精品解析：吉林省吉林市实验中学2025-2026学年高三下学期3月阶段检测数学试题

吉林市实验中学2025－2026学年高三下学期3月阶段检测 数学 一、单选题 1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 【答案】C 【解析】 【详解】由题意可得：，所以，所以复数的共轭复数的虚部为1. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为存在量词命题的否定是全称量词命题，所以原命题的否定为“”． 3. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】A 【解析】 【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错. 对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确 对于C， 已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确. 对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确. 4. 已知点在圆上，点，当最大时，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】数形结合确定当最大时点位置，即可利用两角和的余弦公式求值. 【详解】设圆的圆心为，则，半径， 过作圆的切线，设交点为，如图， 由图可知，当与圆相切，且点在第四象限时，最大， 因为，所以, 又，所以, 所以. 5. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比中项可知，结合可得，即可得结果. 【详解】因为数列为等比数列，且，则， 又因为，即， 可得，可得， 所以. 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为在上单调递增，所以，可得， 根据，且在上单调递增，可得，即， 由在上单调递增，可得，结合，可得. 7. 已知球的半径为1，三棱锥的顶点为，底面的三个顶点均在球的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】下证：在半径为的小圆中，内接正三角形面积最大. 证明：设底面三角形为， 则 ， 而 ， 当且仅当时等号成立，即，故 故，当且仅当且时等号成立， 即，，而， 即，即，时等号成立， 此时为等边三角形. 回到问题本身： 此时该三棱锥的体积， 由， 当且仅当，即时，等号成立，所以该三棱锥的体积最大值为， 此时球心到截面小圆的距离， 即当该三棱锥的体积最大时，其高为． 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 【答案】D 【解析】 【分析】构造函数，通过分析的单调性进而得到函数的正负，然后逐项分析即得. 【详解】，即，故函数为奇函数， 设，则， 由题意，当时，， 在上单调递增， 又为偶函数，故为奇函数， 在上单调递增，图象连续不断且， 在上单调递增， 当时，，；同理当时，， 对于A，，，，故A错误. 对于B，当时，，则，故B错误. 对于C，由于函数的单调性未知，故该选项不确定，故C错误. 对于D，当时，，当时，，且，有且只有一个零点，故D正确. 二、多选题 9. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ） A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5 【答案】BC 【解析】 【详解】10个数据中3出现了4次，4出现了3次，5出现了2次，6出现了1次， 所以次数最多的数据是3，所以众数是3，故A错误； 平均数为，故B正确； 极差为，故C正确； 中位数为，故D错误. 10. 已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】BC 【解析】 【详解】因为函数在R上单调递减， 所以. 因为， 所以函数是偶函数，它的图象关于纵轴对称，因此选项D不符合； 对于选项A：由函数的图象可知，不符合，故本选项不符合题意； 当时，当时，函数单调递增，且，所以选项B符合； 当时，当时，函数单调递增，且，所以选项C符合. 11. 如图，在正四棱锥中，，，，，分别为侧棱PA，PB，PC，PD的中点，若多面体的体积为，则（ ） A. 平面 B. 四棱锥的外接球半径为2 C. 直线与底面ABCD所成角的余弦值为 D. 点B到平面PAD的距离为 【答案】ACD 【解析】 【分析】对于A选项，通过中位线构造线面平行，再由线线平行推导线面平行即可；对于B选项，先由棱台体积求出棱台高，进而得到四棱锥高，再通过勾股定理判断侧棱与对角线的垂直关系，确定外接球球心，再求得半径即可；对于C选项，取中点构造垂线，将线面角转化为直角三角形内角，再用余弦定义求解即可；对于D选项，利用等体积法，将点到平面的距离转化为体积问题求解即可. 【详解】对于A，设AC，BD交于点O，连接，易知，又平面，，则平面，A正确； 对于B，多面体为四棱台，，设四棱台的高为h，则四棱台的体积， 得，易知四棱锥的高，故，又，易知，， 所以点O即为四棱锥P-ABCD的外接球球心，其半径，B错误； 对于C，取OC中点E，连接，则，平面ABCD，则即为直线与底面ABCD所成的角， 又，，，，C 正确； 对于D，由，得为正三角形，，又， 则，设点B到平面PAD的距离为d， 则，解得， 所以点B到平面PAD的距离为，D正确. 故选：ACD. 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 【答案】## 【解析】 【详解】二项式的展开式第项为， 令得，，即的系数为. 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用导函数在某点处的切线的斜率与圆在某点处切线斜率之间的关系分析求解即可. 【详解】由知定义域为，则， 此时曲线在点处的切线斜率为：， 又圆的圆心与点所在直线的斜率为：， 所以圆在点处的切线斜率为：， 由题意知，① 又在圆上所以：，② 将①代入②中得：， 化简得：，解得：或（舍去）， 又由题意知，所以，此时，所以， 将代入中有：，解得：. 14. 在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理角化边可得或，当时，利用表示三角形的周长并利用基本不等式求面积的最大值，当时，利用三角形的面积公式结合导数求面积的最大值即可. 【详解】因为， 所以由余弦定理可得， 即，解得或， 又因为， 当时，， 由基本不等式可得， 当且仅当时等号成立，解得， 所以该三角形面积，此时； 当时，设，，则， 由三角形的性质可得，解得， 由海伦公式可得， 令， 所以， 令解得（舍去），或， 所以当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以， 所以， 因为， 所以，即； 综上该三角形面积的最大值， 故答案为： 四、解答题 15. 在中，内角所对的边分别其中，，且. （1）求的值； （2）求的值； 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理转化为边的关系，联立条件得解； （2）由余弦定理及同角三角函数基本关系得解. 【小问1详解】 因为，所以由正弦定理可得， 又，， 所以，解得； 【小问2详解】 由（1）可得，，， 所以， 可得， 所以 16. 在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. （1）若，求的大小； （2）当取得最小值时，求的面积. 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理得到，根据得到方程，求出，根据余弦定理得到，求出； （2）由利用三角形面积公式可得，根据基本不等式解出的最小值，应用取等条件求出三角形面积. 【小问1详解】 因为，由正弦定理得， 因为的角平分线交BC于点D，所以， 由，得， 则， 即，所以， 在中，由余弦定理得， 即； 【小问2详解】 由， 得， 得， 化简得，即， 所以， 当且仅当时等号成立，取得最小值， 此时，面积为． 【点睛】 17. 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 【答案】（1） （2） 0 1 2 （3）经验回归方程的拟合效果不良好 【解析】 【分析】（1）求出根据回归直线必过样本中心点求解即可； （2）可能取值为，求出对应概率，进而得到分布列和期望； （3）求出代入公式，即可得到答案. 【小问1详解】 ， ， 因为，即， 解得. 【小问2详解】 5组数据中，两组数据残差为正值，三组数据残差为负值， 所以可能取值为， ， ， ， 所以X的分布列为 0 1 2 期望. 【小问3详解】 ， ， 所以经验回归方程的拟合效果是不良好. 18. 已知在数列中，，为等比数列，为的前n项和． ，． （1）若，求数列的前n项和； （2）若，求前n项和的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意建立关于的方程并求解，进而得到，的通项公式，再根据求和公式求解； （2）根据（1）得数列，分析可知时，前n项和大于0，进而求解最小值. 【小问1详解】 由可知是公差的等差数列，则. 为等比数列，设公比为，由，， 可得①， ，即，②， ③， 将①②代入③可得， 解得，则，， 所以，，， 故 . 【小问2详解】 由（1）得，设前n项和为， 则，，, ， 所以， ， ， 由于从第4项起，每一项都大于0，即在之后开始递增， 所以前3项和最小，最小值为. 19. 如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点. （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求； （3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 【答案】（1）证明见解析 （2） （3）不存在 【解析】 【分析】（1）根据线面平行的判定定理进行证明. （2）以为基底，利用空间向量表示平面与平面所成角的余弦值，列式可求. （3）建立空间直角坐标系，利用空间向量探索的存在性. 【小问1详解】 连接，交于点，连接.如图： 因为四棱柱为直四棱柱，所以四边形为矩形， 所以为中点，又为中点， 所以，又平面，平面，所以平面. 【小问2详解】 以为基底，设， 则，，，. 设平面的法向量为， 则. 令，则，所以. 设平面的法向量为， 又，. 由， 所以. 令，则，. 所以. 又. ， . 由， 所以， 所以或（舍去）. 所以. 【小问3详解】 因为三棱柱为直四棱柱，且，故可以为原点，所在的射线为轴，建立如图空间直角坐标系. 则，，，. 设，则，，， 因为平面，所以. 整理得，即在以为球心，为半径的球上，也在平面：上，其中平面的一个法向量， 要使得为定值，则， 由已知，由（2）得平面的法向量， 而，且点平面， 则平面， 则直线与平面无交点，故不存在点使得为定值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 吉林市实验中学2025－2026学年高三下学期3月阶段检测 数学 一、单选题 1. 复数满足（为虚数单位），则的共轭复数的虚部是（ ） A. B. C. 1 D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则下列结论中不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 已知点在圆上，点，当最大时，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知等比数列满足，，记为其前项和，则（ ） A. 4 B. 6.5 C. 8 D. 12 6. 若，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知球的半径为1，三棱锥的顶点为，底面的三个顶点均在球的球面上，则当该三棱锥的体积最大时，其高为（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数的图象是一条连续不断的曲线，且，若当时，，则（ ） A. B. C. 存在极值点 D. 有且只有一个零点 二、多选题 9. 现有10个数据为：3，3，3，3，4，4，4，5，5，6，对于该组数据，下列说法中正确的有（ ） A. 众数是4 B. 平均数是4 C. 极差是3 D. 中位数是4.5 10. 已知函数在R上单调递减，则函数的大致图象可能为（ ） A. B. C. D. 11. 如图，在正四棱锥中，，，，，分别为侧棱PA，PB，PC，PD的中点，若多面体的体积为，则（ ） A. 平面 B. 四棱锥的外接球半径为2 C. 直线与底面ABCD所成角的余弦值为 D. 点B到平面PAD的距离为 三、填空题 12. 在的展开式中，的系数为______．（用数字作答） 13. 若曲线与圆有公共点，且在点处的切线相同，则实数________. 14. 在三角形中，角所对的边分别为．若，且三角形的周长为，则该三角形面积的最大值为_______________． 四、解答题 15. 在中，内角所对的边分别其中，，且. （1）求的值； （2）求的值； 16. 在中，内角所对的边分别为为的角平分线，且. （1）若，求的大小； （2）当取得最小值时，求的面积. 17. 某公司为了了解A商品销售收入（单位：万元）与广告支出（单位：万元）之间的关系，现收集的5组样本数据如下表所示，且经验回归方程为. 2 5 6 8 9 16 20 21 28 10.96 19.24 22 27.52 30.28 （1）求的值； （2）现从这5组数据的残差中抽取2组进行分析（观测值减去预测值称为残差），记X表示抽到数据的残差为负的组数，求X的分布列和期望； （3）已知，且当时，回归方程的拟合效果良好，试结合数据，判断经验回归方程的拟合效果是否良好. 18. 已知在数列中，，为等比数列，为的前n项和． ，． （1）若，求数列的前n项和； （2）若，求前n项和的最小值． 19. 如图.底面为平行四边形的直四棱柱，点为边上的中点，点是空间一点. （1）证明：平面； （2）若平面与平面所成角的余弦值为，求； （3）若，直线平面，则在平面内是否存在点，使得的长为定值，若存在，指出点的位置，若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $