专题01 二次根式相关【重难点培优：知识梳理+7大题型+压轴真题】2025-2026学年人教版八年级下册数学重难点培优专题专练

**基本信息** 以二次根式公式体系为基础，通过7类题型系统整合参数求解、分母有理化等6大方法，形成“性质-运算-应用”的完整逻辑链，培养抽象能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |知识梳理|4类公式|性质/乘除法则及扩展|从概念到运算的递进| |参数问题|7题|因式分解法/类比转化|性质的逆向应用| |分母有理化|4题|平方差公式/整体代入|除法法则的深化| |复合型化简|4题|完全平方公式构造|性质与配方的结合| |大小比较|5题|平方法/三角形三边关系|运算与推理的综合| |与数轴|5题|数形结合|几何直观的应用| |应用|4题|建模思想|实际问题的抽象| |压轴真题|11题|综合法|跨模块知识融合|

专题01 二次根式相关重难点题型分类 【题型1：二次根式中参数问题 1】 【题型2：二次根式中分母有理化问题 4】 【题型3：复合型二次根式的化简问题 8】 【题型4：二次根式的大小比较 10】 【题型5：二次根式与数轴 13】 【题型6：二次根式的应用 15】 【题型7：压轴真题 20】 二次根式中参数问题题型1 1．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 【详解】解：， ∵是整数，n是一个正整数， ∴n的最小值是7． 故选：C． 2．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 3．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 【详解】解：∵， 又∵n是正整数，是整数， ∴n的最小值是6． 故答案为：6． 4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 【详解】解：∵n是正整数，是整数，且n取最小值， ∴13+n＝16． ∴n＝3． 故答案为：3． 5．当x＝　 　时，二次根式取最小值，其最小值为 　 　． 【详解】解：根据题意得x+1≥0， 解得x≥﹣1， 当x＝﹣1时，二次根式取最小值，其最小值为0． 故答案为：﹣1，0． 6．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 【详解】（1）∵是整数， ∴，，，，， 解得：，，，，， 则自然数的值为2，9，14，17，18； （2）∵是整数，为正整数， ∴正整数的最小值为． 7. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 【详解】（1）解： 去根号，两边同时平方得一元一次方程， 解这个方程，得． 经检验，是原方程的解． （2）解：① 移项，得 去根号，两边同时平方得， 即 解得：， 检验：时，方程左边右边， ∴不是原方程的解，原方程无解； ②若代数式的值等于7，即， 移项，得， 两边同时平方，得， 化简，得， 两边同时平方，得， ∴该方程无解，∴代数式的值不能等于7． 二次根式中分母有理化问题题型2 1. 解决如下问题： (1)分母有理化：． (2)计算：． (3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ， ， … ， ， =， =， =45-1， =44； （3）解：a＝， ∴， ∴， ∴． 2．爱思考的嘉淇在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即 ∴ ∴ 请你根据嘉淇的分析过程，解决如下问题 (1)计算 (2)已知，求的值． 【详解】（1）解：； （2）解： ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 3．观察下列运算：； ； ； …… (1)通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． (2)化简：． 【详解】（1）解： ； ； （2）解： ． 4．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简；； (3)化简：． 【详解】（1）解：； （2）解： ； （3）解：原式 ． 复合型二次根式的化简问题题型3 1. 下面我们观察：，反之，， ∵ ∴． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算：． 【详解】解：（1）∵ ∴； （2） ． 2. 我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）． 【详解】解：（1）原式 ； （2）原式 ． 3. “分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 4．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 【详解】（1）解：， ； （2）解：， ． 二次根式的大小比较题型4 1．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ， ∵，即， ∵a、b、c都是大于0的实数， ∴， 故选：A． 2．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【详解】解：∵， ， ， 而 ∴ 故选A． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 【详解】（1）解：， 则， 故答案为：>； （2）， 证明：， ， ， ， ． 4. 阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： 　 　； （2）①判断△ABC的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 【详解】解：（1）（）2＝11+2． 故答案为：； （2）①△ABC是直角三角形，理由如下： ∵，，， ∴， ∴△ABC是直角三角形； ②∵三角形任意两边之和大于第三边， ∴． 5．老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ∵12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）填空： 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）比较与的大小； （3）若，，试比较M，N的大小． 【详解】解：（1）∵，， ∵45＜75， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2）∵，， 又∵，即48＜60， ∴， ∴， ∴； （3）∵2＜6，3＜5， ∴， ∴，， ∵，， 又∵，即48＜60， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即． 二次根式与数轴题型5 1. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣2b B．﹣2a C．2b﹣2a D．0 【详解】解：由数轴得，a＜0，b＞0， ∴b﹣a＞0， ∴ ＝|a|+b﹣（b﹣a） ＝﹣a+b﹣b+a ＝0， 故选：D． 2．若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 【详解】解：， ∵， ∴； ∴表示的值的点落在区域③； 故选：C． 3．在数轴上画出表示的点．（要画出作图痕迹） 【详解】试题分析：因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是．再以原点为圆心，以为半径画弧，和数轴的正半轴交于一点即可． 解：因为10=9+1，则首先作出以1和3为直角边的直角三角形，则其斜边的长即是． 考点：勾股定理；实数与数轴． 4．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 【详解】解：由数轴可知， ， ∴原式 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：． 【详解】解：由实数a，b在数轴上对应点的位置可知b＜﹣1＜0＜a＜1， ∴a﹣b＞0，b﹣1＜0，a﹣1＜0， ∴原式＝|a|+|b|+|a﹣b|+|b﹣1|﹣|a﹣1| ＝a﹣b+a﹣b+1﹣b﹣1+a ＝3a﹣3b． 二次根式的应用题型6 1．2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m． （1）求该长方形土地的周长； （2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45） 【详解】解：（1）由题意可得， 该长方形土地的周长是：（）×2m， 即该长方形土地的周长是m； （2）由题意可得， 在该长方形土地上全部种植草坪的总费用是：9144352.8（元）， 即在该长方形土地上全部种植草坪的总费用352.8元． 2．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；… （1）计算下列各式的值： __________ . __________ . （2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由； （3）求的值. 【详解】解：（1）； . （2）猜想的结果为1. 证明： （3） 3．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　 　s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　 　m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【详解】解：（1）（26﹣1）×3＝75（m）， 当h＝75时，t， 即该物品落地的时间为； 故答案为：； （2）当t＝4时，4， 解得h＝80（m）； 故答案为：80； （3）能． 理由如下： （16﹣1）×3＝45， 当h＝45，m＝150g＝0.15kg，g≈10N/kg，E＝0.15×10×45＝67.5（J）， ∵67.5J＞65J， ∴该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 4. 阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    【详解】（1）解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为6． （2）解：设这个长方形垂直于墙的一边的长为x米，则平行于墙的一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为20， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为10米，5米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是20米． （3）解：设点B到的距离为，点D到的距离为， 又∵、的面积分别是6和12， ∴，， ∴， ∴ ∵． ∴当且仅当时，取等号，即的最小值为， ∴四边形面积的最小值为． 压轴真题题型7 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，算术平方根，实数的运算，根据题意可得，设，，其中 是整数，则可证明，，再令的值为四个选项中的数，看此时是否有满足题意的即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 设，，其中 是整数， ∴， ∴， ∵，， ∴， 当时，则，即此时，则或，不满足，故A不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（4不是一个整数的立方），故B不符合题意； 当时，则，即此时，不满足k、l都是整数（2不是一个整数的立方），故C不符合题意； 当时，则，即此时，则，则时能满足题意，故D符合题意； 故选：D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 【分析】本题考查二次根式的性质与运算法则，根据二次根式的相关性质逐一判断每个变形的正误，统计错误个数后确定答案． 【详解】解：①∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴①变形错误； ②∵二次根式被开方数需为非负数，与无意义，正确做法为，∴②变形错误； ③∵，原式错误将拆为，不符合二次根式运算法则，∴③变形错误； ④∵，符合（a≥0,b≥0）的性质，∴④变形正确； 综上，错误的变形有3个， 故选：C． 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【分析】本题考查了二次根式的性质，分式的加法，熟悉掌握运算法则是解题的关键． 将表达式 利用二次根式的性质化简并通分，可化为 ，再代入已知条件求值． 【详解】解：由，，可知， 则， 又∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 4．（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义和最简二次根式的定义，根据同类二次根式的定义，两个最简二次根式的被开方数必须相等，因此列出方程，求解后得到或，但需验证二次根式是否为最简形式，由此排除不满足条件的值即可． 【详解】解：由于两个二次根式均为最简二次根式且是同类二次根式， 被开方数相等，即， 整理得， ， 解得或， 当时，，不是最简二次根式，不符合题意，故舍去； 当时，和，均为最简二次根式，符合题意； ． 故答案为：． 5．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 【分析】本题考查了二次根式的运算和平方的非负性，将给定分式化简为，仿照材料中的例子，利用配方法求的最小值，进而得到整个表达式的最小值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 当且仅当，即时最小值，最小值为， 则， 那么，， 故当时，原式取得最小值． 三、解答题 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 【分析】本题考查完整根式，完整平方根的理解； （1）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； （2）利用完全平方公式求解即可； （3）利用完整根式，完整平方根的定义计算，即可解答； 【详解】（1）解：∵的完整平方根是， ∴． ∴． ∵，，，都是有理数， ∴，； （2）解：∵， ∴， ∵a、n为正整数， ∴，， 解得，， 故答案为：10； （3）解：是完整根式的完整平方根， 理由：∵，即， ∴是完整根式， ∴是完整根式的完整平方根． 7．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 【分析】（1）求出，把 、、、的值代入海伦公式计算即可求解； （2）①把代入计算即可求解；②根据二次根式有意义的条件求出的取值范围，进而化简，根据取最大值且为整数，确定出 、、的值，进而求出的值，代入秦九韶公式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴． （2）解：①当时， ，，， ∴中最长边的长度为． ②∵， ∴，， ∴ ， ∵，，为整数， ∴当时，三边为，，， ∵， ∴不合题意，舍去， 当时，三边为，，，符合题意，此时取最大值， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了三角形的面积，三角形三边关系，二次根式，掌握三角形的三边关系和二次根式有意义的条件及性质是解题的关键． 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，矩形面积的计算，解题的关键是理解题意，准确计算． （1）根据题目中给出的信息进行解答即可； （2）先将变形得到，然后根据题目中给出的信息进行解答即可； （3）由 ，可得，根据四边形的面积为，求出最大值，再进一步求解可得矩形地块的长与宽． 【详解】（1）解：当时，， 当时，即1，取最小值，最小值为2， 故答案为：2，1； （2）解：， ， 的最小值为5 此时，． （3）设，则， ， ， ， ， ． ∴矩形地块面积的最大值为． 此时矩形地块的长与宽的值均为． 9．（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 【分析】本题主要考查了分母有理化、二次根式混合运算、代数式求值、利用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确理解题意，结合题目中解题思路进行分析是解题关键． （1）结合题意，求得，然后化简求值即可； （2）将原式整理为，即可获得答案； （3）通过比较两式倒数的大小来判断原两式的大小，计算其倒数时可使用分母有理化，比较与的大小，即可获得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴ ． （2）解：原式 ． （3）解：， 理由：， ， ， ， ． 10．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 【分析】本题考查规律型、数字的变化类、二次根式的混合运算，解题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．（1）根据题目中的例子并计算可以写出第5个等式；（2）根据（1）中特例及发现规律，可以写出相应的猜想；（3）根据猜想的左边利用分式的通分和二次根式的性质进行化简发现与右边一样即可；（4）根据（2）中的规律对比即可求解． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：第n个等式为， 故答案为：； （3）证明： ； （4）解：根据和，得 ， 解得， ∴， 故答案为：． 11．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算. （1）根据分母有理化的含义可得答案； （2）①由，可得，进一步可得结论；②先把各项分母有理化，再合并即可. （3）把条件化为，再结合实数的性质进一步解答即可. 【详解】（1）解：∵， ， ∴与互为有理化因式，将分母有理化得. （2）解：①∵， ， 而， ∴， ∴； ② . （3）解：∵， ∴， 即， ， 解得， 即a的值是，b的值为． 1 / 21 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题01 二次根式相关知识梳理 二次根式的常用公式： 二次根式的性质 二次根式的乘法 二次根式的乘法扩展 二次根式的除法 二次根式的除法扩展 重难点题型分类 【题型1：二次根式中参数问题 2】 【题型2：二次根式中分母有理化问题 3】 【题型3：复合型二次根式的化简问题 5】 【题型4：二次根式的大小比较 7】 【题型5：二次根式与数轴 9】 【题型6：二次根式的应用 10】 【题型7：压轴真题 13】 二次根式中参数问题题型1 1．已知n是一个正整数，是整数，则n的最小值为（    ） A．4 B．6 C．7 D．14 2．已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 3．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 4．已知n是正整数，是整数，则n的最小值为 　 　． 5．当x＝　 　时，二次根式取最小值，其最小值为 　 　． 6．（1）已知是整数，求自然数所有可能的值； （2）已知是整数，求正整数的最小值． 7. 类比和转化是数学中解决新的问题时最常用的数学思想方法． (1)【回顾旧知，类比求解】 解方程：． 解：去根号，两边同时平方得一元一次方程 ，解这个方程，得 ．经检验， 是原方程的解． (2)【学会转化，解决问题】 ①运用上面的方法解方程：； ②代数式的值能否等于7？若能，求出的值；若不能，请说明理由． 二次根式中分母有理化问题题型2 1. 解决如下问题： (1)分母有理化：． (2)计算：． (3)若a＝，求2a2﹣8a+1的值． 2．爱思考的嘉淇在做题时遇到这样一个问题：已知，求的值． 他是这样分析与解答的： ∵，， ∴，即 ∴ ∴ 请你根据嘉淇的分析过程，解决如下问题 (1)计算 (2)已知，求的值． 3．观察下列运算：； ； ； …… (1)通过观察上面的解答过程得 ， （用含n的式子表示，n为正整数）． (2)化简：． 4．在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰到，，之类的式子，其实我们还可以将其进一步化简，如：；； ． 以上这种化简的过程叫做分母有理化． (1)化简：； (2)化简；； (3)化简：． 复合型二次根式的化简问题题型3 1. 下面我们观察：，反之，， ∵ ∴． 仿上例，求： （1）化简：； （2）计算：． 2. 我们已经学过完全平方公式a2±2ab+b2＝（a±b）2，知道所有的非负数都可以看作是一个数的平方，如，那么，我们可以利用这种思想方法和完全平方公式来计算下面的题： 例：求的算术平方根． 解：， 所以的算术平方根是． 你看明白了吗？请根据上面的方法化简： （1）； （2）． 3. “分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 4．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数、，使且，则将将变成，即变成开方，从而使得化简． 例如，， 请仿照上例解下列问题： (1)； (2)． 二次根式的大小比较题型4 1．若，则a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 2．已知，，，那么a，b，c的大小关系是（    ） A． B． C． D． 3．在二次根式的计算和比较大小中，有时候用“平方法”会取得很好的效果．例如，比较和的大小，我们可以把a和b分别平方，，则．请利用“平方法”解决下面问题： (1)比较的大小，c__________d（选填“>”、“<”或“=”）； (2)判断之间的大小，并证明． 4. 阅读与思考：请仔细阅读下面的内容，并完成相应任务． 比较与的大小 “善思小组”的思路：将，两个式子分别平方后，再进行比较． “智慧小组”的思路：以，，为三边构造一个△ABC，再利用三角形的三边关系进行比较． 任务： （1）填空： 　 　； （2）①判断△ABC的形状，并说明理由； ②直接判断与的大小； （3）延伸拓展：直接判断与的大小． 5．老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ∵12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）填空： 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）比较与的大小； （3）若，，试比较M，N的大小． 二次根式与数轴题型5 1. 实数a，b在数轴上的位置如图所示，则化简的结果是（　　） A．﹣2b B．﹣2a C．2b﹣2a D．0 2．若，则表示的值的点落在（   ）    A．区域① B．区域② C．区域③ D．区域④ 3．在数轴上画出表示的点．（要画出作图痕迹） 4．已知实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简代数式 5. 已知实数a，b在数轴上的位置如图所示，试化简：． 二次根式的应用题型6 1．2016年6月4日葫芦岛日报报道，南票区住建局已全面加大城镇园林绿化力度，组织环卫工作人员加紧开展9000m2的草坪种植，切实掀起了绿化城区的热潮．若环卫工人在一块长方形的土地上种植草坪，已知该长方形土地的长为m、宽为m． （1）求该长方形土地的周长； （2）若在该长方形土地上种植造价为每平方米2元的草坪，求在该长方形土地上全部种植草坪的总费用（提示：2.45） 2．如果记，并且表示当时的值，即；表示当时的值，即；表示当时的值，即；… （1）计算下列各式的值： __________ . __________ . （2）当为正整数时，猜想的结果并说明理由； （3）求的值. 3．高空抛物现象被称为“悬在城市上空的痛”，我们应坚决抵制这一行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区26层，每层楼的高度近似为3m，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为 　 　s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为4s，则该物体的起始高度h＝ 　 　m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要65J的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式E＝mgh计算，其中，m为物体质量（单位kg），g≈10N/kg，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为150g的玻璃碎片从16层楼下落到地面上，该玻璃碎片在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 4. 阅读理解：由 得，；如果两个正数 ，，即，，则有下面的不等式：，当且仅当 时，取到等号． 例如：已知，求式子 的最小值． 解：令 ，，则由 ，得 ， 当且仅当 时，即正数 时，式子有最小值，最小值为4． 请根据上面材料回答下列问题： (1)当，式子 的最小值为 ； (2)如图1，用篱笆围一个面积为50平方米的长方形花园，使这个长方形花园的一边靠墙（墙长20米，篱笆周长指不靠墙的三边），这个长方形的长、宽各为多少米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少米？    (3)如图2，四边形 的对角线 相交于点 ，的面积分别是6和12，求四边形 面积的最小值．    压轴真题题型7 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东佛山·期末）已知为整数，且，则的值可能是（   ） A．2 B．4 C． D． 2．（2026八年级下·全国·专题练习）下列变形错误的有（ ） ． A．个 B．个 C．个 D．个 3．（25-26八年级上·河北沧州·月考）已知，，则化简的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 二、填空题 4．（25-26八年级上·上海·期末）已知最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 5．（25-26八年级上·辽宁丹东·期末）阅读材料：我们已经学习了实数以及二次根式的有关概念，同学们可以发现以下结果： 当时， 当且仅当，即时，取得最小值，最小值为2． 请利用以上结果解决下面的问题： 若，则当 时，有最小值，最小值为 ． 三、解答题 6．（25-26八年级上·陕西咸阳·期末）定义：若二次根式可以写成的形式（其中a、b、m、n为非负常数），则称为完整根式，是的完整平方根，例如：∵，∴是完整根式，是的完整平方根． (1)若完整根式的完整平方根为，a、b、m、n为非负有理数，请用含m、n的代数式表示a和b； (2)若，且a、n为正整数，则______； (3)试判断是否是完整根式的完整平方根，并说明理由． 7．（25-26八年级上·江西·期末）问题情境：在学习了《勾股定理》和《实数》后，某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．古希腊的几何学家海伦（Heron，约公元50年），在他的著作《度量》一书中，给出了求其面积的海伦公式（其中a、b、c为三角形的三边长，，S为三角形的面积）． 材料2．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：，其中三角形边长分别为a、b、c，三角形的面积为S． (1)利用材料1解决下面的问题： 当时，求这个三角形的面积： (2)利用材料2解决下面的问题： 已知三条边的长度分别是，记的周长为． ①当时，请直接写出中最长边的长度________； ②若x是满足的整数，当取得最大值时，请用秦九韶公式求出的面积． 8．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：我们学习了《二次根式》和《乘法公式》，可以发现：当时，有，当且仅当时取等号． 请利用上述结论解决以下问题： (1)当时，的最小值为______，此时_____； (2)当时，求的最小值，并求此时的值； (3)如图，某兴趣小组计划开垦矩形地块种植农作物，四边用木栏围住，已知木栏总长为，求矩形地块面积的最大值，并求此时矩形地块的长与宽的值． 9．（25-26八年级上·江西抚州·期末）已知，求的值．小华是这样分析与解答的： ， ， ，即， ， ． 请你根据小华的分析过程，解决如下问题： (1)若，求的值； (2)求的值； (3)比较与的大小，并说明理由． 10．（25-26八年级上·北京石景山·期末）小石根据学习“数与式”积累的经验，想通过“由特殊到一般”的方法探究下面二次根式的运算规律． 下面是小石的探究过程，请补充完整： (1)具体运算，发现规律． 第1个等式； 第2个等式； 第3个等式； 第4个等式； 第5个等式_________（根据规律填空） (2)观察、归纳、得出猜想． 第n个等式为_________（用含n的式子表示，n为正整数） (3)证明你的猜想； (4)应用运算规律． 若（a，b均为正整数），则的值为_________． 11．（25-26八年级上·山东济南·期末）阅读材料：像；；两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式． 例如与，与，与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号． 例如：；． 解答下列问题： (1)与________互为有理化因式，将分母有理化得________； (2)①比较大小：________（填，，，或中的一种） ②计算以下式子的值： (3)已知整数a，b满足，求a，b的值． 1 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $