精品解析：黑龙江佳木斯市富锦市多校2025—2026学年九年级下学期第四次阶段测试数学试卷

2025—2026学年度九年级（下）第四次阶段测试 数学试卷 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列选项中的几个图形不是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 3. 在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁的平均环数均相同，而方差分别为8.7，6.5，9.1，7.7，则这四人中，射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 如图：是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 5. 某市计划举行校际足球比赛，赛制为单循环形式，已知这些球队共要比赛21场，则参加比赛的球队共有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 6. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 7. 张老师打算将38件相同的新年礼物进行包装，现有A，B两种礼品袋可选，A种礼品袋可装3件礼品，B种礼品袋可装5件礼品，则不同的包装方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 8. 如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 10. 如图，平行四边形的对角线相交于点O．E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000 秒，用科学记数法表示31536000=_________． 12. 函数中自变量的取值范围是________． 13. 如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 14. 一个不透明袋子中装有2个红球和1个黑球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后，放回并摇匀，再随机摸出1个球，两次都摸出红球的概率是_____． 15. 若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 16. 如图：是的直径，是的切线，为切点，连接，与交于点，连接，若，则______． 17. 圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则圆锥母线长为______． 18. 如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为______． 19. 在中，是边上的高，且，，则的长为______． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作交y轴于点，过点作交x轴于点，过点作交y轴于点……依此规律，则点的坐标为______． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中a=2sin60°﹣tan45°． 22. 如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的，直接写出点的坐标______． （2）画出绕点O顺时针旋转后的． （3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留） 23. 如图：抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，其中， （1）求抛物线的解析式； （2）点G是抛物线上的一点，且满足，请直接写出点G的坐标． 24. 初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某区教委对该区部分学校的九年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了______名学生； （2）将图①补充完整； （3）求出图②中B级所占的圆心角度数？ （4）根据抽样调查结果，请你估计该区近2000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？ 25. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向A地行驶，到达A地后停止行驶，原地休息：甲车到达B地后，立即按原路原速返回A地（甲车掉头的时间忽略不计），甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图象如图．请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的行驶速度是______，在图中括号内填入正确的数值； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式？写出取值范围． （3）两车出发后几小时相距的路程为120千米？请直接写出答案． 26. 将两个全等的直角和直角按图方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． （1）求证：； （2）若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图，请直接写出与之间的数量关系； （3）若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图，请直接写出与之间的数量关系． 27. 某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫，购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元；购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元． （1）这两种品牌的T恤衫的进价各多少元？ （2）商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫共件，总资金不少于元，且购进甲品牌T恤衫至少件，该商场有哪几种进货方案？ （3）若商场决定将甲品牌T恤衫以每件元出售，乙品牌T恤衫以每件元出售，则全部售出后，（）中的进货方案哪种利润最大？最大利润是多少？ 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，A，C在坐标轴上，D为的中点，的长是方程的两根，点M从点O出发沿折线运动到点A停止，点N从点O出发沿运动到点A停止，它们的速度都是每秒1个单位长度，若点M，N同时开始运动，设运动时间为t秒，的面积为S． （1）求点B的坐标； （2）求出S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在使得为等腰三角形的点M？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度九年级（下）第四次阶段测试 数学试卷 一、选择题：（每题3分，共30分） 1. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据整式的运算法则，涉及完全平方公式、单项式乘单项式、同底数幂的除法、幂的乘方，逐一计算判断即可． 【详解】解：，故A错误； ，故B错误； ，故C错误； ，故D正确． 2. 下列选项中的几个图形不是轴对称的图形是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两侧的部分能够完全重合，这个图形就是轴对称图形，逐个分析即可解答． 【详解】解：A：这个警告标志沿竖直中线对折，直线两侧可以完全重合，是轴对称图形； B：不存在任何一条直线，能让这个图形对折后两侧完全重合，因此不是轴对称图形； C：该图形沿竖直中线对折，两侧可以完全重合，是轴对称图形； D：圆加水平直径，沿水平直径或竖直中线都能对折重合，是轴对称图形． 3. 在一次射击测试中，甲、乙、丙、丁的平均环数均相同，而方差分别为8.7，6.5，9.1，7.7，则这四人中，射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【详解】解：因为S甲2=8.7，S乙2=6.5，S丙2=9.1，S丁2=7.7． 所以S丙2＞S甲2＞S丁2＞S乙2， 所以射击成绩最稳定的是乙． 故选B． 4. 如图：是由一些大小相同的小正方体组成的几何体的主视图和俯视图，则组成这个几何体的小正方体的个数最少有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】从俯视图中可以看出最底层小正方体的个数及形状，从主视图可以看出第二、三层的个数，从而算出总的个数． 【详解】解：俯视图的每个正方形对应几何体底层的一个小正方体，数俯视图可得一共有个正方形，因此底层最少有个小正方体， 主视图从左到右三列的高度分别为，对应几何体从左到右三列的最大高度： 最左列：最大高度为，所有位置都只有层，不需要额外加小正方体； 中间列：最大高度为，只需任意个位置加个第二层的小正方体即可满足要求，最少加个； 最右列：最大高度为，只需某一个位置加个第二层、个第三层的小正方体即可满足要求，最少加个； 计算总个数：，因此组成这个几何体的小正方体的个数最少有个． 5. 某市计划举行校际足球比赛，赛制为单循环形式，已知这些球队共要比赛21场，则参加比赛的球队共有（ ） A. 6支 B. 7支 C. 8支 D. 9支 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的实际应用，明确单循环赛制为每两队之间只比赛一场，设出球队数量，根据总比赛场数列方程求解即可． 【详解】解：设参加比赛的球队共有支． ∵赛制为单循环形式，每两队之间只比赛一场，总比赛场数为21场 ∴可列方程 整理得 因式分解得 解得 ∵球队数量为正整数 ∴ 即参加比赛的球队共有7支． 6. 已知关于x的分式方程的解是正数，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 且 D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解，根据分式方程的解为正数得到且，即可求解． 【详解】方程两边同时乘以，得， 解得， 关于x的分式方程的解是正数， ，且， 即且， 且， 故选：C． 【点睛】本题考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不为0，熟练掌握知识点是解题的关键． 7. 张老师打算将38件相同的新年礼物进行包装，现有A，B两种礼品袋可选，A种礼品袋可装3件礼品，B种礼品袋可装5件礼品，则不同的包装方案共有（ ） A. 3种 B. 4种 C. 5种 D. 6种 【答案】A 【解析】 【分析】本题通过设未知数，根据礼品总数列出二元一次方程，求方程的非负整数解，解的个数即为不同包装方案的数量． 【详解】解：设需要A种礼品袋个，B种礼品袋个，其中为非负整数， 根据题意可得： 整理得 ， ， 解得 又必须是3的非负倍数，且为非负整数， 验证可得符合条件的解为：；；； 其余值均不满足条件，因此共有3种不同的包装方案． 8. 如图：点A、B在反比例函数的图象上，过点A、B作x轴的垂线，垂足分别是M、N，射线交x轴于点C，若，四边形的面积是3，则k的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三角形面积公式得到，，再根据反比例函数的比例系数k的几何意义得到，然后利用去绝对值求解． 【详解】解：∵点A、B在反比例函数y的图象上， ∴， ∵， ∴， ∴，，， ∵四边形的面积是3， ∴， ∴， ∴， ∵反比例函数的图象在第二四象限， ∴ 9. 如图，四边形中.为的平分线，，E，F分别是的中点，则的长为（　　） A. 1 B. 1.5 C. 2 D. 2.5 【答案】A 【解析】 【分析】根据勾股定理得到，根据平行线的性质和角平分线的定义得到，求得，如图：连接并延长交于G，根据全等三角形的性质得到，求得，再根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵为的平分线， ∴， ∴， ∴， 如图：连接并延长交于G ∵ ∴， ∵F是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵E是BD的中点， ∴． 故选：A． 【点睛】本题主要考查了三角形的中位线定理、全等三角形的判定和性质、勾股定理等知识点，根据题意正确的作出辅助线是解题的关键． 10. 如图，平行四边形的对角线相交于点O．E为的中点，连接并延长交于点F，，．下列结论：①；②；③四边形是菱形；④．其中正确的结论是（ ） A. ①②③ B. ①②④ C. ②③④ D. ①②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】通过判定为等边三角形求得，利用等腰三角形的性质求得，从而判断①；利用有一组邻边相等的平行四边形是菱形判断③，然后结合菱形的性质和含直角三角形的性质判断②；根据三角形中线的性质判断④． 【详解】解：点为的中点， ， 又∵ ， ∵ ∴， 是等边三角形， ，， ， ， 即，故①正确； 在平行四边形中，，，， ， 在和中， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， 平行四边形是菱形，故③正确； ∵平行四边形是菱形， ， 在中，， ，则，故②正确； 在平行四边形中，， 又点为的中点， ，故④正确； 正确的结论①②③④． 二、填空题：（每题3分，共30分） 11. 已知一天有86400秒，一年按365天计算共有31536000 秒，用科学记数法表示31536000=_________． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，n为整数．当确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值时，n是正整数；当原数绝对值＜1时，n是负整数． 【详解】解： 故答案为：． 【点睛】本题考查科学记数法的表示方法，解题关键是要正确确定a的值以及n的值． 12. 函数中自变量的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列式进行计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，且， 解得且， 所以，自变量的取值范围是． 故答案为． 【点睛】本题考查了求函数自变量的取值范围，掌握分式有意义的条件，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数是解题的关键． 13. 如图：点在同一直线上，，，请添加一个条件______，使得（填一个即可）． 【答案】（答案不唯一 、 ） 【解析】 【分析】根据全等三角形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：∵点在同一直线上，， ∴， ∴； 又∵， 根据平行线的性质，得 此时已经具备一边一角对应相等，根据三角形全等判定定理，添加条件即可： 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等； 添加，可由判定全等，以上均正确 综上， 答案不唯一，，、 都正确． 14. 一个不透明袋子中装有2个红球和1个黑球，除颜色外无其他差别．从袋子中随机摸出1个球后，放回并摇匀，再随机摸出1个球，两次都摸出红球的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率．注意列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率＝所求情况数与总情况数之比．依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率． 【详解】解：红色小球用数字1、2表示，黑色小球用3表示，列表得： 1 2 3 1 2 3 由上表可知，从袋子总随机摸出两个小球可能会出现9个等可能的结果，其中两次都摸到红球的结果有4个， ∴两次都摸到红球的概率为， 故答案为：． 15. 若关于x的不等式组只有3个整数解，则a的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先表示出不等式组的解集，根据不等式组只有3个整数解，确定出a的范围即可. 【详解】解： 解不等式，得， 解不等式， ， ， 因此不等式组的解集为， ∵不等式组只有3个整数解， ∴整数解为1， 2，3， 可得， 解得． 16. 如图：是的直径，是的切线，为切点，连接，与交于点，连接，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据圆周角定理求出的度数，再利用切线的性质得到，最后在中求出的度数． 【详解】解：根据圆周角定理：同弧所对的圆周角是圆心角的一半，弧对应的圆心角， ∴， ∵是的直径，是的切线， ∴根据切线性质：切线垂直于过切点的半径，得，即， 在中，． 17. 圆锥的侧面积为，底面圆的半径为，则圆锥母线长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查圆锥的侧面积计算，思路为利用圆锥侧面积公式，明确圆锥底面圆周长为侧面展开扇形的弧长，圆锥母线长为扇形的半径，据此列方程求解即可． 【详解】解：设圆锥的母线长为， 已知圆锥底面圆半径，可得底面圆周长， 根据圆锥侧面积公式，代入得 解得． 18. 如图，在矩形中，，点E在边上， ，在矩形内找一点P，使得，则线段的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点与圆的位置关系，勾股定理，圆周角定理，解直角三角形，矩形的性质，关键是判定点P在所对圆周角的圆O上运动． 点P在所对圆周角的圆O上运动，当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M，求出，，由等腰三角形的性质推出，，由圆周角定理得到，由，求出，由含30度角的直角三角形的性质得到，判定四边形是矩形，得到，，由勾股定理求出的长，即可得到答案． 【详解】解：点P在所对圆周角的圆O上运动， 当的延长线过圆心O时，有最小值，连接，，过O作于H，过O作于M， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 19. 在中，是边上的高，且，，则的长为______． 【答案】或 【解析】 【分析】根据是边上的高，可得为直角三角形，利用含角的直角三角形的性质求出的长度，分高在内部和外部两种情况计算的长． 【详解】解：∵是边上的高， ∴， 在中，，， ∴， 由勾股定理得：， 分两种情况讨论： ① 当高在内部时，点在线段上， ， ② 当高在外部时，点在的延长线上， ， 综上，的长为或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，点，，过点作交y轴于点，过点作交x轴于点，过点作交y轴于点……依此规律，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】通过证明，得到，得出，同理可得：，，得出，代入求出的长，再根据坐标系得出点落在y轴的正半轴，即可求解． 【详解】解：由条件可知， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 同理可得：，，⋯， ∴依此类推，， ∴当时，， 由坐标系可得，经过4次，点A落在y轴的正半轴上， ∵， ∴点落在轴的正半轴上， ∴点的坐标为． 三、解答题（共60分） 21. 先化简，再求值：，其中a=2sin60°﹣tan45°． 【答案】， 【解析】 【分析】先利用分式运算的法则进行化简，再根据特殊角的三角函数值化简a，最后将a代入即可得出结果． 【详解】解：原式=[]•(a﹣1) =•(a﹣1) =， 当a=2sin60°﹣tan45°=2×﹣1=﹣1时， 原式=． 【点睛】本题主要考查分式的运算以及特殊角的三角函数值，掌握基本运算法则是解题的关键． 22. 如图：正方形网格中，每个小正方形的边长都是1个单位长度，在平面直角坐标系内，的三个顶点坐标分别为，，． （1）画出关于x轴对称的，直接写出点的坐标______． （2）画出绕点O顺时针旋转后的． （3）在（2）的条件下，求线段扫过的面积（结果保留） 【答案】（1）图见解析， （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）先根据关于x轴对称的特点，找到A、B、C的对应点，然后顺次连接，即可得到答案； （2）根据绕原点旋转90度的特点，画出旋转图形即可； （3）旋转时线段扫过的面积进行求解即可． 【小问1详解】 解：如图所示，即为所求, ∴坐标为； 【小问2详解】 解：如图所示，即为所求； 【小问3详解】 ∵，． ∴，， ∴旋转时线段扫过的面积． 23. 如图：抛物线与x轴交于点A和点B，与y轴交于点C，其中， （1）求抛物线的解析式； （2）点G是抛物线上的一点，且满足，请直接写出点G的坐标． 【答案】（1）抛物线的解析式为 （2）存在；或 【解析】 【分析】（1）根据待定系数法求解即可； （2）设G的横坐标为m，根据列出关于m的方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线经过，， ∴， 解得， ∴； 【小问2详解】 解：当时，解得，， ∴， 又，， ∴， 设点G的横坐标为m， ∵， ∴， ∴， 当时，； 当时，； ∴点G的坐标为或． 24. 初中生对待学习的态度一直是教育工作者关注的问题之一．为此某区教委对该区部分学校的九年级学生对待学习的态度进行了一次抽样调查（把学习态度分为三个层级，A级：对学习很感兴趣；B级：对学习较感兴趣；C级：对学习不感兴趣），并将调查结果绘制成图①和图②的统计图（不完整）．请根据图中提供的信息，解答下列问题： （1）此次抽样调查中，共调查了______名学生； （2）将图①补充完整； （3）求出图②中B级所占的圆心角度数？ （4）根据抽样调查结果，请你估计该区近2000名初中生中大约有多少名学生学习态度达标（达标包括A级和B级）？ 【答案】（1）200 （2）30 （3） （4）1700人 【解析】 【分析】（1）通过对比条形统计图和扇形统计图可知：学习态度层级为A级的有50人，占部分九年级学生的，即可求得总人数； （2）由（1）可求出C级人数，将图补充完整即可； （3）各个扇形的圆心角的度数该部分占总体的百分比，据此进行解答即可； （4）达标人数所占百分比乘以2000即可求出答案． 【小问1详解】 解：； 即此次抽样调查中，共调查了名学生； 【小问2详解】 解：（人）． 如图， 【小问3详解】 解：B所占圆心角度数． 【小问4详解】 （名） ∴估计该区初中生中大约有1700名学生学习态度达标． 25. 甲、乙两车分别从A，B两地同时出发，匀速行驶，先相向而行．途中乙车因故停留1小时，然后以原速继续向A地行驶，到达A地后停止行驶，原地休息：甲车到达B地后，立即按原路原速返回A地（甲车掉头的时间忽略不计），甲、乙两车距各自出发地的路程y（千米）与所用时间x（时）之间的函数图象如图．请结合图象信息解答下列问题： （1）乙车的行驶速度是______，在图中括号内填入正确的数值； （2）求甲车返回时y与x之间的函数关系式？写出取值范围． （3）两车出发后几小时相距的路程为120千米？请直接写出答案． 【答案】（1），300 （2）， （3）或或 【解析】 【分析】（1）根据题意，得到乙车行驶的路程及时间即可得到速度，再计算的路程即可； （2）利用待定系数法求解析式即可； （3）分当两车第一次相遇前相距120千米的路程；当两车第一次相遇后，甲车到达地前，相距120千米的路程；当甲车到达地后返回A地，两车第二次相遇后，甲车到A地距离共有120千米，所以两车不可能再相距120千米；分别求解即可． 【小问1详解】 解：由图可知从A，B两地相距千米，乙车共用，途中休息， 则乙车的行驶速度为， ，故图中括号内正确的数值为； 【小问2详解】 甲车返回时y与x之间的函数关系式为， 又由图可知甲共用，则返回时的函数关系式过点和， ，解得, 则； 【小问3详解】 解：甲车共用时， 则甲车的行驶速度为， 则第一次甲乙两车相遇的时间为， 第一次相遇前，甲乙相距120千米： （小时）， 第一次相遇后且甲未到地时，甲乙相距120千米： （小时）， 甲到达地后立即返回A地且未与乙相遇时，甲乙相距120千米： （小时）， 第二次相遇后，当甲停止行驶时，此时乙所在的位置距离为： （千米），，所以此情况不存在 综上，两车出发后2小时或小时或小时相距120千米的路程． 26. 将两个全等的直角和直角按图方式摆放，其中，，点落在上，所在直线交所在直线于点． （1）求证：； （2）若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图，请直接写出与之间的数量关系； （3）若将图中的绕点按顺时针方向旋转角，且，其它条件不变，如图，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（）连接辅助线，利用已知全等得、，用证得，结合，根据点的位置做线段差转化，通过线段和转化即可证明； （）连接用证得，结合，根据点的位置做线段差转化，最终得到数量关系为； （）连接用证得，结合，根据点的位置做线段差转化，最终得到数量关系为． 【小问1详解】 证明：连接，如图所示： ∵ ，  ∴， 又∵， ∴ ， 在和中， ，  ∴， ∴ ， ∵，且，  ∴； 【小问2详解】 数量关系： 理由：如图中，连接 ∵ ，  ∴，， 又∵， ∴ ， 在和中， ，  ∴， ∴ ， ∴； 【小问3详解】 数量关系：， 如图所示，连接， ∵ ，  ∴，， 又∵， ∴ ， 在和中，  ，  ∴， ∴ ， ∴， 整理得． 27. 某商场计划购进甲、乙两种品牌的T恤衫，购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元；购进甲品牌的T恤衫件、乙品牌的T恤衫件共需元． （1）这两种品牌的T恤衫的进价各多少元？ （2）商场决定购进甲、乙两种品牌T恤衫共件，总资金不少于元，且购进甲品牌T恤衫至少件，该商场有哪几种进货方案？ （3）若商场决定将甲品牌T恤衫以每件元出售，乙品牌T恤衫以每件元出售，则全部售出后，（）中的进货方案哪种利润最大？最大利润是多少？ 【答案】（1）甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元 （2）方案1：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件；方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件 （3）购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件利润最大，最大利润是元 【解析】 【分析】（）通过设甲、乙品牌T恤衫的进价为未知数，根据两种进货方案的总费用列出二元一次方程组，求解得出两种T恤的进价； （）设购进甲品牌T恤衫的数量为未知数，结合甲的数量限制和总进价不低于元的条件列出不等式组，求解得到符合条件的正整数解，进而确定所有进货方案； （）根据两种T恤的单件利润列出总利润关于甲品牌数量的一次函数，利用一次函数的单调性，结合（）中的取值范围，求出利润的最大值及对应的进货方案． 【小问1详解】 解：设甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元 由题意，得， 解得：， 答：甲品牌T恤衫的进价为元，乙品牌T恤衫的进价为元； 【小问2详解】 解：设购进甲品牌T恤衫件，则购进乙品牌T恤衫件， 根据题意得， 解得， ∵是正整数， ∴，，， ∴，， ∴有种方案 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； 方案：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件； 【小问3详解】 解：设总利润为元 ， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，（元）， 答：购进甲品牌T恤衫件，乙品牌T恤衫件利润最大，最大利润是元． 28. 如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点O，A，C在坐标轴上，D为的中点，的长是方程的两根，点M从点O出发沿折线运动到点A停止，点N从点O出发沿运动到点A停止，它们的速度都是每秒1个单位长度，若点M，N同时开始运动，设运动时间为t秒，的面积为S． （1）求点B的坐标； （2）求出S与t的函数关系式； （3）在运动过程中，是否存在使得为等腰三角形的点M？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2） （3）存在：或或或 【解析】 【分析】（1）解一元二次方程，得到，进而求出即可求解； （2）分、、三种情况，结合三角形面积公式求解； （3）根据①在上，且时，②在上，且时，③当在上，且时，④当在上，且时四种情况进行分析求解． 【小问1详解】 解：， 解得， ， 在矩形中，，， ， D为的中点， ， 则点B的坐标； 【小问2详解】 解：由（1）可知， ①当时，， ， ，则， 为等边三角形， 过作，交于， ， ， 此时； ②当时，， 边上的高， 此时； ③当时，，， 此时， 综上，； 【小问3详解】 存在 ①在上，且时， 此时在的垂直平分线上， ，， ； ②在上，且时，过作， ， ； ③当在上，且时， ； ④当在上，且时， 此时为中点， ； 综上，M的坐标为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $