部分，再求出的整数解，最后求出答案即可． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 解方程得：， ， ， 解得：， ∵a为整数， ∴a为19或20或21． 4．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 【答案】B 【分析】先解不等式组，根据不等式组仅有2个整数解确定整数a的取值范围，再解一元一次方程，根据方程解为非负整数确定符合条件的a的值，最后求和得到答案． 【详解】解：解不等式组， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且仅有2个整数解，小于的符合条件的两个整数为和， ∴， 解得， ∴范围内的整数为， 解关于的方程，得， ∵为非负整数，，可得，且是的正因数， ∴符合条件的为，对应可得，， ∴所有满足条件的整数的和为． 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）得出，再根据得出m的不等式，解不等式即可； （2）先求出不等式组的解集得出，再根据不等式组只有3个整数解，得出，再根据，得出，最后求出所有整数的和即可． 【详解】（1）解：， 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：； （2）解：， 解不等式，得：， 解不等式，得：， 故不等式组的解集是：， ∵不等式组只有3个整数解， ∴，解得， ∴， ∴符合条件的整数m的值的和为． 考点34 判断全面调查、抽样调查 1．（2026·内蒙古通辽·二模）下列调查中，适合用普查的方式调查的是（    ） A．了解全国中小学课间15分钟的实施情况 B．了解全国小学放春假的情况 C．了解某省市民对马年春晚中国产机器人空翻、武术对打节目的评分 D．某班学生对我国首次海上成功回收载人飞船返回舱的了解情况 【答案】D 【分析】普查适合调查对象范围小、数量少、便于全面统计的调查，调查范围广、对象数量大的调查适合抽样调查，据此分析选项即可． 【详解】解：∵普查适用于范围小、易全面统计的调查，范围广、调查对象数量大的调查适合抽样调查． A选项调查对象为全国中小学，范围广，适合抽样调查； B选项调查对象为全国小学，范围广，适合抽样调查； C选项调查对象为某省全体市民，数量大、范围广，适合抽样调查； D选项调查对象仅为一个班级的学生，范围小、数量少，适合普查． 2．（2026·河南省直辖县级单位·一模）下列调查中，适宜用抽样调查的是（    ） A．企业招聘，对应聘人员进行面试 B．神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查 C．调查2026年春节联欢晚会的收视率 D．了解全班男生每周体育锻炼的时间 【答案】C 【分析】当调查对象范围广、工作量大，且不需要对所有个体逐一调查时，适宜采用抽样调查；事关重要、范围较小的调查适合普查． 【详解】解： A选项、企业招聘需对所有应聘人员逐一考察，适宜全面调查； B选项、神舟飞船设备检查事关飞行安全，必须对所有设备逐一检查，适宜全面调查； C选项、调查春晚收视率，调查对象范围广、数量大，无法逐一调查，适宜抽样调查； D选项、全班男生数量少，可逐一调查，适宜全面调查； 故选：C． 3．（25-26七年级下·重庆·期中）下列选项中，最适合采用普查方式的是（    ）． A．调查嘉陵江水质污染情况 B．调查一批灯泡的使用寿命 C．调查全国中学生对“十五五规划”的了解情况 D．为保证“神舟二十二号”载人航天飞船的成功发射，对其零部件进行检查 【答案】D 【分析】当调查事关重大、要求精度高，且无破坏性时适合普查，若调查范围大，或调查具有破坏性，适合抽样调查，据此逐项判断即可． 【详解】解：A．∵嘉陵江流域范围大，普查工作量大不符合实际， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； B．∵调查灯泡使用寿命具有破坏性， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； C．∵全国中学生数量多，调查范围过大， ∴适合抽样调查，此选项不符合题意； D．∵载人航天飞船发射事关安全，每个零部件的检测要求准确，不能出错， ∴适合采用普查，此选项符合题意． 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列调查中，最适宜采用抽样方式的是（   ） A．订购校服，了解学生的尺寸 B．调查你班学生对“苏超”的知晓率 C．调查“歼20”战机各零部件的质量 D．调查我市中学生每天体育锻炼的时间 【答案】D 【分析】当调查范围较大，不易开展全面调查，或对结果精确度要求不高时，适宜采用抽样调查；当调查范围小，要求结果精确，或事关安全重大时，适宜采用普查，据此逐一判断即可． 【详解】解：选项A，订购校服需要得到每位学生的准确尺寸，调查范围小，适宜普查； 选项B，调查一个班级学生对“苏超”的知晓率，调查范围小，适宜普查； 选项C，“歼20”战机零部件质量事关飞行安全，每个零件都必须检测，适宜普查； 选项D，我市中学生总人数多，调查范围大，不需要逐个调查，最适宜采用抽样调查． 考点35 用样本估计总体 1．（2026·上海奉贤·三模）为了解九年级学生假期开展了“社区志愿者服务”活动时间的情况，从该校九年级学生中随机抽取部分同学进行调查，调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．根据图中信息，该校九年级300名学生中，假期开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数约有_______人． 【答案】156 【分析】用全校九年级的学生数乘以样本中开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的占比即可求解． 【详解】解：由统计图可知，抽取的学生人数为（人），其中开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的学生有（人）， ∴该校九年级学生中开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数为（人）． 2．（2026·河南平顶山·二模）为了解学生对体育用品的需求量，某兴趣小组在校园内随机调查了100名该校学生（每名被调查的学生选择且只选择一种体育用品），将收集的数据整理，并绘制成如图所示的扇形统计图。若该校共有1800名学生，则该校选择篮球的学生大约有___________名． 【答案】576 【详解】解：由题可知，样本内选择篮球的人数占比为32%，则该校内选择篮球的学生大约为． 3．（2026·江苏宿迁·一模）为了解本校学生课外阅读情况，某学校随机抽取了部分学生，对他们3月份课外阅读时间进行调查，按阅读时长进行分类：平均每天课外阅读时间不超过20分钟的学生记为A类；平均每天课外阅读时间大于20分钟且不超过40分钟记为B类；平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟记为C类；平均每天课外阅读时间超过60分钟记为D类，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图 请解答下列问题： (1)这次共抽取了 名学生进行调查； (2)补全条形统计图； (3)如果该学校共有2000名学生，请你估计，该校3月份平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟的学生大约有多少人？ 【答案】(1) (2)见解析 (3)人 【分析】（1）利用A类的人数除以对应的百分比即可得到答案； （2）求出D类人数补全统计图即可； （3）利用总人数乘以C类的占比即可求出答案． 【详解】（1）解：（名）， 即这次共抽取了名学生进行调查； （2）解：D类人数为：（名），补全统计图如下： （3）解：根据题意可得，（名） 即该校3月份平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟的学生大约有人． 4．（2026·浙江绍兴·二模）某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整） 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次抽样的样本容量为________． (2)扇形统计图中圆心角的度数为________ (3)若九年级有600名学生，估计测试成绩大于34分的学生有多少名？ 【答案】(1)60 (2) (3)名 【分析】（1）用A组的人数除以其所占的百分比即可求得样本容量； （2）先求得B组的人数，再用乘以B组所占的百分比即可解答； （3）用学生数乘以A、B两组所占的百分比即可解答． 【详解】（1）解：本次抽样的样本容量为． （2）解：B组学生数为：人． 所以扇形统计图中圆心角的度数为． （3）解：（名）． 答：估计测试成绩大于34分的学生有420名． 考点36 选择合适的统计图 1．（2026·山西吕梁·二模）2025年我国居民人均消费支出构成情况如下表所示．若要表示各构成项目支出占总支出的百分比，则最适合的统计图是（    ） 构成项目 医疗 教育 生活 其他 合计 支出（元） 2573 3489 22735 859 29656 A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图 【答案】B 【分析】根据题目需求，结合各类统计图的作用即可选出正确答案 【详解】解：∵不同统计图作用不同，条形图适合表示具体数量的多少，折线图适合反映数据的变化趋势，扇形图适合表示各部分占总体的百分比，直方图适合表示数据的频数分布， 本题要求表示各构成项目支出占总支出的百分比，符合扇形图的应用场景， ∴最适合的统计图是扇形图． 2．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）为了直观反映小明家一周内各项支出占总支出的百分比，最宜选用（     ） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以 【答案】A 【分析】扇形统计图用于反映各部分占总体的百分比，条形统计图用于体现各项目的具体数目，折线统计图用于反映事物的变化趋势，据此即可解答． 【详解】解：题意要求直观反映一周内各项支出占总支出的百分比，即需要展示各部分占总体的百分比，扇形统计图符合这一需求． 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）小姜是一个气象迷，他要统计姜堰区3月份日平均气温的变化过程和趋势，采用（    ）比较合适． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．统计表 【答案】C 【详解】解：∵条形统计图侧重体现具体数量的多少，扇形统计图侧重体现各部分占总体的比例，折线统计图侧重体现数据的变化过程与趋势，题目要求统计日平均气温的变化过程和趋势， ∴采用折线统计图比较合适． 4．（2026·山西阳泉·二模）山西省文化和旅游厅为精准分析2023年全省旅游市场的季度分布特征，助力后续旺季资源调配、服务优化与营销规划，对全年各季度接待游客人次进行了汇总统计．能直观呈现2025年每个季度到山西旅游的人次分别占全年旅游总人次的百分比的统计图是（   ） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．统计表 【答案】A 【分析】本题考查不同统计图的特征，结合题干需求，根据各类统计图的用途即可选出正确答案． 【详解】扇形统计图的特点是清晰反映各部分数量占总体的百分比，条形统计图侧重体现各部分的具体数量，折线统计图侧重反映数据的变化趋势，统计表无法直观呈现占比关系， ∵题干要求直观呈现每个季度旅游人次占全年旅游总人次的百分比， ∴符合要求的统计图是扇形统计图． 考点37 直方图 1．（2026·河南商丘·二模）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，如果用扇形图表示，那么金额在元的人数占九年级人数的扇形图的圆心角是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用乘以金额在元的人数占九年级人数的比例即可得出结果． 【详解】解：， 即金额在元的人数占九年级人数的扇形图的圆心角是． 2．（2026·浙江嘉兴·二模）某校想了解学生科学素养情况，随机抽取901，902班各20名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）901班成绩的频数分布直方图如图（数据分成4组：，，，）： （Ⅱ）902班成绩如下： 65  68  71  70  72  70  79  66  74  81 80  81  73  82  83  83  77  87  91  94 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图． (2)若科学素养成绩不少于80分为优秀，已知901，902两班学生人数相同，问哪个班科学素养成绩优秀人数多，通过计算说明． 【答案】(1)图见详解 (2)902班科学素养成绩优秀人数多，计算过程见详解 【分析】（1）由题意易得成绩在的人数，然后问题可求解； （2）分别得出901班和902班的优秀率，然后问题可求解． 【详解】（1）解：由题意得：成绩在的人数为， 补全频数分布直方图如下： （2）解：由题意得： 901班的优秀学生人数有人，所占百分比为， 902班的优秀学生人数有人，所占百分比为， ∵， ∴902班科学素养成绩优秀人数多． 3．（2026·广西柳州·二模）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 安全知识竞赛成绩频数分布直方图安全知识竞赛成绩扇形统计图 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为_________度； (4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)320人 【分析】（1）用B：的频数除以占比，求得的值，进而用C：的人数除以总人数求得的值； （2）根据总人数求得D等级的人数，进而补全统计图； （3）根据D等级的占比乘以，即可求解． （4）用样本估计总体，用乘以等级的占比，即可求解． 【详解】（1）解： ． ∵， ∴． （2）解：等级学生有（人）， 补全频数分布直方图如下： 安全知识竞赛成绩频数分布直方图 （3）解：扇形统计图中等级所在扇形的圆心角度数为． （4）解：（人）． 答：估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数有320人． 4．（2026·山东济南·二模）人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： (1)【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_____．（请填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理如表： 组别 成绩（分） 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． (2)【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： ①抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图； ②抽取的样本数据中位数所在组别是_____组； (3)扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是_____度； (4)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 【答案】(1)④； (2)①总样本容量为，补全频数分布直方图见解析；②； (3)； (4)估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人． 【分析】本题考查了频数分布直方图和扇形统计图，样本估计总体，看懂统计图是解题的关键． （1）根据样本具代表性，避免偏差，即可得出答案； （2）根据频数分布直方图可知样本容量，完成统计图即可；因为样本容量为，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人，中位数就在组； （3）用组对应的圆心角的度数是； （4）根据样本估计总体可知，用乘分以上（含分）的人数占比，即可求解． 【详解】（1）分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩，覆盖全校不同层次，避免因单一班级或年级的特殊性导致偏差，其他选项均存在局限性（如仅抽取一个班级、年级或性别）； 故答案为：④； （2）①总样本容量为， 因此组的人数， 补全频数分布直方图如下： ， 故答案为：； ②样本容量，那么中位数为第，人成绩的平均数，由于组人数人，组人数人， 抽取的样本数据中位数所在组别是组； 故答案为：； （3）扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是； 故答案为：； （4）（人）， 答：估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数是人． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 期末复习重难点37个考点 【新教材人教版】 【考点1 相交线】........................................................................................................................................2 【考点2 拐点问题】....................................................................................................................................3 【考点3 平行线的性质与判定进行计算】................................................................................................4 【考点4 平行线的性质与判定进行证明】................................................................................................6 【考点5 平行线的性质与判定进行计算与推理】....................................................................................8 【考点6 判断命题真假】............................................................................................................................9 【考点7 利用平移的性质求解】...............................................................................................................10 【考点8 利用平移解决实际问题】...........................................................................................................11 【考点9 利用平方根、立方根解方程】...................................................................................................12 【考点10 与算术平方根有关的规律探索】.............................................................................................12 【考点11 与立方根有关的规律探索】.....................................................................................................14 【考点12 算术平方根与立方根的综合应用】.........................................................................................15 【考点13 实数的分类】.............................................................................................................................16 【考点14 实数的混合运算】.....................................................................................................................17 【考点15 无理数整数部分、小数部分有关计算】.................................................................................17 【考点16 点的坐标特征】.........................................................................................................................18 【考点17 点到坐标轴的距离】.................................................................................................................19 【考点18 点的平移】.................................................................................................................................19 【考点19 点坐标规律探索】.....................................................................................................................20 【考点20 代入消元法解二元一次方程组】.............................................................................................21 【考点21 加减消元法解二元一次方程组】.............................................................................................22 【考点22 二元一次方程组的特殊解法】.................................................................................................23 【考点23 二元一次方程组的错解复原问题】.........................................................................................24 【考点24 二元一次方程组的相同解问题】.............................................................................................25 【考点25 二元一次方程组的解的情况求参数】.....................................................................................26 【考点26 实际问题与二元一次方程组】.................................................................................................26 【考点27 不等式的性质】.........................................................................................................................27 【考点28 求一元一次不等式（组）的解集】.........................................................................................28 【考点29 一元一次不等式（组）的实际应用】.....................................................................................28 【考点30 由不等式（组）的解集求参数】.............................................................................................29 【考点31 已知不等式组有解、无解求参数】.........................................................................................29 【考点32 不等式组的整数解问题求参数】.............................................................................................30 【考点33 方程（组）与不等式（组）综合求参】.................................................................................30 【考点34 判断全面调查、抽样调查】.....................................................................................................31 【考点35 用样本估计总体】.....................................................................................................................32 【考点36 选择合适的统计图】.................................................................................................................33 【考点37 直方图】.....................................................................................................................................34 考点1 相交线 1．（25-26七年级下·山东聊城·期中）如图，直线相交于点，平分，，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖北武汉·期中）如图，直线相交于点O，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京朝阳·期中）如图，直线和相交于点O，平分，，若，求的度数． 4．（25-26七年级下·辽宁大连·期中）如图，已知直线和相交于点，，平分，，求的度数． 考点2 拐点问题 1．（25-26七年级下·广东江门·期中）如图，，则；如图，，则；如图，，则；如图，，则．以上结论正确的个数是（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 2．（25-26七年级下·江苏盐城·阶段检测）如图，直线，直角三角板的顶点在直线上，那么的度数为（     ）    A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·山东淄博·期中）如图，已知，，则与之间的数量关系可表示为（   ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南周口·期中）如图，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·陕西西安·期中）如图，，，则，，之间关系是（    ）． A． B． C． D． 6．（25-26七年级下·山东烟台·期中）如图，，则、、、数量关系正确的是（   ） A． B． C． D． 考点3 平行线的性质与判定进行计算 1．（25-26七年级下·云南昭通·阶段检测）如图，直线分别交于点，已知平分交于点，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·福建莆田·期中）完成下面的证明：如图，，，，求的度数． 解：∵（已知） ∴（） 又∵， ∴（等量代换） ∴（） ∴（） 又∵ ∴． 3．（25-26七年级下·广东佛山·期中）如图是一种躺椅及其简化结构示意图，扶手与底座都平行于地面，靠背与支架平行，前支架与后支架分别与交于点G和点D．与交于点N，当前支架与后支架正好垂直，时，人躺着最舒服，求此时扶手与靠背的夹角的度数．读懂下面的推理过程，并填空． 解：∵，（已知） ∴．（            ） ∵ ____，（已知） ∴_____ ，（    ） 又∵， ∴． ∵，，（已知） ∴_____．（                    ） ∴_____．（                    ） 4．（25-26七年级下·山东泰安·期中）如图，已知，点在上，点在上，点在上方，，点在的反向延长线上，且， (1)若，求的度数． (2)若，求的度数． 考点4 平行线的性质与判定进行证明 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如图，，，是的角平分线．试说明：． 解：是的角平分线， _______（_______）， 又（已知）， （_______）， _______（_______）， （_______）， 又（_______）， （ ）， ∴（_______）． 2．（25-26七年级下·河北保定·期中）如图，，交于点，点在上，，垂足为，．试说明．请将下面的解答过程补充完整． 解：因为（已知）， 所以______（______） 因为（已知），所以______（______）， 所以______（______），所以（______） 因为（已知），所以， 所以，所以_____． 3．（25-26七年级下·甘肃兰州·期中）已知：如图，在中，于点，点在的延长线上，于点，．试说明：是的平分线．请你完成下列说理过程： 解：∵，（已知）， ∴（垂直的定义）， ∴（___________________）， ∴___________________（___________________）， ___________________（___________________）， ∵（已知）， ∴___________________（___________________）， ∴是的平分线． 4．（25-26七年级下·内蒙古赤峰·期中）如图，在三角形中，E是边上一点，D，F是边上的两个点，G在上，若，，求证：．请补充证明过程和说理依据． 证明：， ______，（__________________） ______（__________________） ， ∴______+______，（__________________） （__________________） 考点5 平行线的性质与判定进行计算与推理 1．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）如图，是延长线的一点，连接交于点，若． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 2．（25-26七年级下·四川广元·期中）如图，点D、点E分别是的边上的点，连接并延长到F，使得，若，比的余角小，G为线段上一动点， H为上一点，且满足，为的平分线．下列结论∶①；②；③平分；④；⑤．其中结论正确的序号是（   ） A．①②③④⑤ B．①②③④ C．②③④ D．①⑤ 3．（25-26七年级下·四川成都·期中）已知平分，平分，且． (1)如图1，求证：； (2)如图2，若，且，请探究与的数量关系，并证明你的结论； (3)若是直线上一动点（不与重合），平分交所在直线于点，请在备用图中画出图形，再直接写出与的数量关系． 4．（25-26七年级下·辽宁沈阳·期中）已知直线，在三角形纸板中， (1)【初步探究】将按如图1放置，点E和点G分别在直线，上，若，求的度数； (2)【深入探究】将按如图2放置，点E和点G分别在直线，上，交于点H．若，，试求，之间的数量关系； (3)【拓展应用】在图2中，若 ， ，将绕点F以每秒的速度顺时针旋转一周，设运动时间为秒，当两条直角边分别与平行时，求出相应的值（直接写出结论即可）． 考点6 判断命题真假 1．（25-26七年级下·广东湛江·期中）下面命题为真命题的是（    ） A．如果两个角的两边互相平行，那么这两个角相等； B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等； C．过直线外一点向直线作垂线段，这条垂线段就是点到直线的距离； D．同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 2．（25-26七年级下·山东济宁·期中）下列命题是真命题的是（   ） A．在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 B．两条直线被第三条直线所截，同位角相等 C．若，则 D．两点之间，直线最短 3．（25-26七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）下列命题中：①点到直线的距离是指这点到这条直线的垂线段；②对顶角相等；③过一点有且只有一条直线与已知直线平行；④垂直同一条直线的两条直线平行；⑤平行于同一条直线的两条直线平行．其中真命题的个数是（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 4．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期中）下列命题：①不相交的两条直线是平行线；②同旁内角互补；③如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；④在同一平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；⑤在同一平面内，若，，则．其中，真命题的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 考点7 利用平移的性质求解 1．（25-26七年级下·重庆·期中）如图，沿射线方向平移得到，若，，则平移的距离为（） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·陕西延安·期中）如图，将三角形沿方向平移至三角形，，，，连接，若四边形的周长为15，则的长为（     ） A． B．2 C． D．3 3．（25-26七年级下·陕西榆林·期中）如图，在四边形中，，，，将四边形沿方向平移得到四边形，交于点，且，，则图中阴影部分的面积为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 4．（25-26七年级下·陕西渭南·期中）如图，在三角形中，，，，将三角形沿方向平移，得到三角形，与相交于点，连接，则阴影部分的两个三角形周长之和为（   ） A． B． C． D． 考点8 利用平移解决实际问题 1．（24-25七年级下·广西南宁·期中）如图所示，某商场重新装修后准备在大厅的主楼梯上铺设一种红色的地毯，已知主楼梯道的宽为，其侧面如图所示，则买地毯至少需要（   ）平方米． A．8.4 B．15.68 C．16.8 D．25.2 2．（24-25七年级下·河北邢台·阶段检测）如图，一块长为，宽为的草地上有一条宽为的曲折的小路，则这块草地的绿地面积是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）有一块长为，宽为的长方形草地，计划在里面修一条小路，共有四种方案如图所示，图中每一条小路的右边线都是由左边线向右平移得到的．四条小路的面积从左至右依次用，，，表示．则关于四条小路面积大小的说法正确的是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·广东江门·期中）为构建和谐校园，营造良好的教育氛围，某学校拟在如图所示的长方形草坪上修建道路，道路的宽忽略不计，若草坪的长是，宽是，则道路的总长为（　　） A． B． C． D． 考点9 利用平方根、立方根解方程 1．（25-26七年级下·河南许昌·期中）求的值： (1)； (2)． 2．（25-26七年级下·安徽安庆·期中）解方程： (1)； (2)． 3．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）求的值 (1)． (2)． 4．（25-26七年级下·四川广元·期中）求下列式子中x的值： (1) (2) 考点10 与算术平方根有关的规律探索 1．（25-26七年级下·全国·月考）为了探究被开方数的小数点与算术平方根的小数点的移动规律，数学小组设计了下表，通过观察回答问题． … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)上表中，_________，_________． (2)从表格中探究与数位的规律，并利用这个规律解决下面两个问题． ①已知，则_________； ②已知．若，则_________（用含的代数式表示）． (3)用语言概括你所发现的规律． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）【观察思考】观察下列等式特征，探索规律． 第①个等式：； 第②个等式：； 第③个等式：； 第④个等式：； ．．． 【规律发现】 (1)计算：　　　　；　　　　； (2)若，则正整数　　　　； 【规律应用】 (3)根据上述等式规律，化简：． 3．（25-26七年级下·河北沧州·期中）某数学兴趣小组在学习了平方根后，对和的性质展开了探究，请你参与并完成下列问题： (1)探究的性质（a为非负数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意非负数等于多少？ (2)探究的性质（为任意实数） ①计算下列各式的值： ______        ______        ______ ______        ______        ______ ②归纳总结：对于任意实数等于多少？ 4．（25-26七年级下·辽宁铁岭·期中）观察下列一组算式的特征及运算结果，探索规律： ①， ②， ③， ④． (1)观察算式规律，计算______，______； (2)用含正整数的式子表示上述算式的规律：______； (3)计算： 考点11 与立方根有关的规律探索 1．（25-26七年级下·河北秦皇岛·期中）探索与应用，先填写下表，通过观察后再回答问题： … 0.0001 0.01 1 100 10000 … … 0.01 1 100 … (1)表格中________，________； (2)从表格中探究与数值变化的规律，并利用这个规律解决下面两个问题： ①已知，则________； ②已知，若，则________； (3)拓展：已知，，，则________． 2．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）（1）【发现】 ； ； ； ； … 根据上述等式反映的规律，请你再写出一个这样的等式： ； （2）【归纳】 等式，，，，所反映的规律，可归纳为一个结论：对于任意两个有理数，，若，则 ；（写出与之间的关系式） （3）【应用】 根据（）中所归纳的结论，解决下列问题： 若，求； 若，且，求的值． 3．（25-26七年级下·福建福州·期中）小明在学完立方根后研究了如下问题：如何求出的立方根？他进行了如下步骤： ①首先进行了估算：因为，，所以是两位数； ②其次观察了立方数：，，，，，，，，；猜想的个位数字是； ③接着将往前移动位小数点后约为，因为，，所以的十位数字应为，于是猜想，验证得：的立方根是； ④最后再依据“负数的立方根是负数”得到，同时发现结论：若两个数互为相反数，则这两个数的立方根也互为相反数；反之也成立． 请你根据小明的方法和结论，完成下列问题： (1) ； (2)若，则 ； (3)已知，且与互为相反数，求，的值． 考点12 算术平方根与立方根的综合应用 1．（25-26七年级下·河南安阳·期中）已知的平方根是，的立方根是． (1)求的值； (2)求的平方根． 2．（25-26七年级上·山东济南·期末）已知为9的算术平方根，2为的立方根． (1)求a、b的值； (2)求的平方根． 3．（25-26七年级下·全国·课后作业）如果是的算术平方根，是的立方根，求的平方根． 4．（25-26八年级上·吉林长春·期中）已知正数x的两个平方根分别是和，负数y的立方根与它本身相同． (1)求a，x，的值； (2)求的算术平方根． 考点13 实数的分类 1．（25-26七年级下·安徽亳州·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： ，，0，，，，，（每相邻两个1之间依次多一个0），． (1)整数：{                }； (2)无理数：{                }； (3)正实数：{                }． 2．（25-26七年级下·全国·课后作业）将下列各数填在相应的大括号内． 3.030030003…（每两个3之间依次增加一个0），，，3.1415926，，0，，，，． 有理数：{                                    ，…}； 无理数：{                                    ，…}； 正实数：{                                    ，…}； 整数：{                                    ，…}． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）把下列各数分别填在相应的集合中： ，，，，，，0，，，0.2020020002…（相邻的两个2之间依次多一个0）． 有理数集合：{                            …}； 无理数集合：{                            …}； 正实数集合：{                            …}； 负实数集合：{                            …}． 4．（25-26八年级上·广东河源·阶段检测）把下列各数分别填入相应的集合中： 0，，，，，，，（相邻两个3之间的0逐次加1），，，，1016． (1)整数集合：{_____…}； (2)负有理数集合：{_____…}； (3)无理数集合：{_____…}； (4)非负整数集合：{_____…}． 考点14 实数的混合运算 1．（25-26七年级下·广东广州·期中）计算：． 2．（25-26七年级下·广东汕尾·期中）计算：． 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）计算． (1) (2) 4．（25-26七年级下·山东临沂·期中）计算： (1)； (2) 考点15 无理数整数部分、小数部分有关计算 1．（25-26七年级下·湖北孝感·期中）阅读理解：因为，即，所以的整数部分为2，小数部分为．请解答下列问题： (1)如果的整数部分为，小数部分为，求的值； (2)已知：，其中是整数，且，求的相反数． 2．（25-26七年级下·山东日照·期中）阅读材料：∵，∴的整数部分为2，的小数部分为． (1)的小数部分是多少？ (2)已知是的整数部分，是的小数部分，求代数式的值． 3．（25-26八年级下·云南昭通·期中）同学们知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而，于是可用来表示的小数部分． 例如：，即， 的整数部分为4，小数部分为． 请解答： (1)的整数部分_____，小数部分_____，则的值为_____． (2)已知的立方根为的算术平方根是是的整数部分，求的平方根． 4．（25-26七年级下·吉林·期中）阅读下面的文字，解答问题： 我们知道是无理数，无理数是无限不循环小数，因此不能将的小数部分全部写出来，于是小慧用来表示的小数部分，你明白小慧的表示方法吗？ 事实上，因为的整数部分是1，将一个数减去它的整数部分，差就是小数部分． 例如：，即， 的整数部分为2，小数部分为． (1)的整数部分是________，小数部分是________； (2)如果的小数部分为，的整数部分为，求的值； (3)已知是的整数部分，是的小数部分，求的值． 考点16 点的坐标特征 1．（25-26七年级下·福建龙岩·期中）如果点在x轴上，则M点坐标为________． 2．（25-26七年级下·云南怒江·期中）已知点，分别根据下列条件求点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的坐标为，直线轴． 3．（25-26八年级下·上海闵行·阶段检测）在平面直角坐标系中，，，且轴，则的值为__________． 4．（25-26七年级下·甘肃临夏·期中）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，若直线轴． (1)求点的坐标； (2)、两点之间的距离为_______． 考点17 点到坐标轴的距离 1．（25-26七年级下·云南·期中）在平面直角坐标系的第四象限内有一点，若点到轴的距离为5，到轴的距离为6，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·贵州遵义·期中）在平面直角坐标系中，点到x轴的距离为3，到y轴的距离是2，下列选项中，不可能是点P的坐标的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广东广州·期中）如果点到两坐标轴的距离相等，则m的值是________． 4．（25-26七年级下·四川南充·期中）已知点，解答下列各题： (1)若，且轴，则点P的坐标为_______． (2)若点P在第二象限，且它到x轴、y轴的距离相等，求的值． 考点18 点的平移 1．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）在平面直角坐标系中，将点向下平移3个单位长度，再向左平移2个单位长度，得到点，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·广东广州·阶段检测）在直角坐标系中把点向左平移2个单位长度，得点的坐标____________；再向上平移5个单位长度得点的坐标______________ 3．（25-26七年级下·甘肃平凉·期中）在平面直角坐标系中，点A先向左移动2个单位长度，再向上移动4个单位长度后的坐标为，则点A的坐标是_____________． 4．（25-26七年级下·广西南宁·期中）如图，已知A，B两点的坐标分别为，，将线段平移得到线段．若点A的对应点是，则点B的对应点D的坐标是（    ） A． B． C． D． 考点19 点坐标规律探索 1．（25-26七年级下·山东临沂·期中）如图，在平面直角坐标系上有个点，点A第1次向上跳动1个单位至点，紧接着第2次向右跳动2个单位至点，第3次向上跳动1个单位，第4次向左跳动3个单位，第5次又向上跳动1个单位，第6次向右跳动4个单位，…，依此规律继续跳动下去第2026次跳动至点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·江西南昌·期中）如图，在平面直角坐标系中，一巡查机器人接到指令，从原点出发，沿着路线移动，每次移动1个单位长度，依次得到根据这个规律，则的坐标为_______________． 3．（25-26八年级下·云南昭通·期中）已知长方形四个顶点的坐标分别为：，把一根长为2026个单位长度且没有弹性的细线（线的粗细忽略不计）的一端固定在点处，并按逆时针方向绕在长方形的边上，则细线另一端所在位置的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河南安阳·期中）如图，在平面直角坐标系中，动点从原点出发，水平向左平移1个单位长度，再竖直向下平移1个单位长度得到点；接着水平向右平移2个单位长度，再竖直向上平移2个单位长度得到点；接着水平向左平移3个单位长度，再竖直向下平移3个单位长度得到点；接着水平向右平移4个单位长度，再竖直向上平移4个单位长度得到点，按此作法进行下去，则点的坐标为（   ） A． B． C． D． 考点20 代入消元法解二元一次方程组 1．（25-26七年级下·云南楚雄·期中）用代入消元法解二元一次方程组，下列变形错误的是（  ） A．由①，得 B．由②，得 C．由①，得 D．由②，得 2．（25-26七年级下·江苏南通·期中）已知代数式与是同类项，那么、的值分别是（　 　） A． B． C． D． 3．（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 4．（2026七年级下·全国·专题练习）用代入法解下列方程组： (1) (2) 考点21 加减消元法解二元一次方程组 1．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）二元一次方程组 的解是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·辽宁营口·期中）解方程组： (1) (2) 3．（25-26七年级下·重庆·期中）解二元一次方程组． (1) (2) 4．（25-26七年级下·浙江金华·阶段检测）实数x，y满足，则______． 考点22 二元一次方程组的特殊解法 1．（25-26七年级下·浙江宁波·期中）若关于x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为________． 2．（25-26七年级下·福建南平·阶段检测）阅读材料： 王星同学在解二元一次方程组时，是用以下方法解的： 解：由①，得 把③代入②，得，解得 把代入③，得，解得． 原方程组的解为． 这种解二元一次方程组的方法叫“整体代入法”， 请用此方法解方程组：． 3．（25-26七年级下·云南玉溪·期中）阅读下列解方程组的方法，然后解决后面的问题： 解方程组时，我们如果直接考虑消元，那将是比较繁杂的，而采用下面的解法则比较简便． 解：得，，所以，③ 将③，得，④ ，得，由③，得， 所以方程组的解是． (1)解方程组． (2)猜想：下列关于、的方程组的解是什么？ 4．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）阅读材料，回答问题． 解方程组时，如果直接用代入消元法或加减消元法求解，运算量比较大，也容易出错，如果把方程组中的和分别看作一个整体，设，，原方程组可化为，解得，即，所以原方程组的解为，这种解方程组的方法叫做整体换元法． (1)已知关于，的二元一次方程组的解为，那么关于，的二元一次方程组的解为__________； (2)用材料中的方法解二元一次方程组； (3)关于，的二元一次方程组的解为，求关于，的方程组的解． 考点23 二元一次方程组的错解复原问题 1．（25-26七年级下·吉林白山·期中）小明在解方程组时，得到的解是小英同样解这个方程组，由于把抄错而得到的解是；求，，的值． 2．（25-26七年级下·湖北省直辖县级单位·阶段检测）甲、乙两人同解方程组时，甲看错了方程①中的，解得，乙看错了方程②中的，解得．求原方程组的正确解． 3．（25-26七年级下·山东聊城·期中）在解关于x，y的方程组时，甲把方程组中的a看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的b，求得的解为．求正确的的值． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期中）甲乙两名同学在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的，而得解为；乙看错了方程组中的，而得解为． (1)甲把a看成了什么，乙把b看成了什么？ (2)请求出原方程组的正确解． 考点24 二元一次方程组的相同解问题 1．（25-26七年级下·山东烟台·期中）若方程组的解与方程的一组解相同，则为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）已知关于、的方程组和的解相同，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·四川内江·期中）已知方程组和有相同的解．则的值是（   ） A．-1 B．1 C．5 D．13 4．（25-26七年级下·山东泰安·期中）若关于的二元一次方程组和有相同的解，则的值为_____． 考点25 二元一次方程组的解的情况求参数 1．（25-26七年级下·辽宁盘锦·阶段检测）若关于，的方程组的解满足，则的值为（） A．2021 B．2022 C．2023 D．2024 2．（25-26七年级下·重庆开州·期中）关于，的二元一次方程组的解中与的和为4，则的算术平方根为________． 3．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若无论取何值，关于，的二元一次方程组都有解，则_____________． 4．（25-26七年级下·福建福州·期中）已知关于、的二元一次方程组，解均为正整数，且为整数，则______． 考点26 实际问题与二元一次方程组 1．（2026·浙江宁波·二模）我国古代数学名著《九章算术》“方程”篇中记载：“今有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫、绸各值几何？”（注：1贯文）意思是现在有绫三匹、绸四丈，值钱五贯；绫五匹、绸二丈，值钱四贯．问绫和绸分别值多少钱？设每匹绫值文，每丈绸值文，那么可列方程组为（     ） A．B． C． D． 2．（25-26七年级下·四川眉山·期中）如图，在长方形中，放入六个形状、大小相同的小长方形即空白的长方形，若，，则一个小长方形的面积为_______ ． 3．（25-26七年级下·江苏苏州·期中）为落实“健康第一”的教育理念，在体育锻炼中增强体质、锻炼意志学校准备购进一批足球，促进校园体育活动开展． (1)传统足球表面由黑色五边形和白色六边形共32个皮块围成，且白皮块数与黑皮块数比是，求每个足球表面白皮、黑皮的块数； (2)学校决定购买A、B两个品牌的足球，已知购买3个A品牌足球和4个B品牌足球共需440元，购买1个A品牌足球和2个B品牌足球共需180元，求A、B两种品牌足球的单价． 4．（25-26七年级下·河北石家庄·期中）我市对某主干道进行改造，为了尽快完成施工任务，计划每小时挖掘土方，现租用甲、乙两种型号的挖掘机，有关信息如下表： 型号 挖掘土石方量（单位：台•时） 租金（单位：元／台•时） 甲型 18 120 乙型 24 150 (1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共9台，恰好完成每小时的挖掘量，甲、乙两种型号的挖掘机各需租用多少台？ (2)若租用的挖掘机不限台数，又恰好完成每小时的挖掘量，请问哪种方案租金最省，最省租金为多少？ 考点27 不等式的性质 1．（25-26七年级下·湖南邵阳·期中）如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·海南省直辖县级单位·期中）如果，那么下列不等式正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·北京顺义·期中）已知，下列不等式错误的是（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·四川眉山·期中）下列结论中成立的是（    ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 考点28 求一元一次不等式（组）的解集 1．（25-26七年级下·山东威海·期中）按要求解题： (1)解不等式，并把它的解集在数轴上表示出来． (2)求不等式的非负整数解． 2．（重庆育才中学教共体2025-2026学年九年级下学期第十次自主作业数学试卷）计算：求不等式组的解集． 解不等式①得________， 解不等式②得________， 将不等式①②的解集表示在数轴上如图所示： 所以，原不等式组的解集为________________， 3．（25-26八年级下·辽宁辽阳·期中）解下列不等式和不等式组： (1) (2) 4．（25-26八年级下·河南平顶山·期中）解不等式组：并写出它的所有整数解． 考点29 一元一次不等式（组）的实际应用 1．（2026·河北唐山·二模）某文具店购进一批笔记本，进价为每本5元，出售时标价为每本8元．为了清理库存，文具店打算打折销售，且要保证利润率不低于20%，则该笔记本最低可以打（   ） A．七五折 B．八五折 C．七折 D．八折 2．（25-26七年级上·全国·寒假作业）若干名学生乘船．若每条船坐人，则人无船坐；若每条船坐人，则空一条船，还有船不空也不满，设有条船，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南岳阳·二模）为弘扬传统文化，某中学计划开展“戏曲广播体操”活动，为此采购了A、B两种花鼓戏风格的表演服．已知采购1件A款和2件B款共需190元；采购2件A款和3件B款共需320元． (1)求A、B两款服装的单价． (2)学校计划用不超过13500元的预算，采购这两种服装共200件．问：最多能采购A款服装多少件？ 4．（25-26七年级下·贵州铜仁·期中）某公交公司要购买10辆节能环保车，包括W型和U型两种．如果用400万元能购买1辆W型公交车和2辆U型公交车，用600万元能购买3辆W型公交车和2辆U型公交车． (1)一辆W型公交车的单价是多少万元？一辆U型公交车呢？ (2)W型公交车和U型公交车的运客量不同，分别为60万人次和100万人次．如果用不多于1200万元的费用购进这10辆公交车，且总运客量不能低于680万人次，有哪些方案可供选择？ 考点30 由不等式（组）的解集求参数 1．（25-26七年级下·四川眉山·期中）若不等式组的解集为，则的值为（    ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）不等式的解集是，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·广西贵港·期中）若不等式组的解集是，则的值是（   ） A． B．0 C．1 D．2 4．（25-26八年级上·山东菏泽·阶段检测）如果不等式组的解集为，那么m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 考点31 已知不等式组有解、无解求参数 1．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）已知关于的不等式组有解，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·陕西西安·期末）若关于的不等式组无解，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 3．（2026·河南商丘·二模）若不等式组有解，则整数的值可以是（     ） A． B． C．0 D．3 4．（25-26七年级下·广西钦州·阶段检测）若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 考点32 不等式（组）的整数解问题求参数 1．（25-26七年级下·吉林长春·期中）若关于的不等式组有且只有4个整数解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级下·陕西西安·期中）若关于x的不等式的正整数解是1，2，3，则实数m的范围为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·福建泉州·期中）若关于的不等式组的整数解共有3个，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 考点33 方程（组）与不等式（组）综合含参 1．（25-26七年级下·四川内江·期中）若关于、的方程组中未知数、满足，且关于的不等式组恰好有三个整数解，则符合条件的所有整数的和是（    ） A． B． C．11 D．9 2．（25-26七年级下·重庆·期中）关于的方程的解是整数，且关于的不等式组有且仅有3个整数解，则满足条件的所有整数的和为_____． 3．（25-26七年级下·湖南岳阳·期中）已知关于x的不等式组有且仅有5个整数解，且使关于y的一元一次方程的解满足，求所有满足条件的整数a的值． 4．（25-26七年级下·重庆·阶段检测）若关于x的不等式组有且仅有2个整数解，同时关于y的一元一次方程解为非负整数，则所有满足条件的整数a的和为（   ） A．4 B．6 C．7 D．9 5．（25-26七年级下·福建泉州·期中）关于的方程组的解满足． (1)求m的取值范围； (2)若关于不等式组只有3个整数解，求满足条件的所有整数的和． 考点34 判断全面调查、抽样调查 1．（2026·内蒙古通辽·二模）下列调查中，适合用普查的方式调查的是（    ） A．了解全国中小学课间15分钟的实施情况 B．了解全国小学放春假的情况 C．了解某省市民对马年春晚中国产机器人空翻、武术对打节目的评分 D．某班学生对我国首次海上成功回收载人飞船返回舱的了解情况 2．（2026·河南省直辖县级单位·一模）下列调查中，适宜用抽样调查的是（    ） A．企业招聘，对应聘人员进行面试 B．神舟飞船发射前对飞船仪器设备的检查 C．调查2026年春节联欢晚会的收视率 D．了解全班男生每周体育锻炼的时间 3．（25-26七年级下·重庆·期中）下列选项中，最适合采用普查方式的是（    ）． A．调查嘉陵江水质污染情况 B．调查一批灯泡的使用寿命 C．调查全国中学生对“十五五规划”的了解情况 D．为保证“神舟二十二号”载人航天飞船的成功发射，对其零部件进行检查 4．（25-26八年级下·江苏南京·期中）下列调查中，最适宜采用抽样方式的是（   ） A．订购校服，了解学生的尺寸 B．调查你班学生对“苏超”的知晓率 C．调查“歼20”战机各零部件的质量 D．调查我市中学生每天体育锻炼的时间 考点35 用样本估计总体 1．（2026·上海奉贤·三模）为了解九年级学生假期开展了“社区志愿者服务”活动时间的情况，从该校九年级学生中随机抽取部分同学进行调查，调查结果绘制成如图所示的频数分布直方图（每组数据含最小值，不含最大值）．根据图中信息，该校九年级300名学生中，假期开展了“社区志愿者服务”活动时间大于2小时的人数约有_______人． 2．（2026·河南平顶山·二模）为了解学生对体育用品的需求量，某兴趣小组在校园内随机调查了100名该校学生（每名被调查的学生选择且只选择一种体育用品），将收集的数据整理，并绘制成如图所示的扇形统计图。若该校共有1800名学生，则该校选择篮球的学生大约有___________名． 3．（2026·江苏宿迁·一模）为了解本校学生课外阅读情况，某学校随机抽取了部分学生，对他们3月份课外阅读时间进行调查，按阅读时长进行分类：平均每天课外阅读时间不超过20分钟的学生记为A类；平均每天课外阅读时间大于20分钟且不超过40分钟记为B类；平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟记为C类；平均每天课外阅读时间超过60分钟记为D类，并将统计结果绘制了如下两幅不完整的统计图 请解答下列问题： (1)这次共抽取了 名学生进行调查； (2)补全条形统计图； (3)如果该学校共有2000名学生，请你估计，该校3月份平均每天课外阅读时间大于40分钟且不超过60分钟的学生大约有多少人？ 4．（2026·浙江绍兴·二模）某校为了解九年级同学的中考体育考试准备情况，随机抽查该年级部分学生进行体育模拟测试，根据测试成绩（单位：分）分为四个类别：，，，，将分类结果制成如下两幅统计图（尚不完整） 根据以上信息，回答下列问题： (1)本次抽样的样本容量为________． (2)扇形统计图中圆心角的度数为________ (3)若九年级有600名学生，估计测试成绩大于34分的学生有多少名？ 考点36 选择合适的统计图 1．（2026·山西吕梁·二模）2025年我国居民人均消费支出构成情况如下表所示．若要表示各构成项目支出占总支出的百分比，则最适合的统计图是（    ） 构成项目 医疗 教育 生活 其他 合计 支出（元） 2573 3489 22735 859 29656 A．条形图 B．扇形图 C．折线图 D．直方图 2．（25-26七年级下·云南昆明·阶段检测）为了直观反映小明家一周内各项支出占总支出的百分比，最宜选用（     ） A．扇形统计图 B．条形统计图 C．折线统计图 D．以上都可以 3．（25-26八年级下·江苏泰州·期中）小姜是一个气象迷，他要统计姜堰区3月份日平均气温的变化过程和趋势，采用（    ）比较合适． A．条形统计图 B．扇形统计图 C．折线统计图 D．统计表 4．（2026·山西阳泉·二模）山西省文化和旅游厅为精准分析2023年全省旅游市场的季度分布特征，助力后续旺季资源调配、服务优化与营销规划，对全年各季度接待游客人次进行了汇总统计．能直观呈现2025年每个季度到山西旅游的人次分别占全年旅游总人次的百分比的统计图是（   ） A．扇形统计图 B．折线统计图 C．条形统计图 D．统计表 考点37 直方图 1．（2026·河南商丘·二模）已知某校九年级200名学生义卖所得金额分布直方图如图所示，如果用扇形图表示，那么金额在元的人数占九年级人数的扇形图的圆心角是（    ） A． B． C． D． 2．（2026·浙江嘉兴·二模）某校想了解学生科学素养情况，随机抽取901，902班各20名学生的科学素养测试成绩，对成绩（百分制）进行了收集、整理和分析，部分信息如下： （Ⅰ）901班成绩的频数分布直方图如图（数据分成4组：，，，）： （Ⅱ）902班成绩如下： 65  68  71  70  72  70  79  66  74  81 80  81  73  82  83  83  77  87  91  94 根据以上信息，回答下列问题： (1)补全频数分布直方图． (2)若科学素养成绩不少于80分为优秀，已知901，902两班学生人数相同，问哪个班科学素养成绩优秀人数多，通过计算说明． 3．（2026·广西柳州·二模）为增强学生安全意识，某校举行了一次全校2000名学生参加的安全知识竞赛．从中随机抽取名学生的竞赛成绩进行了分析，把成绩（满分100分，所有竞赛成绩均不低于60分）分成四个等级（D：；C：；B：；A：），并根据分析结果绘制了不完整的频数分布直方图和扇形统计图． 安全知识竞赛成绩频数分布直方图安全知识竞赛成绩扇形统计图 请根据以上信息，回答下列问题： (1)填空：__________，__________； (2)请补全频数分布直方图； (3)扇形统计图中D等级所在扇形的圆心角度数为_________度； (4)若把A等级定为“优秀”等级，请你估计该校参加竞赛的2000名学生中达到“优秀”等级的学生人数． 4．（2026·山东济南·二模）人工智能是把“金钥匙”，不仅影响未来的教育，也影响教育的未来．为培养学生创新思维，提升科学素养，某学校举行人工智能知识竞赛，并对测试成绩（单位：分）进行了统计分析： (1)【收集数据】随机抽取部分学生的竞赛成绩组成一个样本．下列抽取学生竞赛成绩的方法最合适的是：_____．（请填写序号） ①随机抽取该校一个班级学生的竞赛成绩； ②随机抽取该校一个年级学生的竞赛成绩； ③随机抽取该校一部分女生的竞赛成绩； ④分别从该校各年级的每个班中随机抽取学生的竞赛成绩． 【整理数据】将学生竞赛成绩的样本数据分成，，，四组进行整理如表： 组别 成绩（分） 【描述数据】根据竞赛成绩绘制了如图两幅不完整的统计图． (2)【分析数据】根据以上信息，解答下列问题： ①抽取学生竞赛成绩的样本容量为_____；请补全频数分布直方图； ②抽取的样本数据中位数所在组别是_____组； (3)扇形统计图中，组对应的圆心角的度数是_____度； (4)若竞赛成绩分以上（含分）为优秀，请你估计该校参加竞赛的名学生中成绩为优秀的人数． 1 学科网（北京）股份有限公司 $