第三编 题型二 函数的实际应用-【中考复习指南】2026年湖北中考数学模拟冲刺卷

题型二 函数的实际应用 心题型归纳 此类问题常以物品销售利润优化、场地面积规划、抛物线轨迹分析（如投篮、投掷）、多方案成本 比较等贴近生活的实际情境为背景，重点考查一次函数和二次函数的图象特征与性质应用，解题的 关键是从情境中准确提取变量关系、建立函数表达式、结合函数的图象和性质、并依据几何或不等 式条件进行逻辑推导，培养学生的数学建模能力（将实际问题转化为函数模型）、数据分析能力（从 图象与数据中提取信息)、逻辑推理能力（多条件综合分析与论证），以及解决实际问题的综合素养. 心对点演练 1.某草莓采摘园的草莓售价为每千克40元.为吸引游客，该采摘园推出两种优惠方案： 方案一：每名游客进园需购买40元的门票，采摘的草莓按原价的8折收费； 方案二：游客进园不需要购买门票，采摘的草莓质量在10千克以内（包含10千克）时原价收费，超 过10千克后，超过部分按原价的6折收费 设某游客采摘量为x千克，按方案一所需总费用为元，按方案二所需总费用为y2元： (1)当采摘量超过10千克时，分别求出y1,y2关于x的函数表达式： (2)当采摘多少千克时，两种方案的总费用相同？ (3)直接写出当x在什么范围内时，选择方案一比选择方案二更合算， 31 2.某影院正在热映一部爱国题材的影片.已知小明（儿童）一家三口（爸爸、妈妈和小明）去观看该影 片，共花费160元；小英（儿童）和她妈妈一起去观看该影片，共花费100元.该影片的票价分成人 票价和儿童票价，上述两次消费均不含其他费用， (1)求该影院该影片的成人票和儿童票的单价： (2)某校为通过该片传递的正能量，激励师生传承利和弘扬中华优秀传统文化，特组织全校1800名 师生（学生均为儿童）集体到该影院观看该影片.影院特推出两种优惠活动（只能选其中一种）： 活动一：成人票的单价打八折，儿童票的单价打六折； 活动二：成人票按原价，儿童团体票每购买满300张赠200张（赠票不得有余票）. ①设教师人数为x(人)，总费用为y(元).若按活动一购买，求y与x之间的函数关系式； ②若该校由200名教师带领学生观影，请判断采用哪种活动购票能使花费最少，并说明理由， 3.某公司投入研发费用80万元(80万元只计入第一年成本)，成功研发出一种产品.公司按订单生 产（产量=销售量），第一年该产品正式投产后，生产成本为6元/件.此产品年销售量y(万件)与 售价x(元/件)之间满足函数关系式y=一x十26. (1)求这种产品第一年的利润W1(万元)与售价x(元/件)之间满足的函数关系式； (2)如果该产品第一年的利润为20万元，那么该产品第一年的售价是多少？ (3)第二年，该公司将第一年的利润20万元(20万元只计人第二年成本)再次投人研发，使产品的 生产成本降为5元/件.为保持市场占有率，公司规定第二年产品售价不超过第一年的售价，另外 受产能限制，销售量无法超过12万件.请计算该公司第二年的利润W2至少为多少万元. —32 4.如图1，有一块三角形余料ABC,它的边BC=120mm,高AD=80mm.要把它加工成正方形零件 PQMN,使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB,AC上. (1)加工成的正方形零件的边长是 mm; (2)如图2，如果要加工的零件是一个矩形，其他条件不变，设PN=xmm,PQ=ymm,求y与x 之间的关系式； (3)在(2)的条件下，求矩形零件的面积最大时，该矩形零件的长和宽 图1 图2 5.如图，小明在篮球训练中尝试投篮，训练时出手角度和力度保持不变.出手时篮球距地面的高度 为2m,与篮圈中心的水平距离为4m.已知篮球运行的路线为抛物线，当篮球运行的水平距离为 2.5m时，篮球达到最大高度，最大高度为3.5m如果篮圈中心距离地面3.05m设篮球距离出 手点的水平距离为x(单位：m),距离地面的高度为y(单位：m). (1)求y与x的函数解析式； (2)小明此次投篮篮球能否准确落入篮圈？请说明理由 (3)若小明投篮的出手高度不变，与篮圈中心的水平距离调整约为多少米时，篮球能准确落入篮 圈？（精确到0.01m,√30≈5.48） 3.5m 13.05m 3.05m ←2.5m 0 -4m 备用图 33 6.某养殖户饲养了A,B两种肉羊，根据往年的饲养经验，他发现：饲养A种肉羊获得的利润y(万 元)与投资金额x(万元)成一次函数关系，饲养B种肉羊获得的利润y2(万元)与投资金额x(万 元)成二次函数关系.已知函数y,y2图象的交点为O(0,0),A(6,2.4),函数y2的图象与x轴正 半轴交于点B(10,0),如图所示. (1)求函数y1,y2的解析式： (2)观察图象，分析单独饲养A种肉羊与单独饲养B种肉羊所获得的利润的大小关系； (3)该养殖户计划明年投资10万元饲养A,B这两种肉羊，如何分配资金，可使得总利润最大？最 大总利润是多少万元？ y万元 2.4 6 10x/万元 7.如图，①号隧道的截面示意图是由抛物线的一部分（曲线ABC)和矩形OACD组成的，②号隧道 的截面示意图是由抛物线的一部分（曲线EG)组成的，两条抛物线的开口方向和大小相同.已知 OA=1m,OD=12m,①号隧道截面的最高点B到地面OD的距离为4m,点O,D,E,G在同一 水平面上.以点O为原点，OD所在直线为x轴，建立平面直角坐标系xOy. (1)求曲线ABC所在抛物线的函数解析式；（不写自变量x的取值范围） (2)已知曲线ABC所在抛物线经过点E (ⅰ)求点E的横坐标； (iⅱ)若②号隧道的最高点F到地面OG的距离为2，求EG的长度. y/mt B ① F ② G x/m -34 8.某单位进行消防演练.消防车停在一栋高层建筑正前方的点O处，如图1，点O到建筑物的水平 距离为30m.在不使用云梯的状态下，水枪出水口A距地面的高度AO为2m,喷出水的路线近 似为抛物线；水柱离水枪出水口的水平距离为15m时，达到最大高度，此时离水平地面20m.以 OA所在的直线为y轴，以地面所在的水平线为x轴建立平面直角坐标系.（注：若水枪出水口的 位置发生改变，喷出水的路线的抛物线开口大小不变) (1)求出水口在点A处时抛物线的函数解析式； (2)如图2，若着火楼层的窗户顶端B离地面的高度为22m,窗户底端C离地面的高度为18m使用 云梯后，水枪的出水口升至点D,此时点D与点A的水平距离为10m,离地面的高度为5m,此时水 能否射进着火窗户BC内？ (3)在(2)的条件下，若火源的中心在距离窗口BC水平距离5的地面上，调整水枪的位置，使水 柱的最高点恰好沿着窗户的上边缘B处射进窗户，间：射进窗户里面的水柱能否正好击中地面火 源的中心位置？若能，请说明理由；若不能，请求出水枪出水口需如何沿水平方向平移，能正好击 中地面火源。 云梯 D A A 消防车 消防车 图1 图2 -35 9.在毕业季即将到来之际，学校准备开展“筑梦之旅，砥砺前行”活动.如图1，小泽同学对会场进行 装饰，他在会场的两墙AB,CD之间悬挂一条近似抛物线y=ar-号x十3的彩带：如图2，已知 墙AB与CD等高，且AB,CD之间的水平距离BD为8m. Ay/m y/m B(O) x/m B(O) x/m 图1 图2 图3 (1)如图2，两墙AB,CD的高度是 m,抛物线的顶点坐标为 (2)为了使彩带的造型美观，小泽把彩带从点M处用一根细线吊在天花板上，如图3所示，使得点 M到墙AB的距离为3m,使抛物线F的最低点距墙AB的距离为2m,离地面2m,求点M到 地面的距离； (3)为了尽量避免人的头部接触到彩带，小泽现将M到地面的距离提升到3m.通过适当调整M 的位置，使抛物线F2对应的二次函数的二次项系数始终为.若设点M距墙AB的距离为bm, 抛物线F,的最低点到地面的距离为cm,当2c<3时，直接写出b的取值范围： -36解得x=20,经检验，x=20是所列方程的解，且符合题意，∴.x十10=20十10=30. 答：基础模式的速度为20米/分，标准模式的速度为30米/分. 任务二：根据圈意，得1+a+碧-5，解得a=Q5,答：测试2中机器人乙故降时长a的值为心.5， 任务三：设甲的运动时间为1分钟.当0<1≤1时，30×2-301=10，解得1=号当1<1≤1.5时，30×2× 1-301=10,解得1=号（不符合题意，合去.当1.5<1≤5时.30×2×1+20(1-1.5）-30=10，即30 10t=10或101-30=10，解得1=2或t=4. 答：测试2整个过程中第号，2或4分钟时，两个机器人之间的距离等于10米 4.(1)198:198或220. (2)520. (3)解：，第二次所购物品的原价高于第一次， ∴.第一次所购物品的原价低于500元，第二次所购物品的原价超过500元，设乙第一次所购物品的原价是 之元，则第二次所购物品的原价是(1000一x)元.①当0<≤200时，有884=之十0.8(1000一x一500)+500× 0.9,解得x=170,∴.1000一x=1000-170=830(元)；②当200x<500时，有884=0.9z+0.8×(1000- 之-500)+500×0.9，解得z=340,.∴.1000-z=1000-340=660. 答：乙第一次所购物品的原价是170元或340元，第二次所购物品的原价是830元或660元. 3.x十2y=310,x=50, 5.解：(1)设每个排球x元，每个篮球y元.依题意得 解得 故每个排球50元，每个篮球 2x+5y=500, y=80. 80元. (2)设购买a个篮球.则购买(60-a)个排球.依题意得80a十50X(60-a)<400,解得a≤3号”a为非 负整数，∴.a的最大值为33.故最多可以购买33个篮球 (3)设购买排球m个，购买篮球n个.依题意得50m十80m=100,∴m=20-8:m,n均为正整数，= 5或=10.故共有两种购买方案，方案一：购买排球12个、篮球5个；方案二：购买排球4个、篮球10个. 6.解：1)设今年三月份甲种电脑每台售价x元，则去年每台售价(x十1200)元，依题意，得，96000 x+1200 72000,解得x=3600.经检验，x=3600是方程的解，且符合题意。 答：今年三月份甲种电脑每台售价3600元. 3500m+3000(15-m)≥48000， (2)设购买甲种电脑m台，则购买乙种电脑(15一m)台.依题意得 解得 3500m+3000(15-m)≤49000， 6≤m≤8..m为正整数，∴.m=6,7,8,∴.共有3种进货方案. 答：共有3种进货方案， (3)设购买甲种电脑n台，总获利为W元，则W=(3600-3500)n十(3800一3000一700)(15一n)=1500. .W的值与n无关，是个定值，∴.三种进货方案的获利相同. 题型二函数的实际应用 1.解：(1)当采摘量超过10千克，即x>10时，根据题意，得y=40+40×0.8x=32x十40，y2=40×10十40× 0.6(x-10)=24x+160. -9- (2)当0≤210时，y2=40x,令y=2,则32x十40=40x,解得x=5.当x>10时，令y=y2,则32x+40=24zx+ 160,解得x=15. 答：当采摘5千克或15千克时，两种方案的总费用相同. (3)当5<x<15时，选择方案一比选择方案二更合算. 2.解：(1)设该影院该影片成人票的单价为α元，儿童票的单价为b元. (2a+b=160, a=60, 根据题意，得 解得 a+b=100, b=40. 答：该影院该影片成人票的单价为60元，儿童票的单价为40元. (2)①由题意可知，y=60x×0.8+(1800-x)×40×0.6=24x+43200. ②按活动一购票能使花费最少.理由：由题意可知，若采用活动一购票，则y=200×24十43200=48000（元）. 若采用活动二购票，则购买成人票共花费60×200=12000（元），购买儿童票共花费(3×300+100)×40= 40000(元)，∴.总费用为12000+40000=52000（元）..48000<52000，∴.活动一购票能使花费最少 3.解：(1)依题意得W,=(x一6)（一x十26）一80=一x2+32.x-236,.这种产品第一年的利润W1(万元)与售 价x(元/件)之间满足的函数关系式为W,=一x2十32x一236. (2)由题意得20=-x2+32x-236,解得x1=x2=16. 答：该产品第一年的售价是16元/件， x≤16， (3)由题意得 ∴.14≤x≤16.由题意得W2=(x-5)(一x十26)-20=一x2十31x-150,.抛 -x+2612, 物线的对称轴为直线x=15.5..14≤x≤16，一1<0，∴.当x=14时，W2有最小值，最小值为一142+31× 14-150=88. 答：该公司第二年的利润W2至少为88万元 4.解：(1)48. (2).四边形PQMN为矩形，∴.PN∥BC,∴.△APNO△ABC, 院焉流8之，整理得y一号60 （3设矩形零件的面积为5S=y=(-号十加）=-导r+80=-号一0+240当=0 时，S的最大值为240，∴=一号×60十80=40，矩形零件的面积最大时，该矩形零件的长和宽分别为 60mm,40mm. 5.解：(1)设抛物线的顶点式为y=a(x一2.5)2+3.5，代入出手点的坐标(0,2)，得2=a(0一2.5)2+3.5，解得 。=会y与x的函数解析式为y=一是一2.5十3.5（或y一一是+号十2. (2)当篮球水平飞行至篮圈中心的水平距离为x=4时，代人函数解析式，得)一云×(4一25)十3.5= 2.96<3.05,故篮球不能准确落入篮圈. (3)由题意得一号x-2.5+85=805,解得10士@，即≈，87，≈1.1（舍去）. 4 答：与篮圈中心水平距离调整约为3.87m时，篮球能准确落入篮圈。 —10- 6.解：(1)设函数y1的解析式为y=kx,当x=6时，y1=2.4,.6k=2.4,解得k=0.4,.y1=0.4x.设2= f36a+6b=2.4,a=-0.1, a.x2+bx,当x=6时，2=2.4，当x=10时，y2=0,. 解得 .y2=-0.1x2+x. 100a+10b=0, b=1, (2)当投资金额小于6万元时，饲养B种肉羊获利较大；当投资金额等于6万元时，饲养A,B这两种肉羊获 利一样；当投资金额大于6万元时，饲养A种肉羊获利较大 (3)设该养殖户明年饲养A,B这两种肉羊获得的总利润为心万元，其中饲养A种肉羊的投资金额为m万 元，则饲养B种肉羊的投资金额为(10一m)万元，由题意，得=y+y2=0.4m+[一0.1(10一m)2十(10 m门，整理，得=一0.1m2+1.4m,配方，得=一0.1(m一7)2+4.9.一0.1<0，∴.当m=7时，e取得最 大值，最大值为4.9.此时10一m=3. 答：当A种肉羊的投资金额为7万元，B种肉羊的投资金额为3万元时，可使得总利润最大，最大总利润是 4.9万元. 7.解：(1)设曲线ABC所在抛物线的函数解析式为y=a(x一6)2+4.将A(0,1)代入，得1=a(0-6)2+4,解 得a=一立曲线ABC所在彬物线的函数解析式为y=一立红一6)十4 (2)(1)由(1)知y=-2x-6)2+4,令y=0,则-2x-6)+4=0,解得1=6+45,2=6-43（不 合题意，舍去)，∴点E的横坐标为6十4√3. (iⅱ)如图，过点F作x轴的平行线交曲线ABC于点M,N.易知平移曲线MBN可与曲线EFG完全重合， ∴.EG=MN. y/m B DE G x/m 对于y=红一6)2+4，当=2时，-红一6)+4=2，解得x=6士26.：(6+26)-(6-26)=46。 ∴.EG=MN=4√6m. 8,解：①D设抛物线的函数解析武为y=a(x一15)P+20,将A(0,2)代入，得2=α(0-15)2十20.解得a易 ∴地物线的函数解析式为y=元（红一15）+20 (2)抛物线的开口大小不变，且出水口点D的坐标为(10,5)，由平移可知，抛物线向右平移10个单位长 度，向上平移3个单位长度，新抛物线的顶点坐标为(25,23)，∴新抛物线的函数解析式为y= 25(x 25)2+23.将x=30代入，得y=21..着火点在18m到22m之间，∴.水能射进着火窗户BC内. 《3):抛物线的开口大小不变，且调整后的顶点坐标为(30,2)，∴新抛物线的函数解析式为y=一元（：一 30)2+22..火源的中心在地面上，且距离窗口BC的水平距离为5m,.火源的坐标为(35,18).将y=18 代入解析式，解得x=30士5√2.30十5√2>35，∴.水柱无法正好击中地面火源的中心位置..需要平移的 距离为30+5VE-35=52-5,令x=30代入y=一号2-30+5E-5)+2=一号（5VE-5)+2> 18,.需向左平移(5√2-5)m. 11 9.解：13：(4，)： (2)由题意得，抛物线F1的顶点为(2,2)，∴.可设抛物线F的函数解析式为y=a(x一2)2十2，，A(0,3)在 抛物线E上…a1(0-2)2+2=3,解得a1=寻抛物线F的函数解析式为y=}(x-2)2+2,当x=3 时，y=子×(3-2)2+2=是，M(3,号)，故点M到地面的距离为是m 349 解法提示：C(8,3),M到地面的距离提升到3m,∴抛物线F,的顶点横坐标为)(b十8) b十4，：抛物线R:的最低点到地面的距离为cm∴可设抛物线R的函数解析式为)y=(x一一4)'十 c(0<8),∴(8-号b-4)°十c=3,解得c=-6B2+6-1,当=2时，-+b-1=2,解得bi=4, e=12含去)：当c-得时，-+6-1=孕解得6=94=号（含去）4长9 题型三几何综合 1.(1)证明：.四边形ABCD是平行四边形，∴.OD=OB,AD∥BC,∴.∠FDO=∠EBO.又'∠DOF= ∠BOE,.△DOF≌△BOE(ASA). (2)①证明：，四边形ABCD是平行四边形，AB=BC,.四边形ABCD是菱形，.AD=AB.由(1)可知 △DOF≌△BOE,∴.DF=BE.,GH∥BC,EG∥AB,∴.四边形BEGH是平行四边形，∠AGH=∠ACB, ∴.GH=BE,∴.DF=GH..AB=BC,∠GAB=∠ACB,∴.∠AGH=∠GAB,∴.AH=GH,.DF=AH, .AF=BH.,GH∥BC,AD∥BC,.GH∥AD,∴.∠FAH=∠GHB.在△AFH和△HBG中， AH=GH, ∠FAH=∠GHB,∴.△AFH≌△HBG(SAS). AF-BH, @解：四边形ABCD是菱形.B0-0-BD-6,A0-0C-AC.ACLBD.A0-VAB-B0 8,∴.AC=16..'△AFH∽△GCB,∴.∠FAH=∠CGB.又∠FAH=2∠GAB,∠CGB=∠GAB+∠GBA, ·∠GAB=∠GBA,.GA=GB.设GO=x,则GB=GA=8-x,在Rt△BGO中，由勾股定理得GB=OG十 O8,即(8-=2+6，解得-子AG8--至.GH/BC,△GH△ACB,是C,即 25 -后aH-爱 2.(1)证明：由题意可得，AD=AB,AE=AF,∠D=∠ABC=∠ABF=90°，∴.Rt△ADE≌Rt△ABF(HL), .DE=BF. i证明：：∠AEF=∠AFE=∠BAC=∠ACB=45,∠AOF=∠AOG,·△AOF∽△GOA,品-AO1 即AO3=OG·OF (3)解：如图，连接AR“∠AEF=∠ACD,∠A0E=∠P0C.△A0EO△R0C,∴∠EAC=∠CFE,8器 8票：∠A0F=∠E0C,号器-8恶△A0Fn△B0C∠ACE=∠AFE.:点E为CB的点，AC-AB, ∴.AE⊥BC,∴∠AEC=90°，∴.∠EAC+∠ACE=90°，.∠AFE+∠CFE=90°，∴.∠AFC=90°.设CF=x,在 —12