精品解析：吉林省吉林市实验中学2026届高三考前校模拟数学试题

吉林市实验中学高三年级校模 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 2. 已知复数，是方程的两个虚数根，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 3. 设抛物线的焦点为，点为该抛物线上任意一点，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 5. 已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 7. 过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 在区间内存在极值点，且在R上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当取得最小值时， C. 是递增数列 D. 使的的最小值为 10. 已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则（ ） A. 圆锥的母线长为4 B. 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 C. 圆锥的体积为 D. 沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 11. 在正方体中，、、分别为、、的中点，则( ) A. 直线与直线垂直 B. 点与点到平面的距离相等 C. 直线与平面不平行 D. 过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 13. 若方程表示一条直线，则实数满足_________． 14. 已知数列的前n项和为，若，，记，则的最大值为______． 四、解答题（共77分） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 16. 已知数列的各项均为正数，且满足. （1）求，及的通项公式； （2）求数列的前项和. 17. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部进行体育运动和文化项目比赛，由部､部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若部､部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天部､部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立. （1）记第一天需要进行的比赛局数为. （i）求，并求当取最大值时的值； （ii）结合实际，谈谈（i）中结论的意义； （2）当时，记一共进行的比赛局数为，求. 18. 已知函数． （1）当时，若，求的值； （2）若的值域为，求实数的取值范围． 19. 已知点是双曲线右支上异于顶点的动点，点到的两条渐近线的距离分别为，，且． （1）求双曲线的离心率； （2）设点为的左顶点，点为的右焦点． ①求证：； ②若，延长线段与相交于点，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市实验中学高三年级校模 数学 一、单选题（每题5分，共40分） 1. 已知集合则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先利用对数函数的单调性化简集合B，再利用集合的交集运算求解. 【详解】因为 所以 故选：A 2. 已知复数，是方程的两个虚数根，则（ ） A. 0 B. C. 2 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】直接由求根公式求出两个虚根，再由复数减法运算、模的运算即可求解. 【详解】∵复数，是方程的两个虚数根，∴，为，∴． 故选：C. 3. 设抛物线的焦点为，点为该抛物线上任意一点，若恒成立，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】恒成立，利用抛物线的几何性质，求的最小值即可. 【详解】抛物线的焦点为，点为该抛物线上任意一点， 由抛物线定义可知，等于点到抛物线准线的距离， 的最小值为抛物线顶点到准线的距离，即， 若恒成立，则，即. 故选：B 4. 甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 5. 已知某圆台的轴截面中有一个角为，且下底是上底的2倍，若该圆台的外接球的表面积为，则该圆台的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先根据已知条件求出圆台的高，然后根据外接球的表面积求出上底和下底半径，然后根据圆台体积公式求出其体积. 【详解】设圆台的上底半径为，则下底半径. 轴截面为等腰梯形，两底边长分别为和，腰与下底的夹角为. 则圆台的高，即梯形的高为. 因为外接球的表面积为，所以球半径为. 设球心到上底圆心距离为，则到下底圆心距离为. 根据球心到上下底面圆周的距离均为2，得方程： ，解得. 所以圆台体积为： . 故选：C. 6. 函数的零点所在的区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增， ， ， ， 函数的零点所在的区间为. 故选：C. 7. 过双曲线的左焦点的直线（斜率为正）交双曲线于两点，满足，设为的中点，则直线（为坐标原点）斜率的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据条件画出图形结合圆锥曲线的定义及条件可得，然后利用点差法可得，进而可得，然后利用基本不等式即得. 【详解】首先证明：双曲线上的任意点到左焦点与左准线的距离之比为常数（离心率）. 依题意，则点到直线的距离， 所以，则. 由题可知在左支上在右支上，如图，设，在左准线上的射影为，因为， 则且，所以， 设，则， 所以，，即， 所以， 所以，当且仅当即时，等号成立， 故选：C. 8. 已知函数 在区间内存在极值点，且在R上恰好有唯一整数解，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】求出的导数，根据的范围，讨论导数正负，从而判断单调性和极值；根据有唯一极值点可知，分别讨论、、三种情况的整数解情况即可求出的范围． 【详解】∵ ，∴， 当时，恒成立，在上单调递增，不存在极值点，不合题意； 当时，令，解得 ， 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值点为 ，无极大值点； 在上存在极值点，∴， 当 ，即时，，则在上无解，不合题意； 当 时，∵，故要使恰有唯一整数解，则该整数解为， ，，，解得； 当 时，∵，故要使恰有唯一整数解，则该整数解为， ，，，解得； 综上所述，实数的取值范围为． 【点睛】本题关键是确定有唯一的极值点，根据极值点范围，结合在R上恰好有唯一整数解，数形结合列出不等式组即可求出的范围． 二、多选题（每题6分，共18分） 9. 记正项等比数列的前项积为，若，，则下列结论正确的是（ ） A. B. 当取得最小值时， C. 是递增数列 D. 使的的最小值为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先根据已知条件联立方程求出等比数列的首项与公比，再分别分析各选项：利用通项公式验证A；通过指数转化将前项积转化为二次函数形式，求对称轴判断B；根据公比大于且首项为正判断单调性验证C；通过解指数不等式得到的范围，确定最小值验证D． 【详解】设的公比为， 对于A，由题意可得， 解得，A正确； 对于B，， 是开口向上的抛物线，其对称轴为， 所以当时，取得最小值， B错误； 对于C，，故是递增数列，C正确； 对于D，令，即，解得或， 因为，所以使的的最小值为，D正确． 10. 已知圆锥的侧面积为，底面圆的周长为，则（ ） A. 圆锥的母线长为4 B. 圆锥的母线与底面所成角的正弦值为 C. 圆锥的体积为 D. 沿着圆锥母线的中点截圆锥所得圆台的体积为 【答案】ACD 【解析】 【分析】先求出圆锥的母线和底面半径的长，逐项计算后可得正确的选项. 【详解】 对于A， 设圆锥的母线长为，底面圆的半径为，则，故， 故A正确. 对于B，圆锥的高为，则， 故圆锥的母线与底面所成角的正弦值为，故B错误. 对于C，圆锥的体积为，故C正确. 对于D，沿着圆锥母线的中点截圆锥所得小圆锥的体积为， 故所得圆台的体积为，故D正确. 故选：ACD. 11. 在正方体中，、、分别为、、的中点，则( ) A. 直线与直线垂直 B. 点与点到平面的距离相等 C. 直线与平面不平行 D. 过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形 【答案】AD 【解析】 【分析】A：连接、，证明∥EF∥，⊥即可；B：设点与点到平面的距离分别为、，利用等体积法和即可判断、是否相等；C：取的中点，连接、、EQ、，证明平面∥平面即可；D：连接、、，易知过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形AEFD． 【详解】对于A，连接、． ∵、分别为、的中点，∴∥EF， 易知AB∥，且AB=，∴四边形是平行四边形， ∴∥，∴∥EF． ∵⊥，∴⊥EF，故A正确； 对于B，设点与点到平面的距离分别为、， ∵， 又， ∴，故B错误； 对于C，取的中点，连接、、EQ、， 易知EF∥∥GQ，GQ平面AEF，EF平面AEF，∴GQ∥平面AEF； 易知∥∥EQ，且==EQ，∴四边形为平行四边形， ∴，同理可得∥平面AEF， ∵∩GQ=Q，、GQ平面，∴平面∥平面， 又∵平面，∴∥平面，故C错误； 对于D，连接、、， 由选项A知∥EF，且=2EF，故过A、E、F三点的平面截正方体的截面为等腰梯形AEFD，故D正确． 故选：AD． 三、填空题（每题5分，共15分） 12. 在的展开式中，常数项等于__________．（用数字作答） 【答案】 【解析】 【分析】利用二项式定理，先求出 展开式中的常数项和的系数，即得解. 【详解】由，根据二项式定理，其展开式的通项为， 所以当时，展开式的常数项为；当时，展开式的系数为； 所以原式中展开式的常数项为. 故答案为：. 13. 若方程表示一条直线，则实数满足_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线的一般式方程，，不全为0的条件，求值判断即可. 【详解】解：当时，或； 当时，或． 要使方程表示一条直线， 则，不能同时为0，所以． 14. 已知数列的前n项和为，若，，记，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】借助与的关系结合等比数列定义可得数列的通项公式，即可得表达式，再借助作商法得到的单调性后即可得解. 【详解】当时，，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， 即，则，则， 解不等式，即， 由，故或， 即当或时，，当时，， 故的最大值为. 四、解答题（共77分） 15. 在中，角，，所对的边分别为，，．满足． （1）求角的大小： （2）设，． （ⅰ）求的值； （ⅱ）求的值． 【答案】（1） （2）（i）；（ii） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理和诱导公式求解即可； （2）（i）利用余弦定理求解即可；（ii）利用二倍角公式，两角差的正弦公式即可求解． 【小问1详解】 由， 根据正弦定理得，， 可得， 因为，故，则， 又，所以； 【小问2详解】 由（1）知，，且，， （i）则，即， 解得或（舍），故； （ii）由， 得， 解得，则， 则，， 由， 所以 所以. 16. 已知数列的各项均为正数，且满足. （1）求，及的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1）；.；（2） 【解析】 【分析】 （1）根据题意，知，且，令和即可求出，，以及运用递推关系求出的通项公式； （2）通过定义法证明出是首项为8，公比为4的等比数列，利用等比数列的前项和公式，即可求得的前项和. 【详解】解：（1）由题可知，，且， 当时，，则， 当时，，， 由已知可得，且， ∴的通项公式：. （2）设，则， 所以，， 得是首项为8，公比为4的等比数列， 所以数列的前项和为： ， 即， 所以数列的前项和：. 【点睛】本题考查通过递推关系求数列的通项公式，以及等比数列的前项和公式，考查计算能力. 17. 为了丰富孩子们的校园生活，某校团委牵头，发起同一年级两个级部进行体育运动和文化项目比赛，由部､部争夺最后的综合冠军.决赛先进行两天，每天实行三局两胜制，即先赢两局的级部获得该天胜利，此时该天比赛结束.若部､部中的一方能连续两天胜利，则其为最终冠军；若前两天部､部各赢一天，则第三天只进行一局附加赛，该附加赛的获胜方为最终冠军.设每局比赛部获胜的概率为，每局比赛的结果没有平局且结果互相独立. （1）记第一天需要进行的比赛局数为. （i）求，并求当取最大值时的值； （ii）结合实际，谈谈（i）中结论的意义； （2）当时，记一共进行的比赛局数为，求. 【答案】（1）则当时，取得最大值． 当时，双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多． （2） 【解析】 【分析】（1）可能取值为2，3，分别求解对应的概率，根据期望的定义求解，再根据二次函数的性质求最值即可； （2）即或，即获胜方两天均为获胜或者获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛，分别计算概率即可． 【小问1详解】 可能取值为2，3． ； ． 故， 即，则当时，取得最大值． 结合实际，当时，双方实力最接近，比赛越激烈，则一天中进行比赛的盘数会更多． 【小问2详解】 当时，双方前两天的比分为或的概率均为； 比分为或的概率均为． 则或．即获胜方两天均为获胜， 故； 即获胜方前两天的比分为和或者和再加附加赛， 故． 所以． 18. 已知函数． （1）当时，若，求的值； （2）若的值域为，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）当时，令，当时，令求解； （2）易得时，，从而要使值域为R，只需在上的取值范围包含，令，分和时求解； 【小问1详解】 当时，令，符合题意． 当时，令，，解得不符合，舍去． 综上． 【小问2详解】 当时，， 所以要使值域为R，只需在上的上取值范围包含 则当时，令， 当时，可得， 因为在上的上取值范围包含， 所以，结合可得； 当时，在上是增函数， 所以，不满足在上的上取值范围包含， 综上 19. 已知点是双曲线右支上异于顶点的动点，点到的两条渐近线的距离分别为，，且． （1）求双曲线的离心率； （2）设点为的左顶点，点为的右焦点． ①求证：； ②若，延长线段与相交于点，求的最小值． 【答案】（1） （2） ① 证明见解析；② 的最小值为 【解析】 【分析】（1）先根据双曲线渐近线方程及点到直线距离公式求出的表达式，再结合已知的值建立等式求解相关参数； （2）①先根据双曲线离心率得出与关系，再求出与表达式，最后利用正切二倍角公式及角的范围证明角的倍数关系； ②先分直线斜率不存在与存在两种情况讨论，斜率不存在时直接求出的值，斜率存在时设出直线方程代入双曲线，利用韦达定理求出相关表达式，分析其随变化情况，最后比较得出最小值. 【小问1详解】 双曲线的渐近线为，设动点， 因为在双曲线上，故，即， 由点到直线距离公式可得：， 所以，又因为， 所以，即； 【小问2详解】 ① 由（1）可知，，所以， 设，，， 由双曲线对称性，不妨设点在第一象限，则， ​， 由在双曲线上，得， 由正切二倍角公式可得 ， 又因为和，所以，即； ② 因为，则双曲线方程为 ，所以，， 由双曲线对称性，不妨设点在第一象限， 当直线斜率不存在时，，代入双曲线可得：， 所以， 当斜率存在时，设，代入双曲线得， 设，，由韦达定理可得： ， 又因为在右支，所以，解得：， ​根据两点间距离公式可得： ， ， 所以， ， 将代入上式可得：， ​​， 因此：， 该式随增大而减小，当时，， 即，即时， 综上，的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $