专题04与三角形有关的边和角期末复习讲义(29大题型+知识梳理+题型突破+压轴题型)2025-2026学年华东师大版七年级数学下册

专题04与三角形有关的边和角期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握三角形的定义、分类（按边、按角），熟悉三角形基本要素。 2.熟练掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否组成三角形、求边长取值范围。 3.理解并熟记三角形内角和定理、外角性质，掌握内外角基本模型。 4.掌握三角形高、中线、角平分线的定义与基本性质，理解重心概念。 1.能利用三边关系解决线段取值、边长判断等计算问题。 2.能熟练运用内角和、外角性质进行角度计算与角度推理。 3.具备识图能力，能在复杂图形中快速定位三角形、识别边角关系。 4.初步形成几何推理思维，规范书写简单几何推理步骤。 1.吃透选择填空高频考点：三角形分类、三边判断、内外角计算。 2.熟练掌握边长取值范围、角度计算基础题型，做到零失误。 3.掌握三角形中线、高线、角平分线相关基础计算题。 4.熟练解决内外角综合题型、折叠模型、几何简单推理大题，规范答题不扣分。 题型01.三角形的识别与概念 题型02.三角形的个数问题 题型03.画三角形的高 题型04.与三角形高有关的计算 题型05.利用网格求三角形面积 题型06.由三角形中线求长度 题型07.由三角形中线求面积 题型08.三角形角平分线的定义 题型09.三角形内角和定理的证明 题型10.与平行线有关的内角和问题 题型11.与角平分线有关的内角和问题 题型12.三角形折叠中的角度问题 题型13.三角形内角和定理的应用 题型14.直角三角形的两个锐角互余 题型15.两锐角互余判定直角三角形 题型16.三角形的外角定义及性质 题型17.构成三角形的条件 题型18.确定第三边的取值范围 题型19.三角形三边关系的应用 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1. 定义 由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 2.三要素：顶点、边、内角。 3.三角形分类（表格汇总） 重点强调：等边三角形属于等腰三角形（学生高频判断题易错） 知识点02:三角形三边关系（期末超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。 a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点04:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 知识点05:三角形外角 定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角。 数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 知识点06:全章高频易错清单（教师课堂必强调） 1.判断三角形三边时不检验最长边； 2.求第三边范围忘记写双向不等关系； 3.钝角三角形高的位置判断错误（误以为都在内部）； 4.混淆中线、高、角平分线性质，误以为都平分角度或面积； 5.外角计算错用相邻内角，不会用 “不相邻两角和”； 6.等腰三角形不分类、不检验三边关系直接扣分。 题型01.三角形的识别与概念 1．如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 2．在中，若，则，其依据是___________． 3．如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 题型02.三角形的个数问题 4．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 5．如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出________个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是________． 6．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型03.画三角形的高 7．如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 8．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 9．如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 题型04.与三角形高有关的计算 10．如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 11．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 12．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 题型05.利用网格求三角形面积. 13．如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为________．    14．如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 16．如图方格纸中，每个小正方形的边长均为，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 题型06.由三角形中线求长度 17．如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 18．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 19．如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 题型07.由三角形中线求面积 20．如图，中，为上的一点，且，则为（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 21．如图，在中，已知点、分别为边、上的中点，且，则的值为_______ ． 22．如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 23．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 题型08.三角形角平分线的定义 24．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则__________________，若，则__________________度． 25．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 26．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 27．如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 题型09.三角形内角和定理的证明 28．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    29．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 30．如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 题型10.与平行线有关的内角和问题 31．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 32．如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 33．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 34．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 题型11.与角平分线有关的内角和问题 35．如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 36．如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 37．如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 38．如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 题型12.三角形折叠中的角度问题. 39．如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为_____． 40．在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 41．将五边形纸片按如图所示的方式折叠，折痕为，点E，D分别落在点处．若，则等于（    ） A． B． C． D． 42．【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 题型13.三角形内角和定理的应用 43．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 44．如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 45．如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 46．阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； (3)如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 题型14.直角三角形的两个锐角互余 47．在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 48．如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则______． 49．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 50．如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在DA的延长线上，”，，，请用含，的代数式表示． 题型15.两锐角互余判定直角三角形 51．在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 52．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 53．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 题型16.三角形的外角定义及性质 54．如图，为的外角，已知，，则_____________． 55．如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 56．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 题型17.构成三角形的条件 57．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 58．在长度分别为3，5，7，9的四条线段中任取三条，可构成_______个不同的三角形． 59．、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 60．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 题型18.确定第三边的取值范围 61．在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 62．已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 63．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 64．如下图，在中，，． (1)求的取值范围； (2)若，点，分别在，的延长线上，，，求的度数． 题型19.三角形三边关系的应用 65．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 66．已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 67．已知三角形三边的长分别为，且均为整数，若，，则满足条件的不同形状的三角形的个数是（   ） A． B． C． D． E． 68．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题04与三角形有关的边和角期末复习讲义 知识目标 能力目标 应试目标 1.掌握三角形的定义、分类（按边、按角），熟悉三角形基本要素。 2.熟练掌握三角形三边关系，能判断三条线段能否组成三角形、求边长取值范围。 3.理解并熟记三角形内角和定理、外角性质，掌握内外角基本模型。 4.掌握三角形高、中线、角平分线的定义与基本性质，理解重心概念。 1.能利用三边关系解决线段取值、边长判断等计算问题。 2.能熟练运用内角和、外角性质进行角度计算与角度推理。 3.具备识图能力，能在复杂图形中快速定位三角形、识别边角关系。 4.初步形成几何推理思维，规范书写简单几何推理步骤。 1.吃透选择填空高频考点：三角形分类、三边判断、内外角计算。 2.熟练掌握边长取值范围、角度计算基础题型，做到零失误。 3.掌握三角形中线、高线、角平分线相关基础计算题。 4.熟练解决内外角综合题型、折叠模型、几何简单推理大题，规范答题不扣分。 题型01.三角形的识别与概念 题型02.三角形的个数问题 题型03.画三角形的高 题型04.与三角形高有关的计算 题型05.利用网格求三角形面积 题型06.由三角形中线求长度 题型07.由三角形中线求面积 题型08.三角形角平分线的定义 题型09.三角形内角和定理的证明 题型10.与平行线有关的内角和问题 题型11.与角平分线有关的内角和问题 题型12.三角形折叠中的角度问题 题型13.三角形内角和定理的应用 题型14.直角三角形的两个锐角互余 题型15.两锐角互余判定直角三角形 题型16.三角形的外角定义及性质 题型17.构成三角形的条件 题型18.确定第三边的取值范围 题型19.三角形三边关系的应用 知识点01:三角形基本概念与分类（基础必背） 1. 定义 由三条不在同一直线上的线段首尾顺次相接组成的封闭图形叫做三角形。 2.三要素：顶点、边、内角。 3.三角形分类（表格汇总） 重点强调：等边三角形属于等腰三角形（学生高频判断题易错） 知识点02:三角形三边关系（期末超级重点） · 定理：三角形任意两边之和 大于 第三边。 a+b>c,a+c>b,b+c>a) · 推论：任意两边之差 小于 第三边。 |a-b|<c 高频易错点 1.必须同时满足两边和、两边差； 2.周长取值范围考题必考； 3.等腰三角形边长需分类讨论，并检验三边关系。 知识点03:三角形的重要线段定义整理 三角形的高线：从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点与垂足之间的线段； 三角形的中线：联结三角形一个顶点与对边中点的线段； 三角形的角平分线：三角形的一个内角的角平分线与对边相交于一点，顶点与交点之间的线段； “三线的交点”一个三角形有3条中线.3条角平分线.3条高 知识点04:三角形内角和定理 1. 定理内容 三角形的三个内角的和等于 180°。∠A+∠B+∠C=180∘ 2. 证明思路（重点） (1)过三角形的一个顶点作对边的平行线； (2)利用两直线平行，内错角相等，把三个内角转化为一个平角； (3)平角 = 180°，从而证明内角和为 180°。 ∵ EF∥BC（已知）， ∴ ∠EAB = ∠B（两直线平行，内错角相等）， ∠FAC = ∠C（两直线平行，内错角相等）。 又∵ ∠EAB + ∠BAC + ∠FAC = 180°（平角的定义）， ∴ ∠B + ∠BAC + ∠C = 180°（等量代换）。 即三角形三个内角的和等于 180°。 知识点05:三角形外角 定义：三角形的一条边与另一条边的反向延长线所组成的角。 数量：每个顶点可作 2 个外角，整图共 6 个外角，同顶点的两个外角相等；日常解题一般取每个顶点 1 个外角，共 3 个。 关系：外角和它相邻的内角互为邻补角，二者相加等于180。 知识点06:全章高频易错清单（教师课堂必强调） 1.判断三角形三边时不检验最长边； 2.求第三边范围忘记写双向不等关系； 3.钝角三角形高的位置判断错误（误以为都在内部）； 4.混淆中线、高、角平分线性质，误以为都平分角度或面积； 5.外角计算错用相邻内角，不会用 “不相邻两角和”； 6.等腰三角形不分类、不检验三边关系直接扣分。 题型01.三角形的识别与概念 1．如图，在中，顶点C所对的边是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的识别与有关概念，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据三角形的识别与有关概念求解． 【详解】解：在中，顶点C所对的边是， 故选：B． 2．在中，若，则，其依据是___________． 【答案】 在同一个三角形中，大角对大边 【详解】解：在中，边所对的内角为，边所对的内角为，由可推出，其依据是三角形的边角基本性质，即在同一个三角形中，大角对大边， 故答案为：在同一个三角形中，大角对大边． 3．如图，在中，点是上的一点，点是上的一点，若，点是的五等分点，若的面积是，则的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积问题，三角形面积与底和高的关系，利用等高的两个三角形，其面积比等于底边的比，即可求出的面积，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】∵与等高，， ∴， ∵与等高，点是的五等分点， ∴， 故选：． 题型02.三角形的个数问题 4．如图中三角形的个数是（　　） A．4 B．6 C．9 D．5 【答案】D 【分析】本题考查三角形的概念．三角形是由三条线段顺次首尾相连，组成的一个闭合的平面图形；观察所给图形，先数出单个的三角形，再数出组成的三角形，然后求和可得答案． 【详解】解：图中的单个三角形有，，，共3个， 由2个三角形组成的三角形有，共1个， 由3个三角形组成的三角形有，共1个， 所以共有（个）三角形． 故选：D． 5．如图，中，线段，点A到射线的距离是2，在射线上取一点E，连接，设的长为d． ①当时，能作出________个； ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是________． 【答案】 2/两 或 【分析】此题考查了点到直线的距离、三角形的定义等知识．根据垂线段最短进行解答即可． 【详解】解：①∵点A到射线的距离是2，设的长为d． ∴当时，， ∴能作出2个； 故答案为：2 ②若只能作出唯一的一个，d的长取值范围是或， 故答案为：或 6．如图，中，，D是延长线上一点，于F，交于E，图中有（    ）个直角三角形． A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【分析】根据垂直的定义找出图中的直角，进而确定直角三角形的个数． 【详解】解：， 是直角三角形， 是延长线上一点， ， 是直角三角形， ， ， 和都是直角三角形， 综上所述，图中的直角三角形有、、、，共个． 题型03.画三角形的高 7．如图，老师将直角三角尺的一条直角边摆放在的边上，另一条直角边经过顶点C，则是的（   ） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．中位线 【答案】B 【详解】解：根据题意得：， ∴是的高线． 8．在正方形网格中，每个小正方形的顶点称为格点．以下图形均在正方形网格中，且各点均在格点上，则线段是的边上的高的是（    ） A．B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查三角形的高，中线以及等腰三角形的性质，正确判断垂直关系即可． 【详解】解：A、，，所以线段不是的边上的高； B、，，则，所以线段是的边上的高； C、，，所以线段不是的边上的高； D、与不垂直，所以线段不是的边上的高； 故选：B． 9．如图，已知在直角三角形中，． (1)作出的高和中线； (2)求的面积； 【答案】(1)见解析 (2)12 【分析】本题考查了作三角形的中线和高线，以及三角形的面积计算，清楚三角形的中线可以等分面积是解题的关键．（1）根据三角形的中线和高线的概念作出图形即可；（2）先求出的面积，然后根据是的中线，可以等分面积，即可获解． 【详解】（1）解：如图，高和中线即为所求； （2）解：的面积为， 是的中线， 的面积为． 题型04.与三角形高有关的计算 10．如图，，则点到的距离为（   ） A． B．4 C． D．6 【答案】C 【分析】利用直角三角形的两种面积表示方法，通过列等式求出点到的距离． 【详解】解：设点到的距离为 ， ． ， ． ． ． 11．如图，中，，P是上任意一点，于点E，于点F，若，则________． 【答案】 【分析】根据题意得到，由此即可求解． 【详解】解：如图所示，连接， ∵， ∴， ∴， ∴． 12．综合探究 (1)如图1，在中，，则的长为_____． (2)如图2，在中，，，，为的高，试分析，的数量关系． (3)如图3，在中，，点，分别在边，上，且，，垂足分别为．若，求的值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2) (3)m 【分析】本题属于几何变换综合题，考查了三角形的面积，解题的关键是学会利用面积法解决问题，属于中考常考题型． （1）利用面积法求出即可． （2）利用面积法求出高与的比即可． （3）利用面积法求出，可得结论． 【详解】（1）解：在中，， ， ； （2）解：， ， ， ； （3）解：，，， ， ， 又， ， 即． 题型05.利用网格求三角形面积. 13．如图，三角形ABC三个顶点的坐标分别为，，，则三角形ABC的面积为________．    【答案】10 【解析】略 14．如图中每个小方格的面积都是1平方厘米，阴影部分的面积是________． 【答案】5.5平方厘米 【分析】本题主要考查了三角形的面积，根据提题意得图中每个小方格的边长都是1厘米，先求出，，，，，，由此即可得出阴影部分的面积． 【详解】解：如图所示， ∵图中每个小方格的面积都是1平方厘米， ∴图中每个小方格的边长都是1厘米， ∴，，，，，， ∴（平方厘米）． 故答案为：5.5平方厘米． 15．如图，方格纸中每个小正方形的边长都为1，则图中阴影部分的面积是（    ） A．16 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了利用网格求三角形面积，找出网格中图形的面积关系是解题关键．根据图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积求解即可得． 【详解】解：因为图中阴影部分的面积等于大正方形的面积减去四个小直角三角形的面积， 所以图中阴影部分的面积是， 故选：B． 16．如图方格纸中，每个小正方形的边长均为，点，点，点在小正方形的顶点上． (1)画出中边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为______． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查了三角形高，中线的作法，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）结合网格信息，连接的网格对角线交于点，即可作出上的高； （2）结合网格信息，根据中点的定义可得点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式的求法，结合网格信息和为边上的中线，即可得到答案． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， （3）解：， ∵为边上的中线， ∴， 故答案为：． 题型06.由三角形中线求长度 17．如图，已知分别是的中线，，，的周长为，则的周长为_______，若，则________． 【答案】 30 4 【分析】本题主要考查三角形的中线，熟练掌握三角形的中线是解题的关键；由题意易得，然后可得，进而根据三角形的周长可进行求的周长，最后根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分进行求解即可． 【详解】解：∵是的中线， ∴， ∵，的周长为， ∴， ∵， ∴的周长为； ∵分别是、的中线，， ∴，； 故答案为30；4． 18．已知是的中线，若与的周长分别是和，的周长是，则的长为______． 【答案】 【分析】根据三角形中线的定义可得，分别列出三个三角形的周长等式，整理变形即可求出的长． 【详解】解：根据题意得：， 由，得， ∵是的中线， ∴． ∴． 又∵， ∴，解得． 19．如图，在中,是边上的中线,周长比周长多的周长L为长为，求和的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中线的性质及周长的计算，解题的关键是利用中线得出，再结合周长差得到与的关系． 根据三角形中线的定义，，所以和的周长之差也就是与的差，然后列出二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：由三角形中线可知，， ∴， 即①， ∵的周长L为长为， ∴，即②， ①②得， 解得， ②①得， 解得． 题型07.由三角形中线求面积 20．如图，中，为上的一点，且，则为（   ） A．高 B．角平分线 C．中线 D．不能确定 【答案】C 【分析】设点到边上的高为，根据三角形的面积公式，结合，可得，得，即可选出答案． 【详解】解：设点到边上的高为， ， ， ， 则为中线． 21．如图，在中，已知点、分别为边、上的中点，且，则的值为_______ ． 【答案】 【分析】三角形的中线将三角形分成两个面积相等的部分，据此求解即可． 【详解】解：∵是的中点，即是的中线， ∴， ∵是中点，即是的中线，是的中线， ∴，， ∴． 22．如图，在中，已知D，E，F分别是边的中点，且阴影部分图形的面积为6，则的面积为（    ） A．12 B．16 C．18 D．24 【答案】D 【分析】本题主要考查了与中线有关的三角形面积的计算，利用三角形中线将三角形面积进行转化是解题的关键． 由点F是的中点可得，由点E是的中点可得，，从而得到，再由，进而求得的面积． 【详解】解：∵点F是的中点， ∴， ∵点E是的中点， ∴，， ， ∵， ． 故选：D． 23．如图中，是边的中线，是上的一点，分别是的中点，若的面积等于36，求阴影部分的面积． 【答案】9 【分析】连接，根据中线的意义可得，，，再根据阴影部分的面积为求解即可． 【详解】解：连接， ∵是边的中线，的面积等于36， ∴， ∴等底同高， ∴， 同理，， ∵分别是的中点， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 题型08.三角形角平分线的定义 24．如图，在中，是角平分线，是中线，若，则__________________，若，则__________________度． 【答案】 12 36 【分析】本题考查了三角形的角平分线和中线，掌握相关定义是解题关键．根据三角形中线将线段分成相等的两部分，可求出的长，根据角平分线将角分成相等的两个角，可求出的度数． 【详解】解：∵是中线，， ∴， ∴， ∵是角平分线，， ∴， ∴， 答案：12，36． 25．已知中是角平分线，是边上的高线，，，则的度数为________． 【答案】或 【分析】本题考查的是三角形的角平分线，三角形高的含义，根据三角形的高的位置分别画图，再结合图形解答即可． 【详解】解：如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴， 如图，，， ∴， ∵是角平分线，    ∴； 综上：为或； 故答案为：或； 26．如图，直线分别交于点B，D，连接，若平分，，若，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质等知识．熟练掌握对顶角相等，角平分线，平行线的判定与性质是解题的关键． 由题意知，，由平分，可得，由，可证，则，，根据，计算求解即可． 【详解】解：由题意知，， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 27．如图，在中，是的角平分线，交于点，交于点．求证：平分． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的性质，根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可得，即可得出，进而根据平行线的性质可得，即可得出，即平分． 【详解】证明：∵是的角平分线， ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴平分． 题型09.三角形内角和定理的证明 28．如图，折叠一张三角形纸片，把三角形三个角拼在一起，就能验证一个几何定理．请写出这个定理的名称：__________．    【答案】三角形内角和定理 【分析】根据折叠前后的两个角相等，把三角形的三个角转化为一个平角，可以得到三角形内角和定理． 【详解】解：根据折叠的性质，，      ∵， ∴， ∴定理为：三角形内角和定理． 故答案为：三角形内角和定理． 【点睛】本题主要考查了三角形的内角和定理的证明，熟练掌握翻折变换的性质是解题的关键． 29．如图，将一副三角板的直角顶点重合，且使，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平行线的性质，有同位角相等，即 ，进而求出 ，根据三角形内角和定理即可求出． 【详解】如图： 故答案选A 【点睛】本题考查平行线的性质、两角互补与三角形内角和定理，找到为关键． 30．如图，，，分别平分和． (1)求证：； (2)求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定及性质，角平分线定义，三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定及性质是解题的关键． （1）根据角平分线定义得，进而即可得证； （2）由，得，进而结合角平分线得，，再根据，即可求得，即可得证． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， ∴； （2）证明：∵， ∴， ∴，， ∵分别平分和 ∴，， ∵， ∴， ∴． 题型10.与平行线有关的内角和问题 31．如图，直线，于点D，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补，得出的度数，再根据三角形的内角和为180度，即可解答． 【详解】解：∵直线，， ∴， ∵， ∴， ∴． 32．如图，在三角形中，点D，H，E分别是边，，上的点，连接，，F为上一点，连接，若，，．则的度数为__________． 【答案】 【分析】由，，得到，根据平行线的判定，得到，根据平行线的性质，得到，根据三角形内角和定理，求出的度数，即可求解， 本题考查了，平行线的性质与判定，三角形内角和定理，解题的关键是：熟练掌握相关性质定理． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 33．如图，中，，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落到点处，若，则的度数为（    ） A． B．110° C．80° D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的内角和，折叠的性质，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．根据三角形的内角和得到，由折叠的性质得到，，，根据平行线的性质得到，根据三角形的内角和即可得到结论． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得，，，， ， ， ， ， 故选：B． 34．已知：如图，，直线分别交、于点、，的平分线与的平分线相交于点，求的度数． 【答案】． 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义，由，可知与互补，由角平分线的定义可得，由三角形内角和定理可得，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵的平分线与的平分线相交于点， ∴，， ∴， ∵， ∴． 题型11.与角平分线有关的内角和问题 35．如图，在中，是的角平分线，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据三角形内角和定理得到，根据角平分线的定义可知的度数． 【详解】解：∵， ∴， ∵是的角平分线， ∴． 36．如图，在中，平分，为线段上一点，过点作，若，，则______°． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理得出，确定，得出，再由三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 37．如图，，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．则下列结论错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据相关知识逐项判断即可． 【详解】解：，， ，， ， 又， ， ， ， ，故正确； ，，而， ， 即，故正确； ， ， ∴， ， 若， 则需， 设， 即需， 则， 即只有当时，B结论成立．但题目没有此条件，故错误； ， ． 和的平分线交于点， ． ， ， ， ，故正确． 故选：． 【点睛】 38．如图1、2、3所示，在中，与的平分线相交于点． (1)如图1 所示，若，，则的度数为 ． (2)如图1 所示，如果，求的度数； (3)如图2 所示，作外角， 的平分线交于点 ，试探索， 之间的数量关系； (4)如图3所示，延长线段，交于点，在中，存在一个内角等于另一个内角的 3 倍，请写出的度数． 【答案】(1) (2) (3) (4)或或或 【分析】（1）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （2）根据已知条件和角平分线的性质，把和用和表示出来，再利用表示出来，最后利用三角形内角和定理进行代换即可； （3）根据已知条件和角平分线的性质，求出和，再利用三角形内角和定理进行计算； （4）根据已知条件求出的度数，然后由（3）求出的，利用三角形内角和求出，再分4种情况讨论，求出的度数． 【详解】（1）解：分别是和的角平分线，， ， ， ； （2）解：分别是和的角平分线， ， ， ； （3）解：分别是的角平分线， ，， ， ，， ， ， ， ； （4）解：是的角平分线，是的角平分线， ， ， ， ， 由（3）知， ， ， ∵在中，存在一个内角等于另一个内角的3倍，， 都是锐角， ∴分四种情况讨论： ①， ， ， ； ②， ， ； ③， ， ， ， ④， ， 解之得：， 综上可知：的度数为或或或． 题型12.三角形折叠中的角度问题. 39．如图，在中，，，为边上一点，将沿直线翻折后，点落到点处．若，则的度数为_____． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，三角形外角的性质．由折叠的性质可得，由可得，由三角形外角性质可得，即可求解． 【详解】解：折叠的性质可得， ∵， ∴， ∵为的外角， ∴， 故答案为：． 40．在等腰中，，将按如图方式折叠，点均落在边上的点处，线段为折痕．若，则的度数为___________． 【答案】85 【分析】由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理和平角的定义可推出． 【详解】解：由折叠的性质可得， ∵，， ∴． 41．将五边形纸片按如图所示的方式折叠，折痕为，点E，D分别落在点处．若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用邻补角求出的度数，再利用折叠的性质求出的度数，最后利用角的和差关系得结论．． 【详解】解：， ． 由折叠的性质可知，． ， 故选：C． 【点睛】本题考查了折叠的性质以及平角的定义，掌握折叠前后对应角相等，利用平角为计算相关角的度数是解题的关键． 42．【教材呈现】以下是华师版数学七下第92页的部分内容． 如图，在中，．，平分，平分，求的度数． 解：平分（已知）， ， 同理可得___________． （___________）， （等式的性质）___________． (1)对于上述问题，请你在解答过程的空白处填上适当的内容（填数学理由或数学式）． (2)【拓展延伸】如图1，在中，的平分线交于点，将沿折叠，使得点与点重合，若，求的度数； (3)如图2，在中，角平分线交于点，，交边于点，点在的延长线上，作的平分线交的延长线于点．若，则_______． 【答案】(1)；三角形内角和定理； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理和角平分线的定义求解即可； （2）先由折叠的性质和平角的定义得到，进而求出，同（1）即可得到答案； （3）根据角平分线得到，，进而可知，即可求出，根据得到，根据三角形内角和即可得解． 【详解】（1）解：∵平分（已知）， ∴． 同理可得． ∵（三角形内角和定理）， ∴（等式的性质） ． （2）由折叠的性质可得，， ，，， ， ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， 即， ； （3）∵是角平分线，是角平分线 ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 题型13.三角形内角和定理的应用 43．具备下列条件的中，不是直角三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据三角形内角和为，计算各选项中三角形各角的度数，判断是否存在直角，即可得出结论． 【详解】解：三角形内角和满足 A ， ，得， 是直角三角形，不符合题意。 B ， ， 是直角三角形，不符合题意。 C ， ， 是直角三角形，不符合题意。 D ， ， 解得，，三角形中不存在的角， 不是直角三角形，符合题意． 44．如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则________ ． 【答案】 【分析】先根据三角形内角和定理求出的度数，再由角平分线的定义求出的度数，由是的高即可得出，进而可得出结论． 【详解】解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． 45．如图，为的三等分线，交于点E，已知，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三等分线定义可设，得到，，，根据周角的定义列方程并解方程，进一步即可得到答案． 【详解】解：∵为的三等分线， ∴可设， 则， ∵交于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴． 46．阅读下列材料，回答问题． 如图①所示的图形，像我们生活中的物品--回旋镖，我们不妨把这样的图形叫做“回旋镖图”，在这样一个简单的图形中，到底隐藏了哪些数学知识呢？下面就请你发挥你的聪明才智，解决下列问题： (1)如图①，试猜想、、、之间的数量关系，并说明理由； (2)如图②，把一块三角尺放置在上，使三角尺的两条直角边、恰好经过点、，若，则___________； (3)如图③，在四边形中，与的角平分线交于点，若，，则___________． 【答案】(1)，理由见详解； (2) (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的性质：（1）连接并延长至E，根据三角形内角和定理得到，，再结合即可得到答案；（2）根据三角板得到，由（1）的结论同理即可得到答案；（3）根据（1）的结论先求出，再结合角平分线，即可得到答案； 【详解】（1）解：，理由如下， 连接并延长至E，如图所示， ∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵三角尺的两条直角边、恰好经过点、， ∴， 由（1）得， ， ∵， ∴， 故答案为：； （3）解：由（1）可得， ，， ∵，， ∴， ∵与的角平分线交于点， ∴， ∴， 故答案为：． 题型14.直角三角形的两个锐角互余 47．在中，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据直角三角形的性质得到，根据题意列出方程组，解方程组得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 48．如图，在中，的平分线交于点，若，，是的高，则______． 【答案】 【分析】根据三角形内角和定理求出的度数，利用角平分线的定义求出的度数，根据高的定义得出，最后利用直角三角形两锐角互余解答即可求解． 【详解】解：，， ， 平分， ， 是 的高， ， ， ． 49．如图，在中，，是的外角的平分线，平分，且与的反向延长线相交于点，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线、三角形内角和、三角形外角的知识；解题的关键是熟练掌握三角形外角、角平分线的性质，从而完成求解．利用角平分线性质得出，结合三角形外角性质推出，即；在中由内角和求出，借助对顶角相等得；最后在中算出，最后根据角平分线定义得出． 【详解】解：∵是的外角的平分线，平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ ， 设交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 50．如图①，平分，，，． (1)求的度数； (2)如图②，若把“”变成“点F在DA的延长线上，”，，，请用含，的代数式表示． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先利用三角形内角和定理求出，再由角平分线的定义求出，由三角形外角的性质得到，再由垂直的定义得到，由此即可求解； （2）同（1）进行求解即可； 【详解】（1）解：∵，， ， 平分， ， ． ， ， ． （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ． 题型15.两锐角互余判定直角三角形 51．在中，若，且，则是（  ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等腰直角三角形 D．等边三角形 【答案】C 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．由且可求各角度数，从而判断三角形形状． 【详解】解：，设， 又， ， ， ，， ， 是等腰直角三角形． 故选：C． 52．如图，在中，，、分别在、上，连接，若，则是________三角形． 【答案】直角 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理和直角三角形的判定，掌握这些是解题的关键． 根据三角形内角和定理得到，进而等量代换得到，进一步推出，由此可得结论． 【详解】解：在中，， ， ， ， ， 是直角三角形． 故答案为：直角． 53．（1）如图①，在中，，垂足为D，与有什么关系？为什么？ （2）如图②，在中，，分别在上，且，判断的形状是什么？为什么？ （3）如图③，在和中，，点C，B，E在同一直线上，与有什么关系？为什么？ 【答案】（1），理由见解析； （2）是直角三角形，理由见解析； （3），理由见解析 【分析】本题考查了余角性质，直角三角形的性质，掌握以上知识点是解题的关键． （）利用余角性质即可求解； （）由直角三角形两锐角互余可得，即得，据此即可求解； （）利用余角性质可得，再根据直角三角形两锐角互余即可求解． 【详解】解：（1），理由如下： ∵在中，，， ∴， ∴； （2）是直角三角形． ∵在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （3）． ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型16.三角形的外角定义及性质 54．如图，为的外角，已知，，则_____________． 【答案】 【分析】本题考查三角形外角的性质．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，进行解得，即可． 【详解】解：∵，， ∴． 55．如图，，且，点在的延长线上．若，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用直角三角形两锐角互余求得，利用平行线的性质求得，再利用三角形的外角性质求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 56．如图，在中，平分，P为线段上的一个动点，交的延长线于点E． (1)若，求的度数； (2)当P点在线段上运动时，猜想与的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2) ；证明见解析 【分析】（1）首先根据三角形的内角和定理求得的度数，再根据角平分线的定义求得的度数，从而根据三角形的内角和定理即可求出的度数，进一步求得的度数； （2）根据第（1）小题的思路即可推导这些角之间的关系． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解： ；证明如下： 根据题意得：， ∵平分， ∴ ， ∴ ， ∵， ∴， ∴ ， 即 ． 题型17.构成三角形的条件 57．在下列长度的三条线段中，能围成三角形的是（    ） A．3，6，8 B．2，3，5 C．1，2，1 D．8，4，3 【答案】A 【详解】解：∵对于选项A，较小两边为3和6，最大边为8，，∴能围成三角形，符合题意． ∵对于选项B，较小两边为2和3，最大边为5，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项C，较小两边为1和1，最大边为2，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． ∵对于选项D，较小两边为3和4，最大边为8，，不满足两边之和大于第三边，∴不能围成三角形，不符合题意． 58．在长度分别为3，5，7，9的四条线段中任取三条，可构成_______个不同的三角形． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的三边关系，掌握 “三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边” 是判断三条线段能否构成三角形的关键． 列出所有三条线段的组合，逐一验证是否满足三边关系，从而确定能构成三角形的个数，即可解答． 【详解】组合：；，故能构成三角形； 组合：，不满足 “任意两边之和大于第三边”，故不能构成三角形； 组合：，故能构成三角形； 组合：，故能构成三角形． 综上，能构成三角形的组合有种． 故答案为：． 59．、、是某三角形三边的长，则的长不可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是三角形三边关系，灵活运用“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．根据三角形三边关系得到，进而判断选项中哪个值不在该范围内． 【详解】解：三角形三边关系为任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ， ， 选项中只有不在的范围内， 的长不可能是． 故选：． 60．已知等腰三角形一腰上的中线把这个三角形的周长分成和两部分，求这个等腰三角形的腰长． 【答案】或． 【分析】本题考查的是等腰三角形的性质与三角形三边关系，灵活运用分类讨论思想是解题的关键．根据“一腰上的中线将周长分成和两部分”，分两种情况列出方程组，再结合三角形三边关系验证，进而求出等腰三角形的腰长． 【详解】解：设等腰三角形的腰长为，底边长为， ①腰半腰，底半腰， ， 解得：， 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； ②腰半腰，底半腰， ， 解得：． 此时三边长为：，，， 验证三边关系：，成立； 答：这个等腰三角形的腰长是或． 题型18.确定第三边的取值范围 61．在，，，若第三边的长度是整数，则_____． 【答案】 【分析】利用三角形三边关系确定第三边的取值范围，进而根据为整数即可求解． 【详解】解：∵三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边， ∴ 即 ， ∴， 为整数， ． 62．已知一个三角形的两边长分别为1，6，第三边长为整数，则第三边长为_____． 【答案】6 【分析】根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边．即可求解． 【详解】解：设第三边长为a， 则，即， 第三边长a为整数， 第三边长． 63．将一个无上下底的三棱柱展开，得到一个矩形纸片，尺寸如图所示，则m的值不可能是（   ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】A 【分析】熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3，利用三角形的三边关系求解即可． 【详解】解：由题意，得折叠后形成的三角形的三边分别为3，m，3， 由三角形的三边关系，得，解得， 观察四个选项可知，m的值不可能为6． 64．如下图，在中，，． (1)求的取值范围； (2)若，点，分别在，的延长线上，，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形三边关系、平行线的性质、三角形内角和定理，掌握三角形三边关系求边长范围，平行线同旁内角互补，三角形内角和为是解题的关键． （1）利用三角形三边关系，两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，代入已知边长求的范围； （2）先由平行线的性质求出的度数，再利用三角形内角和定理，结合已知的，求出的度数． 【详解】（1）解：在中，． ∵，， ∴，即． （2）解：∵，， ∴． ∵，， ∴． 题型19.三角形三边关系的应用 65．已知的三边长分别是a，b，c，化简的结果为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用三角形任意两边之和大于第三边，判断绝对值内式子的正负，再去掉绝对值符号合并同类项即可． 【详解】解：∵的三边长分别为，，， 根据三角形三边关系，可得，， ∴，， ∴ ． 66．已知a、b、c是三角形的三边，化简___________． 【答案】 【分析】根据三角形三边关系得到三边满足的不等式关系，判断绝对值内各式的正负，再根据绝对值的性质去掉绝对值符号，合并同类项即可求解． 【详解】，，是三角形的三边， 根据三角形三边关系可得，， ，，， ． 67．已知三角形三边的长分别为，且均为整数，若，，则满足条件的不同形状的三角形的个数是（   ） A． B． C． D． E． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用， 根据已知条件，先得出的可能值是，再结合三角形的三边关系，对应求得的值即可，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵三角形的三边的长都是整数，， ∴． 根据三角形的三边关系，得， 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； 当时，，则，此时满足条件的三角形有个； ∵三角形边长相同，形状也就相同， 上述三角形中三边长为；；；；；的这六个三角形各出现两次， ∴满足条件的三角形一共有个， 故选：． 68．已知的三边长分别为a，b，c． (1)化简：； (2)若，，且c为整数，求周长的最大值及最小值． 【答案】(1)； (2)周长的最大值是17，最小值是13 【分析】本题主要考查三角形三边的关系，利用三角形三边的关系判断参数的取值范围是解题的关键． （1）首先利用三角形三边的关系判断绝对值里的代数式的正负，再去掉绝对值，合并同类项化简后得到最简结果； （2）首先根据三角形的三边关系确定第三边的参数取值范围，结合整数的条件求周长的最小值和最大值． 【详解】（1）解：①∵的三边长分别为a，b，c， ∴，，， ∴ ； （2）∵，， ∴根据三角形三边关系可知， ∵c为整数， ∴当时，的周长为最大，即为； 当时，的周长为最小，即为； 综上所述，周长的最大值是17，最小值是13． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $