第21章《四边形》期末单元复习卷（一）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 聚焦四边形全章知识，以“概念-性质-判定-综合应用”为逻辑主线，覆盖多边形、平行四边形及特殊四边形，融合几何直观与推理能力的综合训练。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|2题（1,11）|多边形内角和与外角和计算|从多边形定义到边角关系推导| |性质判定|5题（2,3,12,19,22）|命题辨析与判定条件探究|平行四边形及特殊四边形性质与判定的逻辑互推| |综合应用|18题（5-10,13-16,17-25）|折叠、旋转及中点问题证明计算|以图形变换为载体，构建“性质应用-辅助线添加-多结论推理”的解题链条|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第21章 四边形 期末综合复习卷 (一) 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.某树叶在显微镜下的细胞图片局部可以近似看成六边形，六边形的外角和为（        ）． A. B. C. D. 2.下列命题正确的是（       ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 3.四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（       ） A. B. C. D. 4.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（     ） A. B. C. D. 5.如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（        ） A.4 B.2 C.1 D. 6.如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（     ） A. B.10 C. D.  7.如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（     ） A. B.6 C.10 D.12 8.如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（     ） A. B. C. D. 9.如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（     ） A.2 B. C. D. 10.如图，平行四边形中，对角线、相交于点、F、G分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的个数是（     ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为_______． 12.如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为________． 13.在矩形中，对角线，相交于点，点是的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为_______． 14.如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处.若点的坐标为，，则点的坐标为      . 15.在菱形中，E、F分别是、边上的两点，连接、、，平分．若，，的周长为15，线段的长为 ______ ． 16.对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为________； ②若线段的长度为，则的最小值为________． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.（4分）已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的倍多，求这个多边形的边数． 18.(6分) 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； （2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 19.（6分）如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，．求证：． 20.(8分) 如图，在四边形中，是的中点，交于点，，连接 （1）求证：； （2）若，，，求的长． 21.(8分) 如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 22.(8分) 如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 23.(10分) 如图，已知正方形，点分别是边上，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）若正方形的边长为5，时，求的长？ 24.(10分) 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 25.(12分) 四边形是正方形，点在射线上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交于点，连接，过点作交射线于点． （1）如图1，点在线段上 ①求证：； ②求的度数； ③证明． （2）若点在线段的延长线上，请补全图形（图），直接写出线段与的数量关系． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第21章 四边形 期末综合复习卷 (一) 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.某树叶在显微镜下的细胞图片局部可以近似看成六边形，六边形的外角和为（        ）． A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查多边形外角和的基本性质，熟记任意多边形外角和的固定值即可直接得出答案. 【解答】 解： 任意多边形的外角和都为 ，与边数无关，六边形是多边形， 六边形的外角和为   2.下列命题正确的是（       ） A.四个角都相等的四边形是正方形 B.对角线互相垂直的四边形是菱形 C.对角线相等的平行四边形是正方形 D.对角线互相垂直的矩形是正方形 【答案】 D 【解析】 本题主要考查了判断命题真假，正方形的判定定理，菱形的判定定理，矩形的判定定理，熟知正方形，矩形和菱形的判定定理是解题的关键. 【解答】 解：A、四个角都相等的四边形是矩形，不一定是正方形，原命题不正确，不符合题意； B、对角线互相垂直平分的四边形是菱形，原命题不正确，不符合题意； C、对角线相等的平行四边形是矩形，原命题不正确，不符合题意； D、对角线互相垂直的矩形是正方形，原命题正确，符合题意； 故选：D. 3.四边形的对角线与相交于点，则下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：A、 ，两组对边分别平行， 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； B、 ，则 同理可得AB 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； C、 又 ，对角线互相平分， 四边形ABCD是平行四边形，不符合题意； D、当AB 时，一组对边平行，另一组对边相等，不能判定四边形ABCD是平行四边形，符合 4.如图，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，转动其中一张纸条，重合的部分构成了一个四边形，则下列结论错误的是（     ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 由题意可知，，，推出四边形为平行四边形，根据平行四边形的性质即可求解. 【解答】 解：由题意可知，，， 四边形为平行四边形， ， ， ，不能得到， 故选：C. 5.如图，在中，，，、分别是的角平分线和中线，过点C作于点F，连结，则线段的长为（        ） A.4 B.2 C.1 D. 【答案】 C 【解析】 本题考查全等三角形的判定和性质，中位线定理，能够根据角平分线模型构造合适的辅助线是解题的关键延长CF交AB于点G，根据题意即可证明 ，从而推得BG=2，根据中位线定理即可求解. 【解答】解：如图，延长CF交AB于点G， 是 的角平分线， 是 的中线， 6.如图，在矩形中，点E在边上，，连接，若，，则的长为（     ） A. B.10 C. D. 【答案】 A 【解析】 先在直角三角形ABE中利用勾股定理求出BE的长度，从而得到BC的长度，进而得出AD和DE的长度，最后在直角三角形CDE中用勾股定理求出CE的长度．本题主要考查了矩形的性质以及勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 【解答】 解：∵ 四边形ABCD是矩形 ，AD=BC，CD=AB=6， ，AE=8， ， ， ， ， ， ．  7.如图，在中，，为的中点，，则四边形的面积为（     ） A. B.6 C.10 D.12 【答案】 B 【解析】 根据 ， ，可得四边形 为平行四边形，根据 ，D为AB的中点，则平行四边形 为菱形，即可求解. 【解答】 解： ， 四边形 为平行四边形， 又 ，D为AB的中点， 平行四边形 为菱形， ， 又 四边形 是平行四边形， ， ， ， ， ， ， . 8.如图，在正方形中，点P是对角线上一点，，垂足分别为E，F，连接．若，则一定等于（     ） A. B. C. D. 【答案】 A 【解析】 本题考查正方形，矩形的性质及应用，解题的关键是掌握正方形的对称性和矩形的判定定理和性质定理，连接BP交EF于O，可知 ，根据四边形ABCD是正方形，PE AB，PF BC，可得四边形BFPE是矩形，故OE=OB，从而 ，即得 ，故 【解答】 解：连接BP交EF于O.如图： 正方形ABCD的对称性可知， 四边形ABCD是正方形，PE AB，PF BC， 四边形BFPE是矩形， 故选：A  9.如图，平行四边形中，，点在四边形内，且，，连接，若，则的长度为（     ） A.2 B. C. D. 【答案】 D 【解析】 通过延长DE交AB于F，构造直角三角形与全等三角形，先证 得到AF=EF，结合勾股定理求出AF、EF的长度，再利用 30°直角三角形的性质与勾股定理求出BF，最终得到AB的长度，同时逐一判断选项. 【解答】 解：延长DE交AB于F. 四边形ABCD是平行四边形 四边形ABCD是平行四边形 (AAS) 在Rt 中， 在Rt 中， 10.如图，平行四边形中，对角线、相交于点、F、G分别是、、的中点，下列结论：①；②；③；④四边形是菱形．其中正确的个数是（     ） A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 【答案】 B 【解析】 证明，由三线合一定理可判断①；由三角形中位线定理得到，且，由平行四边形的性质得到，据此可判断②；利用SAS可证明，即可判断③；若四边形BEFG是菱形，则可证明是等边三角形，进而推出，据此可判断④. 【解答】 解：四边形是平行四边形， 为中点， ，故①正确； ，是中点， 、分别是、的中点， ，且 四边形为平行四边形， ，且 ，故②正确； ， 在和中， （SAS），故③正确； 若四边形BEFG是菱形 是等边三角形， ， 根据现有条件无法得到，故四边形BEFG不一定是菱形，故④错误. 正确的有①②③，共3个. 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.一个多边形的外角和与所有的内角相加是，则这个多边形的边数为___6_____． 【答案】 6 【解析】 设这个多边形的边数为，根据题意列方程求解即可. 【解答】 解：设这个多边形的边数为， 由题意得： 解得： 这个多边形的边数为6. 12.如图，在四边形中，已知，若要判定四边形为平行四边形，在不添加辅助线的前提下只添加一个条件，则这个条件可以为___ （答案不唯一）_____． 【答案】 （答案不唯一） 【解析】 本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 由平行四边形的判定方法即可得出结论． 【解答】 解： ， ， 四边形 是平行四边形， 故答案为： （答案不唯一）． 13.在矩形中，对角线，相交于点，点是的中点，点在对角线上，且，连接，若，则的长为__6______． 【答案】 6 【解析】 本题主要考查矩形的性质和三角形中位线定理，容易求得 ， ，得到点 为的中点，可得 . 【解答】 解：四边形为矩形， ，且，互相平分. ，. , . 点为的中点. 又点是的中点， . 14.如图，在平面直角坐标系中，将矩形沿直线折叠（点在边上），折叠后顶点恰好落在边上的点处.若点的坐标为，，则点的坐标为      . 【答案】 【解析】 根据折叠的性质得到，所以在直角中，利用勾股定理求得，然后设，则，，根据勾股定理列方程求出可得点的坐标． 【解答】 四边形为矩形,的坐标为,，， 矩形沿折叠，使落在上的点处， ，， 在中,， ， 设，则， 在中,， 即， 解得，即的长为 点的坐标为 15.在菱形中，E、F分别是、边上的两点，连接、、，平分．若，，的周长为15，线段的长为 ____5____ ． 【答案】 5 【解析】 连接AC，过A作AM CD于M，AN BC于N，AH EF于H，由角平分线的性质推出AN=AH，判定Rt Rt ，推出NE=HE，由菱形的性质推出AB=BC=CD=DA，AC平分 ，由菱形的面积公式得到AN=AM，因此AM=AH，判定 Rt Rt ，推出FM=FH，得到 的周长=CN+CM=15，判定 和 是等边三角形，得到 ，得到BC=15，由勾股定理求出AN、NE，即可得到CE的长. 【解答】 解：连接AC，过A作 于M， 于N， 于H，如图所示： EA平分 Rt Rt 四边形ABCD是菱形， ，AC平分 菱形ABCD的面积 Rt Rt 的周长 16.对于一个四边形，我们把依次连接它的各边中点得到的新四边形叫做原四边形的“中点四边形”，如果原四边形的中点四边形是个正方形，我们把这个原四边形叫做“中方四边形”．如图，已知四边形是“中方四边形”，四边形是它的中点四边形． ①若线段的长度为，的长为___6_____； ②若线段的长度为，则的最小值为___16_____． 【答案】 6,16 【解析】 ①连接BD，利用 是等腰直角三角形可得 ，利用三角形中位线可得 BD=2NQ=6 ； ②取AC的中点H，连接PH，QH,PQ，当P,H,Q三点共线时，PH+QH最小PQ=8，此时，AB+CD=2（PH+QH）有最小值为：2PQ=16. 【解答】 ①解：连接BD， 四边形ABCD是“中方四边形”， 四边形MPNQ是正方形， 是等腰直角三角形， 即： ， ②取AC的中点H，连接PH，QH，PQ， 为AD的中点， 同理：AB=2QH， N，Q分别为CD，BC的中点， 四边形ABCD是“中方四边形”，四边形MPNQ是它的中点四边形， 四边形MPNQ是正方形， 在Rt 中， 当P，H，Q三点共线时，PH+QH最小为PQ=8， 此时，AB+CD=2（PH+QH）有最小值为：2PQ=16. 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.（4分）已知一个多边形的每个内角都比与它相邻的外角的倍多，求这个多边形的边数． 【答案】 【解析】 本题考查了多边形的外角和，内角与外角之间的关系，熟练掌握知识点是解题的关键． 设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 求出每个外角度数，再拿外角和除以每个外角度数即为边数． 【解答】 解：设这个多边形的每个外角为，则每个内角为，依题意得，， 解得， ， 这个多边形的边数为12 18.(6分) 如图是的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，，，，各点都在格点上．请仅用无刻度的直尺，分别按下列要求在同一答题图上画图． （1）找出格点，连结，，使四边形是平行四边形； （2）过点作一条直线，使直线平分平行四边形的周长和面积． 【答案】 作图见详解 作图见详解 【解析】 （1）利用网格的特点找到点使得平行且等于即可． （2）利用平行四边形的对称性，找到对角线、的交点，过点、作直线交于点即可 【解答】 （1）解：取格点，使平行且等于，即可得到平行四边形． （2）连接、交于点，过点、作直线交于点，直线平分平行四边形的周长和面积． 19.（6分）如图，在中，中线，交于点，，分别是，的中点，连接，，，．求证：． 【答案】 见解析 【解析】 本题主要考查了三角形中位线定理，平行四边形的性质与判定．利用三角形中位线定理证明 ，进而证明四边形 是平行四边形，即可证明 ． 【解答】 证明： 在 中，中线 ， 交于点 分别是 的中点， 是 的中位线， ， 分别是，的中点， 是 的中位线， 四边形 是平行四边形， ．  20.(8分) 如图，在四边形中，是的中点，交于点，，连接 （1）求证：； （2）若，，，求的长． 【答案】 证明见解析 【解析】 （1）本题考查了三角形的中位线定理，平行四边形的判定与性质，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． 对于，根据三角形中位线定理得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，进而得证； 对于，首先推导出，在中，利用勾股定理进行计算即可解答． 【解答】 （1）解：证明：是的中点， ， ， 是的中位线， ， ， ， 四边形为平行四边形， ； （2）解：由知，是的中位线，四边形为平行四边形， ， ， ， 在中，，， 由勾股定理得：  21.(8分) 如图，在平行四边形中，E为线段的中点，连接，延长、相交于点F，连接． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）直接写出满足怎样的数量关系时，四边形是矩形． 【答案】 见解析 当AB=AF时，四边形ACFD是矩形，理由见解析 【解析】 （1）证明 (AAS)，推出CE=DE，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，即可得到四边形ACFD是平行四边形； （2）根据对角线相等的平行四边形是矩形即可判断. 【解答】 （1）证明： 平行四边形ABCD， ，即， ，， 为线段CD的中点， ， (AAS)， ， ， 四边形ACFD是平行四边形； （2）解：当AB=AF时，四边形ACFD是矩形， 证明： 平行四边形ABCD， ， ， 四边形ACFD是平行四边形， 四边形ACFD是矩形.  22.(8分) 如图，平行四边形的对角线相交于点平分，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，求的长． 【答案】 见解析 10 【解析】 （1）根据角平分线的性质可得 ，根据平行四边形的性质可得AB ，推出 ，得到 ，进而得AD=AB，即可得证； （2）根据菱形的性质可得 ，证明四边形AODE是矩形，根据矩形的性质即可求解. 【解答】 （1）证明： 平分 四边形ABCD是平行四边形， 四边形ABCD是菱形. （2）解： 四边形ABCD是菱形， 四边形AODE是平行四边形. 四边形AODE是矩形. 23.(10分) 如图，已知正方形，点分别是边上，且，将绕点D逆时针旋转，得到． （1）求证：； （2）若正方形的边长为5，时，求的长？ 【答案】 见解析 【解析】 （1）根据正方形的性质可得 , 根据旋转的性质可得 , 从而证明F、C、M三点共线, 然后利用正方形中的半角模型证明 ; （2）设 , 从而可得 , 然后在Rt 中，根据勾股勾股定理进行计算即可解答, 即可求出 的长. 【解答】 （1）证明：四边形 是正方形, 由旋转得： 三点在同一条直线上, (SAS)； （2）解：设 由旋转得： 在Rt 中, 的长为 . 24.(10分) 如图，在中，点O，D分别是边，的中点，过点A作交的延长线于点E，连接，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，试判断四边形的形状，并证明． 【答案】 见解析 当AB=AC时，四边形AEBD是矩形，理由见解析 【解析】 （1）先证明 (AAS)，可得AE=BD，结合AE BD可得结论； （2）由AB=AC，点D是BC边上的中点，可得AD BC即 ，结合由（1）得四边形AEBD是平行四边形，从而可得结论. 【解答】 （1）证明： 点O为AB的中点 在 和 中 (AAS)， 四边形AEBD是平行四边形； （2）证明：当AB=AC时，四边形AEBD是矩形， 理由如下： ，点D是BC边上的中点， 即 ， 由（1）得四边形AEBD是平行四边形， 四边形AEBD是矩形.  25.(12分) 四边形是正方形，点在射线上（不与点，重合），点关于直线的对称点为，作射线交于点，连接，过点作交射线于点． （1）如图1，点在线段上 ①求证：； ②求的度数； ③证明． （2）若点在线段的延长线上，请补全图形（图），直接写出线段与的数量关系． 【答案】 ①证明： 四边形ABCD是正方形， 点D，F关于直线CE对称， ③证明：如图，过点A作AG DH于点G 又 (AAS) . . AH || 补图如图， DF = 【解析】 （1）①根据正方形的性质可得 . 根据对称性可得CE DF，则 ，即可得出 设 则 分别表示出 进而即可求解： ③如图，过点A作AG DH于点G。证 得出AG=DM，根据AH BF得出 .根据勾股定理可得AH ，根据对称性可得DM=MF ，进而即可得出DF （2），连接CF。根据对称性依然有CF=CD=BC，设 ，则 ，进而得出 ，过点A作AG DH于点G。证明 得出AH .根据DM=MF，即可求解. 【解答】 （1）①略 ②如图，连接CF. : 垂直平分DF. 四边形ABCD是正方形， . CF = CD = BC 设 ，则 ， ③略 （2）理由如下：如图，连接CF. 点D关于直线CE的对称点为F， . 设 ，则 过点A作AG DH于点G. 又DA=CD， (AAS) 学科网（北京）股份有限公司 $