精品解析：2026年山东省烟台市蓬莱区二模数学试题

2026年中考适应性考试数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. 0 D. 2. 随着新一轮科技革命和产业变革逐步走向纵深，我国新能源汽车产业实现了快速发展，新能源汽车已经成为我们日常出行的重要交通工具．据预测，年底，我国新能源汽车保有量有望达到万辆，其中“万”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 3. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法正确的是（ ） A. “清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 为了解某灯泡的使用寿命，可以采用全面调查的方式进行 C. 甲乙两组身高数据的方差分别为 ，那么甲组的身高比较整齐 D. 一组数据5、3、4、6、5、7的众数、中位数和平均数都是5 6. 一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 7. 如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（ ） A. 与的相似比为 B. C. D. 8. 如图，已知点、在反比例函数的图像上，轴，轴，若的面积为，则的值为( ) A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图1，菱形的边长为，动点，同时从点出发，点沿线段向终点匀速运动，点沿折线向终点匀速运动，两点同时到达终点并停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，与的关系如图2所示，下列说法中不正确的有（ ） A. B. 菱形的面积为 C. 时， D. 时， 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 比较大小：________．（填“”“”或“”） 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 13. 如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______（结果用表示）． 15. 如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 16. 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值：，其中，且为整数，请从中选取一个合适的数代入求值． 18. 聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A.非遗传承人；B.运动打卡师；C.睡眠科学家；D.今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： （1）求该班此次调查的学生人数； （2）求的值，并补全条形统计图； （3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 19. 现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．A，B，C三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空：__________，__________； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽D的高度及伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 20. 为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动． 请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一： 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同． 材料二： A型客车租车费用为3800元/辆；B型客车租车费用为3500元/辆． 若租用B型客车，租车费用打八折． 学校参加研学活动师生共有570人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交点，与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点、点的横坐标分别是和． （1）当时，直接写出的取值范围； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一、第三象限的图象分别交于点C、D，在直线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 22. 如图，在中，． （1）用无刻度直尺和圆规完成以下作图；（保留作图痕迹，不写作法） ①作边的中线； ②过点作边的垂线，垂足为点； ③以O为圆心为半径作． （2）在（1）的条件下，求证：是的切线； （3）在（1）的条件下，若交于点，连接，，，请直接写出的值． 23. 问题解决： 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，连接交于点； ①求的度数；②直接写出、、三条线段的关系； 拓展探究： （3）如图3，矩形中，，当，时，则__________． 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求： ①P点的坐标； ②的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考适应性考试数学试题 （时间：120分钟） 一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，满分30分）每小题都给出标号为A，B，C，D四个备选答案，其中有且只有一个是正确的． 1. 下列实数中，是有理数的为（ ） A. B. C. 0 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据有理数和无理数的定义判断，有理数是整数与分数的统称，无理数是无限不循环小数，据此判断各选项即可得到结果. 【详解】解：∵ 有理数是整数和分数的统称，无理数是无限不循环小数， 是开方开不尽的数，是无理数， 是无限不循环小数，是无理数， 是整数，属于有理数， 是开立方开不尽的数，是无理数， 故只有0是有理数. 2. 随着新一轮科技革命和产业变革逐步走向纵深，我国新能源汽车产业实现了快速发展，新能源汽车已经成为我们日常出行的重要交通工具．据预测，年底，我国新能源汽车保有量有望达到万辆，其中“万”用科学记数法表示为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】用科学记数法表示较大的数时，一般形式为，其中，n为整数，且n比原来的整数位数少1，先将“万”转化为具体数字，再确定和的值即可． 【详解】解：万， ． 3. 下列因式分解中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查因式分解的概念以及提公因式法、公式法因式分解，根据相关规则对各选项逐一判断即可。 【详解】∵ 对选项A，由平方差公式分解得，∴ A错误； ∵ 对选项B，提公因式得，∴ B错误； ∵ 对选项C，因式分解要求结果为几个整式乘积的形式，是和的形式，不符合要求，且，∴ C错误； ∵ 对选项D，由完全平方公式得，分解正确，∴ D正确。 4. 五线谱是一种记谱法，通过在五根等距离的平行线上标以不同的音符构成旋律，如图，和是五线谱上的两条线段，点在，之间的一条平行线上，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据两直线平行，内错角相等，求出，，根据角之间的位置关系求出结果即可． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，， ， ． 5. 下列说法正确的是（ ） A. “清明时节雨纷纷”是必然事件 B. 为了解某灯泡的使用寿命，可以采用全面调查的方式进行 C. 甲乙两组身高数据的方差分别为 ，那么甲组的身高比较整齐 D. 一组数据5、3、4、6、5、7的众数、中位数和平均数都是5 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是随机事件、抽样调查与全面调查、方差的性质、众数、中位数和平均数的概念，根据随机事件、抽样调查与全面调查、方差的性质、众数、中位数和平均数的概念判断即可． 【详解】解：A、“清明时节雨纷纷”是随机事件，故本选项说法错误，不符合题意； B、为了解某灯泡的使用寿命，可以采用抽样调查的方式进行，故本选项说法错误，不符合题意； C、甲乙两组身高数据的方差分别为，那么乙组的身高比较整齐，故本选项说法错误，不符合题意； D、一组数据5、3、4、6、5、7的5出现次数最多，是众数；按大小顺序排列，最中间的两个数是5，5，故中位数是5，平均数为，所以，众数、中位数和平均数都是5，说法正确，符合题意； 故选：D． 6. 一个由若干个小正方体组成的几何体的主视图和俯视图如图所示，则需要构成这样的几何体，最多能有小正方体的个数为（ ） A. 4 B. 7 C. 10 D. 13 【答案】C 【解析】 【分析】易得这个几何体共有3层，由俯视图可得第一层小正方体的个数，由主视图可得第二层和第三层小正方体的可能的最多个数，相加即可． 【详解】解：由俯视图易得最底层有4个小正方体，由主视图可得第二层最多有4个小正方体，由主视图可得第三层最多有2个小正方体， 故需要构成这样的几何体最多能有10个小正方体． 7. 如图与是位似图形，位似中心为，，下列结论不正确的有（ ） A. 与的相似比为 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据位似比等于对应点到位似中心的距离之比求出相似比，再结合相似三角形的性质逐一判断即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵与是位似图形，位似中心为， ∴，，， ∴，， ∴， ∴、与的相似比为，该选项正确，不符合题意； 、由上可得：，该选项错误，符合题意； 、∵与是位似图形，且相似比为， ∴，该选项正确，不符合题意； 、∵与是位似图形，且相似比为， ∴，该选项正确，不符合题意． 8. 如图，已知点、在反比例函数的图像上，轴，轴，若的面积为，则的值为( ) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据的面积为，得出①，根据点、在反比例函数的图像上，得出②，求得，则，即可求解． 【详解】解：∵点、，轴，轴， ∴，， ∵的面积为， ∴， ∴① 又∵点、在反比例函数的图像上， ∴② 将②代入①得， 解得：（舍去）或 ∴ ∴ 9. 如图，在四边形中，，对角线与相交于点分别为的中点，．以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查直角三角形，等腰三角形，相似三角形，垂直平分线； 连接，证出是的垂直平分线，即可判断，根据题意得到，，在中，即可判断；根据题意证出是的垂直平分线，即可判断的长度；先证出，，即可判断，即可求出． 【详解】解：如图所示，连接． ∵，分别为的中点， ∴， ∴． ∵N是的中点， ∴是的垂直平分线， ∴．故A正确； ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在中， ， ∴．故B正确； ∵在， ， ∵， ， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴，故C错误； ∵， ， ， ， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故D正确； 故选：C． 10. 如图1，菱形的边长为，动点，同时从点出发，点沿线段向终点匀速运动，点沿折线向终点匀速运动，两点同时到达终点并停止运动．设运动的时间为秒，的面积为，与的关系如图2所示，下列说法中不正确的有（ ） A. B. 菱形的面积为 C. 时， D. 时， 【答案】D 【解析】 【分析】根据当和时的高相等，根据点匀速运动，所以可知当时的面积是时的面积的一半，可知；根据当时，，可知，再根据菱形的性质求出菱形的面积为；根据点、运动的路程之间的关系，设，则，求出，把代入解析式求出值即可；求出当时，，把代入解析式求出值即可． 【详解】解：菱形的边长为， ，， 由图可知，当运动秒时，点运动到点，当运动秒时，点运动到点， 时，， 时，， 故A选项正确； 如下图所示，当时，， ， 菱形的面积为， 故B选项正确； 当时，， 设菱形的边上的高为， 则有， ， ， 设时，设，则， 解析式为， 当时，可得：， 故C选项正确； 设时，点在上运动， ， ， ， 当时， 可得：， 故D选项错误． 二、填空题（本题共6个小题，每小题3分，满分18分） 11. 比较大小：________．（填“”“”或“”） 【答案】> 【解析】 【分析】两个负数比较大小，先计算两个数的绝对值，再比较绝对值的大小，根据负数比较大小的法则即可得到结果． 【详解】解：，， 分别对两个绝对值平方得：，， 因为，所以，即， ∴． 12. 已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】利用一元二次方程根的判别式以及一元二次方程定义即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程有实数根， ∴，且 解得且． 13. 如图，正五边形与正方形的两邻边相交，如果，那么_______． 【答案】52 【解析】 【分析】先根据正多边形每个内角为得到正五边形和正方形每个内角的度数，再结合四边形的内角和以及对顶角的性质可得答案． 【详解】解：如图， 根据题意得，，， ∵，， ∴． ∴． 14. 我国魏晋时期数学家刘徽在为《九章算术》作注时，创立了“割圆术”．如图是研究“割圆术”时的一个图形，所在圆的圆心为点，四边形为矩形，边与相切于点，连接，若，，则图中阴影部分的面积为______（结果用表示）． 【答案】 【解析】 【分析】连接，交于点，根据切线的性质得出，根据四边形是矩形，得出，则，垂径定理得出，圆周角定理求出，即可得，则有是等边三角形，然后求出，再根据求解即可． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵边与相切于点， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ ． 15. 如图，四边形中，，，且，顺次连接四边形各边中点，得到四边形，再顺次连接四边形各边中点，得到四边形，如此进行下去，得到四边形．有下列结论：①四边形是矩形；②四边形的周长是；③四边形是菱形；④四边形的面积为．其中正确的结论是_____．把所有正确结论的序号都填在横线处） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】根据三角形中位线定理以及矩形和菱形的判定定理可判断①②③结论；根据题意得出每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半，可判断④结论． 【详解】解：顺次连接四边形各边中点，得到四边形， 由三角形中位线定理可知，，，，， ∴四边形是平行四边形． ∵， ∴， ∴四边形是矩形且相邻边长为、， ∴四边形的周长是， 故①②正确． 连接、 ∵四边形是矩形， ∴， 由三角形中位线定理可知，，， ， ∴四边形是平行四边形，且， ∴四边形是菱形； 故③正确． 由题意可知，四边形的面积为，四边形的面积为，四边形的面积为，． ∴每得到一个新四边形，它的面积为原四边形面积的一半， ∴四边形的面积为，故④错误． 16. 在中，，，，点N，M分别是边和上的动点，始终保持，连接，，则的最小值为 ______． 【答案】 【解析】 【分析】过点C作，使，连接、，根据勾股定理求出，，利用“”，可证明，得，根据三角形三边关系可得，，当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值，进而可以求解． 【详解】解：如图，过点C作，使，连接、， ，，， ， ， ， ，即， ， ， ， ，， （）， ， ， 当点G、M、B三点共线时，的值最小，最小值为的值， 的最小值为． 三、解答题（本大题共8个题．满分72分，解答题要写出必要的计算步骤或文字说明或说理过程） 17. 先化简，再求值：，其中，且为整数，请从中选取一个合适的数代入求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式． 【解析】 【分析】先化简分式，再根据分式有意义的条件选取合适的整数代入求值． 【详解】解：原式 ， ∵分式有意义， ∴，，， ∴，，， ∵ 满足的整数， ∴的值可以为0或2， ∴当时，原式， 当时，原式． 18. 聚焦“双减”落地，凸显“特色”作业．随着暑假来临，某校为学生制定了四类假期实践作业：A.非遗传承人；B.运动打卡师；C.睡眠科学家；D.今天我当家．某班就“你最喜欢哪一类作业”（必须选且只能选一类）进行调查，通过调查绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息解答下列问题： （1）求该班此次调查的学生人数； （2）求的值，并补全条形统计图； （3）开学后，老师准备在甲、乙、丙、丁四名同学中任选两名同学进行假期实践类作业分享，请利用树状图或列表的方法求恰好达到“甲”和“乙”两位同学的概率． 【答案】（1）该班此次调查的学生人； （2） ，见解析； （3）恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为： 【解析】 【分析】（1）根据非遗传承人的人数和占比求解即可； （2）根据（1）求出的总学生和今天我当家的人数求出，再求出选择“运动打卡师”假期实践作业的人数，进而补全条形统计图即可； （3）根据题意，用树状图法列出所有等可能结果，进而计算概率即可． 【小问1详解】 解：（人）， 答：该班此次调查的学生人； 【小问2详解】 解：∵， ∴， 选择“运动打卡师”假期实践作业的人数为（人）， 补全条形图如下： 【小问3详解】 解：把“甲、乙、丙、丁”分别记为， 画树状图如下： 共有种等可能的结果，其中恰好选到“甲”和“乙”两位同学的结果有种， ∴恰好选到“甲”和“乙”两位同学的概率为：． 19. 现有一台红外线理疗灯（如图1所示），该设备的主体由底座、立柱、伸缩杆和灯臂组成．A，B，C三点在同一直线上．图2是该设备的平面示意图．垂直于，与水平线平行，与的夹角为，与的夹角为．经测量：为，为，为，，． （1）填空：__________，__________； （2）已知点到的距离为时，该设备使用效果最佳．求此时理疗灯灯帽D的高度及伸缩杆的长度．（参考数据：，，，） 【答案】（1），； （2）此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为 【解析】 【分析】（1）延长交l于点，延长交l于点，由，利用三角形的外角的性质，可求得的度数，利用平角的定义，可得到的度数； （2）延长交l于点，延长交l于点，在中，解直角三角形得，再解即可． 【小问1详解】 解：如图，延长交l于点，延长交l于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，延长交于点，延长交于点， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，. 在中，， ∴， 答：此时理疗灯灯帽D的高度约为，伸缩杆的长度约为．. 20. 为传承中华优秀传统文化，厚植学生家国情怀，学校精心策划并计划租用客车，组织全体师生前往孔子故里相关研学基地，开展主题为“弘扬儒学，传承经典”的研学实践活动． 请阅读下列材料，并完成相关问题． 材料一： 租车公司有A，B两种型号的客车可供租用，在每辆车满员情况下，每辆A型客车比每辆B型客车多载客15人；用A型客车载客720人与用B型客车载客540人的车辆数相同． 材料二： A型客车租车费用为3800元/辆；B型客车租车费用为3500元/辆． 若租用B型客车，租车费用打八折． 学校参加研学活动师生共有570人，租用A，B两种型号客车共10辆． （1）A，B两种型号的客车每辆载客量分别是多少？ （2）本次研学活动学校的最少租车费用是多少？ 【答案】（1）A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人 （2）36000元 【解析】 【分析】（1）设A型客车每辆载客量为x人，根据题意列出分式方程即可求解； （2）设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w，根据载客量和总人数列出不等式确定m的取值范围，再计算出w，利用一次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：（1）设A型客车每辆载客量为x人，则B型客车每辆载客量为人， 由题意得，， 解得，， 经检验：是方程的根， ∴． 答：A型客车每辆载客量为60人，B型客车每辆载客量为45人． 【小问2详解】 解：设租A型客车m辆，B型客车辆，租车总费用w， 由题意得，， 解得， 由题意得，， ， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，， ∴本次研学活动学校最少租车费用为36000元． 21. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数与轴交点，与反比例函数的图象交于A，B两点，其中点、点的横坐标分别是和． （1）当时，直接写出的取值范围； （2）求出一次函数和反比例函数的表达式； （3）将直线向左平移2个单位长度，与反比例函数在第一、第三象限的图象分别交于点C、D，在直线上是否存在一点，使，若存在，请直接写出满足条件的点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）或； （2）一次函数和反比例函数的表达式分别为，； （3）存在，或 【解析】 【分析】（1）根据图象解题即可； （2）根据待定系数法解题即可； （3）过点作直线交于点，交轴于点，直线与轴交于点，结合平行四边形的性质、平移的性质、等腰三角形的性质进行解题． 【小问1详解】 解：由图可知，当一次函数的图象在反比例函数图象上方，即时，或， 且一次函数的图象与反比例函数的图象的交点横坐标为和， ∴当时，或； 【小问2详解】 解：由题意知，，， 代入反比例函数解析式中，有 ， 解得， ∴一次函数和反比例函数的表达式分别为，； 【小问3详解】 解：对于，当时，；当时，； ∴，， 直线向左平移2个单位长度，得到直线：， 联立， 解得， ∵点在第一象限， ∴， 当时，， ∴； 如图，过点作直线交于点，交轴于点，直线与轴交于点， 则有， 令，解得， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 设直线，代入，， ∴， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴四边形为平行四边形， 设，则有 ， 即， 解得， ∴， ∴； 联立， 解得，即； 当时，由对称性可知，点为的中点， 设的横坐标为， 则有， 解得， ∴， 即， 综上所述，存在，且或． 22. 如图，在中，． （1）用无刻度直尺和圆规完成以下作图；（保留作图痕迹，不写作法） ①作边的中线； ②过点作边的垂线，垂足为点； ③以O为圆心为半径作． （2）在（1）的条件下，求证：是的切线； （3）在（1）的条件下，若交于点，连接，，，请直接写出的值． 【答案】（1）见解析； （2）见解析； （3）的值为． 【解析】 【分析】（）作垂直平分线交于，连接得中线；过作的垂线，得垂足；以为圆心、长为半径画圆，得； （）过作于点，则，再证明，所以，然后通过切线的判定方法即可求证； （）设与交于点，连接，由为的直径，则，通过勾股定理得，所以，证明，所以，即，然后通过即可求解． 【小问1详解】 解：如图，中线，直线，即为所求； 【小问2详解】 证明：如图，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵是中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵为的半径， ∴为的半径， ∴是的切线； 【小问3详解】 解：如图，设与交于点，连接， ∵为的直径， ∴， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的值为． 23. 问题解决： 在正方形中，为上一动点，连接交对角线于点． （1）连接，如图1，求证：； （2）如图2，过点作交于点，连接交于点； ①求的度数；②直接写出、、三条线段的关系； 拓展探究： （3）如图3，矩形中，，当，时，则__________． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质得，再根据“边角边”证明，然后根据全等三角形的对应边相等得出答案； （2）①解：连接，再证明，可得，．然后根据四边形的内角和定理及等角的补角相等得，进而得出，最后根据等边对等角得出答案； ②将绕点A顺时针旋转得到，再根据正方形的性质证明，可得，然后根据勾股定理得出答案； （3）将绕点A顺时针旋转得到，再根据旋转的性质和矩形的性质证明，可得，然后延长交于点K，过点E作，于点L，可得四边形是正方形，四边形是矩形，进而得出，接下来结合等腰三角形的性质和正方形的性质说明，最后根据勾股定理得出答案． 【小问1详解】 证明：四边形是正方形，是对角线， ∴. ∵是公共边， ， ∴； 【小问2详解】 ①解：连接， 四边形是正方形，是对角线， ，， 在和中， ， ， ∴，． ， ， ∴， ∴ ∵， ∴， ， ， ， . ， ∴ ， 即； ②． 将绕点A顺时针旋转得到， ∴． ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵，， ∴， ∴． ∵， ∴． 在中，，即； 【小问3详解】 ． 将绕点A顺时针旋转得到， ∴． ∵四边形是矩形 ∴． ∵， ∴， ∴，即． ∵， ∴， ∴． 延长交于点K，过点E作，于点L， ∵， ∴四边形是正方形，四边形是矩形， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， 即， 解得， ∴． 在中，根据勾股定理，得， ∴． 【点睛】 24. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴交于点，，与轴交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）判断的形状，并说明理由； （3）点是直线下方抛物线上一动点，过点作交于点，点是直线上一动点，当的长度取最大值时，求： ①P点的坐标； ②的最小值． 【答案】（1） （2）为直角三角形，见解析 （3）①；② 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）求得，利用勾股定理的逆定理求解即可； （3）①过点作PH∥轴交于点，证明，求得，设点，用含的式子表示出的长，再利用二次函数的性质求解即可； ②过点作轴，过点作于点，过点作于点．解直角三角形求得，当点、、三点共线时取等号时，取得最小值，据此求解即可． 【小问1详解】 解：把，代入中， 得， 解这个方程组，得， 所以，该抛物线的函数表达式为； 【小问2详解】 解：△ABC为直角三角形，理由如下： 在中， 令，得， 解这个方程，得（舍），． ． ，， ，且， ， ， ∴为直角三角形； 【小问3详解】 解：①， ． 过点作PH∥轴交于点，则， 又， ， ， ． 直线过点，， 直线的函数表达式为， 设点，，则点． ， ， 当时， 的长度取得最大值，此时点； ②过点作轴，过点作于点，过点作于点． 在中，， ， ， 当点、、三点共线时取等号，取得最小值， ∴； 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $