专题01 平面向量（6大考点期末真题汇编，吉林内蒙古专用）高一数学下学期人教A版

**基本信息** 整合内蒙古、吉林多所学校24-25高一下期末真题，聚焦平面向量6大高频考点，题型多样且注重方法应用与几何情境结合。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|丰富|线性运算、共线、数量积等|结合平行四边形、三角形等几何图形（如内蒙古包头中点问题）| |多选|少量|共线判定、模长性质|考查概念辨析（如吉林白山五校向量命题判断）| |填空|适量|数量积、模长、投影|融入菱形、正六边形等情境（如内蒙古呼和浩特青花瓷盘题）| |解答|较多|数量积综合、夹角计算|需用建系法/基底法（如吉林“BEST合作体”向量夹角与模长求解）|

专题01 平面向量 6大高频考点概览 考点01平面向量线性运算 考点02平面向量平行/共线问题 考点03平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 考点04平面向量模长问题 考点05夹角与垂直问题 考点06投影、投影向量问题 地 城 考点01 平面向量线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)在中，为边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 地 城 考点02 平面向量平行/共线问题 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知平面向量，，，若，，则实数的值为 A． B． C．2 D． 2．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 二、多选题 3．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)（多选）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若非零向量满足，且不共线，则 三、填空题 4．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则______. 地 城 考点03 平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)已知向量，则（    ） A．8 B．9 C．11 D．15 2．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知向量满足，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 3．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知向量，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D． 4．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 5．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 6．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 7．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 8．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 9．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 二、填空题 10．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知在直角三角形中，，点是斜边的中点.则__________. 11．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 三、解答题 12．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知向量，，. (1)求向量，的夹角； (2)求的值； 13．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)在等腰梯形中， 为的中点，点在上，且，记. (1)用向量表示向量； (2)求的值. 14．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 地 城 考点04 平面向量模长问题 1、 单选题 1．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 2．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知向量，则 A． B．2 C．5 D．50 3．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 二、多选题 4．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心 三、填空题 5．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知，的夹角为120°，则________________． 6．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知向量满足，则________． 地 城 考点05 夹角与垂直问题 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)已知向量，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 3．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知，则与垂直的一个单位向量的坐标为_________. 5．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围_____. 三、解答题 6．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)已知向量与的夹角，且，. (1)求，； (2)求与的夹角 7．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 8．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知向量． (1)求； (2)设向量的夹角为，求的值． 9．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知向量，. (1)若，求m的值； (2)若向量，且，求向量，的夹角. 10．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知向量. (1)若，求； (2)若，求向量与的夹角. 11．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)已知向量，为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)当时，求与夹角的余弦值． 12．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知向量，． (1)求向量，的夹角的余弦值； (2)若，且与的夹角为钝角，求的取值范围． 13．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． (1)求点的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求平行四边形的面积． 14．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)在平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对（x,y）叫做在坐标系中的坐标.设. (1)计算的大小； (2)若与互相垂直，求的值； (3)若，求与夹角的余弦值. 地 城 考点06 投影、投影向量问题 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 2．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 3．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 4．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 5．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 二、多选题 6．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)（多选）下列结论错误的是（    ） A．若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 B．若非零向量，满足，则与的夹角为60° C．若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5 D．若向量与的夹角为，，则的最小值为 三、填空题 7．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则_____. 四、解答题 8．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)已知平面向量，满足：，，． (1)求与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 9．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)已知向量，其中 (1)若，求k的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网 目目 考点01 一、单选题 1.C 2.A 3.c 4.B. 目目 考点02 一、单选题 1.B. 2.D 二、多选题 3.AD 三、填空题 4.品 目目 考点03 一、单选题 1.C. 2.C 3.c 4.A 5.D 6.B 7.c 8.B 9.C 二、填空题 10.4 www.zxxk.com 让教与学更高效 专题01 平面向量 平面向量线性运算 平面向量平行/共线问题 平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 1/8 学科网 www.zxxk.com 11.9 三、解答题 12.【详解】1)3a-2=6可得到3-2=V(3-2)=V92+ 故|3a-26=V9×4+4×9-12a·6=6→京.6=3， 故cos(宝}=cos6=器=支. 由于6E[0,π]，故8=晋， (2)(言+26).(2a-)=22+3i-262=2×4+3×3-2×9= 13.【详解】(1)如图所示，连接DE,则四边形EBCD为平行四边形， 所以B元=i=而-A正=6-a, 因为点F在BC上，且B户=2F元，所以B京=B元=郭-a, 所以E驴=萌+B市=+6-=+6 (2)由(1)可知，A应=A店+B户=+号6-ā=+6， 在等腰梯形ABCD中，过CD分别作AB的垂线，垂足分别为M,N, 则AN=BM=克，所以∠DAB=60°， 由题意知=2，=1，且京·6=·lcos60°=2×1×支=1， A驴.驴=(+)·(+6)=+后6+B=寺×4+哥×1 14.【详解】(1)因为C市=2P应，AM=xA,AN=yAC: 所以A=A成+M驴=A+寺M元=AM+专(AC-A成) =A沁+AM=豪A+等A店， 又B,P,N三点共线， 2/8 让教与学更高效 462-12a.6=6, -1 +号×1=号 学科网 www .zxxk.com 让教与学更高效 所以+等=1，即2xy-3y=-1 (2)(i)因为M为AB的中点，所以x=, 由(1)知，2xy-3y=-1,则y=专，即P为△ABC的重心. 建立如图所示的平面直角坐标系，则B(0,0),C(2,0),A(0,25), 所以p(2渠)， 所以p=（-景-2)，元=(，-)， 所以cos∠BPC= 所u⊕元-离sin∠8Pc=圣要-9 (ⅱ)建立与(i)相同的平面直角坐标系， 则B(0,0),C(2,0),A(0,25), 所以AC=（2,-23),A=(0,-25),B元=(2,0)， 所以AM=xA店=(0，-2V5x), 所以=元+A成=(（3-25(1+2x), 则A应.B元=等，|Bd=2, 所以本⊕武-器 APBC 应 APBC =4E-(币武) 42 =4-9=。 3/8 耐学科网 www.zxxk.com 即=号，所以号+号(1+2x)2=号，即x=或x= 因为0<x<1,所以x=,又因为2xy-3y=-1, 所以y=,则x+y=器 目目 考点04 平面向量模长问题 一、单选题 1.D. 2.A 3.C 二、多选题 4.ACD 三、填空题 5.万 6.V34 目目 考点05 夹角与垂直问题 一、单选题 1.B 2.C 3.D. 二、填空题 4.()(或(-，-)) 5.(-∞，-2)U(-2-青) 三、解答题 6.【详解】(1)由向量与6的夹角日=晋，且=3， 言.i=副cos0=35x9=号， 目-=2-2a6+6=V9-2×号+3=5： 4/8 让教与学更高效 5可知， 西学科网 www.zxxk.com (2)易知a(a-)=-京6=9-号=号， s(-)-智=最-导.信-动0可 所以与言-6的夹角为需 7.【详解】(1)a+2b=(1,4)+2(2,3)=(5,10): (2)|=V12+44=V17: (3)已知元=1a-6=1(1,4)-(2,3)=(1-2,41-3),因为61 即(1-2)×2+(47-3)×3=0，所以入=是 8.【详解】(1)由a=（1,0)石=(m-1)可得，京-25=(1,0)-2(m 即1-2m=-3m=2,6=(2,-1, 所以a+6=(1,0)+(2,-1)=(3,-1: 所+=32+(-1)2=V10: (2)因为·6=(1,0(2，-1)=1×2-0×1=2，=1，同=5， 所以os0=翡-=尊 9.【详解】(1)因为a=(m,-2),=(-1,3), 所以a+6=(m-1,1),2a+6=(2m-1,-1) 又因为(a+)1(2+), 所以(m-1)(2m-1)+1×(-1)=0,解得：m=0或m= (2)因为=(3,1)，6=(-1,3)， 所以6-=(-4,2)，=V-1)2+32=V10 又因为a=(m,-2),//(石-)， 所以受=子，解得：m=4, 则=(4，-2). 所以=V42+(-2)2=2N5,京.6=4×(-1)-2×3=-10 5/8 让教与学更高效 cb=0, -1=(（1-2m2=(-3,2, 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 设向量a,b的夹角为6,8∈[0，π] 由cos6=题 -10 的 =5x ，得6=要 所以向量，6的夹角为要 10.【详解】(1)由题意，6是非零向量，则由/乃可设6=λ入≠0， 因为副=V-1)2+22=V5,所以a.6==2=5=10,解得=2， 则=2=2V5 (2)因为4a-可16，所以4a-列6=4京方-2=40-2=0， 即2=2=40，解得=20， 设向量三与6的夹角为6， 以，9-0=石品=9 10 又因为E[0,元]，所以6=翠 11.【详解】(1)因为0A=(-2,1),0方=(m,3),0C=(1,5), 所以B元=0元-02=(1-m,2), 又因为0A/B元，所以-2×2=1×(1-m),解得m=5. (2)当m=4时，0=(4,3)，已知0A=(-2,1) 设可A,O的夹角为6，则cos0==4=- 040方 V5×W25 5. 12.【解11)cos(包)-最-高=-厚 -5 (2)2a-36=(-1,12),=(3,t),(2a-36)·2=-3+12t<0得t<, 由(2a-36)c得-t=36,t=-36, 因为2-3与的夹角为钝角，t的取值范围为(-∞，一36)U(-36,). 13.【详解】(1)由题意得A=(3,3)-（-1,0)=(4,3), 设D(xy),则D元=(4,5)-(x,y)=(4-x,5-y)· （4=4-x,（x=0, A=D心，得3=5-y,得y=2, 6/8 丽学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 所以点D的坐标为(0,2). (2)由题意得A=(0,2)-(-1,0)=(1,2), AAD=4×1+3×2=10,|A|=V42+32=5,|A=V2+22=5, 巫= 所以向量A店与A市夹角的余弦值为品 5 3)由2，为的而茄关角的正弦值为-（华）-写】 所以平行四边形ABCD的面积为2×专×××号=5 14.【详解】(1)因为0=2E+4已2，所以02=(2,4) 所以可=V22+4=V20=25 (2)因为0市100，所以0市.00=0. 又0=(2,4)，00=(1，n), 0.00=2×1+4×n=0. 解得n=一专 (3)设a与6的夹角为6， 由题知a=(-1,2),6=(-2,1),则a·6=(-1)×(-2)+2×1=4 又=V(-1)2+22=5,=V(-2)2+12=5 目目 考点06 投影、投影向量问题 一、单选题 1.D 2.B. 3.C 4.B 5.D 二、多选题 6.ABD 718 学科网 www.zxxk.com 让教与学更高效 三、填空题 7.2 四、解答题 8.【详解】(1)：(2京-36)·（2a+)=61,42-4京.6-36=61， 又：副=4，l=3,a6=-6,c0s0=語=-号 又：6e[0,元]，“6= (2):3a+2=9g2+12.i+462=108,·3a+26=65. :向量a在向量3+2b上的投影向量的模为 |,aat2四-+==25 目+2 13+2一63 9.【详解】(1)解：因为=(3,46=(9,12=(4，-3， 所以+k6=(3+9k4+12k,石-=(5,15)， 因为（且+k1(6-, 所以(+k6):(6-)=5(3+9k+15(4+12)=0, 所以k=一青； (2)五=2a-6=2×3,4-(9,12=（-3,-4, i=京+c=(3,4)+(4,-3)=(7,1), 所以i·i=-3×7-4×1=-25,|=V72+12=5√2， 所以向方在向量的投影向量为票=器7,1=（一子，一) 8/8 专题01 平面向量 6大高频考点概览 考点01平面向量线性运算 考点02平面向量平行/共线问题 考点03平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 考点04平面向量模长问题 考点05夹角与垂直问题 考点06投影、投影向量问题 地 城 考点01 平面向量线性运算 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)在平行四边形中，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】作出符合题意的图形，结合平面向量的加法和减法法则求解即可. 【详解】因为，所以是的中点，， 因为，所以是上靠近的三等分点，， 如图，连接，，作出平行四边形，    由题意得 ，故C正确. 故选：C 2．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)在中，为边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据平面向量线性运算法则计算可得. 【详解】因为为边上的中点， 所以. 故选：A 3．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)如图，在四边形中，，，设，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据平面向量的线性运算，结合图形可得. 【详解】因为， 所以 . 故选：C. 4．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)如图所示，已知在中，是边上的中点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由题意得，再由，即可得到答案. 【详解】由于是边上的中点，则. . 故选：B. 地 城 考点02 平面向量平行/共线问题 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知平面向量，，，若，，则实数的值为 A． B． C．2 D． 【答案】B 【分析】首先应用向量的数乘及坐标加法运算求得的坐标，然后直接利用向量共线时坐标所满足的条件，列出等量关系式，求解k的值. 【详解】因为， 所以， 又，由 得，解得，故选B. 2．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知是的重心，过点的直线与线段、分别交于点、，，则的最小值为（    ） A． B． C．3 D．6 【答案】D 【分析】根据重心的性质先用将表示出来，然后利用向量共线定理得出，最后利用基本 不等式的性质求出的最小值. 【详解】根据重心的性质，重心是三角形三条中线的交点，且重心到顶点的距离是它到对边中点距离的2倍. 所以. 因为，所以. 所以. 因为三点共线，根据向量共线定理可得，化简得. 所以. 当且仅当时，即时等号成立，此时的最小值为6. 故选：D. 二、多选题 3．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)（多选）下列关于平面向量的说法中，正确的是（    ） A．若，则 B．若，则 C． D．若非零向量满足，且不共线，则 【答案】AD 【分析】由向量相等判断A；取判断B；由数量积公式结合数乘运算判断C；由平面向量基本定理判断D. 【详解】根据平面向量相等的定义，A正确；若，则不能推出，B错误； 表示与共线的向量，表示与共线的向量，C错误； 根据平面向量基本定理，D正确. 故选：AD. 三、填空题 4．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)在中，，E是线段的中点，过点E的直线分别与线段，交于点M，N，若，，则______. 【答案】 【分析】利用向量的线性运算求得，利用三点共线可求得. 【详解】因为，所以， 所以， 又因为E是线段的中点，所以 因为，，所以， 又因为三点共线，所以，解得.    故答案为：. 地 城 考点03 平面向量数量积（建系法/基底法/极化恒等式） 一、单选题 1．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)已知向量，则（    ） A．8 B．9 C．11 D．15 【答案】C 【分析】利用数量积的坐标形式可求数量积. 【详解】因为，故， 故， 故选：C. 2．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知向量满足，且，则的值为（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】C 【分析】根据已知条件直接化简求解即可. 【详解】因为向量满足，且， 所以. 故选：C. 3．(24-25高一下·内蒙古乌兰察布集宁区第二中学·期末)已知向量，若，则实数（    ） A． B．0 C．1 D． 【答案】C 【分析】由数量积的坐标表示列方程即可求解. 【详解】向量，则，解得. 故选：C. 4．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知，，，则（   ） A．4 B．2 C． D． 【答案】A 【分析】根据数量积的坐标表示计算. 【详解】由已知得，，， 则． 故选：A. 5．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知点是菱形所在平面内的一点，若菱形的边长为定值，且的最小值为，则该菱形的边长为（    ） A． B． C．2 D．3 【答案】D 【分析】以菱形的对角线为坐标轴，对角线的交点为坐标原点建立平面直角坐标系，利用向量的坐标运算及基本不等式求解即可. 【详解】解：由，可建立如图所示平面直角坐标系， 设，， 则， 所以， 则 ， 故， 所以. 故选：D. 6．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则等于（    ）． A．1 B． C． D． 【答案】B 【分析】设的中点为D，由题意可得，由等边的边长为2，可得， ，最后由，求解即可. 【详解】解：设的中点为D，则． 因为， 所以． 因为等边的边长为2， 则，所以． 所以． 故选：B. 7．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知非零向量与满足，且，，点是的边上的动点，则的最小值为（   ） A．－1 B． C． D． 【答案】C 【分析】分析题目条件可得，取的中点，建立平面直角坐标系，利用坐标运算可得结果. 【详解】∵分别表示与方向的单位向量， ∴以这两个单位向量为邻边的平行四边形是菱形，故所在直线为的平分线所在直线， ∵，∴的平分线与垂直，故. 取的中点，连接，则， 由题意得，， ∴.    如图，以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系， 则，故. 设，则，∴， ∴，， ∴， 当时，取得最小值，最小值为. 故选：C. 8．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)青花瓷（blue  and  white  porcelain），又称白地青花瓷，常简称青花，是中国瓷器的主流品种之一，属釉下彩瓷.原始青花瓷于唐宋已见端倪，成熟的青花瓷则出现在元代景德镇的湖田窑.图一是一个由波涛纹和葡萄纹构成的正六边形青花瓷盘，已知图二中正六边形的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点M在正六边形的边上运动，动点A，B在圆O上运动且关于圆心O对称，则的最小值是（   ） A． B．2 C． D．3 【答案】B 【分析】根据题意，利用向量的线性运算法，化简得到，即可求得的最小值. 【详解】连接，如图， ， 根据图形知，当点位于正六边形各边的中点时，此时最小值为，的最小值为， 所以的最小值是. 故选：B 9．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)如图，网格纸上小正方形的边长为1.从A，B，C，D四点中任取两个点作为向量的始点和终点，则的最大值为（   ） A．1 B．2 C．4 D． 【答案】C 【分析】要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大，然后再根据图形即可求出结果． 【详解】依题意，， 因此要使取到最大值，即要求向量在向量方向上的投影向量的模最大， 由图形知，当向量时，向量在向量方向上的投影向量的模最大， 此时在向量方向上的投影向量的模为4，所以的最大值为. 故选：C 二、填空题 10．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知在直角三角形中，，点是斜边的中点.则__________. 【答案】4 【分析】由题意以为坐标原点，CA边为x轴，CB边为y轴建立直角坐标系，求出各点坐标，利用向量坐标和向量数量积的坐标计算方法即可求解. 【详解】由题意以为坐标原点，建立直角坐标系， 可得C(0，0)，，，， 故可得，，， ∴， 故. 故答案为：4. 11．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)如图，在菱形中，为上靠近于C的三等分点，则的值是__________. 【答案】 【分析】用表示出，然后根据向量数量积的运算性质求解可得. 【详解】因为为上靠近于C的三等分点，所以， 所以， 又，所以， 所以. 故答案为： 三、解答题 12．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知向量，，. (1)求向量，的夹角； (2)求的值； 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据模长公式即可求解，即可根据夹角公式求解， （2）根据数量积的运算律即可求解. 【详解】（1）由可得， 故， 故， 由于，故， （2） 13．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)在等腰梯形中， 为的中点，点在上，且，记. (1)用向量表示向量； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）连接，可得、，利用向量的加法表示； （2）由（1），过分别作的垂线，垂足分别为，得到，然后应用数量积的运算律求值. 【详解】（1）如图所示，连接，则四边形为平行四边形， 所以， 因为点在上，且，所以， 所以. （2）由（1）可知，， 在等腰梯形中，过分别作的垂线，垂足分别为， 则，所以， 由题意知，且， . 14．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)如图，在中，，，，，，设与交于点，且． (1)求的值； (2)定义平面非零向量之间的一种运算“”：（其中是两非零向量和的夹角）． （ⅰ）若为的中点，求的值； （ⅱ）若，求的值． 【答案】(1) (2)（ⅰ）（ⅱ） 【分析】（1）根据平面向量的线性运算可得，进而结合三点共线的推论求解即可； （2）（ⅰ）由为的中点，易得为的重心，建立平面直角坐标系，根据题设定义及平面向量夹角余弦的坐标表示求解即可； （ⅱ）建立平面直角坐标系，据题设定义及平面向量数量积的运算律列方程求解即可. 【详解】（1）因为，， 所以 ， 又三点共线， 所以，即. （2）（ⅰ）因为为的中点，所以， 由（1）知，，则，即为的重心． 建立如图所示的平面直角坐标系，则， 所以， 所以， 所以， 所以. （ⅱ）建立与（ⅰ）相同的平面直角坐标系， 则， 所以， 所以， 所以， 则， 所以 ， 即，所以，即或， 因为，所以，又因为， 所以，则． 地 城 考点04 平面向量模长问题 1、 单选题 1．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知向量，满足，，，则（    ） A． B．2 C． D． 【答案】D 【分析】 根据题意可得，再根据模长关系运算求解. 【详解】，又，，， 则，所以. 故选：D. 2．(24-25高一下·内蒙古锡林郭勒盟第二中学·期末)已知向量，则 A． B．2 C．5 D．50 【答案】A 【分析】本题先计算，再根据模的概念求出． 【详解】由已知，， 所以， 故选A 3．(24-25高一下·吉林吉林第十二中学·期末)已知向量，，若，则（   ）． A． B．2 C． D．5 【答案】C 【分析】根据垂直向量的数量积以及其坐标表示，建立方程，求得参数，利用模长公式，可得答案. 【详解】因为，所以，所以，所以． 故选：C． 二、多选题 4．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)（多选）下列命题正确的是（   ） A．在中，，则的形状一定是直角三角形 B．若A，B，C，D四点在同一条直线上，且，则 C．平行四边形ABCD中，若，则四边形ABCD是矩形 D．在中，若，则P点的轨迹经过的内心 【答案】ACD 【分析】由平面向量的概念和线性运算和向量的数量积的运算律逐项计算判断即可. 【详解】对于A，由，可得， 所以，所以，所以， 所以，所以是直角三角形，故A正确； 对于B，依题意如图，但，故选项B错误； 对于C，由，可得， 所以，所以， 所以，所以四边形ABCD是矩形，故C正确； 对于D，根据向量加法的几何意义知，以和为邻边的平行四边形为菱形， 点在该菱形的对角线上，由菱形的对角线平分一组对角， 故点的轨迹经过的内心，故D正确. 故选：ACD. 三、填空题 5．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)已知，的夹角为120°，则________________． 【答案】 【详解】由题意可得：， 则：. 6．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知向量满足，则________． 【答案】 【分析】根据数量积的运算律求得，再根据向量模的计算公式，即可求得答案. 【详解】由，得，有， 则， 故答案为： 地 城 考点05 夹角与垂直问题 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林长春东北师范大学附属中学·期末)已知向量，，若，则实数（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】用坐标法求解向量的数量积，若，则它们的数量积为0. 【详解】由，则,解得. 故选：B. 2．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)已知向量，若，则的值为（    ） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】利用向量垂直的坐标表示建立方程，再求解参数即可. 【详解】，， 得到，解得，故C正确. 故选：C． 3．(24-25高一下·吉林友好学校第79届·期末)已知向量，若，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【分析】根据向量垂直的坐标运算可求的值. 【详解】因为，所以， 所以即，故， 故选：D. 二、填空题 4．(24-25高一下·吉林“BEST合作体”·期末)已知，则与垂直的一个单位向量的坐标为_________. 【答案】（或） 【分析】由条件设与垂直的单位向量坐标为，再由条件列式求解. 【详解】设与方向相同的单位向量坐标为， 则，解得 或 与垂直的单位向量是（或）. 故答案为：（或） 5．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)已知，，设，，若与的夹角为钝角，则的取值范围_____. 【答案】 【分析】结合向量的坐标运算，两向量夹角为钝角需满足数量积为负，且两向量不共线求解即可. 【详解】因为，， 所以，， 又与的夹角为钝角，所以且与不反向共线， 所以且，解得且， 所以的取值范围为. 故答案为：. 三、解答题 6．(24-25高一下·内蒙古呼和浩特·期末)已知向量与的夹角，且，. (1)求，； (2)求与的夹角 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）利用向量数量积定义求出，利用向量运算律计算出； （2）利用向量夹角余弦公式求出，求出夹角. 【详解】（1）由向量与的夹角，且，可知， ， ； （2）易知， ，又 所以与的夹角为. 7．(24-25高一下·吉林白山抚松县第一中学·期末)已知向量. (1)求的坐标； (2)求； (3)若，且，求实数的值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据向量的坐标运算奇数求解； （2）应用模长公式计算求解； （3）先应用坐标运算得出再应用垂直的坐标公式计算求解. 【详解】（1）； （2）； （3）已知，因为， 即，所以. 8．(24-25高一下·吉林白山五校·期末)已知向量． (1)求； (2)设向量的夹角为，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由求出，从而可求出的坐标，进而可求出模； （2）直接利用向量的夹角公式求解即可. 【详解】（1）由可得，， 即，               所以， 所以； （2）因为，                 所以． 9．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知向量，. (1)若，求m的值； (2)若向量，且，求向量，的夹角. 【答案】(1)或. (2) 【分析】（1）先根据平面向量的线性运算的坐标表示得出和的坐标；再根据平面向量垂直的坐标表示列出方程求解即可. （2）先根据平面向量线性运算的坐标表示及向量平行得出，从而得；再根据平面向量模及数量积的坐标运算得出，，；最后根据平面向量夹角的计算方法即可求解. 【详解】（1）因为，， 所以，. 又因为， 所以，解得：或. （2）因为，， 所以，. 又因为，， 所以，解得：， 则. 所以，. 设向量，的夹角为， 由，得 所以向量，的夹角为 10．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知向量. (1)若，求； (2)若，求向量与的夹角. 【答案】(1)； (2). 【分析】（1）利用向量的数乘表示向量共线关系，结合向量模长的坐标公式计算即可； （2）利用垂直向量的数量积为0，结合向量数量积的运算律计算可得，再根据向量间夹角公式计算即可. 【详解】（1）由题意，是非零向量，则由可设， 因为，所以，解得， 则. （2）因为，所以， 即，解得， 设向量与的夹角为， 所以，， 又因为，所以. 11．(24-25高一下·吉林吉林永吉实验高级中学等·期末)已知向量，为坐标原点． (1)若，求实数的值； (2)当时，求与夹角的余弦值． 【答案】(1)5 (2) 【分析】（1）根据平面向量共线的坐标表示即可求解； （2）根据平面向量的夹角余弦公式的坐标表示即可求解. 【详解】（1）因为，，， 所以， 又因为，所以，解得. （2）当时，，已知， 设，的夹角为，则． 12．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知向量，． (1)求向量，的夹角的余弦值； (2)若，且与的夹角为钝角，求的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用数量积的定义即可求出； （2）由两个向量的数量积小于0且不共线即可求出. 【详解】（1）． （2），，由得， 由得，， 因为与的夹角为钝角，的取值范围为． 13．(24-25高一下·内蒙古部分学校·期末)已知平行四边形的三个顶点，且按逆时针方向排列． (1)求点的坐标； (2)求向量与夹角的余弦值； (3)求平行四边形的面积． 【答案】(1) (2) (3)5 【分析】（1）设点的坐标，根据向量相等直接得到所求点的坐标. (2)由向量与的数量积直接计算向量的夹角余弦值. (3)由（2）向量的夹角余弦计算正弦，再由面积公式计算平行四边形的面积. 【详解】（1）由题意得， 设，则． 由，得得 所以点的坐标为． （2）由题意得， ，，， 所以向量与夹角的余弦值为． （3）由（2）得向量与夹角的正弦值为， 所以平行四边形的面积为. 14．(24-25高一下·内蒙古赤峰·期末)在平面直角坐标系中，分别是与轴、轴正方向同向的单位向量.若向量，则把有序实数对（x,y）叫做在坐标系中的坐标.设. (1)计算的大小； (2)若与互相垂直，求的值； (3)若，求与夹角的余弦值. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）利用向量的模长公式计算即得； （2）根据向量垂直的坐标公式计算即得； （3）利用向量夹角的坐标公式计算即可. 【详解】（1）因为，所以. 所以 . （2）因为，所以. 又， . 解得. （3）设与的夹角为， 由题知，，则. 又，. 则. 地 城 考点06 投影、投影向量问题 一、单选题 1．(24-25高一下·吉林松原宁江区实验高级中学·期末)已知向量是两个单位向量，在上的投影向量为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由题意知，由投影向量公式解得，然后由向量的数量积公式求得结果. 【详解】由题意可知，且， ∴， ∴. 故选：D. 2．(24-25高一下·内蒙古巴彦淖尔·期末)已知向量，满足，，且向量，的夹角为60°，则向量在向量上的投影向量是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据投影向量定义计算即可. 【详解】因为，，且向量，的夹角为60°， 则向量在向量上的投影向量为. 故选：B. 3．(24-25高一下·吉林普通高中友好学校联合体·期末)已知向量，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件，利用投影向量的定义，即可求解. 【详解】因为，， 所以在上的投影向量为, 故选：C. 4．(24-25高一下·内蒙古鄂尔多斯西四旗·期末)已知平面向量、满足，，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由平面向量数量积的运算可求出的值，再利用投影向量的定义可求得在上的投影向量的坐标. 【详解】因为，则，且，， 则，可得， 所以，在上的投影向量为. 故选：B. 5．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)已知向量，满足，，则在上的投影向量为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用向量夹角公式求出，再结合投影向量公式求解即可. 【详解】由向量的夹角公式得， 由投影向量公式得在上的投影向量为，故D正确. 故选：D 二、多选题 6．(24-25高一下·内蒙古通辽·期末)（多选）下列结论错误的是（    ） A．若向量，，且与的夹角为锐角，则λ的取值范围是 B．若非零向量，满足，则与的夹角为60° C．若向量，满足，且，则在方向上的投影向量的模为5 D．若向量与的夹角为，，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】A选项，根据夹角为锐角得到且不反向共线，从而得到A错误；B选项，将和两边分别平方得，从而得到，得到夹角；C选项，计算出，利用投影向量的模长公式得到答案；D选项，利用向量数量积公式得到，从而求出最小值. 【详解】A选项，， 且，解得且，A错误； B选项，将和两边分别平方得， ，，即 则， 所以与的夹角为30°，B错误； C选项，，又，所以， 所以在方向上的投影向量的模为，C正确； 对于D，， 当时，有最小值，所以的最小值为，D错误． 故选：ABD 三、填空题 7．(24-25高一下·吉林长春G8教考联盟·期末)已知，是夹角为的两个单位向量，若向量在向量上的投影向量为，则_____. 【答案】2 【分析】由投影向量计算公式，结合数量积的运算律计算即得. 【详解】由题意可得向量在向量上的投影向量为， 则得，解得. 故答案为：. 四、解答题 8．(24-25高一下·内蒙古包头·期末)已知平面向量，满足：，，． (1)求与的夹角； (2)求向量在向量上的投影向量的模． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先应用数量积运算律化简求解得出，余弦公式计算求解； （2）应用数量积运算律结合模长公式计算，再应用投影向量模长公式计算求解. 【详解】（1），， 又，，，． 又，． （2），． 向量在向量上的投影向量的模为 9．(24-25高一下·吉林长春十一高中·期末)已知向量，其中 (1)若，求k的值； (2)若，求向量在向量上的投影向量的坐标． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别求得的坐标，再根据求解； （2）先求得，的坐标，再由求解. 【详解】（1）解：因为， 所以， 因为， 所以， 所以； （2）， ， 所以， 所以向量在向量的投影向量为. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $