期末复习：整式的混合运算问题、乘法公式与几何图形综合问题 专项训练-2025-2026学年北师大版七年级数学下册

**基本信息** 聚焦整式运算与乘法公式几何应用，通过分层例题与变式构建“运算-推理-建模”方法体系，强化运算能力与几何直观。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |整式的混合运算问题|4例+4变式|直接运算、化简求值（合并同类项、代入求值）|从基本运算到化简求值，强化运算能力| |乘法公式与几何图形综合问题|3例+3变式|数形结合（等面积法推导公式）、无关性问题（系数为0）|从代数推理到几何直观，体现模型意识|

期末复习：整式的混合运算问题、乘法公式与几何图形综合问题专项训练 期末复习：整式的混合运算问题、乘法公式与几何图形综合问题专项训练 考点目录 整式的混合运算问题 乘法公式与几何图形综合问题 考点一 整式的混合运算问题 例1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ． 例2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ． 当，时，代入上式得， ． 例3．（2026·甘肃白银·二模）先化简，再求值：，其中，． 【答案】，1 【分析】先利用完全平方公式和单项式乘多项式法则展开括号，合并同类项后计算整式除法，再代入已知数值计算即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 例4．（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【分析】先利用平方差公式和完全平方公式去括号，然后再进行多项式除以单项式的运算即可化简，再代入求值即可． 【详解】解：原式， ， ， 当，时， 原式． 变式1．（25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 变式2．（25-26七年级下·福建漳州·期中）先化简，再求值，其中，． 【答案】， 【详解】解：原式               当，时， ． 变式3．（2026·陕西宝鸡·二模）先化简：，已知，再在、、、中任意选取一个数作为的值，并代入求值． 【答案】，（答案不唯一）． 【分析】先利用完全平方公式和平方差公式展开括号内的式子，再合并同类项，接着进行多项式除以单项式的运算化简式子；最后根据除数不为0的条件，选取合适的值代入化简后的式子求值． 【详解】解： ， ， ，题目中的取值为，均满足条件． 当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式； 当，时，原式． 变式4．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【详解】解： ， 当，时，原式． 考点二 乘法公式与几何图形综合问题 例1．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 【答案】(1)2 (2)8 (3) 【分析】（1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）由题意易得，然后可得，进而问题可求解； （3）设，由题意易得，然后可得，进而问题可求解． 【详解】（1）解：， 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． （2）解：∵， ∴ ， ∵的值与的取值无关， ∴， 解得：， ∴； （3）解：设，由图可知： ， ∴， ∵的长度变化时，的值始终保持不变， ∴， ∴． 例2．（25-26七年级下·四川成都·期中）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 (2)若x满足，求的值； 【拓展应用】 (3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 【答案】(1)13 (2)10 (3)种草区域的面积和为60平方米． 【分析】（1）利用公式求解即可； （2）设，则，进而得，利用公式变形，代入计算即可得出答案； （3）设，则种花区域的面积，（米），由此得，由（1）的结论得，进而得种草区域的面积和为（平方米）． 【详解】（1）解：∵，而，， ∴， ∵，，， ∴； （2）解：设，则， ， ， ， 由（1）的结论得：， ， ； （3）解：设， 于点E，米， ，，，，， 种花区域的面积和为102平方米， ， ， 由（1）的结论得：， ， ， 种草区域的面积和为：（平方米）， 答：种草区域的面积和为60平方米． 例3．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 【答案】(1) (2)需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张 (3)64 【分析】（1）根据等积法，列出等式即可； （2）将利用多项式乘以多项式的法则展开，即可得出结果； （3）设，根据题意易得，，再根据完全平方公式和平方差公式进行求解即可. 【详解】（1）解：由题意，大正方形的面积等于两个小正方形的面积加上两个长方形的面积， 故； （2）解：， 由图2可知，的面积为，的面积为，的面积为， 故需要图2中的种纸片2张，种纸片2张，种纸片5张； （3）解：设，不妨设，将图形补成边长为的大正方形，如图： 由题意，，， ∴， ∴， ∴， ∴两个正方形的面积之差为. 变式1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得等式：． 【类比探究】 (1)用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积、、的等量关系式是 ． 【应用】 (2)根据（1）所得的关系式，，，则 ． 【拓展】 (3)若x满足，求的值． 【知识迁移】 (4)如图（4），某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 【答案】(1) (2)90 (3)5 (4)12 【分析】（1）用代数式表示图3中各个部分的面积，再根据各个部分面积与总面积之间的和差关系即可得出答案． （2）根据代数求解即可． （3）设，，根据求解即可． （4）设，，表示出种花区域的面积和以及种草区域的面积和，由此求解即可． 【详解】（1）解：图3中，阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积和，即， 由于大正方形的边长为，因此面积为，两个空白矩形的面积和为， ∴阴影部分的面积为， ∴； （2） 解：． （3）解：设，， 则， 由题意知， 根据完全平方公式变形得：， ∴． （4）解：设，， ∵， ∴， 种花区域的面积和为：， 由题意得：，即， 种草区域的面积和为：， ∵， ∴，解得， 答：种草区域的面积和为12． 变式2．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到代数恒等式； ②如图2，用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图3，在航空航天国防科普展中，面积为平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区（和），中间重合部分搭建长方形互动体验，米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为米，求展厅的长比宽多多少米？ 【答案】(1) (2) (3)展厅的长比宽多米 【分析】（1）利用进行计算即可； （2）设，，则，，利用进行计算即可； （3）设米，米，则米，米，由参观区域的周长可得，由矩形的面积可得．利用题干的公式可计算出，结合可得． 【详解】（1）解：由题意可知，； （2）解：设，， ∴，， ∴； （3）解：设米，米， ∵米， 又∵米， ∴米， 同理，米， ∵参观区域总周长为米， ∴， ∴， 化简，得， ∵长方形展厅为平方米， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：展厅的长比宽多米． 变式3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出，再利用完全平方公式的变形即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， 是一个完全平方式， ； （2）解：∵， ∴， ∴， 合并同类项得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：∵， ， ， ， ， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为：； ∵ ∵， ∴阴影部分的面积为：． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：整式的混合运算问题、乘法公式与几何图形综合问题专项训练 期末复习：整式的混合运算问题、乘法公式与几何图形综合问题专项训练 考点目录 整式的混合运算问题 乘法公式与几何图形综合问题 考点一 整式的混合运算问题 例1．（25-26七年级下·陕西西安·阶段检测）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 例2．（25-26七年级下·陕西咸阳·期中）先化简，再求值：，其中，． 例3．（2026·甘肃白银·二模）先化简，再求值：，其中，． 例4．（25-26七年级下·辽宁阜新·期中）先化简，再求值：，其中，． 变式1．（25-26七年级下·四川成都·期中）先化简，再求值：，其中，． 变式2．（25-26七年级下·福建漳州·期中）先化简，再求值，其中，． 变式3．（2026·陕西宝鸡·二模）先化简：，已知，再在、、、中任意选取一个数作为的值，并代入求值． 变式4．（25-26七年级下·江苏连云港·阶段检测）先化简，再求值：，其中，． 考点二 乘法公式与几何图形综合问题 例1．（25-26七年级下·四川成都·期中）我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与的取值无关，求的值．通常的解题思路是把看作字母，看作系数，合并同类项．因为代数式的值与的取值无关，所以含的项的系数为0． 具体解题过程：原式 因为代数式的值与的取值无关． 所以，解得． 【理解应用】 (1)若关于的代数式的值与的取值无关，则的值为___________． (2)已知，且的值与的取值无关，求的值． 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为，宽为，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长度变化时，的值始终保持不变，求与的等量关系． 例2．（25-26七年级下·四川成都·期中）“数形结合”是我们在学习中经常用到的一种非常重要的数学思想方法，比如在学习整式的乘法时，我们可以通过构造几何图形数形结合进行分析，用等面积法推理得到多项式的乘法公式． 【初步感知】 (1)观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为．在该公式中，若，（，），求的值． 【类比探究】 (2)若x满足，求的值； 【拓展应用】 (3)如图②，某学校有一块梯形空地，于点E，，，该校计划在和区域内种花，在和的区域内种草，经测量种花区域的面积和为102平方米，米，求种草区域的面积和． 例3．（25-26七年级下·广东佛山·期中）图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微；数形结合百般好，隔离分家万事休”，数形结合是解决数学问题的重要思想方法．例如，对于一个图形，通过不同方法计算图形的面积，就可以得到一个数学恒等式． (1)观察图1、图2，用等式表示图1和图2的面积运算为___________；（用含的式子表示） (2)嘉琪想用这三种纸片拼出一个面积为的大长方形，需要图2中的三种纸片各多少张？ (3)如图3，将两个正方形如图摆放，点与点重合，点分别在的延长线上，若它们边长之和为16，阴影部分面积为60，求这两个正方形的面积之差． 变式1．（25-26七年级下·广东深圳·期中）数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观起来并且具有可操作性，从而可以帮助我们快速解题，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． 【知识生成】通常情况下，通过用两种不同的方法计算同一个图形的面积，可以得到一个恒等式．如图（1），在边长为a的正方形中减掉一个边长为b的小正方形，把余下的部分沿虚线剪开拼成一个长方形如图（2）．图（1）阴影部分面积可表示为，图（2）中阴影部分面积可表示为，因为两个图中的阴影部分面积是相同的，所以可得等式：． 【类比探究】 (1)用两种不同方法表示图（3）中阴影部分面积、、的等量关系式是 ． 【应用】 (2)根据（1）所得的关系式，，，则 ． 【拓展】 (3)若x满足，求的值． 【知识迁移】 (4)如图（4），某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和区域内种花，经测量种花区域的面积和为，，求种草区域的面积和． 变式2．（25-26七年级下·辽宁锦州·期中）在数学活动中，数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助图形的直观性，可以帮助我们理解代数问题． ①如图1，将边长为的正方形分割成四部分，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可以得到代数恒等式； ②如图2，用长为、宽为的四个全等长方形拼成一个大正方形，用两种不同的方法计算阴影部分的面积，可得到另一个代数恒等式． 基于上述内容，解决以下问题： (1)若，，求的值； (2)若，求的值； (3)如图3，在航空航天国防科普展中，面积为平方米的长方形展厅中设置两个长方形展区（和），中间重合部分搭建长方形互动体验，米，米，阴影部分为参观区域，参观区域总周长为米，求展厅的长比宽多多少米？ 变式3．（25-26七年级下·江苏连云港·期中）对于任意四个有理数，，，，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数的值； (2)若，且，求的值； (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 2 学科网（北京）股份有限公司 $