江苏泰州市姜堰区第四中学2025-2026学年下学期第二次学情检测数学试题

**基本信息** 姜堰四中八年级学情检测聚焦代数几何综合，以生活情境（如“不期而遇”描述随机事件）和动态探究（正方形旋转重叠问题）为载体，考查运算能力、几何直观与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择|6/18|随机事件、二次根式|第1题结合成语情境，考查随机事件概念| |填空|10/30|分式、配方法、规律探究|第14题类比二次根式化简，培养创新意识| |解答|10/102|方程应用、几何证明、动态探究|第24题“特殊到一般”规律证明（推理能力），25题构造图形比较无理数（几何直观）|

主备：范志群 审核：王国发 徐静 时间：20260527 姜堰四中八年级第二次学情检测 完成时间：120分钟 班级 姓名 一．选择题（每题3分，共18分） 1. 下列词语描述的事件为随机事件的是( ) A. 冬去春来 B. 水中捞月 C. 缘木求鱼 D. 不期而遇 2. 下列二次根式是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 3. 要使分式的值扩大4倍，的取值可以如何变化（ ） A. 的值不变，的值扩大4倍 B. 的值不变，的值扩大4倍 C. 的值都扩大2倍 D. 的值都扩大4倍 4. 已知，则的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 6 D. 5. 下列关于的一元二次方程中，没有实数根的是（　　） A. B. C. D. 6. 如图，两个正方形的边长都为6，其中正方形绕着正方形的对角线的交点旋转，正方形与边、分别交于点、（不与端点重合），设两个正方形重叠部分形成图形的面积为，的周长为，则下列说法正确的是（ ） A. 发生变化，存在最大值 B. 发生变化，存在最小值 C. 不发生变化，存在最大值 D. 不发生变化，存在最小值 二．填空题（每题3分，共30分） 7. 为了解某市八年级学生的身高情况，从该市5200名八年级学生中随机抽取1500名学生进行身高情况调查，则本次抽样调查的样本容量是______． 8.函数中，自变量的取值范围是______ 9. 用配方法解方程，方程可化为，则___________． 10.为解决群众看病贵的问题，某区有关部门决定降低药价，对某种原价为280元的药品进行连续两次降价，降价后的价格为240元，设平均每次降价的百分率为，由题意可列方程_____． 11.若，则_________． 12. 已知m是正整数，是整数，m的最小值为__________. 13. 如图，正方形的边长为，菱形的边长为，则的长为______． 14.形如的化简，只要我们找到两个数，使，使，那么．例如：．根据上述材料中例题的方法，化简：___________． 15.在四边形中，点分别为的中点，则_________． （选填“>”、“<”、“=”、“≥”或“≤”） 16. 如图，点为正方形边上一动点，，，将点绕点顺时针旋转到点，若、分别为、中点，则的最小值为 ． (8分）17.计算： （16分）18.用合适的方法解下列方程； (1) (2) (3) (4)； （6分）19.先化简，再求值：，其中x的值是方程的根． （8分）20. 一个不透明的袋子里装有黑白两种颜色的球若干个，这些球除颜色外都相同．从袋子中随机摸一个球，记下颜色后放回搅匀，不断重复上面的过程，并绘制了如图所示的统计图，根据统计图提供的信息解决下列问题： （1）摸到白球的概率估计值为________（精确到0.1）； （2）若袋子中白球有4个， ①求袋中黑色球的个数； ②若将m个相同的白球放进了这个不透明的袋子里，然后再次进行摸球试验，当大量重复试验后，摸出白球的概率估计值是________．（用含m的式子表示） （8分）21. 已知关于的一元二次方程． （1）若方程有两个相等的实数根，求的值； （2）若方程有一个根，求另一个根． （8分）22. 如图，在▱中，过点作交的延长线于点． 若，求证：四边形是菱形； 连接，当与满足什么数量关系时，四边形是矩形？并说明理由． （10分）23. 已知代数式． （1）当为何值时，代数式A比B值大2； （2）求证：对于任意的值，代数式的值恒为正数． （12分）24.. 嘉嘉根据学习“数与式”积累的活动经验，想通过“特殊到一般”的方法探究二次根式的运算规律．下面是嘉嘉的探究过程： 等式①：；等式②：； 等式③：；等式④：______________；…… （1）【特例探究】将题目中的横线处补充完整； （2）【归纳猜想】若为正整数，用含的代数式表示上述运算规律，并证明此规律成立； （3）【应用规律】嘉嘉写出一个等式（均为正整数），若该等式符合上述规律，则的值为________． （12分）25. 【问题探究】 （1）构造多边形比较无理数大小：在图1的正方形方格纸中（每个小正方形的边长都为1），线段的长度为，线段的长度为． （2分）①请结合图1，试说明； （3分）②在图2中，请尝试构造三角形，比较与的大小； （3分）③在图3中，请尝试构造四边形，比较与的大小； 【迁移运用】 （4分）（2）如图4，线段，为线段上的任意一点，设线段．则是否有最小值？如果有，请求出最小值，并仅用无刻度的直尺在图中标出取最小值时点的位置；如果没有，请说明理由． （14分）26.如图，在正方形中，，点是边上的一个动点，连接、，作、的垂直平分线交于点，且的垂直平分线分别交、、于点、、，的垂直平分线交于点． 如图，当点运动到的中点时， （3分）证明：≌； (3分）连接、，证明：； 若点从点出发，沿着边向点运动，到达点后停止运动， （4分）利用图证明：无论点运动到边上的何处时，始终被点平分； （4分）求整个运动过程中，点的运动路径长直接写出结果 1 学科网（北京）股份有限公司 $