黑龙江绥化市绥棱县第六中学2025-2026学年九年级下学期第四次阶段测试数学试卷

**基本信息** 本卷通过真实情境与梯度设计，融合代数、几何、统计知识，考查数学抽象、几何直观、模型意识等核心素养，适配初中模拟预测需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12/36|实数运算、图形性质、方差、圆锥侧面积|第8题结合密度公式列方程，体现模型意识| |填空题|10/30|科学记数法、函数取值范围、解直角三角形、规律探究|第21题图形规律探究，考查抽象能力与创新意识| |解答题|6/54|圆的作图与计算、统计图表、二次函数综合、几何折叠|25题污水处理设备购买与行程问题，27题菱形折叠探究，综合考查运算能力、空间观念与推理能力|

初四数学试题 姓名 一、选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分） 1、计算：2025+2025°的结果是( ) A.2027 B.2026 C.2025 D.0 班 级 2 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是( 装 A B C 3、 如图是某几何体的主视图，则该几何体是( △△△△ △△△△ △△△△ 4、 下列计算正确的是( △△△△ A.64=4 B.(-ab2)3=a3b6 C.(a-3b)2=a2-9b2 D.a3.a3=2a3 △△△△ 订5、 把一块含30角的直角三角板按如图所示方式放置于两条平行线间，若∠1=45°，则∠2= △△△△ A.10° B.15° C.20 D.30 △△△△ △△△△ △△△△ E 第3题图 第5题图 第9题图 △△△△ 6、某校八年级一班4名团员的年龄（单位：岁）分别为13、14、14、15，一年后由这4名团 员的年龄组成的数据不会改变的是( △△△△ 线 A.方差 B.众数 C.中位数 D.平均数 △△△△ 、 用一张半径为24cm,圆心角为120° 的扇形纸板做一个圆锥，在不考虑接缝的情况下， 这个圆锥的底面圆半径是( △△△△ A.4cm B.8cm C.12cm D.16cm 8、 在物理学中，物质的密度p等于由物质组成的物体的质量与它的体积V之比，即 △△△△ : P≈ 11 ,已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是100g,物体B的质 △△△△ 量是200g时，物体B的体积比物体A的体积大27cm3.如果设物体A的体积是xcm3,那 △△△△ 么根据题意列方程为() C.100=2×200 D.2×100=20 △△△△ A100=2×200 x+27 B.2×100=200 x+27 x-27 x-27 9、 如图，在口ABCD中，对角线AC与BD相交于点O,点E是BC边上一点，且EO L AC, △△△△ 连接AE.已知AB=5,BE=3,CE=4,则cos∠ACE的值为( ) A B.? c D.2 10、下列命题正确的是( ) A.等边三角形是中心对称图形 第1页（共4页） 共4页 B.甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S=2.25,S2=1.81,则 甲成绩比乙的稳定 C在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 D.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是菱形 1I、如图，直角梯形OABF中，∠OAB=∠B=90°，A点在x轴上，双曲线y-过点F,与 AB交于E点，连接，若器=骨S△=4则k的值为( ) A.2 B.3 C.6 D.8 60 0 x=-1 第 11题图 第12题图 第16题图 第18题图 12、如图，己知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的对称轴为直线x=一1，有下列结论： ①abc>0;②b2-4ac>0;③4a+c>0;④若t为任意实数，则有a-bt≤at2+b: ⑤当图象经过点(，2)时，方程ax2+bx+c-2=0的两根为x1,x2(x1<x2),则x1+ 2x2=一2.其中正确的结论有( A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 13、某平台大约有124600000名用户，将124600000用科学记数法表示为 14、因式分解：ab2-2ab+a= 15、函数y= Vx-2 的自变量x的取值范围是 x-1 16、如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上， 若AP=6v3千米，则点AB两点的距离为 千米 a+1 17、化简： 2,1 a2-2a+1a-1T 18、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，OC 在y轴上，如果矩形OABC与矩形OABC关于点O位似，且矩形OABC的面积等于矩 形OABC面积的二，那么点B的坐标是 4 19、若一元二次方程2x2-6x-1=0的两根为，B,则2a2-3+3β的值为 20、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，CD=8,连接BD,点P是BD上的一个动点，连 接PA、PC,则PA+PB+PC的最小值是 ● ●●●0 ● ●0。 0●●。 000● 第1个图第2个图第3个图第4个图 第20题图 第21题图 第22题图 第2页（共4页） 21、如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个 小黑点，第4个图中有19个小黑点...，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为 22、如图，矩形ABCD的边AB=3,BC=5,E是边CD上一点，将△ADE沿AE折叠得到△AFE,点D恰好 落在边BC上点F处，将线段沿着射线BA方向平移得到对应线段AF，连接BF,当△ABF是等腰三 角形时，平移的距离为 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23、（7分)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°， (1)用无刻度的直尺和圆规在图中作⊙O,使圆心O在AB边上，⊙0过点B 且与边AC相切于点D(不写作法，保留作图痕迹)； (2)在(1)的条件下，若∠ABC=60°，AB=10,求⊙0的半径. A 24、(7分)学校开展以“书香校园一我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍 (A:政史类，B:文学类，C:科技类，D:艺术类，E:其他类).学校数学兴趣小组对部分学生进行了问 卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）. 人数名 40 40 35 E10% 30 D B 25 20 20 15 10h 10 5 A B C DE类别 根据以上信息，解答下列问题： (1)学校此次被调查的学生总人数为 名，并根据题意补全条形统计图； (2)在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是一 度： (3)学校数学兴趣小组中，甲同学从A,B,C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B,C,D三类书籍中 随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率， 25.(12分)为了更好地保护河流，污水处理厂决定先购买A,B两种类型的污水处理设备共20台.每台A 型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元.已知1台A型设备和2台B型设备每周共可 以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周共可以处理污水1080吨， (1)求A,B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ (2)经预算，污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周的污水处理量不低于4500吨，共有几种购买 方案？当购买A,B两种设备各多少台时，所需资金最少，最少资金是多少元？ (3)己知污水处理厂与污水设备制造厂相距300km,一辆出租车从污水处理厂出发往返于污水处理厂与污水设 备制造厂两地，一辆运送污水设备的货车沿同一条公路从污水设备制造厂前往污水处理厂，两车同时出发， 出租车到达污水设备制造厂后休息了一段时间，然后按原路原速返 回，结果出租车比货车早半小时到达污水处理厂.如图是两车距污水 4y/km 处理厂的距离y(单位：k)与行驶时间x(单位：h)之间的函数关系 300 图象. 5亦 第3页供4页) 共4页 ①出租车的行驶速度是 ,出租车到污水设备制造厂后休息的时间为 h: △△△△ ②直接写出两车出发多长时间相距100km. A 26.(7分)如图，Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O,交 △△△△ 斜边AC于点D,点E是BC的中点，连接OE,DE (1)求证：DE是⊙O的切线； D 4 △△△△ (2)若sinC=-,DE=5,求AD的长 装 27.(10分)【综合与实践】 B 【操作发现】 △△△△ 如图1，在正方形纸片ABCD中，E是AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点 A的对应点F落在正方形内部，延长EF交CD边于点G,连接BG,易知△FBG : △△△△ ≌△CBG. 【深入探究】 (I)如图2，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为MN,再把纸片 △△△△ 展平，然后继续进行(1)中的操作，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰 好落在折痕N上，其他条件不变，连接BG,则∠FBG的度数为 【类比迁移】 △△△△ (2)①如图3，将矩形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为MN,再把纸片 展平，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在直线 : MN上，若AB=5,BC=8,求AE的长； △△△△ ②若点E在线段AD的延长线上，①中其他条件不变，则AE的长为 【拓展应用】 (3)如图4，在菱形ABCD中，∠C=60°，边长为10，E是CD边上一点，F是BC △△△△ 边上一点，将△CEF沿EF翻折，点C的对应点G恰好落在菱形ABCD的边上， 且DG=4,直接写出CF的长. △△△△ 线 △△△△ : 图1 图2 图3 图4 : △△△△ 28.(11分)如图，二次函数y=-x2+bx+m的图象过点(1,4)，与x轴交于点A, B(-1,0),与y轴交于点C △△△△ (1)求二次函数解析式： (2)D为线段AB上的一个动点，DE∥BC交AC . 于点E,交抛物线于点F,连接CF和AF,当 △△△△ 直线DF把△ACF的面积分成1：2两部分时， 求出点D的坐标； (3)若点P在直线AC上，Q是平面内一点，是 △△△△ 否存在点Q,使以A,B,P,Q为顶点的四边形为矩形？ 若存在，请你直接写出点Q的坐标：若不存在，请 说明理由. △△△△ △△△△ 第4页（共4页）初四数学试题答案 一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A 9.B 10.D 11.C 12.C 二、填空题 13、1.246×108 14、a(b-1)2 15、x22 16、6 17、a-1 1 18、(2,1)或(-2，-1) 19、10 20、8V3 21、45 22、2或3或好 三、解答题 解：(1)如图，⊙0为所作.…(3分) (2)设⊙O交AB于点F,交BC于点E ,AC与⊙O相切， .OD⊥AC (1分) :∠C=90°， ∴.OD∥BC.…(1分) ∴.∠AOD=∠ABC=60° .AO=2OD.………(1分) .'OA+OB=AB, 20B+0B-10,解得0B=10 10 .⊙0的半径为3.…(1分) 24、解：(1)被调查学生总人数10=100（名） …1分 10% D的人数：100-10-20-40-5=25（名）， 补全条形统计图如下： 人数/名 40 …1分 10 A BC D E类别 (2)C“科技类”所对应的圆.心角度数是360°×品=144 故答案为：144 …1分 1 (3)画树状图如下： 开始 …2分 D 甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， …1分 :甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为号 25.解：(1)设A,B两种污水处理设备每周每台分别可 以处理污水m吨和n吨. [m+2n=640, 根据题意，得 …1分 2m+3n=1080. m=240, 解得 …1分 n=200. 答：A种污水处理设备每周每台可以处理 污水240吨，B种污水处理设备每周每 台可以处理污水200吨， (2)设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污 水处理设备(20一a)台. 根据题意， 12a+10(20-a)≤230， 得 …1分 240a+200(20-a)≥4500. 解得空<a≤15， …1分 :a取整数， .a=13,14,15 …1分 ∴共有3种购买方案。 设购买设备所需资金W万元，则 W=12a+10(20-a)=2a+200 …1分 .2>0 .W随a的增大而增大。 ∴.当a=13时，W最小。 最小值为200+2×13=226（万元） …1分 即购买A型污水处理设备13台，B型污水处理设备7台所需资金最少， 最少资金为226万元。 2 (3)①100km/h,1 …………2分 ②9h或9h或5h …3分 26、(1)证明：连接OD,BD, 在Rt△ABC中，∠ABC=90°. ,AB是⊙O的直径， .∠ADB=90°，即BD⊥AC. …1分 在Rt△BDC中， E是BC的中点， ∴BE=DE=号BC. 又OB=OD,OE=OE, ..△OBE≌△ODE(SSS): ……………1分 ∴.∠OBE=∠ODE=90°. OD为半径， ∴DE是⊙O的切线. ……1分 (2)解：由(1)，得BC=2DE=10. 在Rt△BDC中， BD BD 4 sin C-BC-105' …1分 .BD=8,CD=BC2-BD=6. …1分 ∠A+∠C=90°， ∠A十∠ABD=90°， ∴.∠C=∠ABD ∠ADB=∠BDC=90°， …分 ∴.△ADB∽△BDC. “品-0 .AD= BD28232 CD=6=3 …1分 3 27、解：(1)15°. …2分 (2)①由折叠，得BF=AB=5,EF=AE. ,将矩形纸片ABCD对折，使BA 与CD重合，折痕为MN, 六AW=8M=号8C=4, MN⊥BC,MN=AB=5. ……1分 在Rt△FBM中，由勾股定理，得 FM=√JBF2-B=√5-4=3. .FN=MN-FM=5-3=2. …1分 设AE=EF=x,则EN=4一x. 在Rt△EFN中，由勾股定理，得 EN2+FN2=EF2. ∴.(4-x)2十22=x2. …1分 5 解得x=之 ..AE= 2 …1分 ②10. ………2分 ()6政 …2分 28.解：(1)把B(一1,0)，(1,4)代入二次函数 y=-x2+bx+m, 0=-1-b+m, 得 …1分 4=-1+b+m. b=2, 解得 m=3. …1分 ∴.二次函数的解析式为 y=-x2+2x+3. …1分 (2)当x=0时，y=一x2+2x+3=3, .C(0,3). …1分 当y=0时，一x2+2x+3=0, 解得x1=-1,x2=3. ∴.A(3,0). …1分 4 ,直线DF把△ACF的面积分成 1:2两部分，且△AEF与 △CEF等高不等底， =b “器-专或器 …1分 DE∥BC, ÷怎-8-号我8是-8-21分 AB=3-(-1)=4, BD=4X号-号或 28 BD=4X3=3 …1分 D(传o)或(o …1分 (3)存在.点Q的坐标为(3,4)或 (1,-2) …2分 6初四数学试题答案 一、选择题 1.B 2.C 3.D 4.A 5.B 6.A 7.B 8.A 9.B 10.D 11.C 12.C 二、填空题 13、1.246×108 14、a6-)2 15、 16、6 17、 -1) 19、10 20、8W5 22、2或3或号 三、解答题 解：(1)如图，⊙O为所作. …（3分 D (2)设⊙O交AB于点F,交BC于点E ,AC与⊙O相切， .OD⊥AC.…(1分) ∠C=90°， ∴.OD∥BC. ……（1分) ∴.∠AOD=∠ABC=60°. .AO=2OD.…(1分) .OA+OB=AB, 20B+0B-10,解得OB=10 3 10 ∴⊙0的半径为3.…(1分) 10 24、解：(1)被调查学生总人数品=100（名） D的人数：100-10-20-40-5=25（名）， 补全条形统计图如下： 人数名 35 … A B CD E类别 (2)C“科技类”所对应的圆心角度数是360°×品=144° 故答案为：144 1 X22 18、(2,1)或(-2， 21、45 …1分 …1分 …1分 (3)画树状图如下： 开始 …2分 B C D B C D 甲乙两位同学选择相同类别书籍的结果有2种， …1分 :甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为会， 25.解：(1)设A,B两种污水处理设备每周每台分别可 以处理污水m吨和n吨. m+2n=640, 根据题意，得 …1分 2m+3n=1080. m=240, 解得 …1分 n=200. 答：A种污水处理设备每周每台可以处理 污水240吨，B种污水处理设备每周每 台可以处理污水200吨， (2)设购买A型污水处理设备a台，则购买B型污 水处理设备(20一a)台. 根据题意， 12a+10(20-a)≤230， …1分 得 240a+200(20-a)≥4500. …1分 解得罗<a<15. a取整数， .a=13,14,15 …1分 共有3种购买方案， W=12a+10(20-a)=2a+200 …1分 .2>0 ∴W随a的增大而增大。 ∴.当a=13时，W最小。 最小值为200+2×13=226（万元） …1分 即购买A型污水处理设备13台，B型污水处理设备7台需资金最少， 2 最少资金为226万元。 (3)①100km/h,1 ②9h或9h或5h 26、(1)证明：连接OD,BD. 在Rt△ABC中，∠ABC=90° ,AB是⊙O的直径， ∴.∠ADB=90°，即BD⊥AC. 在Rt△BDC中， E是BC的中点， ∴BE=DE=2BC. 又OB=OD,OE=OE, .∴.△OBE≌△ODE(SSS): ∴.∠OBE=∠ODE=90°. OD为半径， (2)解：由(1)，得BC=2DE=10. 在Rt△BDC中， smc-8-0-， ∴.BD=8,CD=√BC2-BDz=6 ∠A+∠C=90°， ∠A+∠ABD=90°， ∴.∠C=∠ABD ,∠ADB=∠BDC=90°， ∴.△ADB∽△BDC. ·ADBD BDCD ..AD= BD28232 CD=6=3 3 …2分 …3分 …1分 …1分 …1分 …1分 …1分 …1分 …1分 27、解； $$\left( 1 \right) 1 5 ^ { \circ } .$$ ..............2分 ( 2)①由折叠，得 BF=AB=5，EF=AE. 将矩形纸片ABCD对折， 使BA 与CD重合，折痕为MN， $$\therefore A N = B M = \frac { 1 } { 2 } B C = 4 ，$$ MN⊥BC，MN=AB=5. ..1分 在 Rt△FBM 中，由勾股定理，得 $$F M = \sqrt { B F ^ { 2 } - B M ^ { 2 } } = \sqrt { 5 ^ { 2 } - 4 ^ { 2 } } = 3 .$$ ........1分 ∴FN=MN-FM=5-3=2. 设 AE=EF=x， 则 EN=4-x 在 Rt△EFN 中，由勾股定理，得 $$E N ^ { 2 } + F N ^ { 2 } = E F ^ { 2 } .$$ .........1分 $$\therefore \left( 4 - x \right) ^ { 2 } + 2 ^ { 2 } = x ^ { 2 } .$$ 解得 $$x = \frac { 5 } { 2 } .$$ ...........…1 分 $$\therefore A E = \frac { 5 } { 2 }$$ .…2分 ②10. ...............2分 (3)6或 28.解：(1)把 $$B . \frac { 2 6 } { B C } .$$ B(-1，0)，(1，4) 代入二次函数 $$y = - x ^ { 2 } + b x + m ，$$ 0=-1-b+m， 得 ............1分 4=-1+b+m. 解得 $$\left\{ \begin{array}{l} b = 2 ， \\ m = 3 . \end{array} \right.$$ ...…1分 ∴ 二次函数的解析式为 ...........…1分 $$y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 .$$ (2)当 x=0 $$， y = - x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 3 ，$$ .. ..... ...........…1分 ∴C(0，3). 当 y=0 时， - $$- x ^ { 2 } + 2 x + 3 = 0 ，$$ 解得 $$x _ { 1 } = - 1 ， x _ { 2 } = 3 .$$ .............1分 ∴A(3，0)， 4 直线DF把△ACF的面积分成 1:2两部分，且△AEF与 △CEF等高不等底， 器-或是-2 …1分 .DE∥BC, CE_BD 1 ”A万=AD=2或号=32.1分 .AB=3-(-1)=4, :BD=4×号-专或 BD=4X号-多 …1分 ∴D(3o)或(3o …1分 (3)存在.点Q的坐标为(3,4)或 …2分 (1,-2). 共 4 页 姓 名 班 级 …………………装………………………订…………………………线…………………………………… …………………… …………………… …………………… …………………… 1、 选择题（本题共12个小题，每题3分，共36分） 1、计算：的结果是 ( ) A.2027 B.2026 C.2025 D.0 2、下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 ( ) A B C D. . . 3、 如图是某几何体的主视图，则该几何体是 ( ) A B C D 4、下列计算正确的是 ( ) A. B. C. D. 5、把一块含30角的直角三角板按如图所示方式放置于两条平行线间，若∠1=45°, 则∠2= ( ) A.10° B.15° C.20° D.30° 第3题图 第5题图 第9题图 6、某校八年级一班4名团员的年龄（单位:岁）分别为13、14、14、15, 一年后由这4名团员的年龄组成的数据不会改变的是 ( ) A.方差 B.众数 C.中位数 D.平均数 7、用一张半径为24cm， 圆心角为 120°的扇形纸板做一个圆锥，在不考虑接缝的情况下， 这个圆锥的底面圆半径是 ( ) A.4cm B.8cm C.12cm D.16cm 8、在物理学中，物质的密度等于由物质组成的物体的质量m与它的体积V之比，即 ，已知A物体的密度是B物体密度的2倍，当物体A的质量是100g，物体B的质量是200g时，物体B的体积比物体A的体积大27. 如果设物体A的体积是，那么根据题意列方程为 ( ) A. B. C. D. 9、如图，在ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，点E是BC边上一点，且, 连接AE. 已知, 则的值为 ( ) A. B. C. D. 10、下列命题正确的是 ( ) A.等边三角形是中心对称图形 B.甲、乙两人参加环保知识竞赛，他们的平均成绩相同，方差分别是S=2.25,=1.81, 则甲成绩比乙的稳定 C.在同圆或等圆中，同一条弦所对的圆周角相等 D.顺次连接矩形四边中点所形成的四边形是菱形 11、如图，直角梯形OABF中,∠OAB=∠B=90，A点在轴上，双曲线过点F，与AB交于E点，连接EF，若，4, 则的值为 ( ) A. 2 B.3 C.6 D.8 第11题图 第12题图 第16题图 第18题图 12、如图，已知二次函数图象的对称轴为直线，有下列结论： ①；②；③；④若为任意实数，则有；⑤当图象经过点时，方程的两根为，则.其中正确的结论有 ( ) A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2、 填空题（本题共10个小题，每题3分，共30分） 13、某平台大约有124 600 000名用户，将124 600 000用科学记数法表示为 . 14、因式分解： . 15、函数 的自变量的取值范围是 . 16、如图，在A处测得点P在北偏东60°方向上，在B处测得点P在北偏东30°方向上，若千米，则点AB两点的距离为 千米. 17、化简: = . 18、如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点O是坐标原点，边OA在x轴上，OC在y轴上，如果矩形OA'B'C'与矩形OABC关于点O位似，且矩形OA'B'C'的面积等于矩形OABC面积的，那么点的坐标是 . 19、若一元二次方程 的两根为α, β, 则的值为 . 20、如图，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，CD=8，连接BD,点P是BD上的一个动点，连接PA、PC，则PA+PB+PC的最小值是 . 初四数学试题 共 4 页 第20题图 第21题图 第22题图 第1页 (共4页) 第2页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 21、如图是一组有规律的图案，第1个图中有4个小黑点，第2个图中有7个小黑点，第3个图中有12个小黑点，第4个图中有19个小黑点……，以此规律，第n个图中有2028个小黑点，则n的值为 . 22、如图，矩形ABCD的边AB=3，BC=5，E是边CD上一点，将沿AE折叠得到,点D恰好落在边BC上点F处，将线段AP沿着射线BA方向平移得到对应线段，连接，当是等腰三角形时，平移的距离为 . 三、解答题（本题共6个小题，共54分） 23、（7分）如图，在中，∠C=90°， (1) 用无刻度的直尺和圆规在图中作⊙O，使圆心 O 在AB边上，⊙O 过点 B 且与边AC相切于点D(不写作法，保留作图痕迹); (2) 在 (1) 的条件下, 若∠ABC= 60°, AB=10, 求 ⊙O 的半径. 24、（7分）学校开展以“书香校园一我最喜欢的书籍”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍(A：政史类，B：文学类，C：科技类，D：艺术类，E：其他类). 学校数学兴趣小组对部分学生进行了问 卷调查，根据收集到的数据，数学兴趣小组绘制了两幅不完整的统计图(如图所示). 根据以上信息，解答下列问题： （1）学校此次被调查的学生总人数为 名，并根据题意补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，C“科技类”所对应的圆心角度数是 度； （3）学校数学兴趣小组中，甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率. 25.（12分）为了更好地保护河流，污水处理厂决定先购买 A，B两种类型的污水处理设备共20台. 每台A型污水处理设备12万元，每台B型污水处理设备10万元. 已知1台A型设备和2台B型设备每周共可以处理污水640吨，2台A型设备和3台B型设备每周共可以处理污水1080吨. (1) 求A，B两种污水处理设备每周每台分别可以处理污水多少吨？ (2) 经预算，污水处理厂购买设备的资金不超过230万元，每周的污水处理量不低于4500吨，共有几种购买 方案？当购买A, B两种设备各多少台时，所需资金最少，最少资金是多少元? (3)已知污水处理厂与污水设备制造厂相距300km，一辆出租车从污水处理厂出发往返于污水处理厂与污水设备制造厂两地，一辆运送污水设备的货车沿同一条公路从污水设备制造厂前往污水处理厂，两车同时出发，出租车到达污水设备制造厂后休息了一段时间，然后按原路原速返回，结果出租车比货车早半小时到达污水处理厂. 如图是两车距污水处理厂的距离y(单位：km)与行驶时间x (单位：h)之间的函数关系图象. ①出租车的行驶速度是 ，出租车到污水设备制造厂后休息的时间为 h； ②直接写出两车出发多长时间相距100km.…………………装………………………订…………………………线…………………………………… …………………… …………………… …………………… …………………… 26.（7分）如图， 的直角边AB为直径作⊙O，交 斜边AC于点 D，点E是BC的中点 , 连接OE，DE. (1) 求证：DE是⊙O的切线 ; (2) 若，DE=5，求AD的长. 27.（10分）【综合与实践】 【操作发现】 如图1，在正方形纸片ABCD中，E是AD边上一点，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F落在正方形内部，延长EF交CD边于点G，连接BG，易知 ≌. 【深入探究】 (1)如图2，将正方形纸片ABCD对折，使AD与BC重合，折痕为MN，再把纸片展平，然后继续进行（1）中的操作，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F恰好落在折痕MN上，其他条件不变，连接BG，则∠FBG的度数为 ； 【类比迁移】 (2)①如图3，将矩形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为MN，再把纸片展平，点E在线段AD上，将△ABE沿BE翻折，点A的对应点F刚好落在直线MN上，若AB=5,BC=8，求AE的长; ②若点E在线段AD的延长线上，①中其他条件不变，则AE的长为 ； 【拓展应用】 (3)如图4，在菱形ABCD中，∠C=60°，边长为10，E是CD边上一点，F是BC边上一点，将△CEF沿EF翻折，点C的对应点G恰好落在菱形ABCD的边上，且DG=4，直接写出CF的长. 图1 图2 图3 图4 28.（11分）如图，二次函数的图象过点(1，4), 与轴交于点A，B（-1，0），与轴交于点C . （1）求二次函数解析式; （2）D为线段AB上的一个动点，DE∥BC交AC于点E，交抛物线于点F，连接CF和AF，当直线DF把△ACF的面积分成1:2两部分时，求出点D的坐标； （3）若点P在直线AC上，Q是平面内一点，是 否存在点Q，使以A,B,P,Q为顶点的四边形为矩形？若存在，请你直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由. 第3页 (共4页) 第4页 (共4页) 学科网（北京）股份有限公司 $