专题 5 方程及其应用（专项训练）2026年四升五年级数学暑假专项提升（北师大版）

**基本信息** 以方程定义-性质-解法-应用为逻辑主线，系统提炼列方程解应用题七步流程，强化抽象能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识点梳理|4个核心知识点|列方程解应用题七步流程（审题-找等量关系-设未知数-列方程-求解-检验-作答）|概念生成（方程定义）→原理推导（等式性质）→工具应用（解方程关系式）→问题解决（应用题）| |选择填空判断|17道基础题|六组等量关系式（加数=和-另一个加数等）|通过辨析方程概念、字母表示数量关系，巩固抽象能力| |计算应用|8道综合题|情境化方程建模方法|结合图形、生活场景，培养用数学语言表达现实世界的应用意识|

专题 5 方程及其应用 知识点一、方程的定义 表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式是方程。 知识点二、等式的性质 1.等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 2.等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得的结果任然是等式。 知识点三、解方程时常用的关系式 一个加数=和-另一个加数 一个因数=积÷另一个因数 减数=被减数-差 被减数=减数+差 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 知识点四、列方程解应用题的思路 A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题， B、理清题目的等量关系， C、设未知数，一般是把所求的数用X表示， D、根据等量关系列出方程， E、解方程， F、检验， G、作答。 注意：解完方程，要养成检验的好习惯。 一、选择题 1．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）下面式子中是方程的有（    ）个。 ①  ②  ③  ④ A．2 B．1 C．3 D．4 2．（24-25四年级下·广东佛山·期末）爸爸今年x岁，妈妈今年x－3岁，30年后，他们相差（    ）岁。 A．33 B．3 C．27 D．30 3．（24-25四年级下·安徽六安·期末）下面情境可以用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）下列线段图列出的方程正确的是（    ）。 A．x＋20＝140 B．3x＋20＝140 C．x＋20×3＝140 D．3x－20＝140 5．（24-25四年级下·广东深圳·期末）如图，是由一个长方形和一个正方形拼成的图形，它的周长是（    ）。 A．5＋2b B．4＋2b C．5＋b D．4＋b 6．（24-25四年级下·广东深圳·期末）下面（    ）情形的问题可以用方程3x－15＝87解答。 A．奇思有87元，他买了三个小蛋糕后还剩15元，一个小蛋糕的价格是多少？ B．笑笑心里想了一个数x，先把它乘3再加上15，结果等于87，这个数x是多少？ C．一个书包87元，比一个笔盒的三倍少15元，笔盒的价格是多少？ D．小华和同学去游乐场玩，先买了3张相同的游戏项目票，又一起支付了15元的入场费，总共87元，每张游戏项目票的价格是多少元？ 二、填空题 7．（24-25四年级下·广东深圳·期末）可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大( )岁，此时可可( )岁。 8．（24-25四年级下·安徽安庆·期末）校园里有x棵桂花树，樟树的棵数是桂花树的1.5倍，1.5x表示( )，0.5x表示( )。 9．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）苹果和梨的单价分别是每千克5元和3元，买x千克苹果和y千克梨共需要( )元。 10．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）如图，玉米地的面积是( )平方米，白菜地和玉米地的面积之和是( )平方米。 11．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）下面是笑笑解方程“4y＝2400”的过程，其中画方框的这一步的依据是( )。 12．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）长方形的宽是a厘米，长是宽的3.4倍，这个长方形的面积是( )平方厘米。 三、判断题 13．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）4是一个方程。( ) 14．（24-25四年级下·安徽安庆·期末）如果x＋1.5＝y＋2.5，那么x一定大于y。( ) 15．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）若a＝b，则a×4＝b÷4。( ) 16．（24-25五年级下·辽宁朝阳·期末）如图，正方形的周长比等边三角形的周长多6厘米，则正方形的边长是多少厘米？根据题意可列方程4y－3y＝6。( ) 17．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）解方程时，等式两边应同时减去6。( ) 四、计算题 18．（24-25四年级下·广东佛山·期末）直接写出得数。 2.5×0.4＝     5.6＋2.5＝    0.2×0.3＝      6.3÷10＝ 0.56×100＝    30.98＝     0.125×0.8＝     7y2y＝ 19．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）解方程。                      20．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）看图列方程，并求解。 五、解答题 21．（24-25四年级下·陕西宝鸡·期末）乐乐心里想的数是多少？（用方程解答） 22．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）妈妈从网上购买了一包袜子，共4双，除了购买袜子的钱，还需要再付6元运费，妈妈一共付款38元。每双袜子多少元？（列方程解） 23．（24-25四年级下·山西运城·期末）小美为制作“环保手抄报”购买文具。她买了一盒钢笔（内装4支）和一盒马克笔，一共支付63.5元。一盒马克笔售价31.5元，一支钢笔多少元？（写出等量关系式，列方程解答） 24．（24-25四年级下·河南商丘·期末）一套衣服720元，上衣的价格比裤子的2倍还多30元，这套衣服的上衣和裤子各是多少元？ 25．（24-25四年级下·河南商丘·期末）植树节到了，四（1）班同学参加植树活动。栽了37棵杨树，还栽了4行松树，松树和杨树一共栽了89棵，平均每行松树多少棵？（列方程解答） 26．（24-25四年级下·河南郑州·期末）河南省2025年五一假期共接待游客6450.3万人次、旅游收入371.1亿元。省文化和旅游厅数据显示，省内接待游客人次前五位的景区分别如下： 第1位 第2位 第3名 第4位 第5位 清明上河园 银基国际旅游度假区 万岁山武侠城 云台山 龙门石窟 55.78万 54万 49.3万 39.57万 ？ （1）清明上河园和万岁山武侠城的游客相差多少万人次？ （2）据了解，银基国际旅游度假区总参观人次比龙门石窟的2倍少10万人。参观龙门石窟的有多少万人次？（列方程解答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《专题 5 方程及其应用》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 答案 A B C B B C 1．A 【分析】根据方程的定义，需满足两个条件：①是等式；②含有未知数。逐一判断各选项是否符合条件。 【详解】根据分析可知： ① ：是等式且含有未知数y，是方程。 ② ：不是等式，只是代数式，不是方程。 ③ ：是不等式，不是方程。 ④ ：是等式且含有未知数x，是方程。 是方程的有①和④，有2个。 故答案为：A 2．B 【分析】用爸爸今年的年龄减去妈妈今年的年龄，求出年龄差。经过30年后，年龄差是不变的。据此解题。 【详解】x－（x－3） ＝x－x＋3 ＝3 所以，30年后，他们相差3岁。 故答案为：B 3．C 【分析】方程是含有未知数的等式，需要找出既有未知数，又是等式（表示左右两边数量相等关系）的情境，据此分析选项即可解答。 【详解】A．跷跷板平衡，左右两边都是25千克，没有未知数，是等式，但不符合方程“含有未知数”的要求，不能用方程表示。 B．跷跷板不平衡，23千克＞20.5千克，不是等式，不能用方程表示。 C．天平平衡，说明左右两边质量相等。左边是2个x克（即2x克），右边是500克，可列方程2x＝500，既有未知数x，又是等式，能用方程表示。 D．天平不平衡，左边80克＜右边2x克，不是等式，不能用方程表示。 故答案为：C 4．B 【分析】看图，文艺书比科普书的3倍还多20本。据此得出数量关系：科普书本数×3＋20本＝文艺书本数，再根据数量关系列方程即可。 【详解】由分析可知：线段图列出的方程正确的是3x＋20＝140。 故答案为：B 5．B 【分析】将拼成的图形右上角缺口处的线段向上和向右平移，得到一个长是b，宽是2a的长方形，该长方形的周长和拼成的图形周长一样，根据长方形周长＝（长＋宽）×2，据此计算后选择即可。 【详解】（2a＋b）×2 ＝4a＋2b 它的周长是4a＋2b。 故答案为：B 6．C 【分析】A．可以设一个小蛋糕是x元。根据等量关系：3个蛋糕的总价＋还剩的钱数＝总钱数，据此列出方程。 B．这个数是x，x乘3即为3x，再加上15，结果等于87，据此列出方程。 C．设一个笔盒的价格是x元，笔盒价格的3倍减15，才等于87元，根据等量关系为：一个笔盒的价格×3－15＝一个书包的价钱，据此列出方程。 D．可以设每张游戏项目票的价格为x元，根据等量关系：每张游戏项目票价×3＋入场费＝需付的总钱数，据此列出方程。 【详解】A．解：设一个小蛋糕是x元。 3x＋15＝87 所以这个问题不能用方程3x－15＝87解答。 B．求这个数x是多少，列方程为：3x＋15＝87，所以这个问题不能用方程3x－15＝87解答。 C．解：设一个笔盒的价格是x元。 3x－15＝87 所以这个问题能用方程3x－15＝87解答。 D．解：设每张游戏项目票的价格是x元。 3x＋15＝87 所以这个问题不能用方程3x－15＝87解答。 故答案为：C 7． 26 n＋8 【分析】先用妈妈今年的岁数减去可可今年的岁数，即可算出妈妈比可可大多少岁，这个差距不会随着可可长大而变化，两人之间岁数差一直都会是这个值；n年后可可岁数是（n＋8）岁。据此解答。 【详解】34－8＝26（岁） n年后可可岁数：（n＋8）岁 可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大26岁，此时可可（n＋8）岁。 8． 樟树的棵数 樟树比桂花树多的棵数 【分析】求一个数的几倍是多少用乘法，桂花树的棵数×1.5＝樟树的棵数；樟树的棵数－桂花树的棵数＝樟树比桂花树多的棵数，据此分析。 【详解】樟树的棵数：x×1.5＝1.5x（棵） 樟树比桂花树多的棵数：1.5x－x＝0.5x（棵） 校园里有x棵桂花树，樟树的棵数是桂花树的1.5倍，1.5x表示樟树的棵数，0.5x表示樟树比桂花树多的棵数。 9． 5x＋3y 【分析】苹果的单价乘苹果的重量等于苹果的价钱，梨的单价乘梨的重量等于梨的价钱，然后相加即可解答。 【详解】5×x＋3×y＝（5x＋3y ）元 苹果和梨的单价分别是每千克5元和3元，买x千克苹果和y千克梨共需要（5x＋3y）元。 10． 5a 5×（a＋b） 【分析】根据长方形的面积＝长×宽，代入数据即可求出玉米地的面积和白菜地的面积；把玉米地的面积和白菜地的面积相加，即可求出白菜地和玉米地的面积之和。 【详解】玉米地的长是a米，宽是5米，所以玉米地的面积是5a平方米；白菜地的长是b米，宽是5米，所以白菜地的面积是5b平方米；5a＋5b＝5×（a＋b），所以白菜地和玉米地的面积之和是5×（a＋b）平方米。 11．等式的基本性质 【分析】等式的基本性质：等式两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式依然成立。 【详解】此解方程过程给等式左右两边同时除以4，所以依据的是等式的基本性质。 12． 3.4 【分析】根据题意，长方形的面积公式，面积＝长×宽。已知宽为a厘米，长是宽的3.4倍，因此长为3.4a厘米，代入公式即可求出面积。 【详解】根据分析可知： 3.4×a×a ＝3.4a×a ＝3.4 长方形的宽是a厘米，长是宽的3.4倍，这个长方形的面积是3.4平方厘米。 13．√ 【分析】方程是含有未知数的等式。方程必须具备两个条件：（1）必须是等式；（2）必须含有未知数。据此判断。 【详解】4中有未知数，且是等式，满足方程的两个条件，因此4是一个方程。 原题说法正确。 故答案为：√ 14．√ 【分析】根据等式的性质，给等式两边同时减去相同的数，将等式变形，比较出x和y的大小关系。 【详解】由 ， 两边同时减去1.5： ， 计算得：。 因此，x 比 y 大1，所以 x 一定大于 y。 故答案为：√ 15．× 【分析】根据等式的基本性质，等式的两边同时乘或除以同一个不为0的数，等式仍然成立，据此解答。 【详解】由分析可知： 已知a＝b，若a＝b≠0，根据等式的性质，a×4≠b÷4； 若a＝b＝0，代入等式得0×4＝0÷4，即0＝0，成立。 但题目未限定a和b为0，因此等式不一定成立。 故答案为：× 16．√ 【分析】正方形的周长公式为：C＝4a（a表示边长），这里正方形的边长为y厘米，所以正方形的周长为4y厘米。等边三角形的周长公式为：C＝3a（a表示边长），这里等边三角形的边长也为y厘米，所以等边三角形的周长为3y厘米。已知正方形的周长比等边三角形的周长多6厘米，那么可列方程：4y－3y＝6。 【详解】正方形周长：4×y＝4y（厘米） 等边三角形周长：3×y＝3y（厘米） 可列方程：4y－3y＝6 方程与题中方程一致，原说法正确。 故答案为：√ 17．√ 【分析】等式左边是 “x＋6”，要让 x 单独存在，需 “抵消” 掉左边的加法——根据 “等式两边同时减去同一个数，等式仍成立”，在等式两边同时减去左边的常数6，即可消去常数项6，最终算出x，据此解答。 【详解】x＋6＝16 解：x＋6－6＝16－6 x＝10 解方程x＋6＝16时，方程的两边应同时减去6。 故答案为：√ 18．1；8.1；0.06；0.63 56；2.02；0.1；5y 【详解】略 19．a＝12；x＝2；y＝2 【分析】（1）根据等式的性质2，等式左右两边同时乘2，然后再同时除以8； （2）利用等式的性质1，等式左右两边同时加2，然后再利用等式的性质2，等式左右两边同时除以8； （3）先计算出1.2×4＝4.8，利用等式的性质1，等式左右两边同时减去4.8，然后再利用等式的性质2，等式左右两边同时除以6。 【详解】8a÷2＝48 解：8a÷2×2＝48×2 8a＝96 8a÷8＝96÷8 a＝12 8x－2＝11.3＋2.7 解：8x－2＋2＝11.3＋2.7＋2 8x＝14＋2 8x＝16 8x÷8＝16÷8 x＝2 6y＋1.2×4＝16.8 解：6y＋4.8＝16.8 6y＋4.8－4.8＝16.8－4.8 6y＝12 6y÷6＝12÷6 y＝2 20．x＝50 【分析】观察图可以看出，有3段长度为x米的线段，再加上一段20米的线段，总长度是170米。根据这个等量关系可列出方程：3x＋20＝170，据此求解即可。 【详解】3x＋20＝170 解：3x＋20－20＝170－20 3x＝150 3x÷3＝150÷3 x＝50 21．18 【分析】用方程解答，就需要先设未知数，结合题意可以设乐乐心里想的数为x，那么x乘5的积再减4等于86，据此列方程解答。 【详解】由分析可得： 解：设乐乐心里想的数是x。 5x－4＝86 5x－4＋4＝86＋4 5x＝90 5x÷5＝90÷5 x＝18 答：乐乐心里想的数是18。 22． 8元 【分析】总价＝单价×数量，每双袜子的价钱乘买的双数可以算出买袜子用了多少元，买袜子用去的钱加上运费就是妈妈应付的钱数。可以设平均每双袜子x元，即袜子的单价×双数＋运费＝付款总数，根据此等量关系式列出方程，并解方程即可。 【详解】解：设每双袜子x元。 4x＋6＝38 4x＋6－6＝38－6 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 答：每双袜子8元。 23． 总价＝钢笔总价＋马克笔价格；8元 【分析】根据题意，列出等量关系式：总价＝钢笔总价＋马克笔价格。设一支钢笔x元，一盒钢笔有4支，总价为4x元，加上马克笔的31.5元，等于总支付金额63.5元，由此列方程求解。 【详解】根据分析可知：总价＝钢笔总价＋马克笔价格 解：设一支钢笔x元。 4x＋31.5＝63.5 4x＋31.5－31.5＝63.5－31.5 4x＝32 4x÷4＝32÷4 x＝8 答：一支钢笔8元。 24．上衣是490元，裤子是230元 【分析】根据题意可知，可以设裤子的价格为x元。根据 “上衣的价格比裤子的2倍还多30元”，可得上衣的价格为（2x＋30）元，将二者相加等于720，据此列方程解答即可。 【详解】解：设这套衣服的裤子是x元，则上衣的价格是（2x＋30）元。 2x＋30＋x＝720 3x＋30＝720 3x＝690 3x÷3＝690÷3 x＝230 230×2＋30 ＝460＋30 ＝490（元） 答：这套衣服的上衣是490元，裤子是230元。 25．13棵 【分析】设平均每行松树x棵，根据等量关系杨树的棵数＋松树的行数×松树每行的棵数＝总棵数，列出方程，再根据等式性质1和2解方程。 【详解】解：设平均每行松树x棵     37＋4x＝89 37－37＋4x＝89－37 4x＝52 4x÷4＝52÷4 x＝13（棵）    答：平均每行松树13棵。 26．（1）6.48万人次 （2）32万人次 【分析】（1）用减法直接计算清明上河园（55.78万）与万岁山武侠城（49.3万）的游客人次差； （2）设龙门石窟游客为x万人次，银基国际旅游度假区总参观人次比龙门石窟的2倍少10万人。所以银基人次＝龙门石窟的2倍−10万，据此列方程为2x－10＝54，然后再利用等式的性质1和2求解。 【详解】（1）55.78－49.3＝6.48（万人次） 答：清明上河园和万岁山武侠城的游客相差6.48万人次。 （2）解：设参观龙门石窟的有x万人次。 2x－10＝54 2x＋10＝54＋10 2x＝64 2x÷2＝64÷2 x＝32 答：参观龙门石窟的有32万人次。 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题 5 方程及其应用 知识点一、方程的定义 表示相等关系的式子叫做等式。含有未知数的等式是方程。 知识点二、等式的性质 1.等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。这是等式的性质。 2.等式两边同时乘或除以同一个不等于0的数，所得的结果任然是等式。 知识点三、解方程时常用的关系式 一个加数=和-另一个加数 一个因数=积÷另一个因数 减数=被减数-差 被减数=减数+差 除数=被除数÷商 被除数=商×除数 知识点四、列方程解应用题的思路 A、审题并弄懂题目的已知条件和所求问题， B、理清题目的等量关系， C、设未知数，一般是把所求的数用X表示， D、根据等量关系列出方程， E、解方程， F、检验， G、作答。 注意：解完方程，要养成检验的好习惯。 一、选择题 1．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）下面式子中是方程的有（    ）个。 ①  ②  ③  ④ A．2 B．1 C．3 D．4 2．（24-25四年级下·广东佛山·期末）爸爸今年x岁，妈妈今年x－3岁，30年后，他们相差（    ）岁。 A．33 B．3 C．27 D．30 3．（24-25四年级下·安徽六安·期末）下面情境可以用方程表示的是（    ）。 A． B． C． D． 4．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）下列线段图列出的方程正确的是（    ）。 A．x＋20＝140 B．3x＋20＝140 C．x＋20×3＝140 D．3x－20＝140 5．（24-25四年级下·广东深圳·期末）如图，是由一个长方形和一个正方形拼成的图形，它的周长是（    ）。 A．5＋2b B．4＋2b C．5＋b D．4＋b 6．（24-25四年级下·广东深圳·期末）下面（    ）情形的问题可以用方程3x－15＝87解答。 A．奇思有87元，他买了三个小蛋糕后还剩15元，一个小蛋糕的价格是多少？ B．笑笑心里想了一个数x，先把它乘3再加上15，结果等于87，这个数x是多少？ C．一个书包87元，比一个笔盒的三倍少15元，笔盒的价格是多少？ D．小华和同学去游乐场玩，先买了3张相同的游戏项目票，又一起支付了15元的入场费，总共87元，每张游戏项目票的价格是多少元？ 二、填空题 7．（24-25四年级下·广东深圳·期末）可可今年8岁，妈妈今年34岁，n年后妈妈比可可大( )岁，此时可可( )岁。 8．（24-25四年级下·安徽安庆·期末）校园里有x棵桂花树，樟树的棵数是桂花树的1.5倍，1.5x表示( )，0.5x表示( )。 9．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）苹果和梨的单价分别是每千克5元和3元，买x千克苹果和y千克梨共需要( )元。 10．（24-25四年级下·陕西榆林·期末）如图，玉米地的面积是( )平方米，白菜地和玉米地的面积之和是( )平方米。 11．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）下面是笑笑解方程“4y＝2400”的过程，其中画方框的这一步的依据是( )。 12．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）长方形的宽是a厘米，长是宽的3.4倍，这个长方形的面积是( )平方厘米。 三、判断题 13．（24-25四年级下·陕西汉中·期末）4是一个方程。( ) 14．（24-25四年级下·安徽安庆·期末）如果x＋1.5＝y＋2.5，那么x一定大于y。( ) 15．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）若a＝b，则a×4＝b÷4。( ) 16．（24-25五年级下·辽宁朝阳·期末）如图，正方形的周长比等边三角形的周长多6厘米，则正方形的边长是多少厘米？根据题意可列方程4y－3y＝6。( ) 17．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）解方程时，等式两边应同时减去6。( ) 四、计算题 18．（24-25四年级下·广东佛山·期末）直接写出得数。 2.5×0.4＝     5.6＋2.5＝    0.2×0.3＝      6.3÷10＝ 0.56×100＝    30.98＝     0.125×0.8＝     7y2y＝ 19．（24-25四年级下·山西吕梁·期末）解方程。                      20．（24-25四年级下·陕西咸阳·期末）看图列方程，并求解。 五、解答题 21．（24-25四年级下·陕西宝鸡·期末）乐乐心里想的数是多少？（用方程解答） 22．（24-25四年级下·安徽亳州·期末）妈妈从网上购买了一包袜子，共4双，除了购买袜子的钱，还需要再付6元运费，妈妈一共付款38元。每双袜子多少元？（列方程解） 23．（24-25四年级下·山西运城·期末）小美为制作“环保手抄报”购买文具。她买了一盒钢笔（内装4支）和一盒马克笔，一共支付63.5元。一盒马克笔售价31.5元，一支钢笔多少元？（写出等量关系式，列方程解答） 24．（24-25四年级下·河南商丘·期末）一套衣服720元，上衣的价格比裤子的2倍还多30元，这套衣服的上衣和裤子各是多少元？ 25．（24-25四年级下·河南商丘·期末）植树节到了，四（1）班同学参加植树活动。栽了37棵杨树，还栽了4行松树，松树和杨树一共栽了89棵，平均每行松树多少棵？（列方程解答） 26．（24-25四年级下·河南郑州·期末）河南省2025年五一假期共接待游客6450.3万人次、旅游收入371.1亿元。省文化和旅游厅数据显示，省内接待游客人次前五位的景区分别如下： 第1位 第2位 第3名 第4位 第5位 清明上河园 银基国际旅游度假区 万岁山武侠城 云台山 龙门石窟 55.78万 54万 49.3万 39.57万 ？ （1）清明上河园和万岁山武侠城的游客相差多少万人次？ （2）据了解，银基国际旅游度假区总参观人次比龙门石窟的2倍少10万人。参观龙门石窟的有多少万人次？（列方程解答） 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $