精品解析：浙江舟山市第一初级中学等校2025-2026学年第二学期九年级5月份学业水平监测数学试题卷

2025学年第二学期九年级5月份学业水平监测数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 2. 2026年5月，国内应用正式进入付费时代，大模型商业化即将落地．据悉，截至2026年3月，豆包的（月活跃用户数）达亿，将数字亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成正方体，则与“加”相对的字的是（ ） A. 中 B. 顺 C. 油 D. 利 4. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 5. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，一个含角的直角三角板（即，）被两条平行直线和所截，若，则（ ） A. B. C. D. 8. 计算： （ ） A. B. C. D. 9. 已知某函数图象经过，，三个点，则该函数表达式可能为（ ）． A. B. C. D. 10. 定义：对于一个四位数，若满足，则称该四位数为“阶特征数”．例如，满足，则为“阶特征数”．依据以上定义，下列说法中错误的是（ ） A. B. 记“阶特征数”的最大值为，最小值为，则 C. 若能被整除，则也只能等于 D. 个数最多的“阶特征数”是“阶特征数”或“阶特征数” 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 12. 在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中随机摸出一个球是白球的概率是______． 13. 不等式组的解集是______． 14. 如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 15. 如图，正方形的顶点A，B在坐标轴上，点A的坐标为，点B的坐标为．若经过点C的反比例函数与边交于点E，则点E的横坐标为_____． 16. 如图，在中，，以为直径作⊙分别交于点D，E，过点E作交⊙于点F，连接，若，则的长为_____． 三、解答题（本题有8小题，第17~21每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 18. 课堂上，程老师出示了两道题目进行对比分析，两位同学分别进行了回答． 题目1 题目2 解方程： 计算： 解：方程两边同乘，得① 去括号、移项得② 解得③ 解：原式 （1）在题目1中，该同学经检验发现当时，，即分母为0，故是方程的增根，则产生增根的步骤是第_________步．（选填“①”、“②”、“③”） （2）在题目2中，该同学代入时发现原式结果为1，但计算后的结果是，显然计算有误．请你写出正确的计算过程． 19. 如图，在中，，平分． （1）请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． （2）若，，求的面积． 20. 为促进学生体育锻炼习惯的养成和体质健康水平的提升，某校依据《国家学生体质健康标准》，在各年级中抽取相等的人数进行测试，分数记为（分），当时，记为等（优秀），当时，记为等（良好），当时，记为等（合格），当时，记为等（不合格）． 【信息1】部分测试结果统计图（不完整）． 【信息2】九年级等级人数占九年级所抽取人数的． 【信息3】八年级等级中成绩较高的前位分数是：． 请根据以下信息，回答相关问题： （1）填空：各年级抽取的人数均是________人，九年级等级的人数是________人． （2）求抽取的八年级学生体质测试成绩的中位数． （3）若该校七年级有名学生，请估计该校七年级中等（优秀）的人数． 21. 如图，在中，对角线平分，经过顶点A，B且与边所在的直线相切于点E． （1）求证：为菱形． （2）当，菱形的高为4时，求的长． 22. 图1为坐落于舟山马目山的风车营地，风车、大桥、山海、日落所构成的和谐画面吸引了众多游客，成为了网红打卡地．除了景色，这里的风电机组所提供的清洁能源也带动了绿色经济发展，某学习小组查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．为测量其高度，他们选定了当风车停止转动时的位置，如图2，风电塔筒AB垂直于地面，叶片AC恰好与塔筒AB重合，三个叶片均匀分布（即）且长度均为80m，在距离塔底（点B）158m的点F处有一测角仪（其高度忽略不计）测得叶片端点D的仰角为． （1）求风电塔筒的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） （2）当叶片从图2位置开始绕点A沿顺时针方向第一次转动至图3位置时，学习小组测量发现叶片端点E的离地高度增加了24.7m，求所有叶片在这段时间内扫过的区域面积．（结果保留π，参考数据：，，） 23. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）记抛物线在时的最大值为M，最小值为m． ①当，且时，求t的值． ②记，的最小值为d，求的最小值． 24. 如图1，在矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点为点，点的对应点为点，连接并延长交射线于点． （1）如图2，当点与点重合时，记与交于点，与交于点． ①求证：． ②求的值． （2）如图3，点在的延长线上，记与交于点，连接交于点，当时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025学年第二学期九年级5月份学业水平监测数学试题卷 考生须知： 1．全卷满分120分，考试时间120分钟．试题卷共6页，有三大题，共24小题． 2．全卷答案必须做在答题纸卷Ⅰ、卷Ⅱ的相应位置上，做在试题卷上无效． 卷Ⅰ（选择题） 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分．请选出各题中唯一的正确选项，不选、多选、错选，均不得分） 1. 下列各数中，最大的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先估算的取值范围，再比较大小即可得到最大的数． 【详解】解：∵ ，，， ∴ ， 又∵， ∴， ∴最大的数是． 2. 2026年5月，国内应用正式进入付费时代，大模型商业化即将落地．据悉，截至2026年3月，豆包的（月活跃用户数）达亿，将数字亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将3.15亿换算为以个为单位的数，再根据科学记数法的规则写出正确形式即可，科学记数法的形式为，要求满足，为整数． 【详解】∵ ∴ 3. 一个正方体的表面展开图如图所示，将其折叠成正方体，则与“加”相对的字的是（ ） A. 中 B. 顺 C. 油 D. 利 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， ∴“加”与“油”是相对面，“中”与“顺”是相对面，“考”与“利”是相对面． 4. 一次函数的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据一次函数的k、b的符号确定其经过的象限即可确定答案． 【详解】解：∵一次函数中，，， ∴一次函数的图象经过一、二、四象限． 5. 《孙子算经》是中国传统数学的重要著作，其中有一道题，原文是：“今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？”意思是：今有若干人乘车，每人共乘一车，最终剩余2辆车，每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？可设共有人，辆车，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：设共有人，辆车， ∵每人共乘一车，最终剩余辆车空，实际使用车辆为，总人数等于乘使用车辆数， ∴， ∵每人共乘一车，最终剩余个人无车可乘，车上共坐人，加上步行的人等于总人数， ∴， 综上可得方程组． 6. 如图，四边形,是以点为位似中心的位似图形．已知，则四边形与四边形的周长之比是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似的性质得到四边形和四边形的相似比为，然后根据相似多边形的周长之比等于相似比求解． 【详解】解：四边形和是以点为位似中心的位似图形， 若， 四边形和的相似比为， 相似多边形的周长之比等于相似比， 四边形和的周长比为． 7. 如图，一个含角的直角三角板（即，）被两条平行直线和所截，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由，则，然后通过三角形的外角性质和对顶角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 8. 计算： （ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：连乘部分：（乘方定义：个相乘为）, 连加部分：（乘法定义：个相加为）, ∴ 原式 ． 9. 已知某函数图象经过，，三个点，则该函数表达式可能为（ ）． A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据三个点的坐标特征，得出函数图象关于原点对称，且当，y随x的增大而增大． 【详解】解：根据函数图象经过，， 可以得到，此函数图象关于原点对称， 根据函数图象经过， 及， 可以得到，此函数图象，当，y随x的增大而增大， 对于选项A，的图象，当，y随x的增大而减小，函数图象关于原点对称，故选项A不符合题意； 对于选项B，的图象，当，y随x的增大而减小，函数图象关于原点对称，故选项B不符合题意； 对于选项C，的图象，当，y随x的增大而增大，函数图象关于原点对称，故选项C符合题意； 对于选项D，的图象，当，y随x的增大而增大，函数图象关于y轴对称，故选项D不符合题意． 10. 定义：对于一个四位数，若满足，则称该四位数为“阶特征数”．例如，满足，则为“阶特征数”．依据以上定义，下列说法中错误的是（ ） A. B. 记“阶特征数”的最大值为，最小值为，则 C. 若能被整除，则也只能等于 D. 个数最多的“阶特征数”是“阶特征数”或“阶特征数” 【答案】D 【解析】 【分析】根据“阶特征数”的定义，推导得到各数字之间的关系，结合四位数各位数字的取值范围，整除性质和计数原理，逐个验证选项即可得到结果． 【详解】解：∵四位数为“阶特征数”， ∴满足，，，满足，且、、、均为整数， ，即，， A．∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 原说法正确，故此选项不符合题意； B．∵“阶特征数”的最大值为， 此时四位数最大，则、尽可能大，而最大取， ∴， ∵， ∴，， 此时最大取， ∴， ∴； ∵“阶特征数”的最小值为， 此时四位数最小，则、尽可能小，而最小取， ∴， ∵， ∴，， 此时最小取， ∴， ∴； ∵，即， 原说法正确，故此选项不符合题意； C．∵能被整除， ∴是的倍数， ∵，， ∴， ∴是的倍数， ∴是的倍数， ∵是的整数，且， ∴， ∴只能为， 原说法正确，故此选项不符合题意； D．由题意知：（、为整数），则共有种取值， ∵， ∴（、为整数），共有种取值， 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； 当时，则，， 此时有种取值，有种取值，则四位数的个数为：（个）； ∵， ∴个数最多的是阶特征数， 原说法错误，故此选项符合题意． 卷Ⅱ（非选择题） 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 分解因式：_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查提公因式法分解因式，解题思路为找出多项式各项的公因式，提取公因式即可得到结果． 【详解】解：对多项式分解因式，提取公因式得：． 12. 在一个不透明的袋子中装有4个红球和2个白球，它们除颜色外都相同，从袋中随机摸出一个球是白球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查简单概率的计算，解题关键是掌握概率公式，确定所有等可能结果的总数和符合条件的结果数，代入公式计算即可． 【详解】袋子中球的总个数为，其中白球的个数为，根据概率公式，可得从袋中随机摸出一个球是白球的概率为． 13. 不等式组的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】先分别求解不等式组中每个一元一次不等式的解集，再取两个解集的公共部分，即可得到原不等式组的解集． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得． 因此原不等式组的解集为． 14. 如图，在中，，，点D是线段上一点，连接，将纸片沿着折叠，点A的对应点为点，连接，若，则的长是______． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理求出，由折叠性质得，，由此得，，据此可判定是等边三角形，再根据等边三角形性质即可得出的长． 【详解】解：在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 由折叠性质得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，，， ∴是等边三角形， ∴． 15. 如图，正方形的顶点A，B在坐标轴上，点A的坐标为，点B的坐标为．若经过点C的反比例函数与边交于点E，则点E的横坐标为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于点，证明即可求解点坐标，然后求出点坐标，分别求出直线和反比例函数的表达式，再联立求解即可． 【详解】解：过点作轴于点，则， ∵点A的坐标为，点B的坐标为， ∴， ∵正方形 ∴ ∴ ∴， ∴ ∴， 同理可求 ∴将点代入得，， ∴反比例函数表达式为 设直线 则代入点，，可得 解得 ∴直线， 再与反比例函数表达式联立可得，， 整理得， 解得，（舍） ∴点E的横坐标为． 16. 如图，在中，，以为直径作⊙分别交于点D，E，过点E作交⊙于点F，连接，若，则的长为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】连接设相交于点，证明，得到，证明，则，得到，解方程即可求出的长． 【详解】解：如图，连接设相交于点， ∵以为直径作⊙分别交于点D，E， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴ ∴半圆， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴ 整理得到， 解得或（不合题意，舍去） 即的长为． 三、解答题（本题有8小题，第17~21每题8分，第22、23题每题10分，第24题12分，共72分） 17. 计算：． 【答案】2026 【解析】 【详解】解：原式 18. 课堂上，程老师出示了两道题目进行对比分析，两位同学分别进行了回答． 题目1 题目2 解方程： 计算： 解：方程两边同乘，得① 去括号、移项得② 解得③ 解：原式 （1）在题目1中，该同学经检验发现当时，，即分母为0，故是方程的增根，则产生增根的步骤是第_________步．（选填“①”、“②”、“③”） （2）在题目2中，该同学代入时发现原式结果为1，但计算后的结果是，显然计算有误．请你写出正确的计算过程． 【答案】（1）① （2）解：原式 【解析】 【小问1详解】 原方程分母不能等于零，即，第①步把原方程转化为整式方程后，的取值可以为3，产生了原方程的增根． 【小问2详解】 略． 19. 如图，在中，，平分． （1）请仅用无刻度直尺和圆规在上找一点，使得，保留作图痕迹，并给出全等的证明过程． （2）若，，求的面积． 【答案】（1） 证明：由作图可知， ∵平分， ， 在和中， ， ； （2） 【解析】 【分析】以点为圆心、的长为半径画弧，交于点，点即为所求，再利用证明即可； 由全等三角形的性质可得，，即得，再利用三角形的面积公式计算即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ，， ∴， ． 20. 为促进学生体育锻炼习惯的养成和体质健康水平的提升，某校依据《国家学生体质健康标准》，在各年级中抽取相等的人数进行测试，分数记为（分），当时，记为等（优秀），当时，记为等（良好），当时，记为等（合格），当时，记为等（不合格）． 【信息1】部分测试结果统计图（不完整）． 【信息2】九年级等级人数占九年级所抽取人数的． 【信息3】八年级等级中成绩较高的前位分数是：． 请根据以下信息，回答相关问题： （1）填空：各年级抽取的人数均是________人，九年级等级的人数是________人． （2）求抽取的八年级学生体质测试成绩的中位数． （3）若该校七年级有名学生，请估计该校七年级中等（优秀）的人数． 【答案】（1）60，9 （2）分 （3）人 【解析】 【分析】（1）九年级等级人数人，占所抽取人数的，得九年级抽取人数人，因各年级抽取人数相等，故各年级均为人，九年级等级人数用减去等级人数即可； （2）总等人数，八年级等人，八年级共人，中位数是第位和的平均数，前位都是等，第位是，其中位数求这两个数平均值即可； （3）先算出样本中七年级等级人数，再算出七年级等级人数所占百分比，用该百分比乘即可． 【小问1详解】 解：各年级抽取的人数（人）； 九年级等级的人数（人）； 【小问2详解】 解：八年级中等级的人数为 （人）， 所以抽取的八年级学生体质测试成绩的中位数是从大到小顺序排列的第个数据和第个数据的平均数， 所以八年级测试成绩的中位数是（分）； 【小问3详解】 解：样本中七年级等级人数：（人）， 估计该校七年级中优秀（等）的人数为 （人）． 21. 如图，在中，对角线平分，经过顶点A，B且与边所在的直线相切于点E． （1）求证：为菱形． （2）当，菱形的高为4时，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， 对角线平分， ， ， ， 为菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行四边形的性质，结合角平分线的性质，可知，再根据等腰对等边，可知，根据菱形的判定定理，可证； （2）连接并延长交于点F，证明，且是菱形的高，设，在中，利用勾股定理，求出，即． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接并延长交于点F， 与边所在的直线相切于点E， 菱形， ，， ， ，且是菱形的高， ，， 设， ，， 在中，， 解得， ∴． 22. 图1为坐落于舟山马目山的风车营地，风车、大桥、山海、日落所构成的和谐画面吸引了众多游客，成为了网红打卡地．除了景色，这里的风电机组所提供的清洁能源也带动了绿色经济发展，某学习小组查阅资料得知，在风力发电机组中，“风电塔筒”非常重要，它的高度是一个重要的设计参数．为测量其高度，他们选定了当风车停止转动时的位置，如图2，风电塔筒AB垂直于地面，叶片AC恰好与塔筒AB重合，三个叶片均匀分布（即）且长度均为80m，在距离塔底（点B）158m的点F处有一测角仪（其高度忽略不计）测得叶片端点D的仰角为． （1）求风电塔筒的高度．（结果保留整数，参考数据：，，，） （2）当叶片从图2位置开始绕点A沿顺时针方向第一次转动至图3位置时，学习小组测量发现叶片端点E的离地高度增加了24.7m，求所有叶片在这段时间内扫过的区域面积．（结果保留π，参考数据：，，） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）过点D作于点G，过点A作于点H，四边形是矩形，易得，利用三角函数求出，，再求出，已知，利用角的正切求出，根据，求出塔高； （2）过点E作，，两线交于点P，过点E'作于点Q，同（1）可得，求出，在中，求出，利用三角函数值得到，再求出，利用扇形的面积公式，求出单个叶片扫过的面积，再乘以3，得到三个叶片扫过的面积． 【小问1详解】 解：如图，过点D作于点G，过点A作于点H， 由题意可知， 四边形是矩形， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， 答：风电塔筒的高度为． 【小问2详解】 解：如图，过点E作，，两线交于点P，过点E'作于点Q， 同（1）可得，， 由题意可得， 在中，， ， ， 叶片扫过的区域面积是， 所有叶片扫过的区域面积是． 23. 已知抛物线（a为常数）经过点． （1）求抛物线的顶点坐标． （2）记抛物线在时的最大值为M，最小值为m． ①当，且时，求t的值． ②记，的最小值为d，求的最小值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）待定系数法求出函数解析式，化为顶点式后，即可得出顶点坐标； （2）①根据增减性求出最大值和最小值，列出方程进行求解即可；②将转化为二次函数求最值即可. 【小问1详解】 解：抛物线经过点 ，解得 顶点坐标为 【小问2详解】 解：①， ， ， ∵， ∴抛物线的对称轴是直线， 而， 当时，函数取得最小值． ， 又， 当时，函数取得最大值 ， ，解得 ， ． ②记当时抛物线上的点为A，当时抛物线上的点为B， 当点A与点B关于对称轴对称时的最大值为，最小值为 显然，当点A向左移动到点时，最大值在该点处取得，且大于，由图象可得，当点A向左移动时，满足 同理，当点A向右移动到点时， 因此，当点A与点B关于对称轴对称时，取得最小值． 当时， 当时， 的最小值是． 24. 如图1，在矩形中，，连接，将绕点逆时针旋转至，其中点的对应点为点，点的对应点为点，连接并延长交射线于点． （1）如图2，当点与点重合时，记与交于点，与交于点． ①求证：． ②求的值． （2）如图3，点在的延长线上，记与交于点，连接交于点，当时，求的值． 【答案】（1）①证明：∵将绕点逆时针旋转至， ， ，，， 四边形是矩形， ，， ∴， ，， ， ， ∴， ． ② （2） 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质得出，，，根据矩形的性质得出，进而得出，根据平行线的判定定理即可得出结论； ②过点作于点，设，则，利用勾股定理及等积法得出，，，，根据得出，根据相似三角形的性质得出，根据正弦函数的定义即可得出答案； （2）过点作，交延长线于，过点作于，连接，利用可证明，得出，进而证明，得出，根据“三线合一”的性质得出，根据旋转的性质及三角形内角和定理得出，进而得出，即可证明，得出，，，则，可得，，，，利用得出，，进而得出，，即可得出． 【小问1详解】 解：①略 ②如图，过点作于点， ， 设，则， ∴， ， ∴，即， ∴， ∴， ，， ， ， ， ， ， ， ∴． 【小问2详解】 如图，过点作，交延长线于，过点作于，连接， ∵将绕点逆时针旋转至， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， 在和中，， ∴， ， 在和中，， ∴， ， ， ， ， ∵，，， ∴，， ， ， ， ， ， ， ， ∴， 设，，则， ∴， ∴，， ∴，， ， ， ， ，， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $