精品解析：河南郑州市桐柏一中2025-2026学年下学期九年级数学学情检测

九年级数学学情检测 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，期中只有一个是正确的） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 2. 如图是由相同的小正方体组成的立体图形，从1，2，3，4号小正方体中取走一个，该立体图形的主视图没有改变的是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 3. 2026南京北岸马拉松约有71000人报名，用科学记数法表示71000是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 下列方程中有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 7. 如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是（ ） 第一步 第二步 第三步 第四步 A. 第二步运用了分式的基本性质 B. 从第三步开始出现错误 C. 原分式的计算结果为 D. 当时，原分式的值为0 8. 如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 9. 已知地物线过四点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是（ ） 信息窗 1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B. 当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C. 将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D. 当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，乙需要的水的质量更多 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使得式子有意义的x值可以是______（只要写出一个即可）． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为____________． 13. 一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 14. 如图所示的是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图，其中点与点重合，点与点重合，则图中阴影部分的面积为______． 15. 如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为_____________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 17. 每年的5月12日是全国防灾减灾日．设立“防灾减灾日”一方面顺应社会各界对防灾减灾关注的诉求，另一方面提醒国民前事不忘，后事之师，更加重视防灾减灾，努力减少灾害损失．某校为了迎接“防灾减灾日”的到来，组织该校八年级学生开展了“防灾减灾”知识竞赛，从中随机抽取了30名学生的成绩（满分为100分），信息如下． a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 人数 3 5 10 7 5 b．成绩在这一组的是： 70　72　72　73　74　75　77　78　78　79 根据以上信息，回答下列问题： （1）在抽取的样本中，成绩的中位数是 分，其中小明同学的竞赛成绩为77分，他的成绩 （填“达到”或“没有达到”）中上等水平． （2）若该校八年级参与本次竞赛的学生一共有900名，规定成绩达到70分为合格，估计八年级学生本次竞赛成绩合格的学生人数． （3）若成绩达到80分为良好，请对该校八年级学生“防灾减灾”知识的掌握情况作出合理的评价． 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 19. 如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，点C在⊙O上，点E在⊙O外． （1）动手操作：作∠ACB的角平分线CD，与圆交于点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）综合运用，在你所作的图中． ①连接AD，求AD的长． ②若∠EAC＝∠D，求证：AE是⊙O的切线． 20. 2022年端午节，“买一提粽子就有两种味道”的组合粽子十分畅销．某食品生产厂家测算，一提“两味组合粽”中若有6个猪肉粽，4个蜜枣粽，则出厂成本价为21元；一提“两味组合粽”中若有4个猪肉粽，6个蜜枣粽，则出厂成本价为19元． （1）求1个猪肉粽和1个蜜枣粽的出厂成本价各为多少元； （2）若商家推出的这款“两味组合粽”每提10个粽子中至少应有2个猪肉粽，请列式表示这款“两味组合粽”一提的出厂成本价与蜜枣粽数量之间的函数关系，并求出出厂成本价最低时的搭配方案． 21. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； （2）当时，y的最大值是8，求m的值； （3）如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 23. 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． 【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________． 【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学学情检测 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，期中只有一个是正确的） 1. 2026的倒数是（　　） A. B. 2026 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查倒数的定义，根据倒数的定义计算即可得到结果. 【详解】∵ 乘积为的两个数互为倒数， 设的倒数为，则 ， ∴ ， 故选D. 2. 如图是由相同的小正方体组成的立体图形，从1，2，3，4号小正方体中取走一个，该立体图形的主视图没有改变的是（ ） A. 1号 B. 2号 C. 3号 D. 4号 【答案】B 【解析】 【分析】主视图是从正面看得到的平面图形，反映物体的长和高．观察立体图形可知，其主视图从左到右共有列，每列小正方形的个数分别为，，．若取走一个小正方体后主视图不变，说明该小正方体不是决定主视图轮廓的关键部分，或者取走后该位置有其他小正方体填补． 【详解】解：观察图形可知，该立体图形的主视图从左往右分列，高度分别为层，层，层． 号小正方体位于左列最上方，取走后左列高度变为层， 主视图发生改变，故A不符合题意； 号小正方体位于右列最上方，取走后右列高度变为层， 主视图发生改变，故C不符合题意； 号小正方体位于右列下方，取走后号小正方体失去支撑，右列高度改变， 主视图发生改变，故D不符合题意； 号小正方体位于左列中间，其后方有小正方体（支撑号），取走号后，后方小正方体显露，左列高度仍为层， 主视图没有改变，故B符合题意． 3. 2026南京北岸马拉松约有71000人报名，用科学记数法表示71000是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】只需根据科学记数法的定义确定和的值即可，科学记数法的表示形式为，其中，当原数绝对值大于10时，等于原数的整数位数减1． 【详解】解：∵是五位整数，将小数点向左移动4位可得，， ∴． 4. 如图，是量角器的中心，直尺的一边与量角器的零刻度线重合，与相交于点．若量角器上显示的读数为，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、邻补角的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．由题意得，利用平行线的性质得到，再利用邻补角的定义即可求出的度数． 【详解】解：由题意得，， ， ， ． 故选：C． 5. 下列方程中有两个不相等的实数根的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】对于一元二次方程，当判别式时，方程有两个不相等的实数根，整理各方程为标准形式后计算判别式即可判断． 【详解】解：A、方程为，则，，，故，方程无实数根，不符合题意； B、整理方程得，则，，，故，方程有两个相等的实数根，不符合题意； C、整理方程得，则，，，故，方程无实数根，不符合题意； D、方程为，则，，，故，方程有两个不相等的实数根，符合题意． 6. 如图，的中线交于点F，连接．下列结论错误的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、三角形中线的性质以及相似三角形的判定和性质等知识； 根据三角形的中位线定理结合三角形中线的性质可得，可得，再根据相似三角形的性质进一步判断即可. 【详解】解：∵的中线交于点F， ∴， ∴，，故D选项结论正确； ∴，， ∴，，，故A、C选项结论正确，B选项结论错误； 故选：B. 7. 如图是嘉琪进行分式计算的过程，下列判断不正确的是（ ） 第一步 第二步 第三步 第四步 A. 第二步运用了分式的基本性质 B. 从第三步开始出现错误 C. 原分式的计算结果为 D. 当时，原分式的值为0 【答案】D 【解析】 【分析】根据异分母分式加减运算的法则，逐项判定即可． 【详解】解：第二步运用了分式的基本性质，将两个分式的分母进行通分，故选项A判断正确，不符合题意； 从第三步运算，应为分式的分母不变，分子相加减，解答过程丢掉分母，选项B判断正确，不符合题意； 分式的计算过程如下： 故选项C判断正确，不符合题意； 当时，原分式的分母值为0，分式没有意义，故判断错误，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了异分母分式的减法运算，解答关键是熟练掌握相关运算法则，计算过程中不要丢掉分母． 8. 如图，点A，B依次在反比例函数（常数，）的图象上，，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F，若，阴影部分面积为12，则k的值为（ ） A. 8 B. 6 C. 5 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了反比例函数k的几何意义，正确理解反比例函数中k的几何意义得到四边形的面积都是k是解题的关键． 延长交y轴于H，根据题意得四边形都是矩形，利用比例系数的几何意义得到四边形的面积都是k，由得到四边形的面积为，列得，即可求出k． 【详解】解：延长交y轴于H， ∵，分别垂直x轴于点C，D，轴于点E，于点F， ∴，， ∴四边形都是矩形， 同理得四边形是矩形， ∵点A，依次在反比例函数（常数，）的图象上， ∴四边形的面积都是k， ∵， ∴四边形的面积为， ∵阴影部分面积为12， ∴， 解得， 故选：A． 9. 已知地物线过四点，则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知抛物线开口向下，对称轴为，在时抛物线随x的增大而减小，根据对称性把A(-2、转化为A′（0，y1）后，然后根据增减性可判断、、大小关系． 【详解】解：令，则，即该抛物线与y轴的交点坐标是(0，-3)， ∵抛物线开口向下，对称轴为， 在时抛物线随x的增大而减小 -1-（-2）=0-（-1） ∴x=-2与x=0的函数值是y1, ∴A（-2，y1）转化为A′（0，y1） ∵， ∴＜＜ 故选：． 【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时，需熟悉抛物线的有关性质：抛物线的开口向上，则抛物线上的点对称轴进行转化，利用函数增减性比较是解题关键． 10. 在一定温度下，某固态物质在溶剂中达到饱和状态时所溶解的溶质的质量叫做这种物质在这种溶剂中的溶解度．物质的溶解度会随温度的变化而变化．已知甲、乙两种物质在水中的溶解度与温度之间的对应关系如图所示，相关信息见下表，则下列说法正确的是（ ） 信息窗 1．溶质质量溶剂质量溶液质量． 2．在一定温度下，向一定量溶剂里加入某种溶质，当溶质不能继续溶解时，所得到的溶液叫做这种溶质的饱和溶液，还能继续溶解的溶液，叫做这种溶质的不饱和溶液． A. 甲物质的溶解度大于乙物质的溶解度 B. 当温度从升高至的过程中，甲物质的溶解度随着温度的升高而增大 C. 将时乙的饱和溶液降温至时，乙仍是饱和溶液 D. 当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，乙需要的水的质量更多 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了函数的图象，解横纵坐标表示的含义是解题的关键． 根据对图象的交点及在一点范围内图象的性质逐项判断即可解答． 【详解】解：A．当温度小于时，甲种物质的溶解度小于乙种物质的溶解度，则原说法错误，故该选项不符合题意； B．当温度从升高至的过程中，甲种物质的溶解度先随着温度的升高而减小，后又随着温度的升高而增大，则原说法错误，故该选项不符合题意； C．将时乙的饱和溶液降温至时，乙的溶解度变大，则乙不是饱和溶液，则原说法错误，故该选项不符合题意； D．当温度高于时，用等质量的甲、乙分别配制成饱和溶液，因为甲的溶解度比乙大，所以乙需要的水的质量更多，说法正确，符合题意． 故选：D． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 使得式子有意义的x值可以是______（只要写出一个即可）． 【答案】5（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，确定的取值范围，再在范围内选取一个符合要求的值即可． 【详解】解：要使式子有意义，需同时满足二次根式有意义的条件和分式有意义的条件． 根据二次根式被开方数为非负数，可得 根据分式分母不为零，可得 联立两个条件，解得且． ∴x值可以是． 12. “二十四节气”是中华上古农耕文明的智慧结晶，被国际气象界誉为“中国第五大发明”．小马同学购买了“二十四节气”主题邮票，他将（小雪）、（寒露）、（秋分）、（立秋）四张纪念邮票（除正面不同外，其余均相同）背面朝上洗匀，先从中随机抽取一张邮票，记下内容后，正面朝下放回，重新洗匀后再随机抽取一张邮票，则小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为____________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可以画出相应的树状图，然后即可得到小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率． 【详解】由题意可得，树状图如下： 由上可得，共有种等可能性，其中小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的可能性有种． ∴小马同学两次都没有抽中（秋分）邮票的概率为． 13. 一组按规律排列的式子：，，，，…．若，则第9个式子是__________． 【答案】 【解析】 【分析】观察可知，奇数项的符号为负，偶数项的符号为正，其中分子中字母a的指数等于序号，分母中字母b的指数等于序号的3倍减去1，据此可得答案． 【详解】解：第1个式子为， 第2个式子为， 第3个式子为， 第4个式子为， ……， 以此类推可知，第n个式子为， ∴第9个式子为． 14. 如图所示的是以为直径的半圆形纸片，，沿着垂直于的半径剪开，将扇形沿向右平移至扇形，如图，其中点与点重合，点与点重合，则图中阴影部分的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，作于点，，即可求得弧和以及围成的重叠部分的面积，则重叠部分的面积即可求得． 本题考查了扇形的面积的计算，正确理解不规则的图形的面积转化为规则图形的面积的和、差计算是关键． 【详解】解：连接，作于点． ， ， ， ， 在直角中，， 则， 则弧和以及围成的阴影部分的面积是：， 则． 故答案是：． 15. 如图，在中，，E为边上一点，以为直径的半圆O与相切于点D，连接，．P是边上的动点，当为等腰三角形时，的长为_____________． 【答案】或 【解析】 【分析】连接，勾股定理求出半径，平行线分线段成比例，求出的长，勾股定理求出和的长，分和两种情况进行求解即可． 【详解】解：连接， ∵以为直径的半圆O与相切于点D， ∴，， ∴ 设，则， 在中：，即：， 解得：， ∴， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵为等腰三角形， 当时，， 当时， ∵， ∴点与点重合， ∴， 不存在的情况； 综上：的长为或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查切线的性质，平行线分线段成比例，勾股定理，等腰三角形的定义．熟练掌握切线的性质，等腰三角形的定义，确定点的位置，是解题的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中，． 【答案】（1）；（2）， 【解析】 【分析】本题主要考查实数的运算、整式的混合运算及化简求值，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先算零次幂，负整数指数幂，立方根，然后计算加减即可； （2）根据多项式乘多项式，完全平方公式将题目中的式子化简，然后将，代入化简后的式子计算即可． 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式 ， 当，时， 原式． 17. 每年的5月12日是全国防灾减灾日．设立“防灾减灾日”一方面顺应社会各界对防灾减灾关注的诉求，另一方面提醒国民前事不忘，后事之师，更加重视防灾减灾，努力减少灾害损失．某校为了迎接“防灾减灾日”的到来，组织该校八年级学生开展了“防灾减灾”知识竞赛，从中随机抽取了30名学生的成绩（满分为100分），信息如下． a．成绩频数分布表： 成绩x（分） 人数 3 5 10 7 5 b．成绩在这一组的是： 70　72　72　73　74　75　77　78　78　79 根据以上信息，回答下列问题： （1）在抽取的样本中，成绩的中位数是 分，其中小明同学的竞赛成绩为77分，他的成绩 （填“达到”或“没有达到”）中上等水平． （2）若该校八年级参与本次竞赛的学生一共有900名，规定成绩达到70分为合格，估计八年级学生本次竞赛成绩合格的学生人数． （3）若成绩达到80分为良好，请对该校八年级学生“防灾减灾”知识的掌握情况作出合理的评价． 【答案】（1），没有达到 （2）估计八年级学生本次竞赛成绩合格的学生人数为660 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查中位数的求法、利用样本估计总体、利用中位数做决策等： （1）根据中位数的定义可知，将30名学生的成绩按从小到大排列后，第15名和第16名成绩的平均数即为中位数； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）根据中位数与良好标准（80分）的大小关系，或者“良好”人数所占比例进行分析，即可得出答案． 【小问1详解】 解：由所给数据可知，将30名学生的成绩按从小到大排列后，第15名和第16名的成绩分别为：77，78， ，， 因此成绩的中位数是分，小明同学的竞赛成绩没有达到中上等水平． 故答案为：，没有达到． 【小问2详解】 解：（名） 答：估计八年级学生本次竞赛成绩合格的学生人数为660． 【小问3详解】 解：从竞赛成绩的中位数为分，竞赛成绩为良好的学生人数所占比例为来看，该校八年级学生“防灾减灾”知识掌握的不够好．（答案不唯一，合理即可） 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）点，直线l平移的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； 【小问2详解】 解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 19. 如图，已知AB是⊙O的直径，AB＝10，点C在⊙O上，点E在⊙O外． （1）动手操作：作∠ACB的角平分线CD，与圆交于点D（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）综合运用，在你所作的图中． ①连接AD，求AD的长． ②若∠EAC＝∠D，求证：AE是⊙O的切线． 【答案】（1）见解析 （2）①；②见解析 【解析】 【分析】（1）以点C为圆心作弧分别交BC、CA于点G、H，分别以G、H为圆心大于GH长度为半径作弧交于点N，连接CN并延长交圆于点D，即可求解； （2）①由∠DCA＝45°得到∠DOA＝90°，在等腰三角形AOD中，AD＝OD＝×AB＝5；②证明∠CEA+∠BAC＝∠ADC+∠BAC＝90°，即可求解． 【小问1详解】 以点C为圆心作弧分别交BC、CA于点G、H， 分别以G、H为圆心大于GH长度为半径作弧交于点N，连接CN并延长交圆于点D， 则CD为∠ACB的平分线； 【小问2详解】 ①连接AD、OD， ∵CD为∠ACB的平分线， ∴∠DCA＝45°， ∴∠DOA＝90°， 在等腰三角形AOD中，AD＝OD＝×AB＝5； ②∵AB是直径，故∠B+∠BAC＝90°， ∵∠ADC和ABC所对的弧相同，故∠ABC＝∠ADC， ∴∠ADC+∠BAC＝90°， ∵∠EAC＝∠ADC， ∴∠EAC+∠BAC＝∠ADC+∠BAC＝90°， ∴AE是⊙O的切线． 【点睛】本题考查了作角平分线，圆周角定理，直径所对的圆周角是直角，切线的判定，勾股定理，掌握作角平分线以及圆的相关性质是解题的关键． 20. 2022年端午节，“买一提粽子就有两种味道”的组合粽子十分畅销．某食品生产厂家测算，一提“两味组合粽”中若有6个猪肉粽，4个蜜枣粽，则出厂成本价为21元；一提“两味组合粽”中若有4个猪肉粽，6个蜜枣粽，则出厂成本价为19元． （1）求1个猪肉粽和1个蜜枣粽的出厂成本价各为多少元； （2）若商家推出的这款“两味组合粽”每提10个粽子中至少应有2个猪肉粽，请列式表示这款“两味组合粽”一提的出厂成本价与蜜枣粽数量之间的函数关系，并求出出厂成本价最低时的搭配方案． 【答案】（1）1个猪肉粽的出厂成本价为2.5元，1个蜜枣粽的出厂成本价为1.5元 （2）（且为整数），成本价最低时的搭配方案为2个猪肉粽，8个蜜枣粽 【解析】 【分析】（1）设1个猪肉粽的出厂成本价为元，1个蜜枣粽的出厂成本价为元．根据出厂成本价列出方程，解方程即可. （2）根据=蜜枣粽的成本＋肉粽的成本，列出一次函数，根据一次函数的性质得出答案． 【小问1详解】 设1个猪肉粽的出厂成本价为元，1个蜜枣粽的出厂成本价为元． 由题意，得． 解得，． 答：1个猪肉粽的出厂成本价为2.5元，1个蜜枣粽的出厂成本价为1.5元． 【小问2详解】 ， 由题意得：10－x≥2，且x>0， ∴0<x≤8，且x为整数． 即w=25－x（0<x≤8且x为整数） ∵， ∴随的增大而减小． ∴要使成本价最低，应取最大值8，成本价最低时的搭配方案为2个猪肉粽，8个蜜枣粽． 【点睛】本题考查了一次函数，二元一次方程组等知识点，解决本题的关键是仔细审题，找到等量关系，列出方程组与函数关系式解得答案． 21. 贵州遵义“公馆桥”被誉为“黔北第一古石桥”．某数学小组利用无人机测量公馆桥的高度．如下是两种测量方案． 实物图 课题 测量公馆桥的高度 测量示意图 方案一 方案二 方案说明 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，C的俯角为37°（A，在桥面上） 无人机位于水面上方62米的处，测得桥面正中心的俯角为45°，将无人机水平向左移动91米到达处，测得点的俯角为37° （1）根据以上数据判断，方案_____不能求公馆桥的高度； （2）利用以上可行方案求公馆桥的高度．（参考数据） 【答案】（1）一 （2）23米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的实际应用，解题的关键是正确作出辅助线，构造直角三角形求解． （1）方案一中延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E，设，则，得出，根据，得出，由于的值不知，故无法求解，即可得出结论； （2）利用方案二求公馆桥的高度，延长交于点C， 设米，则米，则，，列出方程求出x的值，即可解答． 【小问1详解】 解：方案一： 延长交P所在水平线于点D，过点C作于点E， 根据题意可得：，， ∴， 由题意可得四边形为矩形，则， 设，则， ∴， ∵， ∴， 由于的值不知，故无法求解， ∴方案一不能求公馆桥的高度， 故答案为：一； 【小问2详解】 解：利用方案二求公馆桥的高度 延长交于点C，如图 由题意得 设米，则米 在中 ∴ 在中， ∵， ∴ ∴ 解得： ∴米，米 答：公馆桥的高度为23米． 22. 已知二次函数（m为常数）． （1）当时，二次函数图像的顶点坐标为__________； （2）当时，y的最大值是8，求m的值； （3）如果点、点、点都在这个二次函数的图像上，且，请直接写出m的取值范围． 【答案】（1） （2）或 （3）或 【解析】 【分析】（1）将代入解析式，利用配方法求顶点坐标． （2）根据抛物线开口向下，按对称轴与的位置关系分三种情况讨论最大值． （3）由、纵坐标相同可知它们关于对称轴对称，到对称轴距离均为；根据开口向下，说明点比点、更远离对称轴，即． 【小问1详解】 解：当时，， ， ， ， 顶点坐标为． 【小问2详解】 解：，对称轴为直线， ， 抛物线开口向下， ①当时，函数在时增大而减小， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 符合题意， ②当时，函数在处取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， ， 符合题意， ③当时，函数在在时增大而增大， 当时，取得最大值， ， 令，解得， ， 舍去， 综上所述，或． 【小问3详解】 解：，纵坐标相同， 点、关于对称轴对称， 点、到对称轴的距离均为， ，且抛物线开口向下， 点到对称轴的距离大于， 即， 或， 解得或． 23. 在中，，点是直线上的一动点（不与点重合），连接，在的右侧以为斜边作等腰直角三角形，点是的中点，连接． 【问题发现】（1）如图（1），当点是的中点时，线段与的数量关系是_________，位置关系是__________． 【猜想证明】（2）如图（2），当点在边上且不是的中点时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请仅就图（2）中的情况给出证明；若不成立，请说明理由． 【拓展应用】（3）若，其他条件不变，连接，．当是等边三角形时，直接写出的面积． 【答案】（1），（2）结论仍然成立，见详解（3）或 【解析】 【分析】（1）由题意知，，是等腰直角三角形，由是等腰直角三角形可知为中点，进而可知是的中位线，根据中位线的性质证明即可； （2）如图2，延长到，使，连接，证明，可得，，证明，可得，． （3）分两种情况求解：①如图3，作，垂足为，，垂足为，由题意知，，，，，由 ，由（2）知，求解的值，进而由计算求解即可； ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为，由题意知，，，可得，根据，求的值，进而得到的值，由证明，有，求解的值，由（2）知求出的值，根据计算求解即可． 【详解】解：（1）∵点D是的中点 ∴， ∴是等腰直角三角形 ∵是等腰直角三角形 ∴为中点 ∵点H是的中点 ∴是的中位线 ∴ ∴ （2）结论仍然成立． 理由如下： 如图2，延长到，使，连接，． ，，， ， ， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ，， ，， ，． （3）分两种情况求解： ①如图3，作，垂足为，，垂足为 由题意知，，， ∴ ∴， ∴ ∴ 由（2）知 ∴ ②如图4，作，垂足为，，垂足为M，，垂足为N，与的交点为， 由题意知 ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴ ∵， ∴ ∴， ∴， 解得， 由（2）知， ∴； 综上所述，的面积为或． 【点睛】本题考查了中位线，等腰直角三角形的性质，三角形相似的判定与性质，等边三角形的性质等知识．解题的关键在于对知识的灵活运用． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $