期末复习：分式的化简求值、分式的最值问题专项训练-2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦分式运算核心，通过“基础化简-综合求值-最值探究”三级递进设计，融合多地区期中/模拟典例，系统培养运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |分式的化简求值|4例+4变式（含多地区期中题）|隐含化简步骤（因式分解、通分约分）、取值验证（分母不为零）|从分式基本性质到代数式求值的应用逻辑| |分式的最值问题|3例+3变式（含均值不等式材料题）|提炼均值不等式法、假分式转化带分式法|构建分式变形与不等式应用的综合推理链条|

期末复习：分式的化简求值、分式的最值问题专项训练 期末复习：分式的化简求值、分式的最值问题专项训练 考点目录 分式的化简求值 分式的最值问题 考点一 分式的化简求值 例1．（2026·湖南邵阳·二模）先化简，再求值：，其中． 【答案】；1 【详解】解： ． 将代入得：原式 例2．（25-26八年级下·河北张家口·期中）已知． (1)化简； (2)当且的值为整数时，确定的整数值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查分式的化简与整数解问题，熟练掌握分式的混合运算的运算法则是解题的关键，切记不可忘记分式有意义的条件． 【详解】（1）解：原式 （2）解：当时，原式 由题意得：，得的值为0或2， 因为，所以整数的值为2． 例3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）先化简，再求值：，其中x是满足的整数． 【答案】； 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再取分式有意义的值代入计算即可． 【详解】解：原式 ； ∵，，， ∴，，， ∵x是满足的整数， ∴， 原式． 例4．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）先化简：再求当时此代数式的值 【答案】；4 【分析】将原式化简后代入求值即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 变式1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 【答案】，当时，原式＝ 【分析】先计算括号中的减法，再将除法转化为乘法进行化简原式，最后代入字母的值计算即可 【详解】解：原式 ，，， ，，． 当时，原式 变式2．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】先利用分式运算法则化简所求代数式，再根据已知等式结合分式有意义的条件确定的值，最后代入计算得到结果； 【详解】解： ， ∵， ∴或， ∵分式有意义，分母和除式均不为， ∴且， ∴， 将代入化简后的式子，得原式． 变式3．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）先化简代数式，再从0、、2 、4这四个数中选一个恰当的数代入求值． 【答案】； 【分析】先计算括号内分式的减法，再计算除法运算得到化简的结果，根据分式有意义的条件取，再代入计算即可． 【详解】解： ； ∵，，， ∴，，， ∴取， ∴原式． 变式4．（25-26八年级下·江苏镇江·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【详解】解： ， 当时，原式． 考点二 分式的最值问题 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 【答案】(1)， (2)， (3)当时，分式取到最小值，最小值为 【分析】（1）将代入即可； （2），根据是的整数约数进行求值； （3），结合进行求值．注意验证取等． 【详解】（1）解：， ， 当且仅当（即）时取等号， 又，故， 因此，当时，式子取到最小值，最小值为； （2）解：； 若分式的值为整数， 则需为整数，即是的整数约数， 的整数约数有， 因此，，， 共个满足条件的整数； （3）解：， ， ， ， 当且仅当（即）时取等号， 又∵，故，即， 此时分式的最小值为； 因此，当时，分式取到最小值，最小值为． 例2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 【答案】(1) (2) (3)满足条件的整数或2或16或 (4) 【分析】（1）根据题意，即可获得答案； （2）由分母，可设，进而可得，求解即可获得答案； （3）对于分式，由分母，可设，进而可得，求解可得，若整数x使分式的值为整数，则为整数，即或，进一步求解即可； （4）对于分式，由分母，可设，进而的，求解可得；令，则，当时，可知，当取最小值时，取最小值，据此进一步求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴； （3）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， ∵整数x使分式的值为整数， ∴为整数，即或， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， 当时，解得， ∴满足条件的整数或2或16或； （4）解：对于分式， 由分母，可设， 则， ∵对于任意x上述等式成立， ∴，解得：， ∴， 令，则， 当时，， ∴， 当取最小值时，取最大值，则取最小值， 此时取最小值， ∴当时，取最小值，此时， 即分式的最小值为． 例3．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 【答案】(1)， (2)这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时， 取最大值，最大值为 【分析】（1）根据例题，可得，故当且仅当时，代数式取到最小值，最小值为，即可获得答案； （2）设这个矩形的长为米，篱笆周长为米，可得，根据例题，即可获得答案； （3）将代数式变形为，由取最小值，即可确定自变量取何值时，代数式取到最大值，并求得最大值． 【详解】（1）解：∵， ∴， 当且仅当时，取等号， ∴当时，代数式取到最小值，最小值为． （2）解：设这个矩形的长为米，篱笆周长为米， 根据题意，用篱笆围一个面积为的矩形花园， 则矩形的宽为米， ∴， 当且仅当时，取等号，即当时，有最小值，最小值为40， ∴这个矩形花园的长、宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米； （3）解：∵， ∴， ∵， 当且仅当时，即当时，取最小值，最小值为， ∴此时代数式有最大值，最大值为， ∴当时，取最大值，最大值为． 变式1．（25-26八年级下·江西南昌·月考）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 【答案】(1)， (2)长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 (3)当时，函数取到最大值，最大值为 (4) 【分析】本题主要考查不等式的性质，函数，分式的性质，分母有理化及完全平方公式，解题的关键是理解题意； （1）根据题中所给方法进行求解即可； （2）设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得：所用篱笆的长度为米，然后根据题中所给方法进行求解即可； （3）由题意易得，然后根据题中所给方法可知代数式的最小值为，然后问题可求解； （4）由题意可分：当时，当时，当时，然后根据题中所给方法可分类进行求解． 【详解】（1）解：由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为； 故答案为：，． （2）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，（），由题意得： 所用篱笆的长度为米， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为20； ∴宽为米，所用篱笆的长度为米， 答：长和宽均为10米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆的长度是40米 （3）解：∵， ∴由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为6， ∴代数式的最小值为， ∴函数的最大值为； ∴当时，函数取到最大值，最大值为； （4）解：由题意可分：当时，则； 当时，则， 由，得， 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为， ∴的最大值为， 当时，则， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 当且仅当，即时，代数式取到最大值，最大值为， ∴的最小值为， 综上所述：m的取值范围为． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 【答案】(1)小滨的说法正确，理由见解析 (2)（i）①②④；；（ii）有最小值，没有最大值 【分析】本题主要考查了分式的加法计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）把所求分式变形为，再把第一个分式约分，再计算分式加法即可得到结论； （2）（i）把①变形为，再把第一个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；把②变形为，再把两个分式约分，进一步计算加法即可得到结论；分别求出和时③的结果即可得到结论；把④中的两个分式通分化简即可得到结论；（ii）把通分得到，进一步得到；再证明，从而得到当时，有最小值，最小值为9，且无最大值，据此可得结论． 【详解】（1）解：小滨的说法正确，理由如下： ∵， ∴ ， ∴小滨的说法正确； （2）解：（i）①∵， ∴ ； ② ； ③当时，， 当时，， ∴的值不是定值； ④ ； ∴①②④是定值，③不是定值； 满足题意的式子可以为，证明如下： ； （ii） ； ， ， ∵， ∴当时，有最小值，最小值为9， ∴当时，有最大值，最大值为， ∴当时，有最小值，最小值为； ∵无最大值， ∴无最小值，即没有最大值， ∴有最小值，没有最大值． 变式3．（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 【答案】(1)2， (2) 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，完全平方公式的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）仿照题意求解即可； （2）仿照题意得到原分式化简为，由，推出当时，有最小值为2，据此求解即可． 【详解】（1）解：， ∵分式可以变形为，∴；； 故答案为：2，； （2）解： ， ∵， ∴当时，有最小值为2， ∴有最大值为， ∴有最大值为， ∴分式的最大值为． 2 学科网（北京）股份有限公司 $期末复习：分式的化简求值、分式的最值问题专项训练 期末复习：分式的化简求值、分式的最值问题专项训练 考点目录 分式的化简求值 分式的最值问题 考点一 分式的化简求值 例1．（2026·湖南邵阳·二模）先化简，再求值：，其中． 例2．（25-26八年级下·河北张家口·期中）已知． (1)化简； (2)当且的值为整数时，确定的整数值． 例3．（25-26八年级下·河南郑州·期中）先化简，再求值：，其中x是满足的整数． 例4．（25-26八年级下·湖南株洲·期中）先化简：再求当时此代数式的值 变式1．（25-26八年级下·广东深圳·期中）化简求值：，从1，2，3，中选择一个合适的数代入并求值． 变式2．（25-26八年级下·江西九江·阶段检测）已知，求代数式的值． 变式3．（25-26八年级下·江苏盐城·阶段检测）先化简代数式，再从0、、2 、4这四个数中选一个恰当的数代入求值． 变式4．（25-26八年级下·江苏镇江·阶段检测）先化简，再求值：，其中． 考点二 分式的最值问题 例1．（25-26八年级下·四川成都·期中）阅读下列两份材料，理解其含义并解决下列问题： 【阅读材料1】如果两个正数a，b，即，，则有下面的不等式：，当且仅当时取等号．它在数学中有广泛的应用，是解决最大（小）值问题的有力工具． 【实例剖析1】已知，求式子的最小值． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例剖析2】如：，这样的分式就是假分式；如：，这样的分式就是真分式，假分数可以化成（即）带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式． 如：；． 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： (1)已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； (2)假分式可化为带分式形式______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； (3)已知，当x取何值时，分式取到最小值，最小值为多少？ 例2．（25-26八年级下·广东深圳·期中）材料一：假分数可以化为带分数，如：．类似的，分式也可以化为整式与分式的和的形式，例如：； (1)根据以上思路，解决问题：将分式化为整式与分式和的形式为____________ 材料二：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式． 解：由分母，可设 则， ∵对于任意x上述等式成立， ，解得：， ， 这样，分式就拆分成一个整式与一个分式的和的形式． (2)将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式为____________； (3)已知整数x使分式的值为整数，求满足条件的整数x的值； (4)当时，分式的最小值为____________． 例3．（25-26八年级下·山东日照·期中）已知a，b为非负实数，， ∴，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用． 例：已知，求代数式最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当______时，代数式到最小值，最小值为______； (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，代数式取到最大值？最大值为多少？ 变式1．（25-26八年级下·江西南昌·月考）阅读材料： 已知为非负实数，，当且仅当“”时，等号成立． 这个结论就是著名的“均值不等式”，“均值不等式”在一类最值问题中有着广泛的应用．例：已知，求代数式的最小值． 解：令，则由，得． 当且仅当，即时，代数式取到最小值，最小值为4． 根据以上材料解答下列问题： (1)已知，则当___________时，代数式取到最小值，最小值为___________． (2)用篱笆围一个面积为的矩形花园，则当这个矩形花园的长、宽各为多少时，所用的篱笆最短？最短的篱笆的长度是多少米？ (3)已知，则自变量取何值时，函数取到最大值？最大值为多少？ (4)若为任意实数，代数式的值为m，则m的取值范围为___________． 变式2．（24-25七年级下·浙江杭州·期末）小滨、小江在探索“求代数式的值”时发现，在一定条件下，有些代数式的值始终相等，有些代数式存在最大值或最小值．已知． 小滨：的值始终等于1． 小江：尽管的值不能被确定，但能求出最小值．其说理过程如下：，由知，当时，存在最小值2． (1)试判断小滨的说法是否正确，并说明理由． (2)在的条件下，下列代数式：①；②；③；④（，n为整数）． （i）值始终保持不变的代数式有：________（填序号）； 根据这些代数式的特点，写出一个类似的、值始终保持不变的代数式________． （ii）上述分式中是否存在最大值或者最小值，若有，请求出此分式的最大（或最小）值；若没有，请说明理由． 变式3．（24-25八年级下·北京·期中）材料一：在学习《分式》一章后，小智同学对分式的某些变形进行了深入的研究，他发现有些分式可以转化为一个整式和一个真分式（即分子的次数小于分母的次数）的形式，例如：，而且他发现这样的变形可以优化计算． 材料二：配方法是初中数学思想方法中的一种重要的解题方法，它的应用非常广泛，在解方程、化简根式、因式分解等方面都经常用到． 如：． ， ，即． 的最小值为1． 解决下列问题： (1)如果分式可以变形为（，为实数），则_____；______； (2)求分式的最大值． 2 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