精品解析：吉林省友好学校2026届高三上学期1月期末联考（第80届）数学试题

友好学校第八十届期末联考 高三数学 本试卷共19题，共150分，共4页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在贴条形码区内． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡对应的答题区域，超出答题区域书写的答案无效，写在本试题卷上无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】由题意求出，进而解出，判断在复平面内对应的点所在象限即可. 【详解】由题意知：， 所以，所以在复平面内对应的点位于第四象限. 故选：D 2. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. 12 C. D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】由等差数列的项之间的关系即可求得公差. 【详解】等差数列中，公差 故选：D. 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行，面面平行和面面垂直的判定定理，判断选项的正误. 【详解】若，则或，故A不正确； 若，则或与相交，故B不正确； 若，则或与相交，故C不正确； 若，则由面面垂直的判定定理可知，故D正确. 故选：D. 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由条件结合公式求，再利用两角差正弦公式求结论. 【详解】因为，，， 所以， 所以， 故选：A. 5. 已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径，确定母线长，求出侧面积和表面积即可求得答案. 【详解】由题意可得轴截面是等腰直角三角形，设该圆锥的底面圆的半径为，则其母线长为，从而该圆锥的侧面积. 表面积， 故. 故选：A. 6. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出，由平面向量的数量积可求得，计算的值，再开方即可求解. 【详解】因，所以， 所以， 所以 ， 所以， 故选：B. 7. 已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由条件结合图象平移得到的图象，结合图象即可求解. 【详解】函数的图象可由的图象向右平移1个单位得到， 因为是偶函数，则其图象关于轴对称， 所以的图象关于直线对称， 又在上单调递增，则在上单调递减， 又，则有， 当，即时，需， 解得或； 当，即时，需，无解； 综上，不等式解集为. 故选：D 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】画出图形，由已知条件和几何关系确定，进而确定点，又点在直线上，代入即可求出，最终算出离心率. 【详解】 设，连接，与轴交于点， 由对称性可知， 又，所以是正三角形，且. 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 又点在直线上， 故， 所以， 所以. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【分析】求解各不等式判断即可. 【详解】对A，则，即，，解得，故A错误； 对B，则，故，解得，故B正确； 对C，则，解得，故C正确； 对D，，则，解得，故D错误. 故选：BC 10. 已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（ ） A. 焦点的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据抛物线方程确定抛物线的顶点坐标与准线方程，然后再由抛物线的焦半径公式判断C，由抛物线的性质判断D.. 【详解】抛物线的方程是，则，焦点坐标是，准线方程是，A对B错； 点在抛物线上，，，则,,C对； 抛物线上点到焦点的距离在点为顶点时取得最小值，这个最小值是1，因此，D对， 故选：ACD. 11. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是 A. B. 是图象的一个对称中心 C. D. 是图象的一条对称轴 【答案】ABD 【解析】 【分析】 根据题意，先得到向右平移的解析式为，再得到，可得，可得的解析式，根据正弦函数的性质可知A,B,D正确. 【详解】由题意，向右平移， 得 的图象关于轴对称，所以， ，又 即 则是图象的一个对称中心，是图象的一条对称轴 而，则C错，A,B,D正确 故选：ABD 【点睛】本题考查利用三角函数平移变换求参数，考查正弦函数的性质，属于基础题. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数的值为______． 【答案】1或2 【解析】 【分析】由题意可得，由此可求出的值，代入检验即可得出答案. 【详解】因为集合，若， 所以，所以或或或，或或或或， 解得：或或或或或或或， 当时，，不满足； 当时，，满足； 当时，，满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 当时，，不满足； 综上：实数的值为1或2. 故答案为：1或2. 13. 已知实数，满足，则的最大值为_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用重要不等式，转化为不等式，求的最大值. 【详解】因为，所以， 即，当时，等号成立， 所以的最大值是. 故答案为： 14. 已知球是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心到平面的距离为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据球心与平面所截圆的圆心连线与该平面垂直定位球心，进而求解. 【详解】如图，设点在底面的投影为， 则，设， 所以，， 由得，，解得. 故答案为：. 四．解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角,,所对的边分别是，，，已知 . （1）求的值； （2）若，，，为垂足，求的长. 【答案】（1）（2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理化边为角，再根据两角和正弦公式化简得结果，（2）先根据余弦定理求，再利用三角形面积公式求AD. 【详解】（1）因为， 所以 因为，所以,即. 因为，所以，所以. 则. （2）因为，所以,. 在中，由余弦定理可得 ，即. 由，得. 所以. 【点睛】本题考查正弦定理、余弦定理以及三角形面积公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】（1）利用的关系可得，即可知为等比数列，写出等比数列通项公式即可. （2）由（1）得，利用分组求和，并结合错位相减法及等差、等比前n项和公式求. 【详解】（1）当时，，解得， 当时，，则，即， 又，则， ∴（常数），故是以为首项，以3为公比的等比数列， ∴数列的通项公式为． （2）由（1）可得：， ∴， 设，则 ∴， ∴，又， ∴ 17. 已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求a的取值范围： （2）若直线与的图象相切，求a的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用函数的单调性与导数的正负，得出导函数的恒成立关系，利用分离参数和基本不等式即可求解； （2）利用导数的几何意义及切点的位置关系，建立方程组即可求解. 【小问1详解】 记在上单调递减， 对恒成立， ，而， 当且仅当即时，等号成立， 所以当时，取得最小值为. 所以a的取值范围为 【小问2详解】 设直线与的图象相切于， ， 由题意可知， 代入， ，左边式子关于单调递减且时，左边 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由线面平行的性质得出，再由中位线定理得出为的中点； （2）以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系，利用向量法结合平面与平面夹角的余弦值得出的值. 【小问1详解】 连接交于点，再连接， 由直线平面，平面，平面平面，，又为的中点，为的中点； 【小问2详解】 以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系 设，则 设，， 设平面的法向量为，则，即 取，则. 设平面的法向量，则，即， 可得平面的法向量， 设平面与平面夹角为 ，整理得， 19. 已知椭圆的左，右焦点分别为，离心率为，为椭圆上的一个动点，且点到右焦点距离的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线交椭圆于两点，当的面积最大时，求此时直线的方程． 【答案】（1） （2）或． 【解析】 【分析】（1）根据题意，由椭圆的几何性质可得、，结合求出、即可求解； （2）设直线的方程为，，联立椭圆方程，利用韦达定理表示、，根据弦长公式表示，结合基本不等式计算即可求解． 【小问1详解】 椭圆离心率为， 又点到右焦点距离的最大值为，即， 解得． 又由，可得． ∴椭圆的方程为：． 【小问2详解】 由题意，设直线的方程为， 联立，得， 设， 则， ， 当且仅当即时取等号． ∴所求直线的方程为或． 【点睛】思路点睛： 求解椭圆中三角形面积问题时，通常需要联立直线与椭圆方程，结合韦达定理、弦长公式，点到直线距离公式等，表示出三角形的面积进行求解；有时也可将三角形分割成多个小三角形，利用小三角形的面积和来表示所求三角形面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 友好学校第八十届期末联考 高三数学 本试卷共19题，共150分，共4页．考试用时120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生先将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上，将条形码贴在贴条形码区内． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．回答非选择题时，用黑色碳素笔将答案写在答题卡对应的答题区域，超出答题区域书写的答案无效，写在本试题卷上无效． 4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱、不准使用涂改液、修正带、刮纸刀． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 2. 在等差数列中，，则公差（ ） A. B. 12 C. D. 11 3. 已知是两条不同的直线，是三个不同的平面，下面命题中正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知，若，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知某圆锥的轴截面是等腰直角三角形，则该圆锥的侧面积与表面积的比值是（ ） A B. C. D. 6. 已知平面向量与的夹角为，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 7. 已知是偶函数，在上单调递增，，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的左､右焦点分别为，过点作直线与的渐近线在第一象限内交于点，记点关于轴的对称点为点，若，则双曲线的离心率为（ ） A. B. 2 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列选项中，与“”互为充要条件的是（ ） A. B. C. D. 10. 已知点在抛物线上，点为抛物线的焦点，则（ ） A. 焦点的坐标为 B. 抛物线的准线方程为 C. 若，则 D. 11. 已知函数，若将函数的图象向右平移个单位长度后，所得图象关于轴对称，则下列结论中正确的是 A. B. 是图象的一个对称中心 C. D. 是图象一条对称轴 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知集合，若，则实数的值为______． 13. 已知实数，满足，则最大值为_____________. 14. 已知球是正三棱锥的外接球，若正三棱锥的高为，底边，则球心到平面的距离为__________. 四．解答题：本小题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在中，角,,所对的边分别是，，，已知 . （1）求的值； （2）若，，，为垂足，求的长. 16. 已知数列的前n项和为，且． （1）求数列的通项公式； （2）若，求数列的前n项和． 17 已知函数，． （1）若函数在上单调递减，求a的取值范围： （2）若直线与的图象相切，求a的值． 18. 如图，在四棱锥中，底面为正方形，平面，，为线段的动点. （1）若直线平面，求证：为的中点； （2）若平面与平面夹角的余弦值为，求的值. 19. 已知椭圆左，右焦点分别为，离心率为，为椭圆上的一个动点，且点到右焦点距离的最大值为． （1）求椭圆的方程； （2）已知过点的直线交椭圆于两点，当的面积最大时，求此时直线的方程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $