专题03 一元一次不等式（期末复习讲义）七年级数学下学期新教材华东师大版

专题03 一元一次不等式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的概念 题型02 不等式的性质 题型03 解不等式（组） 题型04 在数轴上表示不等式（组）的解集 题型05 不等式（组）的整数解 题型06 由不等式（组）的解集求参数 题型07 由不等式（组）的解的情况求参数 题型08 不等式组与方程综合 题型09 绝对值型不等式 题型10 不等式（组）的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的相关概念 能准确识别不等式、不等式的解与解集，区分解不等式与解方程的核心差异，能在数轴上正确表示不等式的解集 基础必考点，常出现在选择、填空小题，重点考查概念辨析与解集的数轴表示 不等式的基本性质 熟练掌握不等式的3条核心性质，能正确运用性质进行不等式变形，重点掌握乘除负数时不等号方向改变的规则 高频易错点，是解不等式的核心依据，常结合变形正误判断、解题步骤纠错考查 一元一次不等式的解法 掌握一元一次不等式的标准解题步骤（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1），能规范解题并检验解的正确性 核心必考点，占分比高，必考解答题，重点考查解题规范与易错点规避，是后续应用的基础 一元一次不等式组的概念与解法 能识别一元一次不等式组，掌握不等式组的解题流程，能利用数轴或口诀确定不等式组的解集，能正确判断无解的情况 高频考点，选择、填空、解答题均有考查，重点考查解集的确定与数轴表示，易忽略无解的边界情况 不等式（组）的整数解问题 能根据不等式（组）的解集，准确找出符合条件的整数解、正整数解、非负整数解等，能结合整数解的条件逆向求参数范围 高频易错点，选择填空压轴常考，易忽略边界值的取舍，是区分度较高的考点 含参数的一元一次不等式（组） 能处理含参数的不等式（组）问题，掌握分类讨论的思想，能根据解集的情况确定参数的取值范围，能结合整数解求参数的整数值 高频难点，压轴题常考，重点考查分类讨论思想与逆向思维，是拉开分差的核心考点 一元一次不等式的实际应用（基础场景） 能解决和差倍分、积分、计费等基础应用场景的不等式问题，掌握列不等式解应用题的基本流程，能准确找出题中的不等关系 基础应用必考点，解答题常考，重点考查数量关系的转换与不等关系的建立 一元一次不等式的实际应用（综合场景） 能解决行程、工程、销售利润、方案优化等综合应用场景的不等式问题，能结合一次函数、方程等知识解决综合型应用题 高频综合考点，解答题压轴常考，贴近生活实际，重点考查数学建模能力与综合应用能力 知识点01 不等式的定义 1.不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 2.常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 知识点03 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 不等式的解集 图示 说明 x>a 界点用空心圆圈,方向向右 x<a 界点用空心圆圈,方向向左 x≥a 界点用实心圆点,方向向右 x≤a 界点用实心圆点,方向向左 知识点04 解一元一次不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 知识点05 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型一 不等式的概念 解｜题｜技｜巧 像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 【典例1】与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【变式1】下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 题型二 不等式的性质 解｜题｜技｜巧 1.不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； 2.不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3.不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【典例1】若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式1】已知，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【变式2】当时，下列不等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 题型三 解不等式（组） 解｜题｜技｜巧 去分母→去括号→移项→化成ax>b（或ax<b等）的形式（其中a≠0）→两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集（化成x>或x<的形式） 【典例1】不等式组的解集是________． 【变式1】解不等式：． 【变式2】解不等式组：． 题型四 在数轴上表示不等式（组）解集 解｜题｜技｜巧 1.边界值的表示： 不等号含 “=”（≥、≤）：边界值处画实心圆点（表示包含该点）； 不等号不含 “=”（>、<）：边界值处画空心圆圈（表示不包含该点）。 2.方向的表示： 不等号为 “>” 或 “≥”：解集在边界值的右侧（沿数轴正方向延伸）； 不等号为 “<” 或 “≤”：解集在边界值的左侧（沿数轴负方向延伸）。 【典例1】解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【变式1】解不等式组： 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以，原不等式组的解集为 ． 【变式2】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 题型五 不等式（组）的整数解 解｜题｜技｜巧 1.求出解集：先解不等式（或不等式组），得到完整的解集范围； 2.列出整数：在解集范围内，找出所有整数（注意边界值是否包含，需结合不等号是否含 “=”）； 3.验证：检查列出的整数是否都在解集中，避免漏解或多解。 【典例1】求下列不等式的所有正整数解： (1)； (2)． 【变式1】解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【变式2】解不等式组，将解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 题型六 由不等式（组）的解集求参数 解｜题｜技｜巧 1.解含参数的不等式：将参数当作已知数，按解不等式的步骤，化为 “x> m” 或 “x < m” 的形式（m 含参数）； 2.对比已知解集：将化简后的解集与题目给出的解集对比，列等式（或不等式）求参数； 3.验证参数：求出参数后，代入原不等式，验证解集是否正确（避免因参数正负导致的错误）。 关｜键｜提｜醒 解含参数的不等式时，系数化为 1 前，必须判断参数的正负（或范围），否则无法确定不等号方向； 若化简后的解集形式与已知一致（如均为 x > m），则系数为正；若方向相反（如化简后 x <m，已知 x> n），则系数为负。 【典例1】已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 【变式1】若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【变式2】若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 题型七 由不等式（组）的解的情况求参数 解｜题｜技｜巧 1.解每个含参数的不等式：分别化为 “x> a”“x < b” 的形式（a、b 含参数）； 2.根据解集情况列条件： ◦若不等式组无解：按 “大大小小找不到” 列条件（如 {x > m, x < 2} 无解，则 m ≥ 2）； ◦若不等式组有解：按 “大小小大中间找” 列条件（如 {x > 1, x < n} 有解，则 n > 1）； ◦若不等式组解集为某一范围：按 “同大取大”“同小取小” 列条件（如 {x > 3, x > k} 解集为 x > 3，则 k ≤ 3）； 3.验证边界值：参数取边界值时，需验证不等式组的解集是否符合要求（如 {x> m, x < 2}，m=2 时，解集为 {x > 2, x < 2}，无解，符合 “无解” 的条件）。 【典例1】关于的不等式组有且只有5个整数解，则常数的取值范围是______． 【变式1】若关于的不等式组无解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【变式2】关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 题型八 不等式组与方程的综合 【典例1】已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 【变式1】已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解为？ 【变式2】已知关于，的二元一次方程组． (1)若，求的取值范围； (2)在（1）中所求出的的取值范围条件下，当超过时，可得，求整数的值． 题型九 绝对值型不等式 【典例1】若，则x的取值范围_______． 【变式1】请阅读求绝对值不等式和的解集的过程： 因为，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是； 因为，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为_____；的解集为_____． (2)解不等式； (3)解不等式 【变式2】阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 题型十 不等式（组）的应用 【典例1】为推进校园“零碳”建设，学校计划采购太阳能路灯和风能指示牌共套．其中太阳能路灯的单价为元套，风能指示牌的单价为元套．若采购总费用不超过元，则最多可采购太阳能路灯多少套？ 【变式1】广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【变式2】珍惜水资源，保护水环境，防止水污染，为扩大污水处理规模，某污水处理厂计划投入一笔资金购进A、B两种污水处理装备，已知购进件A种装备和件B种装备共需万元，购进件A种装备和件B种装备共需万元． (1)求购进件A种装备和件B种装备各需多少万元？ (2)若该污水处理厂计划购进A、B两种装备共件，且投入资金不少于万元又不超过11万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ (3)在（2）的方案下，由于国家对环保事业的扶持力度加大，每件A种装备降价万元，每件B种装备降价万元，在投入资金最少的情况下，该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买A、B两种装备（可以只购买一种）请求出再次购买装备的方案有哪几种？ 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．某游乐园的过山车项目要求游客身高不低于才能乘坐，用（单位：）表示游客的身高，该项目要求游客的身高应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 4．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 5．解不等式：． 6．解不等式：．并将解集在数轴上表示出来． 7．试求不等式组的所有整数解． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 9．若不等式组有解，则整数的值可以是（     ） A． B． C．0 D．3 10．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 11．已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．已知关于的不等式组．解答下列问题： (1)解不等式①，得_____； 解不等式②，得_____；（用含的代数式表示） (2)如果该不等式组的解集如图所示，求的值； (3)若该不等式组恰有两个整数解，请直接写出的取值范围． 13．求满足不等式组的正整数解． 14．年，“湘”超湘味、“湘”当韵味的首届湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）席卷三湘大地，赛场外以红嘴相思鸟和超级稻为原型的湘超联赛吉祥物“湘湘”和“超超”玩偶深受喜爱、购买某商家生产的吉祥物玩偶时，买个湘湘比买个超超多用元，买个湘湘和个超超共用元． (1)湘湘和超超的单价分别是多少元？ (2)某公益组织决定购买湘湘和超超共个送给学生做纪念品，总费用不超过元，则至少应购买湘湘多少个？ 15．五一假期，某旅行团32人在条子泥景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人． (1)求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？ (2)因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去荷兰花海景区游玩．荷兰花海景区的门票价格40元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童． ①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？ ②若剩余经费只有330元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？ 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03 一元一次不等式（期末复习讲义） 内 容 导 航 明·期末考清 把握命题趋势，明确备考路径 记·必备知识 梳理核心脉络，扫除知识盲区 破·重难题型 题型分类突破，方法技巧精讲 题型01 不等式的概念 题型02 不等式的性质 题型03 解不等式（组） 题型04 在数轴上表示不等式（组）的解集 题型05 不等式（组）的整数解 题型06 由不等式（组）的解集求参数 题型07 由不等式（组）的解的情况求参数 题型08 不等式组与方程综合 题型09 绝对值型不等式 题型10 不等式（组）的应用 过·分层验收 阶梯实战演练，验收复习成效 核心考点 复习目标 考情规律 不等式的相关概念 能准确识别不等式、不等式的解与解集，区分解不等式与解方程的核心差异，能在数轴上正确表示不等式的解集 基础必考点，常出现在选择、填空小题，重点考查概念辨析与解集的数轴表示 不等式的基本性质 熟练掌握不等式的3条核心性质，能正确运用性质进行不等式变形，重点掌握乘除负数时不等号方向改变的规则 高频易错点，是解不等式的核心依据，常结合变形正误判断、解题步骤纠错考查 一元一次不等式的解法 掌握一元一次不等式的标准解题步骤（去分母→去括号→移项→合并同类项→系数化为1），能规范解题并检验解的正确性 核心必考点，占分比高，必考解答题，重点考查解题规范与易错点规避，是后续应用的基础 一元一次不等式组的概念与解法 能识别一元一次不等式组，掌握不等式组的解题流程，能利用数轴或口诀确定不等式组的解集，能正确判断无解的情况 高频考点，选择、填空、解答题均有考查，重点考查解集的确定与数轴表示，易忽略无解的边界情况 不等式（组）的整数解问题 能根据不等式（组）的解集，准确找出符合条件的整数解、正整数解、非负整数解等，能结合整数解的条件逆向求参数范围 高频易错点，选择填空压轴常考，易忽略边界值的取舍，是区分度较高的考点 含参数的一元一次不等式（组） 能处理含参数的不等式（组）问题，掌握分类讨论的思想，能根据解集的情况确定参数的取值范围，能结合整数解求参数的整数值 高频难点，压轴题常考，重点考查分类讨论思想与逆向思维，是拉开分差的核心考点 一元一次不等式的实际应用（基础场景） 能解决和差倍分、积分、计费等基础应用场景的不等式问题，掌握列不等式解应用题的基本流程，能准确找出题中的不等关系 基础应用必考点，解答题常考，重点考查数量关系的转换与不等关系的建立 一元一次不等式的实际应用（综合场景） 能解决行程、工程、销售利润、方案优化等综合应用场景的不等式问题，能结合一次函数、方程等知识解决综合型应用题 高频综合考点，解答题压轴常考，贴近生活实际，重点考查数学建模能力与综合应用能力 知识点01 不等式的定义 1.不等式的定义：像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 2.常见的不等式基本语言及符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 不等式基本语言 符号表示 a是正数 a＞0 a是非正数 a≤0 a、b同号 ab＞0 a是负数 a＜0 a是非负数 a≥0 a、b异号 ab＜0 知识点02 不等式的性质 （1）不等式的基本性质 ①不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变，即： 若a＞b，那么a±m＞b±m； ②不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变，即： 若a＞b，且m＞0，那么am＞bm或＞； ③不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变，即： 若a＞b，且m＜0，那么am＜bm或＜； （2）不等式的变形：①两边都加、减同一个数，具体体现为“移项”，此时不等号方向不变，但移项要变号；②两边都乘、除同一个数，要注意只有乘、除负数时，不等号方向才改变． 【规律方法】 1．应用不等式的性质应注意的问题：在不等式的两边都乘以（或除以）同一个负数时，一定要改变不等号的方向；当不等式的两边要乘以（或除以）含有字母的数时，一定要对字母是否大于0进行分类讨论． 2．不等式的传递性：若a＞b，b＞c，则a＞c． 知识点03 在数轴上表示不等式的解集 用数轴表示不等式的解集时，要注意“两定”： 一是定界点，一般在数轴上只标出原点和界点即可．定边界点时要注意，点是实心还是空心，若边界点含于解集为实心点，不含于解集即为空心点； 二是定方向，定方向的原则是：“小于向左，大于向右”． 不等式的解集 图示 说明 x>a 界点用空心圆圈,方向向右 x<a 界点用空心圆圈,方向向左 x≥a 界点用实心圆点,方向向右 x≤a 界点用实心圆点,方向向左 知识点04 解一元一次不等式（组） 根据不等式的性质解一元一次不等式 基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1． 以上步骤中，只有①去分母和⑤化系数为1可能用到性质3，即可能变不等号方向，其他都不会改变不等号方向． 注意：符号“≥”和“≤”分别比“＞”和“＜”各多了一层相等的含义，它们是不等号与等号合写形式． 解一元一次不等式组 （1）一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们所组成的不等式组的解集． （2）解不等式组：求不等式组的解集的过程叫解不等式组． （3）一元一次不等式组的解法：解一元一次不等式组时，一般先求出其中各不等式的解集，再求出这些解集的公共部分，利用数轴可以直观地表示不等式组的解集． 方法与步骤：①求不等式组中每个不等式的解集；②利用数轴求公共部分． 解集的规律：同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到． 几种常见的不等式组的解集：设，，是常数，关于的不等式组的解集的四种情况如下表所示（等号取不到时在数轴上用空心圆点表示）： 不等式组 （其中） 数轴表示 解集 口诀 同大取大 同小取小 大小、小大中间找 无解 大大、小小取不了 知识点05 一元一次不等式（组）的应用 （1）由实际问题中的不等关系列出不等式，建立解决问题的数学模型，通过解不等式可以得到实际问题的答案． （2）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系．因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． （3）列一元一次不等式解决实际问题的方法和步骤： ①弄清题中数量关系，用字母表示未知数． ②根据题中的不等关系列出不等式． ③解不等式，求出解集． ④写出符合题意的解． 题型一 不等式的概念 解｜题｜技｜巧 像4＞3，3x＜6这样用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 【典例1】与2的差是负数，用不等式表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】按照题意将文字关系转化为数学不等式即可． 【详解】解：与2的差为，负数是小于的数， ∴根据题意可得不等式 ． 【变式1】下列选项中，是不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据“用不等号连接表示不等关系的式子是不等式”即可逐一判断选项． 【详解】解：是用等号连接的等式，不符合不等式定义，A不符合要求； 没有连接不等号表示不等关系，不符合不等式定义，B不符合要求； 是用不等号连接，表示不等关系的式子，符合不等式定义，C符合要求； 是用等号连接的等式，不符合不等式定义，D不符合要求． 【变式2】下列式子中：①；②；③；④；⑤；⑥，其中是不等式的有____（填序号）． 【答案】①②⑤⑥ 【分析】不等式的概念：用不等号、、、、连接而成的式子叫做不等式，据此逐个判断式子即可． 【详解】解：∵ ①，是用不等号连接的式子，是不等式； ②，是用不等号连接的式子，是不等式； ③，是等式，不是不等式； ④ 是代数式，没有不等号连接，不是不等式； ⑤是用不等号连接的式子，是不等式； ⑥，是用不等号连接的式子，是不等式； 综上所述，是不等式的有①②⑤⑥． 题型二 不等式的性质 解｜题｜技｜巧 1.不等式的性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变； 2.不等式的性质2：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变； 3.不等式的性质3：不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 【典例1】若，则下列不等式变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可，用到的性质为：不等式两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变；不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变． 【详解】解：∵ ， 对于A选项，不等式两边同时加2，不等号方向不变，可得 ，故A错误，不符合题意． 对于B选项，不等式两边同时除以正数3，不等号方向不变，可得 ，故B错误，不符合题意． 对于C选项，不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得 ，故C错误，不符合题意． 对于D选项，不等式两边同时乘正数5，不等号方向不变，得，再两边同时减2，不等号方向不变，可得 ，故D正确，符合题意． 【变式1】已知，下列式子一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：对选项A，∵，根据不等式基本性质，不等式两边同时加同一个整式，不等号方向不变， ∴两边同时加得，故A一定成立． 对选项B，若，由可得，例如时，，故B不一定成立． 对选项C，若，由可得，例如时，，故C不一定成立． 对选项D，举反例：取，，，满足，此时，故D不一定成立． 【变式2】当时，下列不等式中，成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：A、将代入，成立，符合题意； B、将代入，原不等式不成立，不符合题意； C、将代入，原不等式不成立，不符合题意； D、将代入，原不等式不成立，不符合题意． 题型三 解不等式（组） 解｜题｜技｜巧 去分母→去括号→移项→化成ax>b（或ax<b等）的形式（其中a≠0）→两边同除以未知数的系数，得到不等式的解集（化成x>或x<的形式） 【典例1】不等式组的解集是________． 【答案】 【分析】先分别求解两个一元一次不等式，再根据一元一次不等式组的解集规律确定原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式得． 解不等式得． ∴． 【变式1】解不等式：． 【答案】 【详解】解：， 去分母得，， 移项、合并同类项得， 得． 【变式2】解不等式组：． 【答案】 【详解】解： 解不等式①得，； 解不等式②得，； 所以原不等式组的解集为． 题型四 在数轴上表示不等式（组）解集 解｜题｜技｜巧 1.边界值的表示： 不等号含 “=”（≥、≤）：边界值处画实心圆点（表示包含该点）； 不等号不含 “=”（>、<）：边界值处画空心圆圈（表示不包含该点）。 2.方向的表示： 不等号为 “>” 或 “≥”：解集在边界值的右侧（沿数轴正方向延伸）； 不等号为 “<” 或 “≤”：解集在边界值的左侧（沿数轴负方向延伸）。 【典例1】解下列不等式，并将解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 解集在数轴上表示，如图所示： (2)， 去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为1得：， 解集在数轴上表示，如图所示： 【变式1】解不等式组： 解：解不等式①，得 ； 解不等式②，得 ； 将不等式①和②的解集在数轴上表示如下： 所以，原不等式组的解集为 ． 【答案】，，， 【分析】根据解一元一次不等式组的方法即可得出不等式组的解集，后确定整数解计算即可． 【详解】解：∵ ∴解不等式①，得，解不等式②，得， 将不等式①和②的解集在数轴上表示略 故原不等式组的解集为． 【变式2】解不等式组：，并把解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【分析】先分别求解不等式组中两个一元一次不等式的解集，再根据“同大取大”得到两个解集的公共部分，即不等式组的最终解集，最后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解①得， 解②得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示如图： 题型五 不等式（组）的整数解 解｜题｜技｜巧 1.求出解集：先解不等式（或不等式组），得到完整的解集范围； 2.列出整数：在解集范围内，找出所有整数（注意边界值是否包含，需结合不等号是否含 “=”）； 3.验证：检查列出的整数是否都在解集中，避免漏解或多解。 【典例1】求下列不等式的所有正整数解： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 两边同除以得：， ∴不等式的所有正整数解； （2）解：， 移项得：， 两边同除以3得：， ∴不等式的所有正整数解． 【变式1】解不等式组：，并写出它的所有整数解． 【答案】 ；所有整数解为0，1，2，3 【分析】根据解一元一次不等式组的方法，分别求解，再根据“大大取大，小小取小、大小小大中间找、大大小小无解”得出解集，再写出所有整数解即可． 【详解】解不等式， ， ； 解不等式， ， ， ； ∴不等式组的解集为，所有整数解为0，1，2，3． 【变式2】解不等式组，将解集表示在数轴上，并求出所有整数解的和． 【答案】不等式组的解集为；； 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为； ∴所有整数解有， ∴所有整数解的和为． 数轴见答案 题型六 由不等式（组）的解集求参数 解｜题｜技｜巧 1.解含参数的不等式：将参数当作已知数，按解不等式的步骤，化为 “x> m” 或 “x < m” 的形式（m 含参数）； 2.对比已知解集：将化简后的解集与题目给出的解集对比，列等式（或不等式）求参数； 3.验证参数：求出参数后，代入原不等式，验证解集是否正确（避免因参数正负导致的错误）。 关｜键｜提｜醒 解含参数的不等式时，系数化为 1 前，必须判断参数的正负（或范围），否则无法确定不等号方向； 若化简后的解集形式与已知一致（如均为 x > m），则系数为正；若方向相反（如化简后 x <m，已知 x> n），则系数为负。 【典例1】已知是不等式的一个解，则m的值可以是（     ） A． B． C． D．0 【答案】D 【分析】根据不等式的解的定义，将已知解代入原不等式，求出m的取值范围，再对比选项得出正确结果． 【详解】解：∵是不等式的一个解． ∴将代入不等式得 ， 解得：． 四个选项中只有，符合要求． 【变式1】若不等式组的解集为，则的取值范围是______． 【答案】 【详解】解：已知不等式组的解集为， ∴， 即． 【变式2】若关于的不等式组的解集是，则的值为（   ）． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别解出不等式组中两个不等式的解集，再根据已知解集对应端点，建立关于的方程，求出的值后即可计算． 【详解】解：解不等式组， 解不等式，得：， 解不等式，得：， ∵不等式组的解集是， ∴，解得， ∴． 题型七 由不等式（组）的解的情况求参数 解｜题｜技｜巧 1.解每个含参数的不等式：分别化为 “x> a”“x < b” 的形式（a、b 含参数）； 2.根据解集情况列条件： ◦若不等式组无解：按 “大大小小找不到” 列条件（如 {x > m, x < 2} 无解，则 m ≥ 2）； ◦若不等式组有解：按 “大小小大中间找” 列条件（如 {x > 1, x < n} 有解，则 n > 1）； ◦若不等式组解集为某一范围：按 “同大取大”“同小取小” 列条件（如 {x > 3, x > k} 解集为 x > 3，则 k ≤ 3）； 3.验证边界值：参数取边界值时，需验证不等式组的解集是否符合要求（如 {x> m, x < 2}，m=2 时，解集为 {x > 2, x < 2}，无解，符合 “无解” 的条件）。 【典例1】关于的不等式组有且只有5个整数解，则常数的取值范围是______． 【答案】 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到不等式组的解集，再根据不等式组有且只有个整数解，确定出所有整数解，列出关于的不等式，求解即可得到的取值范围. 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 原不等式组的解集为：， 不等式组有且只有个整数解， 不等式组的个整数解为. ， 解得. 【变式1】若关于的不等式组无解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先解 ，再根据不等式组无解即可得出的取值范围． 【详解】解： ， ∵关于的不等式组无解， ∴． 【变式2】关于的不等式组的整数解共有个，求的取值范围是________． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集，从而确定个整数解，再求出的取值范围． 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， ∵该不等式组共有个整数解， ∴整数解为，，， ∴． 题型八 不等式组与方程的综合 【典例1】已知方程组的解满足，． (1)求的取值范围； (2)化简： ． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先把当作已知数，求出、的值，再根据，列出关于的不等式组，求出的取值范围即可； （2）由的范围，根据绝对值性质去绝对值符号即可得． 【详解】（1）解：， ，得，解得， 将代入②，得，解得． ∵，， ，解得． （2）解：∵， ∴，． ∴． 【变式1】已知方程组的解满足x为非正数，y为负数． (1)求m的取值范围； (2)化简：； (3)在m的取值范围内，当m为何整数时，关于x的不等式的解为？ 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）先利用加减消元法求出方程组的解，再根据非正数，为负数可得一个关于的一元一次不等式组，解不等式组即可； （2）先得出，，再化简绝对值，计算整式的加减即可； （3）得出，进而可得的取值范围，由此即可得． 【详解】（1）解：， 由②①得：， 将代入①得：，解得， ∵这个方程组的解满足非正数，为负数， ∴， 解得． （2）解：由（1）已得：， ∴，， ∴ ． （3）解：∵关于的不等式的解为， ∴， 解得， 又由（1）已得：， ∴， ∴的整数值为． 【变式2】已知关于，的二元一次方程组． (1)若，求的取值范围； (2)在（1）中所求出的的取值范围条件下，当超过时，可得，求整数的值． 【答案】(1) (2)1，2 【分析】（1）把m看作已知数表示出x与y，代入已知不等式计算即可求出m的范围； （2）先列不等式并整理得，得，故可得，结合得，从而可求出满足条件的整数的值． 【详解】（1）解：， 得，， 解得： 把代入②得：， ∵， ∴， 解得：； （2）解：由题意得：， 整理得：， ∵不等式可得到， ∴， ∴， 又由（1）知：， ∴， ∴满足条件的整数的值为：1，2． 题型九 绝对值型不等式 【典例1】若，则x的取值范围_______． 【答案】 【分析】根据绝对值的性质将原不等式转化为连写形式的一元一次不等式，再通过不等式性质计算即可得到结果． 【详解】解：， ， ， 即． 【变式1】请阅读求绝对值不等式和的解集的过程： 因为，从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数的绝对值是小于3的，所以的解集是； 因为，从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数的绝对值是大于3的，所以的解集是或． 解答下面的问题： (1)不等式的解集为_____；的解集为_____． (2)解不等式； (3)解不等式 【答案】(1)；或 (2) (3)或 【分析】（1）根据给出的示例，得出解集即可； （2）根据示例得出，求解即可； （3）根据示例得出或，求解即可 【详解】（1）解：根据题意得，不等式的解集为； 的解集为或； （2）解：根据题意得，不等式的解集为， 解得； （3）解：根据题意得，不等式的解集为或， 解得或； 【变式2】阅读：我们知道，于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，不等式的解集是____________． 【答案】 【分析】仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集 【详解】解：， 当时，， ∴，解得， ∴； 当时，， ∴，解得， ∴， ∴原不等式的解集为． 题型十 不等式（组）的应用 【典例1】为推进校园“零碳”建设，学校计划采购太阳能路灯和风能指示牌共套．其中太阳能路灯的单价为元套，风能指示牌的单价为元套．若采购总费用不超过元，则最多可采购太阳能路灯多少套？ 【答案】最多可采购太阳能路灯套 【分析】设学校采购太阳能路灯套，则风能指示牌套，根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果． 【详解】解：设学校采购太阳能路灯套，由题意得 解得 ∵为整数， ∴x的最大整数值为17， 答：最多可采购太阳能路灯套． 【变式1】广州市海心沙亚运公园经常有一些小商贩向游客售卖“小蛮腰”纪念品，纪念品有大小两种类型，（分别记为A型、B型）． (1)年国庆当天，明明与妹妹慧慧也在海心沙售卖“小蛮腰”纪念品，兄妹俩一天卖出两种型号的“小蛮腰”共个，售价A型每个元，B型每个元，销售额正好元，求A、B两种型号各卖出多少个？ (2)两种类型的“小蛮腰”纪念品批发价分别为元/个、元/个．国庆假最后一天，明明和慧慧拿元去进货，在售价与（1）相同的情况下，若要使当天利润不低于元，A型最多进多少个？ 【答案】(1)A型卖出90个，B型卖出80个． (2)A型最多进30个． 【分析】（1）根据两种纪念品的总数量和总销售额两个等量关系，列二元一次方程组求解即可； （2）根据进货总资金不超过1000元，利润不低于800元列出不等式，求解得到A型进货数量的最大值． 【详解】（1）解：设A型卖出个，B型卖出个， 根据题意可得， 解得， 答：A型卖出90个，B型卖出80个； （2）解：设A型进个，B型进个， 根据题意，A型每个利润为（元），B型每个利润为（元）， 可得不等式组， 由第一个不等式整理得， 由第二个不等式整理得， 因此， 解得， 答：A型最多进30个． 【变式2】珍惜水资源，保护水环境，防止水污染，为扩大污水处理规模，某污水处理厂计划投入一笔资金购进A、B两种污水处理装备，已知购进件A种装备和件B种装备共需万元，购进件A种装备和件B种装备共需万元． (1)求购进件A种装备和件B种装备各需多少万元？ (2)若该污水处理厂计划购进A、B两种装备共件，且投入资金不少于万元又不超过11万元，则有哪几种购买方案？哪种购买方案需要的资金最少，最少资金是多少？ (3)在（2）的方案下，由于国家对环保事业的扶持力度加大，每件A种装备降价万元，每件B种装备降价万元，在投入资金最少的情况下，该污水处理厂计划将节省的资金全部用于再次购买A、B两种装备（可以只购买一种）请求出再次购买装备的方案有哪几种？ 【答案】(1)购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元 (2)共有3种购买方案： 方案1：购进A种装备4件，B种装备6件； 方案2：购进A种装备5件，B种装备5件； 方案3：购进A种装备6件，B种装备4件 购进A种装备4件，B种装备6件需要的资金最少，最少资金为万元 (3)再次购买共有3种方案：方案1：购买A种装备0件，B种装备21件； 方案2：购买A种装备2件，B种装备12件； 方案3：购买A种装备4件，B种装备3件 【分析】（1）设购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元，根据题意列出二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设购进A种装备件，则购买B种装备件，根据题意列出一元一次不等式组并求解，结合的取值范围，即可确定答案； （3）由（2）可知，投入资金最少的方案是购进A种装备4件，B种装备6件，进而计算出节省的资金总额；设再次购买A种装备件，B种装备件，根据题意列出二元一次方程并整理，结合为非负整数，即可确定再次购买方案． 【详解】（1）解：设购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元， 根据题意，可得，解得， 答：购进1件A种装备需万元，购进1件B种装备需万元； （2）设购进A种装备件，则购买B种装备件， 根据题意，可得， 解得， ∵a是正整数， ∴共有3种购买方案： 方案1：购进A种装备4件，B种装备6件，总费用为万元； 方案2：购进A种装备5件，B种装备5件，总费用为万元； 方案3：购进A种装备6件，B种装备4件，总费用为万元． ∴方案1，购进A种装备4件，B种装备6件需要的资金最少，最少资金为万元． （3）由（2）可知，投入资金最少的方案是购进A种装备4件，B种装备6件， ∴节省的总资金为：（万元）， 降价后，每件A种装备价格为万元，每件B种装备价格为万元， 设再次购买A种装备件，B种装备件，其中为非负整数， 根据题意得， 整理得，即， 由，可得，即， 当时，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，不是整数，不符合要求； 当时，，符合要求； 当时，，不符合要求， ∴共有3种再次购买方案： 方案1：购买A种装备0件，B种装备21件； 方案2：购买A种装备2件，B种装备12件； 方案3：购买A种装备4件，B种装备3件． 期中基础通关练（测试时间：10分钟） 1．已知，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式性质逐一判断选项即可． 【详解】解：A．不等式两边同时减1，不等号方向不变，可得 ，故A错误； B．不等式两边同时乘正数3，不等号方向不变，可得 ，故B错误； C．不等式两边同时乘负数，不等号方向改变，可得 ，故C正确； D．取反例 ，满足 ，此时 ，得 ，故D错误． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：， 去分母，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 在数轴上表示为： 3．某游乐园的过山车项目要求游客身高不低于才能乘坐，用（单位：）表示游客的身高，该项目要求游客的身高应满足的不等关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查将文字描述的不等关系转化为数学不等式，解题关键是准确理解“不低于”的含义，由此解题即可． 【详解】解：∵“不低于”表示大于或等于， ∴游客身高满足的不等关系为， 故选B． 4．若是关于的一元一次不等式，则m的值不可以为（     ） A．1 B． C．2 D．0 【答案】A 【分析】根据一元一次不等式的定义，未知数的系数不能为0，据此得到的取值要求，即可选出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴的系数不能为，即， 解得：， 因此的值不可以为． 5．解不等式：． 【答案】 【分析】利用不等式的性质，将不等式逐步化为或的形式，即可求解． 【详解】解：去分母，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得． 6．解不等式：．并将解集在数轴上表示出来． 【答案】， 【详解】解：移项得， 合并同类项得，， 系数化为1得，， 在数轴上表示如下： ． 7．试求不等式组的所有整数解． 【答案】，，，，，，， 【分析】分别求出两个不等式的解集，取公共范围后从中找出全部整数． 【详解】解：已知不等式组， 解可得， 解可得， 则不等式组的解集为， 故该不等式组的所有整数解为，，，，，，，． 期中重难突破练（测试时间：10分钟） 8．本学期学校打算以知识竞赛的方式评选 “鹿鸣之星”．本次竞赛共有50道题，规定每答对一题得3分，答错或不答均扣2分．若得分不低于120分的均可获奖，问至少要答对多少道题才能获奖？设答对x道题，则有（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分别表示出答对得分和扣分数，再结合获奖的得分要求列出不等式即可． 【详解】解：设答对道题，则答错或不答的题数为道，根据题意得： ． 9．若不等式组有解，则整数的值可以是（     ） A． B． C．0 D．3 【答案】A 【分析】先求解不等式组中第二个不等式，再根据不等式组有解的条件得到a的取值范围，最后结合选项判断正确结果． 【详解】解：由不等式可得：， ∵不等式组有解， ∴， 根据选项只有符合题意． 10．若关于的不等式组无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先分别解出两个不等式的解集，再根据不等式组解集的规律，列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①，得 ， 解不等式②，得， 不等式组无解，即两个不等式的解集没有公共部分 ， ， 解得． 11．已知关于x的不等式的解集是，则a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次不等式的基本性质，解题思路是根据不等号方向的变化判断系数的正负，进而求解的取值范围． 【详解】解：由题意可知原不等式为 ， ∵ 不等式 的解集为 ，不等号方向发生改变， ∴ 根据不等式的性质，不等式两边除以负数时不等号方向改变，可得 ， 解得 ． 12．已知关于的不等式组．解答下列问题： (1)解不等式①，得_____； 解不等式②，得_____；（用含的代数式表示） (2)如果该不等式组的解集如图所示，求的值； (3)若该不等式组恰有两个整数解，请直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】（）解两个一元一次不等式，得到各自解集； （）结合数轴解集与含参数解集，列方程求； （）根据整数解个数，列不等式求的范围． 【详解】（1）解：解不等式①，得， 移项得：， 即：， 解得：； 解不等式②，得， 移项得：， 两边同除以，得； （2）解：由数轴可得，不等式组的解集为， 结合（）的结论，不等式组解集为， ∴， 解得：． （3）解：不等式组的解集为， 大于的连续整数从小到大依次为：， 若不等式组恰有两个整数解，则这两个整数为、， ∴， 解得：． 13．求满足不等式组的正整数解． 【答案】1，2，3 【分析】先求得不等式组的解集，再确定正整数解即可． 【详解】解：解不等式得，， 解不等式得，， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的正整数解有1，2，3． 14．年，“湘”超湘味、“湘”当韵味的首届湖南省足球联赛（简称“湘超联赛”）席卷三湘大地，赛场外以红嘴相思鸟和超级稻为原型的湘超联赛吉祥物“湘湘”和“超超”玩偶深受喜爱、购买某商家生产的吉祥物玩偶时，买个湘湘比买个超超多用元，买个湘湘和个超超共用元． (1)湘湘和超超的单价分别是多少元？ (2)某公益组织决定购买湘湘和超超共个送给学生做纪念品，总费用不超过元，则至少应购买湘湘多少个？ 【答案】(1)湘湘的单价为元，超超的单价为元 (2)至少应购买湘湘个 【分析】（1）湘湘的单价为元，超超的单价为元，根据题意列出方程组，并求解即可； （2）设购买湘湘个，则购买超超个，根据题意列出不等式，求解出的范围，从而确定最小值． 【详解】（1）解：湘湘的单价为元，超超的单价为元， 根据题意可得： ， 解得． 答：湘湘的单价为元，超超的单价为元； （2）解：设购买湘湘个，则购买超超个， 根据题意可得：， 解得， ∴的最小值为． 答：至少应购买湘湘个． 15．五一假期，某旅行团32人在条子泥景区游玩，他们由成人和儿童组成．已知成人比儿童多12人． (1)求该旅行团中成人与儿童分别是多少人？ (2)因时间充裕，该团准备让部分成人带领全部儿童去荷兰花海景区游玩．荷兰花海景区的门票价格40元/张，成人全票，儿童5折，一名成人可以免费携带一名儿童．并且为安全起见，一个成人最多监护两个儿童． ①若由成人8人带队，则所需门票的总费用是多少元？ ②若剩余经费只有330元可用于购票，在不超额的前提下，可以安排多少成人带队？ 【答案】(1)成人22人，儿童10人 (2)元；可以安排或名成人带队 【分析】（1）已知总人数32人，成人比儿童多12人，可设儿童人数为未知数，利用人数和、人数差列一元一次方程求解； （2）①8名成人每人免费携带1名儿童，共免费8名儿童；剩余儿童需要购买儿童票，总费用成人票总价剩余儿童票总价； ②设安排名成人带队，先确定需要购票的儿童数量：名成人免费带走名儿童，剩余名儿童买儿童票；同时约束条件：成人最多监护名儿童，即；总费用成人票费用剩余儿童票费用，联立不等式求解的最大整数． 【详解】（1）解：设儿童有人，则成人有人， 根据总人数为32，列方程： ， 解得：， 成人人数：（人）， 故成人22人，儿童10人． （2）解：①成人票费用：元， 免费儿童数量：8名， 需要购票的儿童数量：名， 儿童票单价：元， 儿童票费用：元， 总费用：元； ②设安排名成人带队， 每名成人最多监护名儿童，总儿童人， ， 解得：， 成人票总价：元， 免费儿童：人，需购票儿童：人， 儿童票总价：元， 总费用不等式：， 解得：， 结合监护约束，且为成人人数（正整数）， 则可取、， 可以安排或名成人带队． 1 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $