期末复习：解分式方程、分式方程的实际应用 专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式方程解法与实际应用，通过例题与变式构建从基础求解到情境建模的逻辑链条，强化运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |解分式方程|例1-3+变式1-3|含不同分母结构的分式方程求解|从去分母、整式化到验根，形成完整求解流程| |分式方程的实际应用|例1-3+变式1-3|购物、行程、校园等情境的建模问题|从实际问题抽象等量关系，培养用数学语言表达现实世界的能力|

期末复习：解分式方程、分式方程的实际应用专项训练 期末复习：解分式方程、分式方程的实际应用专项训练 考点目录 解分式方程 分式方程的实际应用 考点一 解分式方程 例1．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）解方程： (1) (2)． 例2．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）解分式方程： (1)； (2)． 例3．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）解下列方程∶ (1)； (2)． 变式2．（25-26八年级下·河南·阶段检测）解分式方程 (1)； (2) ． 变式3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）解分式方程： (1)； (2)． 考点二 分式方程的实际应用 例1．（25-26八年级下·山东济南·期中）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 例2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）从智能家居到自动驾驶汽车，再到复杂的医疗诊断和金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区计划购买两种无人配送车，在采购中发现，一辆A型无人配送车的单价比一辆B型无人配送车的单价高4000元．用10万元购买A型无人配送车的数量和用8万元购买B型无人配送车的数量相同． (1)求A型无人配送车和B型无人配送车的单价； (2)该物流园计划购买两种无人配送车共60台，要求A型无人配送车数量不少于B型无人配送车数量的，求出购买两种无人配送车的总费用最少需要多少元？ 例3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 变式1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 某校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组单独售完所有产品少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次．    问题解决 (1)若甲、乙两组单独售完所有文创产品，求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的倍．直接写出的取值范围． 变式2．（2026·重庆·模拟预测）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 变式3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣（yǒu）”趣系列鸮（xiāo）卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少套？ (3)在（2）的条件下，该网店每个鸮卣毛毡背包的售价为90元，每个鸟尊毛绒玩具的售价为50元，则如何安排进货，才能让店铺获得最大利润？最大利润是多少元？ 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：解分式方程、分式方程的实际应用专项训练 期末复习：解分式方程、分式方程的实际应用专项训练 考点目录 解分式方程 分式方程的实际应用 考点一 解分式方程 例1．（25-26八年级上·山东临沂·阶段检测）解方程： (1) (2)． 【答案】(1) (2)原方程无解 【分析】（1）（2）先将分式方程去分母转化为整式方程，再进行求解整式方程，最后进行检验即可． 【详解】（1）解： 解得， 检验：当时，， ∴是原方程的解； （2）解： 解得， 检验：当时，， ∴原方程无解． 例2．（25-26八年级上·山东聊城·阶段检测）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)方程无解． (2) 【详解】（1）解： 解得 经检验，是增根， ∴原方程无解； （2）解： 解得 经检验，是原方程的解， ∴原方程的解为． 例3．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）解下列方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）将分式方程两边同乘去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解； （2）先整理方程，再将分式方程两边同乘去分母转化为整式方程，求解整式方程后检验根是否使原方程分母不为零，即可得到原方程的解； 【详解】（1）解：， 两边同乘去分母得：， 展开得， 移项合并得， 检验：当时，， 因此是原方程的解； （2）解：， 整理方程得， 两边同乘去分母得：， 整理得， 移项合并得， 检验：当时，， 因此是原方程的解． 变式1．（25-26八年级下·山东济南·期中）解下列方程∶ (1)； (2)． 【答案】(1)原方程无解 (2) 【分析】先将分式方程去分母转化为整式方程，求解整式方程后，检验所得根是否使原方程分母不为0，即可得到原方程的解． 【详解】（1）解：， 方程变形为， 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程增根， ∴原方程无解； （2）解：， 方程两边同时乘以，得 ， 解得， 检验：当时，， 因此是原方程的解． 变式2．（25-26八年级下·河南·阶段检测）解分式方程 (1)； (2) ． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解； （2）解：， 两边同乘以，得， 去括号，得， 移项并合并同类项，得， 解得， 经检验，是原方程的解． 变式3．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）解分式方程： (1)； (2)． 【答案】(1)无解 (2) 【详解】（1）解： 去分母得， 解得： 把代入分母，得， 因此是增根，原分式方程无解． （2）解： 去分母得， 解得 当时，最简公分母， 故原方程的解为． 考点二 分式方程的实际应用 例1．（25-26八年级下·山东济南·期中）习近平总书记在主持召开中央农村工作会议中指出：“坚持中国人的饭碗任何时候都要牢牢端在自己手中，饭碗主要装中国粮．”某粮食生产基地为了落实习近平总书记的重要讲话精神，积极扩大粮食生产规模，计划投入一笔资金购买甲、乙两种农机具，已知1件甲种农机具比1件乙种农机具多万元，用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同． (1)求购买1件甲种农机具和1件乙种农机具各需多少万元？ (2)若该粮食生产基地计划购买甲、乙两种农机具共件，且购买的总费用不超过万元，则甲种农机具最多能购买多少件？ 【答案】(1)购买1件甲种农机具需万元，购买1件乙种农机具需万元 (2)甲种农机具最多能购买件 【分析】（1）设购买1件甲种农机具需x万元，则购买1件乙种农机具需万元，根据“用万元购买甲种农机具的数量和用万元购买乙种农机具的数量相同”列出方程，即可解答； （2）设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件，根据“购买的总费用不超过万元”列出不等式，结合是正整数，即可解答． 【详解】（1）解：设购买1件甲种农机具需x万元，则购买1件乙种农机具需万元， 由题意可得，， 解得， 检验，当时，，故是方程的解， ， 答：购买1件甲种农机具需万元，购买1件乙种农机具需万元； （2）解：设购买甲种农机具件，则购买乙种农机具件， 由题意得，， 解得， 是正整数， 最大能取到6， 答：甲种农机具最多能购买件． 例2．（25-26八年级下·河南南阳·阶段检测）从智能家居到自动驾驶汽车，再到复杂的医疗诊断和金融分析，正在改变着我们的生活方式和工作模式．无人配送以其高效、安全、低成本等优势，正在成为物流运输行业的新趋势．某物流园区计划购买两种无人配送车，在采购中发现，一辆A型无人配送车的单价比一辆B型无人配送车的单价高4000元．用10万元购买A型无人配送车的数量和用8万元购买B型无人配送车的数量相同． (1)求A型无人配送车和B型无人配送车的单价； (2)该物流园计划购买两种无人配送车共60台，要求A型无人配送车数量不少于B型无人配送车数量的，求出购买两种无人配送车的总费用最少需要多少元？ 【答案】(1)型无人配送车的单价为元，型无人配送车的单价为元 (2)两种无人配送车的总费用最少需要1020000元 【分析】（1）设型无人配送车的单价为元，则型无人配送车的单价为元，根据题意，列出方程，即可求解； （2）设购买型无人配送车辆，则型无人配送车辆，总费用为元，先求出a的取值范围，再列出函数关系式，根据一次函数的性质解答即可． 【详解】（1）解：设型无人配送车的单价为元，则型无人配送车的单价为元，由题意得， ， 解得 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：型无人配送车的单价为元，型无人配送车的单价为元 （2）解：设购买型无人配送车辆，则型无人配送车辆，总费用为元，由题意，得： ， 解得：， ， ， 随a的增大而增大， 时，w取最小值，最小值为， 答：两种无人配送车的总费用最少需要1020000元． 例3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）司徒小镇位于晋城市，是山西省“老山西民俗印象基地，新晋城时尚旅游地标”之一．太原市某旅行社组织游客从太原市到司徒小镇旅游． 信息一：太原市到司徒小镇的路程为千米． 信息二：乘坐型车比乘坐型车少用小时． 信息三：型车的平均速度是型车平均速度的倍． 问题解决：求型车的平均速度． 【答案】型车的平均速度是 【分析】设型车的平均速度为，则型车的平均速度是，根据乘坐型车比乘坐型车少用小时列分式方程求解即可． 【详解】解：设型车的平均速度为，则型车的平均速度是， 根据题意，得， ， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 答：型车的平均速度是. 变式1．（25-26八年级下·福建泉州·期中）请同学们根据以下表格中的素材一、素材二、素材三，探索完成任务一、任务二、任务三． 合理规划校园文创市集场地 素材一 某校学生会为举办校园文创市集，划分出一块长方形活动区域，长为，宽为（其中）．去年市集共售出480件文创产品，由甲、乙两组志愿者负责售卖． 素材二 甲组售卖速度是乙组的1.2倍，且甲组单独售完所有产品比乙组单独售完所有产品少用20分钟． 素材三 今年从该区域中划出一个边长为的正方形地块作为“盲盒抽取区”，其余部分作为“手工体验区”（如图）．“盲盒抽取区”共吸引360人次参与互动，“手工体验区”共接待240人次．    问题解决 (1)若甲、乙两组单独售完所有文创产品，求甲、乙两组每分钟各售卖多少件产品？ (2)“盲盒抽取区”和“手工体验区”哪一区域的平均单位面积人流量更高？并说明理由． (3)现计划将该区域扩建，长增加，宽增加．若扩建后的面积是原来面积的倍．直接写出的取值范围． 【答案】(1)甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖件产品 (2)“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高，理由见解析 (3) 【分析】（1）设乙组每分钟售卖件产品，则甲组每分钟售卖件产品，列分式方程求解即可； （2）设“盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为，“手工体验区”的平均单位面积人流量为，计算可知“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）用含的代数式表示出原面积和扩建后的面积，根据扩建后的面积是原来面积的倍，可得，根据的取值范围可以求出的取值范围． 【详解】（1）（1）解：设乙组每分钟售卖件产品，则甲组每分钟售卖件产品， 由题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ， 答：甲组每分钟售卖件产品，乙组每分钟售卖件产品； （2）解：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高， 理由如下： 设“盲盒抽取区”的面积为，则“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量为， “手工体验区”的面积为， 则“手工体验区”的平均单位面积人流量为， ， ，，， ， ， 答：“盲盒抽取区”的平均单位面积人流量更高； （3）解：①由题意得：原来的面积为， 扩建后的面积为， 扩建后的面积是原来面积的倍， ， ， ， ， ， ， ． 变式2．（2026·重庆·模拟预测）某快递站引进甲、乙两种智能分拣机器人分拣包裹．已知甲种机器人每小时比乙种机器人多分拣50件包裹，且甲种机器人2小时分拣的包裹数量，比乙种机器人3小时分拣的数量少120件． (1)求甲、乙两种机器人每小时各分拣多少件包裹？ (2)为应对快递高峰，站点对机器人进行技术升级．升级后，甲机器人每小时分拣的包裹数量是乙机器人的1.2倍．若升级后的甲、乙两种机器人各自分拣7200件包裹，且乙机器人比甲机器人多用3小时，求升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣多少件包裹？ 【答案】(1)甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹 (2)升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹 【分析】（1）设乙每小时分拣量为未知数，根据数量关系表示出甲的分拣量，利用题干给出的数量关系列一元一次方程求解； （2）设升级后乙每小时分拣量为未知数，根据“乙分拣7200件用时 甲分拣7200件用时3小时”列分式方程求解，再计算乙升级后比升级前多分拣的数量即可． 【详解】（1）解：设乙种机器人每小时分拣件包裹，则甲种机器人每小时分拣件包裹.， 根据题意得： ， 解得， 则 ， 答：甲种机器人每小时分拣270件包裹，乙种机器人每小时分拣220件包裹； （2）解：设升级后乙机器人每小时分拣件包裹，则升级后甲机器人每小时分拣件包裹， 根据题意得： ， 解得， 检验：当时，， 所以是原分式方程的解， 则（件）， 答：升级后，乙机器人较升级前每小时多分拣180件包裹． 变式3．（25-26八年级下·山西临汾·期中）山西博物院以丰富的馆藏和展览资源为设计元素，潜心研发了一系列特色的文创产品，其中“卣（yǒu）”趣系列鸮（xiāo）卣毛毡背包和“铜”趣系列鸟尊毛绒玩具颇受广大游客喜爱．某网店为了满足人们的购物需求，计划购进两种系列的文创产品进行销售，已知每个鸮卣毛毡背包的进价是每个鸟尊毛绒玩具进价的2倍，现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套． (1)求每个鸮卣毛毡背包和每个鸟尊毛绒玩具的进价分别为多少元； (2)该网店决定用1500元购进鸮卣毛毡背包和鸟尊毛绒玩具，且购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半，则购进鸮卣毛毡背包至少多少套？ (3)在（2）的条件下，该网店每个鸮卣毛毡背包的售价为90元，每个鸟尊毛绒玩具的售价为50元，则如何安排进货，才能让店铺获得最大利润？最大利润是多少元？ 【答案】(1)每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元 (2)购进鸮卣毛毡背包至少套 (3)当购进鸮卣毛毡背包套，鸟尊毛绒玩具套，店铺获得最大利润，最大利润是元 【分析】（1）设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元，根据“现用1500元购进鸮卣毛毡背包的数量比用1200元购进鸟尊毛绒玩具的数量少15套”列出分式方程，解分式方程即可得出结果； （2）设购进鸮卣毛毡背包套，则购进鸟尊毛绒玩具套，根据“购进鸟尊毛绒玩具的数量不超过鸮卣毛毡背包数量的一半”列出一元一次不等式，解不等式即可得出结果； （3）设购进鸮卣毛毡背包套，总利润为元，则购进鸟尊毛绒玩具套，由题意可得关于的关系式，再结合一次函数的性质计算即可得出结果． 【详解】（1）解：设每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，则每个鸮卣毛毡背包的进价为元， 由题意可得：， 解得：， 经检验，是原分式方程的解且符合题意； ∴， ∴每个鸟尊毛绒玩具的进价为元，每个鸮卣毛毡背包的进价为元； （2）解：设购进鸮卣毛毡背包套，则购进鸟尊毛绒玩具套， 由题意可得：， 解得：， ∴购进鸮卣毛毡背包至少套； （3）解：设购进鸮卣毛毡背包套，总利润为元，则购进鸟尊毛绒玩具套， 由题意可得： ， ∵， ∴随着的增大而减小， 由（2）可得， ∴当时，取得最大值，为（元），此时购进鸟尊毛绒玩具（套）， 故当购进鸮卣毛毡背包套，鸟尊毛绒玩具套，店铺获得最大利润，最大利润是元． 2 学科网（北京）股份有限公司 $